أنهى بهاسكارا الثاني كتاب سيدهانتا شيروماني عام 1150، وحلّ جبره المعادلة التي طرحها فيرما تحديا على أوروبا عام 1657

أنهى بهاسكارا الثاني سيدهانتا شيروماني عام 1150م، وكان بحسب عدّه هو في السادسة والثلاثين. ويحل قسم الجبر فيه، بيجاغانيتا، المعادلة 61x² + 1 = y² ويعطي أصغر جواب بالأعداد الصحيحة: x = 226,153,980 وy = 1,766,319,049. وقد طرح بيير دي فيرما المعادلة نفسها على رياضيي أوروبا وإنجلترا تحديا عام 1657، بحسب MacTutor، أرشيف تاريخ الرياضيات في جامعة سانت أندروز.

ويضم العمل نفسه ليلافاتي، نصا من 13 فصلا في الحساب والهندسة مكتوبا في صورة مسائل شعرية، وفلكا من جزأين يغطي الكسوفات ومواقع الكواكب والأدوات. ويحصي ديفيد بينغري، في Dictionary of Scientific Biography، 35 شرحا على ليلافاتي، أولها شرح نارايانا عام 1356. أما رياضيو كيرالا الذين وجدوا متسلسلات لانهائية للجيب ولباي نحو 1400 فموضوع مقال منفصل. وهذا المقال يتبع بهاسكارا.

ما يقوله عن نفسه

كتب هنري توماس كولبروك، الذي ترجم ليلافاتي وبيجاغانيتا إلى الإنجليزية عام 1817، أن تاريخ عمل بهاسكارا “مؤكَّد بدقة غير معتادة”. ويقول بهاسكارا في الكتاب إنه أنهاه في سنة شاكا 1072، في السادسة والثلاثين، وإنه وُلد في شاكا 1036، كما يفيد كولبروك. وهذا يعطي 1150 للكتاب، و1114 لولادته في معظم المصادر الحديثة. أما مادة بينغري فعنوانها 1115. وكتيب أقصر لحساب المواقع الفلكية، Karanakutuhala، مؤرخ بعام 1183 في مادة بينغري وفي Biographical Encyclopedia of Astronomers كليهما.

وأبوه ماهيشفارا، من نسب شانديليا، وقد ألّف عملا شائعا في التنجيم، كما يلاحظ بينغري. وتسمي الأبيات الختامية من سيدهانتا شيروماني مدينته فيججادافيدا. ويقرؤها بينغري على أنها بيجابور، في كارناتاكا اليوم، ويضيف التحفظ “إن صح هذا التعريف”. ويعطي MacTutor والموسوعة كلاهما فيجايابورا، وهي المدينة نفسها، مسقطا لرأسه. وفي أوجاين، التي كانت آنذاك مركز الرياضيات الأول في الهند، حيث عمل فاراهاميهيرا وبراهماغوبتا، صار رئيسا للمرصد الفلكي، بحسب MacTutor. ويتفق MacTutor والموسوعة أيضا على أوجاين و1185 لوفاته.

وظلت الأسرة على العمل نفسه. يسمي بينغري ابن بهاسكارا لاكشميدهارا، الذي عيّنه الملك جايتراپالا رئيسا للبانديتات، وحفيده تشانغاديفا، كبير المنجمين لدى الملك سينغهانا.

ليلافاتي: ثلاثة عشر فصلا من المسائل الشعرية

فصلا بعد فصل، يسرد MacTutor التعريفات والمصطلحات الحسابية والفائدة والمتواليات الحسابية والهندسية والهندسة المستوية والهندسة المجسمة وظل المزولة (gnomon، عصا قائمة يقرأ منها الوقت والاتجاه عبر ظلها) والمفتِّت kuttaka والتوافيق. والمفتِّت هو الطريقة لمعادلات يجب أن تكون أجوبتها أعدادا صحيحة، وقد عرضها فصل آريابهاتا في الرياضيات عام 499.

