En 628 d. C., Brahmagupta puso por escrito reglas para el cero y los números negativos, una solución de la ecuación cuadrática y una fórmula de área para figuras de cuatro lados

El Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta, terminado en 628 d. C., expone cómo se comportan el cero y los números negativos cuando se suman, se restan y se multiplican. Las Bodleian Libraries de Oxford lo llaman el primer documento que trata el cero como número, y una obra de referencia de Springer sobre astrónomos dice que su autor tenía unos 30 años cuando lo escribió.

Las reglas están dentro de un libro de astronomía escrito en verso, en un capítulo de álgebra que contiene también una manera de resolver ecuaciones cuadráticas y un problema de desafío para los lectores. Este artículo trata de las matemáticas. Cómo crecieron a lo largo de los siglos el sistema decimal y el símbolo del cero se cuenta en el artículo sobre la India y el cero.

Un tratado terminado hacia los 30 años, en Bhillamala

Tanto MacTutor, el archivo de historia de las matemáticas de la Universidad de St Andrews, como la Biographical Encyclopedia of Astronomers de Springer dan 598 como año del nacimiento de Brahmagupta. Sobre el lugar difieren: para MacTutor Ujjain es una posibilidad, y para Springer la respuesta es Bhillamala. En cualquier caso, escribió el Brahmasphutasiddhanta en Bhillamala, hoy la población de Bhinmal, en el suroeste de Rajasthan y, en la descripción de MacTutor, capital de las tierras gobernadas por la dinastía gurjara. Su padre era Jisnugupta.

Un testigo más antiguo de 628 aparece en la introducción de 1817 del estudioso inglés Henry Colebrooke. Unos astrónomos de Ujjain dijeron a William Hunter, que se había alojado allí con una embajada británica, que Brahmagupta pertenecía al año saka 550, que Colebrooke convierte en 628 d. C. Sus fundamentos, añade, no quedaron registrados.

Más tarde dirigió el observatorio astronómico de Ujjain, que MacTutor llama el principal centro matemático de la India antigua en aquel tiempo. Una segunda obra, el Khandakhadyaka, siguió en 665, cuando tenía 67 años, dice MacTutor. En cuanto a su muerte, MacTutor da 670, mientras que Springer dice solo «después de 665».

Veinticinco capítulos, dos de ellos de matemáticas

El Brahmasphutasiddhanta tiene 25 capítulos según el recuento de MacTutor y 24 según el de Springer, que señala que algunas ediciones añaden un capítulo de tablas versificadas; la lista de MacTutor incluye esas tablas. Muchos historiadores piensan que los diez primeros capítulos fueron una versión anterior, dice MacTutor, y que los otros quince son una ampliación importante que cubre temas como el álgebra, el gnomon (una vara vertical que sirve para medir sombras), la esfera y los instrumentos. Springer informa de que Brahmagupta describe la obra como una versión mejorada de un sistema astronómico anterior atribuido a Brahma.

El capítulo 12, sobre aritmética, y el capítulo 18, sobre álgebra, contienen las matemáticas. Los lectores ingleses recibieron ambos de Colebrooke, que los tradujo con el comentario posterior y los publicó en Londres en 1817. En su introducción sostiene que los capítulos de Brahmagupta son más antiguos que las obras árabes de álgebra.

Lo que dice el libro sobre el cero

El cero, según el relato de MacTutor sobre el tratado, se define como el resultado de restar un número de sí mismo. Las reglas de Brahmagupta para él vienen en el capítulo de álgebra, en una sección que Colebrooke titula «Algorithm», y abarcan la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Para la suma, la traducción de Colebrooke dice: «La suma de cifra y negativo es negativa; de afirmativo y nada es positiva; de dos cifras es cifra». Aquí «cifra» y «nada» significan cero. La resta dice: «El negativo, restado de cifra, se vuelve positivo; y el afirmativo, negativo». En el lenguaje del dinero que usa MacTutor, los números positivos son fortunas y los negativos son deudas, y una deuda restada de cero es una fortuna.

