巴斯卡拉二世1150年写完《Siddhanta Shiromani》，其中的代数解出了费马1657年向欧洲提出的挑战方程

巴斯卡拉二世（Bhaskara II）在公元1150年完成了《Siddhanta Shiromani》，按他自己的说法，当时他36岁。其中的代数部分《Bijaganita》演算了方程61x² + 1 = y²，并给出整数范围内的最小解：x = 226,153,980，y = 1,766,319,049。据圣安德鲁斯大学的数学史档案MacTutor，皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）1657年把同一个方程作为挑战，出给了欧洲和英国的数学家。

同一部著作里还有《丽拉瓦蒂》（Lilavati），一部13章的算术和几何，写成诗体的题目，以及一部分为两部分的天文学，涵盖日月食、行星位置和仪器。大卫·平格里（David Pingree）在《科学传记辞典》（Dictionary of Scientific Biography）中列出了35种《丽拉瓦蒂》的注释，最早的一种是纳拉亚纳（Narayana）1356年的。约1400年找到正弦和π的无穷级数的喀拉拉数学家，是另一篇文章的主题。这一篇讲巴斯卡拉。

他怎么说自己

亨利·科尔布鲁克（Henry Thomas Colebrooke）1817年把《丽拉瓦蒂》和《Bijaganita》译成英文，他写道，巴斯卡拉著作的年代“确定得异常精确”。科尔布鲁克报告说，巴斯卡拉在书中说，他在塞迦纪元1072年完成此书，时年36岁，他生于塞迦纪元1036年。这就得出书成于1150年，而在多数现代来源里，他的出生是1114年。平格里的条目标作1115年。一部较短的推算天文位置的手册《Karanakutuhala》，在平格里的条目和《天文学家传记百科》里都定在1183年。

据平格里说，他的父亲是商狄利耶（Shandilya）世系的摩醯湿伐罗（Maheshvara），写过一部流行的占星著作。《Siddhanta Shiromani》的结尾诗节点出他的城市是Vijjadavida。平格里把它读作比贾布尔（Bijapur），即今天的卡纳塔克邦，并加上一句保留，“如果这个认定正确”。MacTutor和那部百科都给出维贾亚普拉（Vijayapura）作为他的出生地，那是同一座城市。MacTutor说，在当时印度首屈一指的数学中心乌贾因，也就是伐罗诃密希罗（Varahamihira）和婆罗摩笈多工作过的地方，他成为天文台的主持人。MacTutor和那部百科还一致认为他去世于乌贾因，时间为1185年。

这个家族一直做同一门学问。平格里提到巴斯卡拉的儿子拉克什米达拉（Lakshmidhara），被杰特拉帕拉王（Jaitrapala）任命为学者之首，还有他的孙子昌加德瓦（Changadeva），是辛哈纳王（Singhana）的首席占星师。

《丽拉瓦蒂》：十三章诗体的题目

MacTutor一章一章地列出：定义、算术术语、利息、等差与等比数列、平面几何、立体几何、圭表的影子（gnomon，一根竖直的杆，凭它的影子来读取时间和方向）、kuttaka，以及组合。kuttaka又称粉碎术，是求整数解方程的方法，阿耶波多的数学一章在499年已经讲过。

书靠诗体的题目撑起来。其中一道，说一位国王行军去夺取敌人的大象，第一天走两由旬（yojana，一种古代的距离单位），要在一周内到达80由旬外的一座城。MacTutor报告说，巴斯卡拉演示他每天的行程必须再增加22/7由旬。另一道说，一群蜜蜂分开了：全群一半的平方根，加上全群的九分之八，飞向了一丛茉莉，剩下一雄一雌。科尔布鲁克的译本给出的答案是72只蜜蜂。

《丽拉瓦蒂》里两种乘法之一，把进位推迟到最后的加法时才做。MacTutor沿用乔治·伊弗拉（Georges Ifrah）的叙述，用325 × 243来说明：巴斯卡拉把被乘数按乘数的每一位写一遍，逐位相乘而不进位，再把各部分加起来，得到78,975。

对于圆，译本给出两条规则。把直径乘以3,927再除以1,250，得到较接近的周长；或者乘以22再除以7，得到较粗略、适合日常使用的数值。算出来，第一个比值精确到小数点后四位是3.1416。科尔布鲁克指出，巴斯卡拉加上这一条“显然来自另一位权威”。全书以计数收尾：有多少个给定长度的数，其各位数字之和为给定的数，MacTutor说。

