Bhaskara II terminó el Siddhanta Shiromani en 1150, y su álgebra resolvió la ecuación que Fermat planteó como desafío a Europa en 1657

Bhaskara II terminó el Siddhanta Shiromani en 1150 d. C., y según su propia cuenta tenía 36 años. Su sección de álgebra, el Bijaganita, trabaja la ecuación 61x² + 1 = y² y da la menor respuesta en números enteros: x = 226.153.980 e y = 1.766.319.049. Pierre de Fermat planteó la misma ecuación a los matemáticos de Europa y de Inglaterra como desafío en 1657, según MacTutor, el archivo de historia de las matemáticas de la Universidad de St Andrews.

La misma obra contiene el Lilavati, un texto de aritmética y geometría de 13 capítulos escrito como problemas en verso, y una astronomía en dos partes que abarca eclipses, posiciones planetarias e instrumentos. David Pingree, en el Dictionary of Scientific Biography, enumera 35 comentarios al Lilavati, el primero de ellos el de Narayana, de 1356. Los matemáticos de Kerala que hallaron series infinitas para el seno y para pi hacia 1400 son el tema de otro artículo. Este sigue a Bhaskara.

Lo que dice de sí mismo

Henry Thomas Colebrooke, que tradujo el Lilavati y el Bijaganita al inglés en 1817, escribió que la fecha de la obra de Bhaskara estaba «establecida con una precisión poco común». Bhaskara dice en el libro que lo terminó en el año shaka 1072, con 36 años, y que nació en el shaka 1036, informa Colebrooke. Eso da 1150 para el libro y, en la mayoría de las fuentes modernas, 1114 para su nacimiento. La entrada de Pingree lleva 1115. Un manual más corto para calcular posiciones astronómicas, el Karanakutuhala, se fecha en 1183 tanto en la entrada de Pingree como en la Biographical Encyclopedia of Astronomers.

Su padre era Maheshvara, del linaje Shandilya, que escribió una obra popular de astrología, señala Pingree. Los versos finales del Siddhanta Shiromani nombran su ciudad como Vijjadavida. Pingree la lee como Bijapur, hoy en Karnataka, y añade la salvedad «si esta identificación es correcta». Tanto MacTutor como la enciclopedia dan Vijayapura, la misma ciudad, como su lugar de nacimiento. En Ujjain, entonces el principal centro matemático de la India, donde habían trabajado Varahamihira y Brahmagupta, MacTutor dice que llegó a dirigir el observatorio astronómico. MacTutor y la enciclopedia coinciden además en Ujjain y 1185 para su muerte.

La familia siguió dedicada al mismo trabajo. Pingree nombra al hijo de Bhaskara, Lakshmidhara, designado jefe de los pandits por el rey Jaitrapala, y a su nieto Changadeva, astrólogo principal del rey Singhana.

El Lilavati: trece capítulos de problemas en verso

Capítulo por capítulo, MacTutor enumera definiciones, términos aritméticos, interés, progresiones aritméticas y geométricas, geometría plana, geometría sólida, la sombra del gnomon (una vara vertical con la que se leen la hora y la dirección por su sombra), el kuttaka y las combinaciones. Conocido como el pulverizador, el kuttaka es el método para ecuaciones cuyas respuestas deben ser números enteros, que el capítulo de matemáticas de Aryabhata había expuesto en 499.

Los problemas en verso llevan el libro. En uno, un rey que marcha a apoderarse de los elefantes de un enemigo recorre dos yojanas, una antigua medida de distancia, el primer día y debe llegar en una semana a una ciudad situada a 80 yojanas. Bhaskara muestra, informa MacTutor, que debe añadir 22/7 de yojana a la marcha de cada día. En otro, un enjambre de abejas se ha dividido de modo que la raíz cuadrada de la mitad del enjambre y ocho novenos del total han ido a un arbusto de jazmín, mientras quedan un macho y una hembra. La traducción de Colebrooke da como respuesta 72 abejas.

Uno de los dos métodos de multiplicación del Lilavati aplaza las llevadas hasta la suma final. MacTutor sigue el relato de Georges Ifrah, con 325 × 243: Bhaskara escribe el multiplicando una vez por cada cifra del multiplicador, multiplica cifra por cifra sin llevar y suma las partes hasta llegar a 78.975.

Para el círculo, la traducción da dos reglas. Se multiplica el diámetro por 3.927 y se divide por 1.250 para la circunferencia próxima, o se multiplica por 22 y se divide por 7 para una cifra más tosca que sirve para el uso cotidiano. Calculada, la primera razón es 3,1416 con cuatro decimales. Colebrooke señala que Bhaskara la añade «al parecer de alguna otra autoridad». El libro se cierra con el conteo: cuántos números de una longitud dada tienen cifras que suman una cantidad dada, dice MacTutor.

