في عام 628م كتب براهماغوبتا قواعد للصفر والأعداد السالبة وحلا للمعادلة التربيعية وصيغة لمساحة الأشكال الرباعية

كتاب براهماغوبتا براهماسفوتاسيدهانتا، الذي اكتمل عام 628م، يعرض كيف يسلك الصفر والأعداد السالبة عند جمعها وطرحها وضربها. وتسميه مكتبات بودليان في أكسفورد أول وثيقة تناقش الصفر بوصفه عددا، ويقول مرجع من سبرينغر عن الفلكيين إن مؤلفه كان في نحو الثلاثين حين كتبه.

تقع القواعد داخل كتاب في الفلك، منظوم شعرا، في فصل عن الجبر فيه أيضا طريقة لحل المعادلات التربيعية ومسألة تحدٍّ للقراء. وتتناول هذه المقالة الرياضيات. أما كيف نما النظام العشري ورمز الصفر عبر القرون فمذكور في المقال عن الهند والصفر.

كتاب أُنجز في نحو الثلاثين، في بهيلامالا

يعطي كل من MacTutor، أرشيف تاريخ الرياضيات في جامعة سانت أندروز، والموسوعة الحيوية للفلكيين من سبرينغر (Biographical Encyclopedia of Astronomers) سنة 598 لولادة براهماغوبتا. وفي المكان يختلفان: أوجاين احتمال عند MacTutor، وبهيلامالا الجواب عند سبرينغر. وفي الحالتين كتب براهماسفوتاسيدهانتا في بهيلامالا، وهي اليوم بلدة بينمال في جنوب غرب راجستان، وفي وصف MacTutor عاصمة الأراضي التي حكمتها سلالة غورجارا. وأبوه جيشنوغوبتا.

ويظهر شاهد أقدم لعام 628 في المقدمة التي كتبها عام 1817 العالم الإنجليزي هنري كولبروك. فقد قال فلكيو أوجاين لويليام هنتر، الذي أقام هناك مع بعثة بريطانية، إن براهماغوبتا ينتمي إلى سنة شاكا 550، التي يحولها كولبروك إلى 628م. وأسبابهم، كما يضيف، لم تُدوَّن.

ثم ترأس مرصد أوجاين الفلكي، الذي يصفه MacTutor بأنه أبرز مركز رياضي في الهند القديمة آنذاك. وتلاه عمل ثان، خانداخاديكا، عام 665، حين كان في السابعة والستين، كما يقول MacTutor. وعن وفاته يعطي MacTutor 670، بينما يقول سبرينغر فقط “بعد 665”.

خمسة وعشرون فصلا، اثنان منها في الرياضيات

في براهماسفوتاسيدهانتا 25 فصلا بعدّ MacTutor و24 بعدّ سبرينغر، الذي يلاحظ أن بعض النشرات تضيف فصلا من جداول منظومة؛ وقائمة MacTutor تتضمن تلك الجداول. ويرى مؤرخون كثيرون أن الفصول العشرة الأولى كانت صيغة أسبق، كما يقول MacTutor، وأن الخمسة عشر الأخرى إضافة كبرى تغطي موضوعات كالجبر والمزولة (gnomon، وهي قضيب عمودي يقاس به الظل) والكرة والأدوات. ويفيد سبرينغر بأن براهماغوبتا يصف العمل بأنه صيغة محسّنة لنظام فلكي أقدم منسوب إلى براهما.

الفصل 12، عن الحساب، والفصل 18، عن الجبر، يضمان الرياضيات. وقد وصلا إلى القراء الإنجليز عن طريق كولبروك، الذي ترجمهما مع الشرح اللاحق ونشرهما في لندن عام 1817. ويحاجج في مقدمته بأن فصول براهماغوبتا أقدم من الأعمال العربية في الجبر.

ما يقوله الكتاب عن الصفر

الصفر، في عرض MacTutor للأطروحة، معرَّف بأنه ناتج طرح عدد من نفسه. وقواعد براهماغوبتا فيه ترد في فصل الجبر، في قسم يعنونه كولبروك “Algorithm”، وتشمل الجمع والطرح والضرب والقسمة.

في الجمع تقول ترجمة كولبروك: “مجموع الصفر والسالب سالب؛ ومجموع الموجب والصفر موجب؛ ومجموع صفرين صفر”. والكلمتان “cipher” و”nought” في الأصل الإنجليزي تعنيان الصفر. والطرح يقول: “السالب، إذا أُخذ من الصفر، يصير موجبا؛ والموجب يصير سالبا”. وبلغة المال التي يستخدمها MacTutor، الأعداد الموجبة ثروات والسالبة ديون، والدين المطروح من الصفر ثروة.