《Bijaganita》：负数、两个根和零

据MacTutor和平格里，《Bijaganita》共十二章。内容有正数和负数、零、未知数、不尽根（surds，开不尽的平方根）、kuttaka、二次方程和多未知数方程。负数的上方加一个点。在科尔布鲁克的译文里，规则是正数或负数的平方都是正的，一个正数有两个根，一正一负，并且“负数没有平方根”。

巴斯卡拉也接受有两个有效答案的方程。在他的猿猴问题里，一群猴子中，总数八分之一的平方在林中玩耍，十二只坐在山上，二次方程给出16或48，MacTutor说他认为两个都可以接受。按MacTutor的判断，他对数系和解方程的理解，达到了欧洲几个世纪以后才达到的水平。科尔布鲁克补充了一个较小的要点：他说，《Bijaganita》里毕达哥拉斯定理的两个证明中的第一个，就是沃利斯（Wallis）在他关于角截的论著里给出的那个。

费马1657年出给欧洲的方程

佩尔方程（Pell’s equation）要的是满足px² + 1 = y²的整数x和y，其中p是给定的数。最小的解可能非常大。巴斯卡拉对p = 8、11、32、61和67求了解。对67，这对数是x = 5,967，y = 48,842。对61，就是开头引的那个九位数x，这对数验算无误：61 × 226,153,980² + 1 等于 1,766,319,049²。

MacTutor把chakravala，即轮换法（cyclic method），在1150年归功于巴斯卡拉。它从一对几乎合适的数出发，一步步改进，直到得出一个可由婆罗摩笈多628年的方法收尾的情形。科尔布鲁克1817年评断，印度人从一个试出来的解推出许多解的办法，在拉格朗日之前，已经最接近一个一般解。

欧洲的记录开始得晚些。MacTutor说，婆罗摩笈多、巴斯卡拉二世以及14世纪为《Bijaganita》写过注释的纳拉亚纳的方法，17世纪的欧洲数学家完全不知道。费马1657年提出挑战，其中一道题就是61x² + 1 = y²，也就是巴斯卡拉解过的那一例。布龙克尔（Brouncker）找到了一种方法，沃利斯1658年发表了往来的书信。欧拉以佩尔（Pell）的名字命名了这个方程，MacTutor说，一般认为是因为他把佩尔和布龙克尔混淆了。拉格朗日1771年发表了严格的证明。科尔布鲁克还看出，一次整数方程的一般解法，在欧洲由巴谢·德·梅齐里亚克（Bachet de Meziriac）1624年首次给出，“恰恰就是印度代数学家的方法”。

日月食、天球和早期的变化率

平格里把《Siddhanta Shiromani》描述为两个部分。第一部分《Ganitadhyaya》有12章，讲行星的平均位置和真实位置、日月食、行星的纬度、升落、新月和合。第二部分《Goladhyaya》有13章，讲天球，包括浑天仪（armillary sphere，一种表示天球各圈的嵌套环形模型）、球面三角学、仪器和季节。巴斯卡拉还写了自己的注释《Vasanabhasya》。MacTutor补充说，他似乎比前人更关心三角学本身，前人只把它看作计算的工具，并引了他关于两角之和的正弦公式。

有一种关于早期微积分的说法跟这本书连在一起，它有一段可查的来历。平格里的书目列出了巴普德瓦·萨斯特里（Bapudeva Sastri）1858年的一篇论文，题为《Bhaskara’s Knowledge of the Differential Calculus》（《巴斯卡拉的微分学知识》），1860年W. 斯波蒂斯伍德（W. Spottiswoode）接着发了一则短文，谈一位印度天文学家对这一原理的“所谓发现”。《Indian Journal of History of Science》2023年的一篇论文，作者是文凯泰什瓦拉·派（Venketeswara Pai R.）和M. S. 斯里拉姆（M. S. Sriram），在摘要中说，从《Laghumanasa》（约公元932年）起，印度天文学就用导数来求行星的运动速率。论文说，在《Vasanabhasya》里，巴斯卡拉解释了为什么需要瞬时运动速率（tatkalikagati），这涉及正弦函数的导数。