وتحمل الكتاب مسائل شعرية. في إحداها ملك يسير للاستيلاء على فيلة عدوه يقطع يوجانتين، وهي وحدة قديمة للمسافة، في اليوم الأول، وعليه أن يبلغ مدينة تبعد 80 يوجانا في أسبوع. ويبين بهاسكارا، كما يذكر MacTutor، أنه يجب أن يزيد 22/7 يوجانا على مسيرة كل يوم. وفي أخرى سرب نحل انقسم بحيث ذهب الجذر التربيعي لنصف السرب وثمانية أتساع الكل إلى شجيرة ياسمين، وبقي ذكر واحد وأنثى واحدة. وتعطي ترجمة كولبروك الجواب 72 نحلة.

وإحدى طريقتي الضرب في ليلافاتي تؤجل حمل الأرقام إلى الجمع الأخير. ويتبع MacTutor وصف جورج إفراه لها، مستعملا 325 × 243: يكتب بهاسكارا المضروب مرة لكل رقم من المضروب فيه، ويضرب رقما برقم دون حمل، ويجمع القطع ليصل إلى 78,975.

وللدائرة تعطي الترجمة قاعدتين. اضرب القطر في 3,927 واقسم على 1,250 للمحيط القريب، أو اضرب في 22 واقسم على 7 لقيمة أخشن تناسب الاستعمال اليومي. وبالحساب، النسبة الأولى 3.1416 إلى أربع منازل عشرية. ويلاحظ كولبروك أن بهاسكارا يضيفها “على ما يبدو من مرجع آخر”. ويختم الكتاب بالعد: كم عددا من طول معين تجمع أرقامه إلى مجموع معين، بحسب MacTutor.

بيجاغانيتا: الأعداد السالبة والجذران والصفر

تؤلف اثنا عشر فصلا بيجاغانيتا، بحسب MacTutor وبينغري. وهي تغطي الأعداد الموجبة والسالبة، والصفر، والمجهول، والجذور الصماء (جذور تربيعية لا تخرج صحيحة)، والمفتِّت، والمعادلات التربيعية، والمعادلات ذات المجاهيل المتعددة. وتوضع نقطة فوق الأعداد السالبة. وفي ترجمة كولبروك القاعدة أن مربع الكمية الموجبة أو السالبة موجب، وأن للكمية الموجبة جذرين، أحدهما موجب والآخر سالب، وأنه “ليس للكمية السالبة جذر تربيعي”.

ويقبل بهاسكارا أيضا معادلات لها جوابان صحيحان. ففي مسألة القرود عنده، قطيع يلعب في غابة مربعُ ثُمن عدده ويجلس اثنا عشر منه على تل، تعطي المعادلة التربيعية 16 أو 48، ويسمي كليهما مقبولا، كما يقول MacTutor. وبحكم MacTutor، فقد فهم أنظمة الأعداد وحل المعادلات على مستوى لم تبلغه أوروبا إلا بعد قرون عدة. ويضيف كولبروك نقطة أصغر: أول برهانين لنظرية فيثاغورس في بيجاغانيتا هو، كما يقول، البرهان الذي قدمه واليس في رسالته عن المقاطع الزاوية.

المعادلة التي طرحها فيرما على أوروبا عام 1657

معادلة بيل تطلب أعدادا صحيحة x وy بحيث px² + 1 = y² لعدد معلوم p. وأصغر الأجوبة قد يكون كبيرا جدا. عمل بهاسكارا عليها من أجل p يساوي 8 و11 و32 و61 و67. وفي 67 الزوج x = 5,967 وy = 48,842. وفي 61 هو x ذو المنازل التسع المذكور في الأعلى، والزوج يتحقق: 61 × 226,153,980² + 1 يساوي 1,766,319,049².

وينسب MacTutor إلى بهاسكارا chakravala، أي الطريقة الدورية، عام 1150. تبدأ من زوج يكاد يناسب وتحسنه خطوة خطوة حتى تبلغ حالة تكملها طريقة براهماغوبتا لعام 628. وحكم كولبروك عام 1817 أن الطريقة الهندية في اشتقاق أجوبة كثيرة من جواب واحد وُجد بالتجربة اقتربت من حل عام بقدر ما اقترب أي أحد حتى لاغرانج.