Sigue la multiplicación: un negativo por un afirmativo es negativo, dos negativos dan un positivo, y el cero por cualquier cosa es cero. Los alumnos aprenden hoy las mismas reglas; el tratado que las enuncia tiene casi 1.400 años.

En la historia del cero de MacTutor, Brahmagupta es la primera persona que se sabe que intentó extender la aritmética a los números negativos y al cero. El contexto lo dan las Bodleian Libraries, que conservan el manuscrito Bakhshali: en ese texto en corteza de abedul aparece por todas partes un punto usado como marcador de un lugar vacío. La datación por carbono situó su material más antiguo ya en el siglo III o IV, aunque la antigüedad del manuscrito se ha debatido y un estudio anterior lo situó entre los siglos VIII y XII. En el relato de la Bodleian, el paso de marcador a número por derecho propio se dio en la India, en 628, en el tratado de Brahmagupta. El conocimiento del cero que tenía Aryabhata, 129 años antes, en 499, se trata en el artículo sobre sus matemáticas.

Una regla cuadrática escrita en palabras

El capítulo 18 da también una regla para ecuaciones que contienen un cuadrado, una incógnita y un número simple. La traducción de Colebrooke, en su sección sobre la ecuación cuadrática, dice que se multiplique el número simple por cuatro veces el número que acompaña al cuadrado, y se añada el cuadrado del número que acompaña a la incógnita. Se toma la raíz cuadrada del resultado, se resta el número que acompaña a la incógnita y se divide por el doble del número que acompaña al cuadrado.

Escrita en símbolos modernos como ax² + bx = c, la regla da x igual a la raíz cuadrada de (4ac + b²), menos b, todo dividido por 2a. Un lector puede probarla con x² + 2x = 3: la raíz cuadrada de 16 es 4, menos 2 es 2, dividido por 2 es 1, así que x es 1. En el verso solo aparece la respuesta positiva.

El pulverizador y un desafío para resolver en un año

El capítulo 18 se abre llamando al pulverizador (kuttaka) la clave para resolver las cuestiones. El método halla un número entero que deja unos restos dados al dividirlo por unos números dados. El texto de Colebrooke trabaja un ejemplo: ¿qué número deja 5 al dividirlo por 6, 4 al dividirlo por 5, 3 al dividirlo por 4 y 2 al dividirlo por 3? Da 59 como respuesta. Los versos más breves de Aryabhata sobre el mismo método se tratan en el artículo enlazado arriba.

Brahmagupta puso también un problema a sus lectores. Tómese un número, elévese al cuadrado, multiplíquese por 92, súmese uno y hágase que el resultado sea un cuadrado perfecto. La traducción de Colebrooke dice que quien lo resuelva en un año es un matemático. Su respuesta más pequeña es 120, lo que puede comprobarse a mano: 92 por 120 al cuadrado, más 1, es 1.324.801, que es 1.151 al cuadrado. MacTutor añade que halló una serie de soluciones de la ecuación relacionada 8x² + 1 = y², entre ellas (1, 3), (6, 17) y (35, 99).

Áreas, círculos y el caso del cuadrilátero

El capítulo de aritmética da una fórmula para el área «exacta» de un triángulo o de una figura de cuatro lados. Colebrooke la traduce así: la mitad de la suma de los lados, puesta cuatro veces y disminuida cada una en un lado, se multiplican entre sí, y «la raíz cuadrada del producto es el área exacta». En un triángulo, uno de los cuatro números disminuidos queda como la propia semisuma, señala Colebrooke. Su comentario trabaja un triángulo de lados 14, 13 y 15: la mitad de la suma es 21, los cuatro números son 7, 8, 6 y 21, su producto es 7.056 y su raíz es 84.

MacTutor describe la misma regla como una fórmula para el área de una figura de cuatro lados cuyos vértices están sobre una circunferencia, con una fórmula correspondiente para sus diagonales. Añade que Brahmagupta no dice que la fórmula valga solo para esas figuras. Algunos historiadores lo tratan como un error, dice MacTutor, mientras que otros lo leen como si se refiriera solo a ese caso.