那是天文学内部的一条变化率规则，用来求行星在某一瞬间的速度。MacTutor报告说，马杜卡尔·马拉亚（Madhukar Mallayya）把巴斯卡拉规则 (a × 0) / 0 = a 中的零读作现代的无穷小，即比任何数都小的量，并补充说，这也许是看到了超出巴斯卡拉本意的想法。MacTutor自己对他的成果的叙述里，没有任何地方提到微积分。无穷级数是后来的事，讲述它们的是上面链接的喀拉拉那篇文章。

女儿、珍珠，和文本自己怎么说

一个附在《丽拉瓦蒂》上的故事说，巴斯卡拉给女儿丽拉瓦蒂（Lilavati）算了星盘，找出她婚礼的吉时。他把一只底部有小孔的杯子放进一盆水里，让它在那个时辰沉下去。她俯身去看，衣服上的一颗珍珠掉了进去，堵住了小孔，吉时错过了。为了安慰她，他给她写了一本数学书。MacTutor根据G. G. 约瑟夫（G. G. Joseph）的书转述了这个故事，并说波斯文译者费齐（Faizi）1587年讲过它。

这是一种传说，学者们也是这样看待的。MacTutor说，“很难看出有什么证据表明它是真的”，丽拉瓦蒂是否是他的女儿也不确定，另有一种说法认为她是他的妻子。平格里把这本书描述为写给一位女士的，“（他的女儿还是妻子？）”。在文本内部，巴斯卡拉对一位女子说话。在科尔布鲁克的译文里，有一个例子称她“美丽而亲爱的”，说她的眼睛“像小鹿一样”。那里的一条脚注说，这个名字“看来是受教的那位女子的名字”，并补充说，有些注释依其词源，把它理解为“迷人的”。

除以零、缺失的证明，和伪造的第七部书

巴斯卡拉给出了一条除以零的规则。他在《Bijaganita》中写道，一个量除以零“成为一个分母为零的分数”，并称之为无穷量。MacTutor说这是不成立的，因为如果n/0是无穷的，零乘以无穷就会等于每一个数n，并指出，印度数学家无法使自己承认除以零是不可能的。婆罗摩笈多更早关于零的规则，在讲零的那篇文章里讲过。

MacTutor还论证，巴斯卡拉并没有轮换法的证明，因为这个证明冗长而困难，远远超出12世纪数学的能力。有六部著作被公认是他的。第七部《Bijopanaya》自称成于1151年，平格里根据库潘纳·萨斯特里（Kuppanna Sastri）的研究断定，它是1810年代初在南印度伪造的。

1207年的一所学校，三种波斯文本，和两颗卫星

恰利斯冈（Chalisgaon）附近发现的帕特纳（Patna）碑铭，署年是塞迦纪元1128年的一次月食，《Epigraphia Indica》把它换算为1207年8月9日。碑铭记载，昌加德瓦创办了一所学院，研习《Siddhanta Shiromani》。两位尼库姆巴（Nikumbha）兄弟，索伊德瓦（Soideva）和赫马迪德瓦（Hemadideva），是雅达瓦（Yadava）王辛哈纳的封臣，他们资助了这所学院。MacTutor补充说，一块中世纪的神庙碑铭赞美他“如孔雀头上的冠”。

科尔布鲁克记载，费齐1587年的波斯文《丽拉瓦蒂》是奉阿克巴大帝之命完成的，平格里还知道另外两种波斯文本，约出于1663年和1678年。沙贾汗让人在1634年和1635年翻译了《Bijaganita》。英文方面，J. 泰勒（J. Taylor）的译本1816年在孟买印行，科尔布鲁克的译本次年出版。

在浦那，巴斯卡拉查里亚基金会（Bhaskaracharya Pratishthana）由数学家施里拉姆·阿比扬卡尔（Shreeram Abhyankar）1976年创办。自1992年起，它一直是地区数学奥林匹克的认定中心，该机构说，它培训的学生在国际数学奥林匹克上获得了50多枚奖牌。

印度的第一颗卫星以一位更早的天文学家命名，有自己的文章。ISRO关于Bhaskara-I的页面说，它携带了电视摄像机和一台微波辐射计，发射日期为1979年6月7日。Gunter’s Space Page列出了1981年11月20日发射的第二颗卫星，并说这一对卫星是以两位巴斯卡拉查里亚命名的。