وسجل أوروبا يبدأ لاحقا. يقول MacTutor إن طرق براهماغوبتا وبهاسكارا الثاني ونارايانا، الذي كتب شرحا على بيجاغانيتا في القرن الرابع عشر، كانت مجهولة تماما لرياضيي أوروبا في القرن السابع عشر. وأصدر فيرما تحديه عام 1657، وكانت إحدى مسائله 61x² + 1 = y²، الحالة التي حلها بهاسكارا. وجد برونكر طريقة، ونشر واليس تبادل الرسائل عام 1658. وسمى أويلر المعادلة باسم بيل، ويُعتقد عموما أنه لأنه خلط بين بيل وبرونكر، كما يقول MacTutor. ونشر لاغرانج برهانا صارما عام 1771. ورأى كولبروك أيضا أن الحل العام للمعادلات من الدرجة الأولى بأعداد صحيحة، الذي قدمه في أوروبا باشيه دي ميزيرياك عام 1624، هو “تماما طريقة الجبريين الهندوس”.

كسوفات وكرات ومعدل تغير مبكر

يصف بينغري سيدهانتا شيروماني في جزأين. الجزء الأول، غانيتاديايا، فيه 12 فصلا عن المواقع الوسطى والحقيقية للكواكب والكسوفات وعروض الكواكب ومطالعها ومغاربها والهلال الجديد والاقترانات. والجزء الثاني، غولاديايا، فيه 13 فصلا عن الكرة، منها الكرة الحلقية (نموذج من حلقات متداخلة للدوائر السماوية) وحساب المثلثات الكروي والأدوات والفصول. وكتب بهاسكارا أيضا شرحه الخاص، Vasanabhasya. ويضيف MacTutor أنه يبدو أكثر اهتماما بحساب المثلثات لذاته من أسلافه، الذين رأوه أداة حساب فحسب، ويقتبس صيغته لجيب مجموع زاويتين.

ويلتصق بهذا الكتاب ادعاء بحساب التفاضل مبكرا، وله تاريخ مسمى. يورد ثبت المراجع عند بينغري ورقة لعام 1858 لبابوديفا ساستري بعنوان “Bhaskara’s Knowledge of the Differential Calculus”، تلتها عام 1860 ملاحظة لو. سبوتيسوود عن “الاكتشاف المزعوم” لذلك المبدأ على يد فلكي هندي. وتقول ورقة عام 2023 في Indian Journal of History of Science، لفينكيتيسوارا باي ر. وم. س. سريرام، في خلاصتها إن المشتقات استُخدمت لإيجاد معدلات حركة الكواكب في الفلك الهندي منذ Laghumanasa (نحو 932م). وفي Vasanabhasya، كما تقول، يشرح بهاسكارا لماذا تلزم معدلات الحركة اللحظية (tatkalikagati)، وهو ما يتضمن مشتقة دالة الجيب.

وهذه قاعدة معدل داخل الفلك، تُستخدم لإيجاد سرعة كوكب في لحظة معينة. ويذكر MacTutor أن مادهوكار مالايا يقرأ الصفر في قاعدة بهاسكارا (a × 0) / 0 = a على أنه متناهي الصغر حديث، أي كمية أصغر من أي عدد، ويضيف أن في هذا ربما رؤية لأفكار تتجاوز ما قصده بهاسكارا. ولا يذكر عرض MacTutor نفسه لنتائجه حساب التفاضل. والمتسلسلات اللانهائية جاءت لاحقا، وتُروى في مقال كيرالا المرتبط أعلاه.

الابنة واللؤلؤة وما يقوله النص

تروي قصة مرتبطة بـليلافاتي أن بهاسكارا وضع طالع ابنته ليلافاتي ووجد الساعة المناسبة لزفافها. ووضع كأسا بثقب صغير في وعاء ماء، مقدّرا أن تغرق في تلك الساعة. فانحنت فوقها، فسقطت لؤلؤة من ثوبها وسدت الثقب، ومضت الساعة. ولتعزيتها كتب لها كتابا في الرياضيات. ويرويها MacTutor عن كتاب ج. ج. جوزيف ويقول إن المترجم الفارسي فيضي رواها عام 1587.