Los círculos reciben dos valores cada uno, para la circunferencia y para el área, en la traducción de Colebrooke. Multiplicar por tres da el valor «práctico»; la raíz cuadrada de diez veces el cuadrado da el «limpio». Aplicado a la circunferencia, eso significa el diámetro por la raíz cuadrada de diez, unas 3,16 veces el diámetro.

Los problemas cotidianos llenan también el capítulo de aritmética. Uno, citado por MacTutor, trata de 500 drammas prestados a un tipo de interés desconocido. El interés de cuatro meses sobre esa suma se presta a otra persona al mismo tipo y asciende a 78 drammas en diez meses; el lector debe hallar el tipo.

Un crítico de Aryabhata, y el único lugar en que calla

El capítulo undécimo de Brahmagupta critica a astrónomos anteriores, sobre todo a Aryabhata. En el relato de W. E. Clark, Brahmagupta se refiere a Aryabhata unas sesenta veces, y la mayor parte de las críticas más duras tratan de puntos en que Aryabhata se apartó de la tradición. Clark añade que no se cita ni se critica ninguna estrofa de la sección de matemáticas de Aryabhata, un silencio que, sugiere, puede significar que Brahmagupta no encontró nada que objetar.

En astronomía, Brahmagupta creía en una Tierra inmóvil, dice MacTutor, y dio la duración del año como 365 días 6 horas 5 minutos 19 segundos en la primera obra. En el Khandakhadyaka pasó a 365 días 6 horas 12 minutos 36 segundos, cifra que MacTutor no cuenta como una mejora. Springer añade que en la primera parte de esa obra posterior siguió a la escuela Ardharatrika, que según dice fundó Aryabhata I. Sobre la cuestión de la rotación de la Tierra, véase el artículo anterior sobre Aryabhata.

De Ujjain a Bagdad

En el panorama de MacTutor sobre las matemáticas indias, Brahmagupta es la siguiente figura de importancia mayor en la escuela de Ujjain, con una de las principales contribuciones a los sistemas de numeración por su trabajo sobre los números negativos y el cero. Su astronomía llegó a Arabia en la segunda mitad del siglo VIII, dice Springer.

M. S. Khan, en un artículo para un coloquio de la Unión Astronómica Internacional de 1987, informa de que al-Biruni registró que el Brahmasphutasiddhanta se tradujo por orden del califa al-Mansur de Bagdad, en el año 154 o 156 del calendario islámico, que cae entre 770 y 773 d. C. Esa versión árabe se llamó el Gran Sindhind. Colebrooke, citando el prefacio de unas tablas astronómicas árabes publicadas en 920, informa de que un astrónomo indio llevó tablas a la corte de al-Mansur en el año 156 del calendario islámico (773 d. C.) y de que Muhammad al-Fazari tradujo el libro como el Sind-hind mayor. El vínculo entre ese nombre y el sánscrito siddhanta es una conjetura, dice Colebrooke.

Según la biografía de al-Khwarizmi de MacTutor, el texto indio que está detrás de su propio Sindhind zij (un libro de tablas astronómicas) llegó a la corte de Bagdad hacia 770 como regalo de una misión política india. Su obra sobre el arte hindú del cálculo fue la primera en lo que hoy es Irak en usar el cero como marcador, añade la historia del cero de MacTutor.

Matemáticos indios posteriores siguieron trabajando en la cuestión abierta de Brahmagupta, la división por cero. En sus reglas escribió que cero dividido por cero es cero, lo que MacTutor juzga erróneo, aunque llama a todo el esfuerzo un intento brillante de extender la aritmética. Hacia 830, Mahavira escribió el Ganita Sara Samgraha como actualización del libro de Brahmagupta, y más de 500 años después de Brahmagupta, Bhaskara seguía trabajando en el mismo problema.

La historia del cero de MacTutor registra que Fibonacci describió los nueve dígitos indios junto con el signo 0 en el Liber Abaci hacia 1200, llamando signo al 0 y números a los otros nueve símbolos.