दुसऱ्या भास्कराने ११५० मध्ये सिद्धांत शिरोमणी पूर्ण केला, आणि त्याच्या बीजगणिताने १६५७ मध्ये फर्माने युरोपपुढे आव्हान म्हणून ठेवलेले समीकरण सोडवले

दुसऱ्या भास्कराने सिद्धांत शिरोमणी इसवी सन ११५० मध्ये पूर्ण केला, आणि स्वतःच्या गणनेनुसार तो ३६ वर्षांचा होता. त्यातील बीजगणिताचा विभाग, बीजगणित, 61x² + 1 = y² हे समीकरण सोडवतो आणि पूर्णांकांतील सर्वात लहान उत्तर देतो: x = 226,153,980 आणि y = 1,766,319,049. सेंट अँड्र्यूज विद्यापीठातील गणिताच्या इतिहासाचे संग्रह मॅकट्यूटरनुसार, पियरे द फर्मा यांनी १६५७ मध्ये हेच समीकरण युरोप आणि इंग्लंडमधील गणितज्ञांपुढे आव्हान म्हणून ठेवले.

त्याच ग्रंथात लीलावती आहे, श्लोकांतील प्रश्नांच्या रूपातील अंकगणित आणि भूमितीचा १३ अध्यायांचा मजकूर, आणि ग्रहणे, ग्रहस्थाने आणि उपकरणे व्यापणारे दोन भागांचे खगोलशास्त्र. डेव्हिड पिंग्री, डिक्शनरी ऑफ सायंटिफिक बायोग्राफीमध्ये, लीलावतीवरील ३५ भाष्यांची यादी देतात, त्यातले पहिले नारायणाचे १३५६ चे. सुमारे १४०० मध्ये साइन आणि π साठी अनंत श्रेणी शोधणाऱ्या केरळच्या गणितज्ञांचा विषय वेगळ्या लेखाचा आहे. हा लेख भास्कराचे अनुसरण करतो.

तो स्वतःबद्दल काय सांगतो

हेन्री थॉमस कोलब्रुक, ज्यांनी १८१७ मध्ये लीलावती आणि बीजगणित इंग्रजीत भाषांतरित केले, यांनी लिहिले की भास्कराच्या कामाची तारीख “विलक्षण नेमकेपणाने निश्चित” केली आहे. भास्कर पुस्तकात म्हणतो की त्याने ते शक वर्ष १०७२ मध्ये, वयाच्या ३६ व्या वर्षी, पूर्ण केले, आणि त्याचा जन्म शक १०३६ मध्ये झाला, असे कोलब्रुक कळवतात. त्यावरून पुस्तकासाठी ११५० आणि, बहुतेक आधुनिक स्रोतांत, त्याच्या जन्मासाठी १११४ येते. पिंग्री यांच्या नोंदीचे शीर्षक १११५ आहे. खगोलीय स्थाने काढण्याची एक लहान पुस्तिका, करणकुतूहल, पिंग्री यांच्या नोंदीत आणि बायोग्राफिकल एन्सायक्लोपीडिया ऑफ अॅस्ट्रोनॉमर्स दोन्हींमध्ये ११८३ ची आहे.

त्याचे वडील महेश्वर, शांडिल्य गोत्राचे, होते, ज्यांनी ज्योतिषावर लोकप्रिय ग्रंथ लिहिला, असे पिंग्री नमूद करतात. सिद्धांत शिरोमणीचे शेवटचे श्लोक त्याच्या नगराचे नाव विज्जडविड देतात. पिंग्री त्याचा अर्थ विजापूर, आता कर्नाटकात, असा लावतात, आणि “ही ओळख बरोबर असेल तर” ही सावधगिरी जोडतात. मॅकट्यूटर आणि ज्ञानकोश दोन्ही विजयपुरा, तेच नगर, त्याचे जन्मस्थान म्हणून देतात. उज्जैन येथे, तेव्हा भारतातील आघाडीचे गणितीय केंद्र, जिथे वराहमिहिर आणि ब्रह्मगुप्त यांनी काम केले होते, तो खगोलशास्त्रीय वेधशाळेचा प्रमुख झाला, असे मॅकट्यूटर सांगते. मृत्यूसाठीही मॅकट्यूटर आणि ज्ञानकोश उज्जैन आणि ११८५ वर सहमत आहेत.

