క్రీ.శ. 628లో బ్రహ్మగుప్తుడు సున్నాకు, ఋణ సంఖ్యలకు నియమాలను, వర్గ సమీకరణ పరిష్కారాన్ని, నాలుగు భుజాల ఆకృతికి వైశాల్య సూత్రాన్ని రాశాడు

క్రీ.శ. 628లో పూర్తయిన బ్రహ్మగుప్తుని బ్రహ్మస్ఫుటసిద్ధాంతం, సున్నా, ఋణ సంఖ్యలు కూడినప్పుడు, తీసివేయబడినప్పుడు, గుణించబడినప్పుడు ఎలా ప్రవర్తిస్తాయో వివరిస్తుంది. సున్నాను సంఖ్యగా చర్చించిన తొలి పత్రమని ఆక్స్‌ఫర్డ్‌లోని బోడ్లియన్ లైబ్రరీలు దాన్ని అంటాయి, దాన్ని రాసినప్పుడు రచయిత వయసు సుమారు 30 అని ఖగోళశాస్త్రవేత్తలపై ఒక స్ప్రింగర్ రెఫరెన్స్ గ్రంథం చెబుతుంది.

ఈ నియమాలు పద్య రూపంలో రాసిన ఒక ఖగోళశాస్త్ర గ్రంథంలో, వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతిని, పాఠకులకు ఒక సవాలు సమస్యను కూడా కలిగిన బీజగణిత అధ్యాయంలో ఉన్నాయి. ఈ వ్యాసం గణితాన్ని చూస్తుంది. శతాబ్దాల్లో దశాంశ పద్ధతి, సున్నా చిహ్నం ఎలా పెరిగాయో భారతదేశం, సున్నా గురించిన వ్యాసంలో ఉంది.

భిల్లమాలలో, సుమారు 30 ఏళ్లకు పూర్తయిన గ్రంథం

సెయింట్ ఆండ్రూస్ విశ్వవిద్యాలయంలోని గణిత చరిత్ర ఆర్కైవ్ మ్యాక్‌ట్యూటర్, స్ప్రింగర్ బయోగ్రాఫికల్ ఎన్‌సైక్లోపీడియా ఆఫ్ ఆస్ట్రానమర్స్ రెండూ బ్రహ్మగుప్తుని జన్మ సంవత్సరంగా 598ను ఇస్తాయి. స్థలం గురించి అవి విభేదిస్తాయి: మ్యాక్‌ట్యూటర్‌కు ఉజ్జయిని ఒక అవకాశం, స్ప్రింగర్‌లో భిల్లమాల సమాధానం. ఏదేమైనా, అతను బ్రహ్మస్ఫుటసిద్ధాంతం భిల్లమాలలో రాశాడు, అది ఇప్పుడు రాజస్థాన్ నైరుతిలోని భిన్మాల్ పట్టణం, మ్యాక్‌ట్యూటర్ వర్ణనలో గుర్జర వంశం పాలించిన ప్రాంతాల రాజధాని. అతని తండ్రి జిష్ణుగుప్తుడు.

628కి పాత సాక్షి 1817లో ఆంగ్ల పండితుడు హెన్రీ కోల్‌బ్రూక్ రాసిన పరిచయంలో కనిపిస్తుంది. బ్రిటిష్ రాయబార బృందంతో అక్కడ ఉన్న విలియం హంటర్‌కు ఉజ్జయిని ఖగోళశాస్త్రవేత్తలు, బ్రహ్మగుప్తుడు శక సంవత్సరం 550కి చెందినవాడని చెప్పారు, దాన్ని కోల్‌బ్రూక్ క్రీ.శ. 628గా మార్చాడు. వారి ఆధారాలు నమోదు కాలేదని ఆయన జోడిస్తాడు.

తర్వాత అతను ఉజ్జయినిలోని ఖగోళ పరిశీలనాలయానికి అధిపతి అయ్యాడు, దాన్ని ఆ సమయంలో ప్రాచీన భారతదేశపు అగ్రగామి గణిత కేంద్రంగా మ్యాక్‌ట్యూటర్ పిలుస్తుంది. రెండో గ్రంథం ఖండఖాద్యకం 665లో, అతనికి 67 ఏళ్లు ఉన్నప్పుడు వచ్చిందని మ్యాక్‌ట్యూటర్ చెబుతుంది. అతని మరణం గురించి, మ్యాక్‌ట్యూటర్ 670 అంటుంది, స్ప్రింగర్ “665 తర్వాత” అని మాత్రమే అంటుంది.