ويلي ذلك الضرب: سالب في موجب سالب، وسالبان يعطيان موجبا، والصفر في أي شيء صفر. ويتعلم التلاميذ القواعد نفسها اليوم؛ والأطروحة التي تنص عليها عمرها قرابة 1,400 عام.

في تاريخ الصفر لدى MacTutor، براهماغوبتا هو أول من عُرف أنه حاول مد الحساب إلى الأعداد السالبة والصفر. وتأتي الخلفية من مكتبات بودليان التي تحتفظ بمخطوطة بخشالي: تظهر نقطة تُستعمل حاملة لموضع فارغ في ذلك النص المكتوب على لحاء البتولا. وقد وضع التأريخ بالكربون أقدم مواده في وقت يعود إلى القرن الثالث أو الرابع، وإن كان عمر المخطوطة موضع جدل ودراسة سابقة وضعتها بين القرنين الثامن والثاني عشر. وفي رواية بودليان، فإن الخطوة من الحامل إلى العدد بذاته جرت في الهند، عام 628، في أطروحة براهماغوبتا. ومعرفة آريابهاتا بالصفر، قبل ذلك بـ129 عاما في 499، تُتناول في المقال عن رياضياته.

قاعدة تربيعية مكتوبة بالكلمات

ويعطي الفصل 18 أيضا قاعدة للمعادلات التي تحتوي مربعا ومجهولا وعددا عاديا. وتقول ترجمة كولبروك، في قسمها عن المعادلة التربيعية، أن تضرب العدد العادي في أربعة أمثال العدد الذي أمام المربع، وتضيف مربع العدد الذي أمام المجهول. ثم تأخذ الجذر التربيعي للناتج، وتطرح العدد الذي أمام المجهول، وتقسم على ضعف العدد الذي أمام المربع.

بالرموز الحديثة، ax² + bx = c، تعطي القاعدة x مساويا الجذر التربيعي لـ(4ac + b²)، ناقص b، كل ذلك مقسوما على 2a. ويمكن للقارئ أن يجربها على x² + 2x = 3: الجذر التربيعي لـ16 هو 4، ناقص 2 يساوي 2، مقسوما على 2 يساوي 1، فإن x يساوي 1. ولا يظهر في البيت إلا الجواب الموجب.

المفتِّت وتحدٍّ يُحلّ في عام

يفتتح الفصل 18 بتسمية المفتِّت (kuttaka) مفتاح حل المسائل. وتجد الطريقة عددا صحيحا يترك بواقي معلومة عند قسمته على أعداد معلومة. ويحل نص كولبروك مثالا: ما العدد الذي يترك 5 عند قسمته على 6، و4 عند قسمته على 5، و3 عند قسمته على 4، و2 عند قسمته على 3؟ ويعطي 59 جوابا. وأبيات آريابهاتا الأقصر في الطريقة نفسها مذكورة في المقال المرتبط أعلاه.

ووضع براهماغوبتا لقرائه مسألة أيضا. خذ عددا، وربّعه، واضرب في 92، وأضف واحدا، واجعل الناتج مربعا كاملا. وتقول ترجمة كولبروك إن من يحلها في غضون عام فهو عالم رياضيات. وأصغر جواب لها 120، ويمكن التحقق منه يدويا: 92 مضروبا في مربع 120، زائد 1، يساوي 1,324,801، وهو مربع 1,151. ويضيف MacTutor أنه وجد سلسلة من الحلول للمعادلة المرتبطة 8x² + 1 = y²، منها (1, 3) و(6, 17) و(35, 99).

المساحات والدوائر وحالة الشكل الرباعي

يعطي فصل الحساب صيغة للمساحة “الدقيقة” للمثلث أو الشكل الرباعي. ويترجمها كولبروك: يؤخذ نصف مجموع الأضلاع، ويوضع أربع مرات وينقص من كل منها ضلع، وتُضرب معا، و”الجذر التربيعي للناتج هو المساحة الدقيقة”. وفي المثلث يُترك أحد الأعداد الأربعة المنقوصة نصف المجموع نفسه، كما يلاحظ كولبروك. وشرحه يعمل مثلثا أضلاعه 14 و13 و15: نصف المجموع 21، والأعداد الأربعة 7 و8 و6 و21، وحاصل ضربها 7,056، وجذره 84.

ويصف MacTutor القاعدة نفسها بأنها صيغة لمساحة شكل رباعي تقع زواياه على دائرة، مع صيغة مقابلة لأقطاره. ويضيف أن براهماغوبتا لا يقول إن الصيغة تصح لهذه الأشكال وحدها. ويعدّ بعض المؤرخين ذلك خطأ، كما يقول MacTutor، بينما يقرأ آخرون أنه يعني تلك الحالة فقط.