कुटुंबाने तेच काम चालू ठेवले. पिंग्री भास्कराचा पुत्र लक्ष्मीधर, ज्याला राजा जैत्रपालाने पंडितांचा प्रमुख नेमले, आणि नातू चांगदेव, राजा सिंघणाचा मुख्य ज्योतिषी, यांची नावे सांगतात.

लीलावती: श्लोकांतील प्रश्नांचे तेरा अध्याय

मॅकट्यूटर अध्यायागणिक यादी देते: व्याख्या, अंकगणितीय संज्ञा, व्याज, अंकगणितीय आणि भौमितीय श्रेणी, समतल भूमिती, घन भूमिती, शंकूची सावली (सावलीवरून वेळ आणि दिशा वाचण्यासाठी वापरली जाणारी उभी काठी), कुट्टक, आणि संयोग. चूर्ण करणारा म्हणून ओळखला जाणारा कुट्टक ही अशा समीकरणांची पद्धत आहे ज्यांची उत्तरे पूर्णांक असली पाहिजेत, जी आर्यभटाच्या गणित अध्यायाने ४९९ मध्ये मांडली होती.

श्लोकबद्ध प्रश्न पुस्तक वाहून नेतात. एकात, शत्रूचे हत्ती पकडायला निघालेला राजा पहिल्या दिवशी दोन योजने, अंतराचे जुने माप, चालतो आणि आठवड्यात ८० योजने दूरच्या नगरात पोहोचला पाहिजे. भास्कर दाखवतो, असे मॅकट्यूटर सांगते, की त्याने प्रत्येक दिवसाच्या वाटचालीत 22/7 योजने जोडली पाहिजेत. दुसऱ्यात, मधमाश्यांचा एक थवा असा विभागला आहे की थव्याच्या अर्ध्याचे वर्गमूळ आणि संपूर्ण थव्याचा आठ-नवांश चमेलीच्या झुडपाकडे गेला आहे, तर एक नर आणि एक मादी उरले आहेत. कोलब्रुक यांचे भाषांतर उत्तर ७२ मधमाश्या देते.

लीलावतीमधील गुणाकाराच्या दोन पद्धतींपैकी एक शेवटच्या बेरजेपर्यंत हातचे धरणे पुढे ढकलते. मॅकट्यूटर याबद्दल जॉर्ज इफ्रा यांच्या वृत्तांताचे अनुसरण करते, 325 × 243 वापरून: भास्कर गुण्य एकदा गुणकाच्या प्रत्येक अंकासाठी लिहितो, अंकाअंकाने हातचे न घेता गुणतो, आणि तुकडे जोडून 78,975 पर्यंत पोहोचतो.

वर्तुळासाठी भाषांतर दोन नियम देते. जवळच्या परिघासाठी व्यासाला 3,927 ने गुणून 1,250 ने भागा, किंवा रोजच्या वापराला योग्य अशा अधिक ढोबळ आकड्यासाठी 22 ने गुणून 7 ने भागा. प्रत्यक्ष मोजले तर पहिले गुणोत्तर चार दशांश स्थानांपर्यंत 3.1416 येते. कोलब्रुक नमूद करतात की भास्कर ते “वरवर पाहता दुसऱ्या एखाद्या अधिकारी स्रोतातून” जोडतो. मोजणी पुस्तक संपवते: दिलेल्या लांबीच्या किती संख्यांच्या अंकांची बेरीज दिलेली संख्या येते, असे मॅकट्यूटर सांगते.

बीजगणित: ऋण संख्या, दोन मुळे आणि शून्य

मॅकट्यूटर आणि पिंग्री यांच्यानुसार बीजगणित बारा अध्यायांचे आहे. ते धन आणि ऋण संख्या, शून्य, अज्ञात, करणी (ज्यांचे वर्गमूळ पूर्ण येत नाही अशी वर्गमुळे), कुट्टक, वर्गसमीकरणे आणि अनेक अज्ञातांची समीकरणे व्यापतात. ऋण संख्यांवर एक बिंदू दिला जातो. कोलब्रुक यांच्या भाषांतरात नियम असा आहे की धन किंवा ऋण राशीचा वर्ग धन असतो, धन राशीला दोन मुळे असतात, एक धन आणि एक ऋण, आणि “ऋण राशीचे वर्गमूळ नसते”.