El Bijaganita: números negativos, dos raíces y el cero

El Bijaganita consta de doce capítulos, según MacTutor y Pingree. Abarcan los números positivos y negativos, el cero, la incógnita, los irracionales (raíces cuadradas que no salen exactas), el kuttaka, las ecuaciones cuadráticas y las ecuaciones con varias incógnitas. Los números negativos llevan un punto encima. En la traducción de Colebrooke la regla es que el cuadrado de una cantidad positiva o negativa es positivo, que una cantidad positiva tiene dos raíces, una positiva y una negativa, y que «Una cantidad negativa no tiene raíz cuadrada».

Bhaskara acepta también ecuaciones con dos respuestas válidas. En su problema de los monos, una manada en que el cuadrado de un octavo de los animales juega en un bosque y doce están sentados en una colina, la cuadrática da 16 o 48, y él llama admisibles a ambas, dice MacTutor. En el juicio de MacTutor, comprendía los sistemas numéricos y la resolución de ecuaciones a un nivel que Europa no alcanzó hasta varios siglos después. Colebrooke añade un punto menor: la primera de las dos demostraciones del teorema de Pitágoras en el Bijaganita es, dice, la que Wallis dio en su tratado sobre secciones angulares.

La ecuación que Fermat planteó a Europa en 1657

La ecuación de Pell pide números enteros x e y con px² + 1 = y² para un p dado. Las menores respuestas pueden ser muy grandes. Bhaskara la trabajó para p = 8, 11, 32, 61 y 67. Para 67 el par es x = 5.967 e y = 48.842. Para 61 es la x de nueve cifras citada al comienzo, y el par se comprueba: 61 × 226.153.980² + 1 es igual a 1.766.319.049².

MacTutor atribuye a Bhaskara el chakravala, o método cíclico, en 1150. Parte de un par que casi encaja y lo mejora paso a paso hasta llegar a un caso que el método de Brahmagupta de 628 termina. Colebrooke juzgó en 1817 que el modo hindú de derivar muchas respuestas a partir de una hallada por tanteo se acercaba a una solución general tanto como nadie lo hizo hasta Lagrange.

El registro de Europa empieza más tarde. MacTutor dice que los métodos de Brahmagupta, Bhaskara II y Narayana, que escribió un comentario al Bijaganita en el siglo XIV, eran completamente desconocidos para los matemáticos europeos del siglo XVII. Fermat lanzó su desafío en 1657, y uno de sus problemas era 61x² + 1 = y², el caso que Bhaskara había resuelto. Brouncker encontró un método, y Wallis publicó el intercambio de cartas en 1658. Euler dio a la ecuación el nombre de Pell, por lo que generalmente se cree que confundió a Pell con Brouncker, dice MacTutor. Lagrange publicó una demostración rigurosa en 1771. Colebrooke vio también que la solución general de las ecuaciones de primer grado en números enteros, dada por primera vez en Europa por Bachet de Meziriac en 1624, es «precisamente el método de los algebristas hindúes».

Eclipses, esferas y una temprana tasa de cambio

Pingree describe el Siddhanta Shiromani en dos partes. La primera, el Ganitadhyaya, tiene 12 capítulos sobre las posiciones medias y verdaderas de los planetas, los eclipses, las latitudes planetarias, las salidas y las puestas, la luna nueva creciente y las conjunciones. La segunda, el Goladhyaya, tiene 13 capítulos sobre la esfera, entre ellos una esfera armilar (un modelo de anillos encajados para los círculos celestes), trigonometría esférica, instrumentos y las estaciones. Bhaskara escribió también su propio comentario, el Vasanabhasya. MacTutor añade que parece más interesado en la trigonometría por sí misma que sus predecesores, que la veían solo como una herramienta de cálculo, y cita su fórmula para el seno de la suma de dos ángulos.

Una afirmación de cálculo temprano se asocia a este libro, y tiene una historia con nombres. La bibliografía de Pingree enumera un artículo de 1858 de Bapudeva Sastri titulado «Bhaskara’s Knowledge of the Differential Calculus», seguido en 1860 por una nota de W. Spottiswoode sobre el «supuesto descubrimiento» de ese principio por un astrónomo indio. Un artículo de 2023 en el Indian Journal of History of Science, de Venketeswara Pai R. y M. S. Sriram, afirma en su resumen que en la astronomía india se usaron derivadas para hallar las tasas de movimiento de los planetas desde el Laghumanasa (hacia 932 d. C.) en adelante. En el Vasanabhasya, dice, Bhaskara explica por qué se necesitan las tasas instantáneas de movimiento (tatkalikagati), lo que implica la derivada de la función seno.