هذا تقليد، ويتعامل معه العلماء بهذه الصفة. يقول MacTutor إنه “من الصعب أن نرى أي دليل على صحته”، وإنه ليس مؤكدا أن ليلافاتي كانت ابنته، وإن نظرية تجعلها زوجته. ويصف بينغري الكتاب بأنه موجه إلى سيدة، “(ابنته أم زوجته؟)”. وفي النص يخاطب بهاسكارا امرأة. وفي ترجمة كولبروك يسميها مثال “الجميلة العزيزة” ويجعل عينيها “كعيني غزال صغير”. وتقول حاشية هناك إن الاسم “على ما يبدو اسم أنثى يوجَّه إليها التعليم”، وتضيف أن بعض الشروح تفسره، وفق اشتقاقه، بمعنى “الساحرة”.

القسمة على الصفر وبراهين ناقصة وكتاب سابع مزيّف

أعطى بهاسكارا قاعدة للقسمة على الصفر. وكتب في بيجاغانيتا أن كمية مقسومة على صفر “تصير كسرا مقامه صفر”، وسماها كمية لانهائية. ويقول MacTutor إن هذا لا يصح، لأنه لو كان n/0 لانهائيا لساوى الصفر في ما لا نهاية كل عدد n، ويلاحظ أن الرياضيين الهنود لم يستطيعوا أن يجبروا أنفسهم على الإقرار بأن القسمة على الصفر مستحيلة. وقواعد براهماغوبتا السابقة للصفر مذكورة في المقال عن الصفر.

ويرى MacTutor أيضا أن بهاسكارا لم يكن لديه برهان للطريقة الدورية، لأن البرهان طويل وصعب وسيكون بعيدا جدا عن رياضيات القرن الثاني عشر. وستة أعمال مقبولة له. وسابع، Bijopanaya، يدعي أنه من 1151، ويستنتج بينغري من عمل كوبانا ساستري أنه زُوّر في جنوب الهند في أوائل عقد 1810.

مدرسة عام 1207 وثلاث نسخ فارسية وقمران صناعيان

عُثر على نقش باتنا قرب تشاليسغاون في ماهاراشترا، وهو مؤرخ بخسوف قمري في شاكا 1128، وتعادله Epigraphia Indica بـ9 أغسطس 1207. ويسجل أن تشانغاديفا أسس كلية لدراسة سيدهانتا شيروماني. ووقفها أخوان من النيكومبها هما سويديفا وهيمادديفا، من أتباع الملك اليادافي سينغهانا. ويضيف MacTutor أن نقش معبد من القرون الوسطى يمتدحه بأنه “كالعرف على الطاووس”.

ويسجل كولبروك أن ليلافاتي الفارسية لفيضي عام 1587 أُعدّت بأمر الإمبراطور أكبر، ويعرف بينغري نسختين فارسيتين أخريين، من نحو 1663 و1678. وأمر شاه جهان بترجمة بيجاغانيتا في 1634 و1635. وإلى الإنجليزية طُبعت نسخة ج. تايلور في بومباي عام 1816 وتلتها نسخة كولبروك في العام التالي.

وفي بيون أسس عالم الرياضيات شريرام أبهيانكار مؤسسة بهاسكاراتشاريا براتيشثانا عام 1976. وهي مركز معتمد للأولمبياد الإقليمي للرياضيات منذ 1992، ويقول المعهد إن الطلاب الذين دربهم فازوا بأكثر من 50 ميدالية في الأولمبياد الدولي للرياضيات.

وأول قمر صناعي هندي، المسمى باسم فلكي أقدم، له مقاله الخاص. وتعطي صفحة ISRO عن بهاسكارا-I، الذي حمل كاميرات تلفزيونية ومقياس إشعاع ميكروي، تاريخ إطلاقه 7 يونيو 1979. وتورد Gunter’s Space Page قمرا ثانيا أُطلق في 20 نوفمبر 1981 وتقول إن القمرين سُميا باسمي بهاسكاراتشاريا.