भास्कर दोन वैध उत्तरे असलेली समीकरणेही मान्य करतो. वानरांच्या त्याच्या प्रश्नात, जिथे टोळीतील प्राण्यांच्या एक-अष्टमांशाचा वर्ग जंगलात खेळतो आणि बारा टेकडीवर बसले आहेत, तेथे वर्गसमीकरण 16 किंवा 48 देते, आणि तो दोन्ही स्वीकारार्ह म्हणतो, असे मॅकट्यूटर सांगते. मॅकट्यूटरच्या मते, त्याला संख्या पद्धती आणि समीकरणे सोडवणे यांचे आकलन होते जे युरोपला अनेक शतके गाठता आले नाही. कोलब्रुक एक लहान मुद्दा जोडतात: बीजगणितमधील पायथागोरस प्रमेयाच्या दोन सिद्धतांपैकी पहिली ती आहे जी वॉलिसने कोनीय छेदांवरील आपल्या ग्रंथात दिली, असे ते म्हणतात.

फर्माने १६५७ मध्ये युरोपपुढे ठेवलेले समीकरण

पेलचे समीकरण दिलेल्या p साठी px² + 1 = y² असे पूर्णांक x आणि y मागते. सर्वात लहान उत्तरे खूप मोठी असू शकतात. भास्कराने ते p = 8, 11, 32, 61 आणि 67 साठी सोडवले. 67 साठी जोडी x = 5,967 आणि y = 48,842 आहे. 61 साठी ते वर दिलेले नऊ अंकी x आहे, आणि जोडी बरोबर ठरते: 61 × 226,153,980² + 1 हे 1,766,319,049² इतके आहे.

मॅकट्यूटर भास्कराला ११५० मध्ये चक्रवाल, म्हणजे चक्रीय पद्धतीचे श्रेय देते. ती जवळजवळ बसणाऱ्या जोडीपासून सुरू होते आणि टप्प्याटप्प्याने ती सुधारते, जोपर्यंत ती अशा प्रसंगापर्यंत पोहोचत नाही जो ६२८ ची ब्रह्मगुप्ताची पद्धत पूर्ण करते. कोलब्रुक यांनी १८१७ मध्ये मत दिले की प्रयत्नाने सापडलेल्या एकातून अनेक उत्तरे काढण्याची हिंदू पद्धत लॅग्रांजपर्यंत कोणीही गाठले त्याइतक्या सर्वसाधारण उत्तराच्या जवळ गेली.

युरोपची नोंद नंतर सुरू होते. मॅकट्यूटर म्हणते की ब्रह्मगुप्त, दुसरा भास्कर आणि नारायण, ज्याने १४ व्या शतकात बीजगणितवर भाष्य लिहिले, यांच्या पद्धती १७ व्या शतकातील युरोपीय गणितज्ञांना पूर्णपणे अज्ञात होत्या. फर्माने आपले आव्हान १६५७ मध्ये दिले, आणि त्यातील एक प्रश्न 61x² + 1 = y² होता, जो भास्कराने सोडवला होता. ब्राऊन्कर यांना एक पद्धत सापडली, आणि वॉलिसने १६५८ मध्ये पत्रांची देवाणघेवाण प्रकाशित केली. यूलरने समीकरणाला पेलचे नाव दिले, सामान्यतः असे मानले जाते की त्याने पेल आणि ब्राऊन्कर यांची गल्लत केली म्हणून, असे मॅकट्यूटर सांगते. लॅग्रांजने १७७१ मध्ये काटेकोर सिद्धता प्रकाशित केली. कोलब्रुक यांनीही पाहिले की प्रथम घाताच्या पूर्णांक समीकरणांचे सर्वसाधारण उत्तर, जे युरोपात प्रथम १६२४ मध्ये बाशे द मेझिरियाक यांनी दिले, “अगदी हिंदू बीजगणितज्ञांचीच पद्धत” आहे.

ग्रहणे, गोल आणि बदलाचा आरंभीचा दर

पिंग्री सिद्धांत शिरोमणीचे वर्णन दोन भागांत करतात. पहिला भाग, गणिताध्याय, यात ग्रहांची मध्यम आणि स्पष्ट स्थाने, ग्रहणे, ग्रहांचे अक्षांश, उदय आणि अस्त, नवचंद्र कोर आणि युती यांवर १२ अध्याय आहेत. दुसरा भाग, गोलाध्याय, यात गोलावर १३ अध्याय आहेत, ज्यात आर्मिलरी गोल (खगोलीय वर्तुळे दाखवणाऱ्या एकात एक बसवलेल्या कड्यांचे प्रारूप), गोलीय त्रिकोणमिती, उपकरणे आणि ऋतू आहेत. भास्कराने स्वतःचे भाष्य, वासनाभाष्य, देखील लिहिले. मॅकट्यूटर जोडते की त्याला त्रिकोणमितीत त्याच्या पूर्वसुरींपेक्षा, ज्यांनी तिला फक्त गणनेचे साधन म्हणून पाहिले, तिच्यासाठीच अधिक रस असल्याचे दिसते, आणि दोन कोनांच्या बेरजेच्या साइनसाठीचे त्याचे सूत्र उद्धृत करते.