ఇరవై ఐదు అధ్యాయాలు, వాటిలో రెండు గణితం

బ్రహ్మస్ఫుటసిద్ధాంతంలో మ్యాక్‌ట్యూటర్ లెక్క ప్రకారం 25 అధ్యాయాలు, స్ప్రింగర్ లెక్క ప్రకారం 24 ఉన్నాయి; కొన్ని ముద్రణలు పద్య రూప పట్టికల అధ్యాయాన్ని జోడిస్తాయని స్ప్రింగర్ గమనిస్తుంది, మ్యాక్‌ట్యూటర్ జాబితాలో ఆ పట్టికలు ఉన్నాయి. మొదటి పది అధ్యాయాలు ఒక పాత రూపం అని చాలామంది చరిత్రకారులు భావిస్తారని, మిగిలిన పదిహేను బీజగణితం, శంకువు (నీడలను కొలవడానికి వాడే నిలువు కడ్డీ), గోళం, పరికరాల వంటి అంశాలను కలిగిన పెద్ద జోడింపు అని మ్యాక్‌ట్యూటర్ చెబుతుంది. బ్రహ్మగుప్తుడు ఆ గ్రంథాన్ని బ్రహ్మకు ఆపాదించే పూర్వ ఖగోళ వ్యవస్థ మెరుగైన రూపంగా వర్ణిస్తాడని స్ప్రింగర్ నివేదిస్తుంది.

అంకగణితంపై 12వ అధ్యాయంలో, బీజగణితంపై 18వ అధ్యాయంలో గణితం ఉంది. ఆ రెండింటినీ ఆంగ్ల పాఠకులు కోల్‌బ్రూక్ నుండి పొందారు, ఆయన వాటిని తర్వాతి వ్యాఖ్యానంతో అనువదించి 1817లో లండన్‌లో ప్రచురించాడు. బ్రహ్మగుప్తుని అధ్యాయాలు బీజగణితంపై అరబిక్ గ్రంథాల కంటే పాతవని ఆయన తన పరిచయంలో వాదిస్తాడు.

సున్నా గురించి గ్రంథం ఏం చెబుతుంది

గ్రంథంపై మ్యాక్‌ట్యూటర్ వివరణలో, సున్నా అంటే ఒక సంఖ్యను దాని నుండే తీసివేయగా వచ్చే ఫలితంగా నిర్వచించబడింది. దాని నియమాలు బీజగణిత అధ్యాయంలో, కోల్‌బ్రూక్ “అల్గారిథమ్” అని పేరు పెట్టిన విభాగంలో వస్తాయి, కూడిక, తీసివేత, గుణకారం, భాగహారం ఉన్నాయి.

కూడికకు కోల్‌బ్రూక్ అనువాదం ఇలా ఉంది: “సున్నా, ఋణ సంఖ్య కలిపితే ఋణం; ధన సంఖ్య, శూన్యం కలిపితే ధనం; రెండు సున్నాలు కలిపితే సున్నా.” ఇక్కడ “సున్నా”, “శూన్యం” రెండూ సున్నాను సూచిస్తాయి. తీసివేత ఇలా ఉంటుంది: “సున్నా నుండి ఋణ సంఖ్యను తీసివేస్తే అది ధనం అవుతుంది; ధన సంఖ్యను తీసివేస్తే ఋణం అవుతుంది.” మ్యాక్‌ట్యూటర్ వాడే డబ్బు భాషలో ధన సంఖ్యలు సంపదలు, ఋణ సంఖ్యలు అప్పులు, సున్నా నుండి తీసివేసిన అప్పు సంపద.

తర్వాత గుణకారం: ఋణం గుణించిన ధనం ఋణం, రెండు ఋణాలు ధనాన్ని ఇస్తాయి, సున్నా గుణించిన దేనికైనా ఫలితం సున్నా. ఈ రోజు విద్యార్థులు అవే నియమాలు నేర్చుకుంటారు; వాటిని చెప్పే గ్రంథం దాదాపు 1,400 ఏళ్ల పాతది.