وللدوائر قيمتان لكل من المحيط والمساحة في ترجمة كولبروك. فالضرب في ثلاثة يعطي القيمة “العملية”؛ والجذر التربيعي لعشرة أمثال المربع يعطي القيمة “الأنيقة”. وبتطبيقها على المحيط يعني ذلك القطر مضروبا في الجذر التربيعي لعشرة، أي نحو 3.16 من القطر.

وتملأ مسائل الحياة اليومية فصل الحساب أيضا. وإحداها، يقتبسها MacTutor، تتعلق بـ500 من الـdrammas أُقرضت بمعدل فائدة مجهول. وفائدة أربعة أشهر منها تُقرض لشخص آخر بالمعدل نفسه وتبلغ 78 دراما في عشرة أشهر؛ وعلى القارئ إيجاد المعدل.

ناقد لآريابهاتا، والموضع الوحيد الذي يصمت فيه

الفصل الحادي عشر عند براهماغوبتا ينتقد فلكيين سابقين، وأغلبهم آريابهاتا. وفي عرض و. إ. كلارك، يشير براهماغوبتا إلى آريابهاتا نحو ستين مرة، ومعظم أشد النقد يتعلق بنقاط خرج فيها آريابهاتا عن التقليد. ويضيف كلارك أنه لا يُقتبس أو يُنتقد أي بيت من قسم الرياضيات عند آريابهاتا، وهو صمت يقترح كلارك أنه قد يعني أن براهماغوبتا لم يجد فيه ما يعترض عليه.

وفي الفلك، كان براهماغوبتا يؤمن بأرض ساكنة، كما يقول MacTutor، وأعطى طول السنة 365 يوما و6 ساعات و5 دقائق و19 ثانية في العمل الأول. وفي خانداخاديكا انتقل إلى 365 يوما و6 ساعات و12 دقيقة و36 ثانية، وهو ما لا يعدّه MacTutor تحسنا. ويضيف سبرينغر أنه في الجزء الأول من ذلك العمل اللاحق اتبع مدرسة أردهاراتريكا، التي يقول إن آريابهاتا الأول أسسها. وعن مسألة دوران الأرض انظر المقال السابق عن آريابهاتا.

من أوجاين إلى بغداد

في عرض MacTutor للرياضيات الهندية، براهماغوبتا هو الشخصية الكبرى التالية في مدرسة أوجاين، وله إحدى المساهمات الكبرى في أنظمة الأعداد عبر عمله في الأعداد السالبة والصفر. ووصل فلكه إلى بلاد العرب في النصف الأخير من القرن الثامن، كما يقول سبرينغر.

ويفيد م. س. خان، في ورقة لندوة للاتحاد الفلكي الدولي عام 1987، بأن البيروني سجل أن براهماسفوتاسيدهانتا تُرجم بأمر الخليفة المنصور في بغداد، في عام 154 أو 156 من التقويم الهجري، وهو يقع بين 770 و773م. وسُميت تلك النسخة العربية السندهند الكبير. أما كولبروك، مستشهدا بمقدمة جداول فلكية عربية نُشرت عام 920، فيفيد بأن فلكيا هنديا جاء بجداول إلى بلاط المنصور في عام 156 هجري (773م) وأن محمد الفزاري ترجم الكتاب باسم السند هند الأكبر. والصلة بين هذا الاسم والكلمة السنسكريتية siddhanta ظنية، كما يقول كولبروك.

وبحسب سيرة الخوارزمي عند MacTutor، فإن النص الهندي الذي يقوم عليه زيج السندهند (جدول فلكي) له وصل بلاط بغداد نحو 770 هدية من بعثة سياسية هندية. وعمله في فن الحساب الهندي كان الأول في ما هو اليوم العراق الذي استخدم الصفر حاملا، كما يضيف تاريخ الصفر عند MacTutor.

وواصل رياضيون هنود لاحقون العمل على سؤال براهماغوبتا المفتوح، القسمة على الصفر. فقد كتب في قواعده أن الصفر مقسوما على صفر صفر، وهو ما يحكم MacTutor بأنه خطأ، مع وصفه الجهد كله بأنه محاولة لامعة لمد الحساب. وفي نحو 830 كتب مهافيرا Ganita Sara Samgraha تحديثا لكتاب براهماغوبتا، وبعد أكثر من 500 عام من براهماغوبتا كان بهاسكارا لا يزال يعمل على المسألة نفسها.

ويسجل تاريخ الصفر عند MacTutor أن فيبوناتشي وصف الأرقام الهندية التسعة مع العلامة 0 في Liber Abaci نحو 1200، ويسمي 0 علامة والرموز التسعة الأخرى أعدادا.