या ग्रंथाला जोडलेला आरंभीच्या कलनशास्त्राचा दावा आहे, आणि त्याचा नाव घेण्याजोगा इतिहास आहे. पिंग्री यांच्या ग्रंथसूचीत बापूदेव शास्त्री यांचा १८५८ चा “Bhaskara’s Knowledge of the Differential Calculus” नावाचा शोधनिबंध आहे, आणि त्यानंतर १८६० मध्ये डब्ल्यू. स्पॉटिसवुड यांची एका भारतीय खगोलशास्त्रज्ञाने त्या तत्त्वाच्या “कथित शोधा”वरील टिपणी. इंडियन जर्नल ऑफ हिस्ट्री ऑफ सायन्समधील २०२३ चा शोधनिबंध, वेंकटेश्वर पै आर. आणि एम. एस. श्रीराम यांचा, त्याच्या सारांशात सांगतो की लघुमानस (सुमारे इसवी सन ९३२) पासून पुढे भारतीय खगोलशास्त्रात ग्रहांच्या गतीचे दर शोधण्यासाठी अवकलजांचा वापर केला जाई. वासनाभाष्यात, असे तो शोधनिबंध म्हणतो, भास्कर क्षणिक गतीचे दर (तत्कालिकगति) का आवश्यक आहेत ते स्पष्ट करतो, ज्यात साइन फलनाचा अवकलज येतो.

तो खगोलशास्त्रातील दराचा नियम आहे, ज्याचा वापर ग्रहाचा दिलेल्या क्षणी वेग शोधण्यासाठी होतो. मॅकट्यूटर कळवते की मधुकर मल्लय्या भास्कराच्या (a × 0) / 0 = a या नियमातील शून्याला आधुनिक अपरिमित, कोणत्याही संख्येपेक्षा लहान राशी, असे वाचतात, आणि जोडते की हे भास्कराला अभिप्रेत असलेल्यापलीकडच्या कल्पना पाहणे असू शकते. मॅकट्यूटरच्या त्याच्या निकालांच्या स्वतःच्या वृत्तांतात कलनशास्त्राचा उल्लेख नाही. अनंत श्रेणी नंतर आल्या, आणि त्या वर लिंक केलेल्या केरळ लेखात सांगितल्या आहेत.

मुलगी, मोती आणि मजकूर काय सांगतो

लीलावतीशी जोडलेली एक कथा सांगते की भास्कराने आपली मुलगी लीलावती हिची कुंडली मांडली आणि तिच्या लग्नाची योग्य वेळ शोधली. त्याने पाण्याच्या भांड्यात छोटे छिद्र असलेला एक पेला ठेवला, जो त्या वेळी बुडेल अशा प्रकारे मोजला होता. ती त्यावर वाकली, तिच्या पोशाखातील एक मोती आत पडला आणि छिद्र बंद झाले, आणि वेळ निघून गेली. तिचे सांत्वन करण्यासाठी त्याने तिच्यासाठी गणिताचे एक पुस्तक लिहिले. मॅकट्यूटर ती जी. जी. जोसेफ यांच्या पुस्तकातून पुन्हा सांगते आणि म्हणते की फारसी भाषांतरकार फैजी याने ती १५८७ मध्ये सांगितली.

ही परंपरा आहे, आणि विद्वान तिला तसेच वागवतात. मॅकट्यूटर म्हणते की ती खरी असल्याचा काही पुरावा आहे हे “पाहणे कठीण” आहे, लीलावती त्याची मुलगी होती हे निश्चित नाही, आणि एक सिद्धांत तिला त्याची पत्नी मानतो. पिंग्री पुस्तकाचे वर्णन एका स्त्रीला उद्देशून असे करतात, “(त्याची मुलगी की पत्नी?)”. मजकुरात भास्कर एका स्त्रीशी बोलतो. कोलब्रुक यांच्या भाषांतरात एक उदाहरण तिला “सुंदर आणि प्रिय” म्हणते आणि तिचे डोळे “हरिणीसारखे” म्हणते. तेथील एक तळटीप म्हणते की नाव “वरवर पाहता ज्या स्त्रीला शिकवण दिली जात आहे तिचे नाव” आहे, आणि जोडते की काही भाष्ये ते, व्युत्पत्तीनुसार, “मोहक” असा अर्थ घेतात.