Es una regla de tasa dentro de la astronomía, usada para hallar la velocidad de un planeta en un instante dado. MacTutor informa de que Madhukar Mallayya lee el cero de la regla de Bhaskara (a × 0) / 0 = a como un infinitesimal moderno, una cantidad menor que cualquier número, y añade que eso puede ser ver ideas más allá de lo que Bhaskara pretendía. Nada en el propio relato de MacTutor sobre sus resultados menciona el cálculo. Las series infinitas vinieron después, y se cuentan en el artículo sobre Kerala enlazado arriba.

La hija, la perla y lo que dice el texto

Una historia unida al Lilavati cuenta que Bhaskara levantó el horóscopo de su hija Lilavati y halló la hora adecuada para su boda. Puso una copa con un pequeño agujero en un recipiente de agua, calculada para hundirse a esa hora. Ella se inclinó sobre ella, una perla de su vestido cayó dentro y tapó el agujero, y la hora pasó. Para consolarla, él le escribió un libro de matemáticas. MacTutor la cuenta a partir del libro de G. G. Joseph y dice que el traductor persa Faizi la contó en 1587.

Esto es una tradición, y los especialistas la tratan así. MacTutor dice que «es difícil ver que haya evidencia alguna de que sea verdad», que no es seguro que Lilavati fuera su hija y que una teoría la hace su esposa. Pingree describe el libro como dirigido a una dama, «(¿su hija o su esposa?)». Dentro del texto, Bhaskara habla a una mujer. En la traducción de Colebrooke, un ejemplo la llama «Hermosa y querida» y le da ojos «como los de una cervatilla». Una nota al pie dice que el nombre es «Al parecer el nombre de una mujer a quien se dirige la enseñanza», y añade que algunos comentarios lo toman, de acuerdo con su etimología, como «Encantadora».

División por cero, demostraciones ausentes y un séptimo libro falsificado

Bhaskara dio una regla para dividir por cero. En el Bijaganita escribió que una cantidad dividida por cero «se convierte en una fracción cuyo denominador es cero», y la llamó una cantidad infinita. MacTutor dice que esto no se sostiene, porque si n/0 fuera infinito entonces cero por infinito sería igual a todo número n, y señala que los matemáticos indios no pudieron resignarse a admitir que la división por cero es imposible. Las reglas anteriores de Brahmagupta para el cero se tratan en el artículo sobre el cero.

MacTutor sostiene también que Bhaskara no tenía una demostración del método cíclico, ya que la demostración es larga y difícil y quedaría muy por encima de las matemáticas del siglo XII. Seis obras se aceptan como suyas. Una séptima, el Bijopanaya, dice ser de 1151, y Pingree concluye, a partir del trabajo de Kuppanna Sastri, que fue falsificada en el sur de la India a comienzos de la década de 1810.

Una escuela en 1207, tres versiones persas y dos satélites

Hallada cerca de Chalisgaon, en Maharashtra, la inscripción de Patna se fecha en un eclipse lunar del shaka 1128, que la Epigraphia Indica equipara al 9 de agosto de 1207. Registra que Changadeva fundó un colegio para el estudio del Siddhanta Shiromani. Dos hermanos Nikumbha, Soideva y Hemadideva, feudatarios del rey yadava Singhana, lo dotaron. MacTutor añade que una inscripción de un templo medieval lo elogia con las palabras «como la cresta de un pavo real».

El Lilavati persa de Faizi, de 1587, se hizo por orden del emperador Akbar, registra Colebrooke, y Pingree conoce otras dos versiones persas, de hacia 1663 y 1678. Shah Jahan hizo traducir el Bijaganita en 1634 y 1635. Al inglés, la versión de J. Taylor se imprimió en Bombay en 1816 y la de Colebrooke siguió al año siguiente.

En Pune, la Bhaskaracharya Pratishthana fue fundada en 1976 por el matemático Shreeram Abhyankar. Es un centro reconocido de la Olimpiada Matemática Regional desde 1992, y el instituto dice que estudiantes formados allí han ganado más de 50 medallas en la Olimpiada Matemática Internacional.

El primer satélite de la India, que lleva el nombre de un astrónomo anterior, tiene su propio artículo. La página de ISRO sobre Bhaskara-I, que llevaba cámaras de televisión y un radiómetro de microondas, da su fecha de lanzamiento como el 7 de junio de 1979. Gunter’s Space Page enumera un segundo satélite lanzado el 20 de noviembre de 1981 y dice que el par lleva el nombre de los dos Bhaskaracharyas.