शून्याने भागाकार, हरवलेल्या सिद्धता आणि बनावट सातवे पुस्तक

भास्कराने शून्याने भागण्याचा नियम दिला. बीजगणितमध्ये त्याने लिहिले की शून्याने भागलेली राशी “ज्याचा छेद शून्य आहे असा अपूर्णांक होते”, आणि तिला अनंत राशी म्हटले. मॅकट्यूटर म्हणते की हे टिकत नाही, कारण n/0 अनंत असेल तर शून्य गुणिले अनंत हे प्रत्येक संख्या n च्या बरोबर होईल, आणि नोंदवते की भारतीय गणितज्ञांना शून्याने भागाकार अशक्य आहे हे मान्य करणे जमले नाही. ब्रह्मगुप्ताचे शून्यावरील आधीचे नियम शून्यावरील लेखात आहेत.

मॅकट्यूटर असाही युक्तिवाद करते की भास्कराकडे चक्रीय पद्धतीची सिद्धता नव्हती, कारण सिद्धता लांब आणि अवघड आहे आणि बाराव्या शतकातील गणिताच्या पलीकडची असेल. सहा ग्रंथ त्याचे म्हणून मान्य आहेत. सातवा, बीजोपनय, ११५१ चा असल्याचा दावा करतो, आणि पिंग्री कुप्पन्ना शास्त्री यांच्या कामावरून निष्कर्ष काढतात की तो १८१० च्या दशकाच्या आरंभी दक्षिण भारतात बनावट रचला गेला.

१२०७ ची शाळा, तीन फारसी आवृत्त्या आणि दोन उपग्रह

चाळीसगावजवळ, महाराष्ट्रात, सापडलेला पाटणा (खानदेश) शिलालेख शक ११२८ मधील चंद्रग्रहणाशी दिनांकित आहे, ज्याला एपिग्राफिया इंडिका ९ ऑगस्ट १२०७ बरोबर जोडते. तो नोंदवतो की चांगदेवाने सिद्धांत शिरोमणीच्या अभ्यासासाठी एक महाविद्यालय स्थापन केले. यादव राजा सिंघणाचे सामंत सोइदेव आणि हेमाडिदेव या दोन निकुंभ भावांनी त्याला देणगी दिली. मॅकट्यूटर जोडते की एका मध्ययुगीन मंदिर शिलालेखात त्याची “मोराच्या शिखेसारखा” अशी स्तुती केली आहे.

फैजीची फारसी लीलावती १५८७ ची सम्राट अकबराच्या आदेशाने केली गेली, असे कोलब्रुक नोंदवतात, आणि पिंग्री यांना सुमारे १६६३ आणि १६७८ च्या आणखी दोन फारसी आवृत्त्या माहीत आहेत. शाहजहानने १६३४ आणि १६३५ मध्ये बीजगणितचे भाषांतर करवून घेतले. इंग्रजीत, जे. टेलर यांची आवृत्ती १८१६ मध्ये मुंबईत छापली गेली आणि कोलब्रुक यांची पुढच्या वर्षी.

पुण्यात भास्कराचार्य प्रतिष्ठान १९७६ मध्ये गणितज्ञ श्रीराम अभ्यंकर यांनी स्थापन केले. १९९२ पासून ते प्रादेशिक गणित ऑलिंपियाडचे मान्यताप्राप्त केंद्र आहे, आणि संस्था म्हणते की तिने प्रशिक्षण दिलेल्या विद्यार्थ्यांनी आंतरराष्ट्रीय गणित ऑलिंपियाडमध्ये ५० हून अधिक पदके जिंकली आहेत.

भारताच्या पहिल्या उपग्रहावर, जो एका आधीच्या खगोलशास्त्रज्ञाच्या नावावर आहे, स्वतंत्र लेख आहे. इस्रोचे भास्कर-I चे पान, ज्याने दूरचित्रवाणी कॅमेरे आणि एक मायक्रोवेव्ह रेडिओमीटर वाहून नेले, त्याची प्रक्षेपण तारीख ७ जून १९७९ देते. गुंटर्स स्पेस पेज २० नोव्हेंबर १९८१ रोजी प्रक्षेपित दुसरा उपग्रह नोंदवते आणि म्हणते की ही जोडी दोन भास्कराचार्यांच्या नावावर आहे.