సున్నా చరిత్రపై మ్యాక్‌ట్యూటర్ వివరణలో, అంకగణితాన్ని ఋణ సంఖ్యలకు, సున్నాకు విస్తరించడానికి ప్రయత్నించిన తొలి వ్యక్తిగా బ్రహ్మగుప్తుడు తెలుసు. నేపథ్యం బక్షాలి రాతప్రతిని కలిగిన బోడ్లియన్ లైబ్రరీల నుండి వస్తుంది: ఖాళీ స్థానానికి స్థానపూరకంగా వాడిన బిందువు ఆ భూర్జపత్ర గ్రంథమంతా కనిపిస్తుంది. కార్బన్ డేటింగ్ దాని తొలి పదార్థాన్ని మూడో లేదా నాలుగో శతాబ్దం వరకు పాతదిగా తేల్చింది, అయితే రాతప్రతి వయసు చర్చలో ఉంది, అంతకుముందటి అధ్యయనం దాన్ని ఎనిమిదో, పన్నెండో శతాబ్దాల మధ్య ఉంచింది. బోడ్లియన్ వివరణలో, స్థానపూరకం నుండి స్వతంత్ర సంఖ్యగా మారే అడుగు 628లో, బ్రహ్మగుప్తుని గ్రంథంలో భారతదేశంలో వేయబడింది. 129 ఏళ్ల ముందు, 499లో, సున్నా గురించి ఆర్యభటుడికి తెలిసిన విషయం అతని గణితంపై వ్యాసంలో ఉంది.

మాటల్లో రాసిన వర్గ సమీకరణ నియమం

18వ అధ్యాయం ఒక వర్గం, ఒక అజ్ఞాతం, ఒక సాధారణ సంఖ్య ఉన్న సమీకరణాలకు ఒక నియమాన్ని కూడా ఇస్తుంది. కోల్‌బ్రూక్ అనువాదం, వర్గ సమీకరణంపై దాని విభాగంలో, సాధారణ సంఖ్యను వర్గం ముందున్న సంఖ్యకు నాలుగు రెట్లతో గుణించి, అజ్ఞాతం ముందున్న సంఖ్య వర్గాన్ని కూడాలని చెబుతుంది. ఫలితపు వర్గమూలం తీసుకుని, అజ్ఞాతం ముందున్న సంఖ్యను తీసివేసి, వర్గం ముందున్న సంఖ్యకు రెట్టింపుతో భాగించాలి.

ఆధునిక సంకేతాల్లో ax² + bx = c అని రాస్తే, నియమం ప్రకారం x విలువ (4ac + b²) వర్గమూలం, తీసివేసి b, అంతా 2aతో భాగించగా వస్తుంది. పాఠకుడు దాన్ని x² + 2x = 3పై పరీక్షించవచ్చు: 16 వర్గమూలం 4, దాని నుండి 2 తీసివేస్తే 2, 2తో భాగిస్తే 1, కాబట్టి x విలువ 1. శ్లోకంలో ధన సమాధానం మాత్రమే కనిపిస్తుంది.

పొడిచేసే పద్ధతి, ఏడాదిలో పరిష్కరించాల్సిన సవాలు

18వ అధ్యాయం పొడిచేసే పద్ధతిని (కుట్టక) ప్రశ్నలను పరిష్కరించడానికి కీలకమని చెబుతూ మొదలవుతుంది. ఆ పద్ధతి, ఇచ్చిన సంఖ్యలతో భాగించినప్పుడు ఇచ్చిన శేషాలను మిగిల్చే ఒక పూర్ణ సంఖ్యను కనుగొంటుంది. కోల్‌బ్రూక్ పాఠం ఒక ఉదాహరణను పరిష్కరిస్తుంది: 6తో భాగిస్తే 5, 5తో భాగిస్తే 4, 4తో భాగిస్తే 3, 3తో భాగిస్తే 2 శేషంగా మిగిల్చే సంఖ్య ఏది? అది సమాధానంగా 59ని ఇస్తుంది. అదే పద్ధతిపై ఆర్యభటుని చిన్న శ్లోకాలు పైన లింక్ చేసిన వ్యాసంలో ఉన్నాయి.

బ్రహ్మగుప్తుడు తన పాఠకులకు ఒక సమస్య కూడా పెట్టాడు. ఒక సంఖ్యను తీసుకుని, వర్గం చేసి, 92తో గుణించి, ఒకటి కూడి, ఫలితాన్ని పూర్ణ వర్గం చేయండి. దీన్ని ఏడాదిలో పరిష్కరించేవాడు గణిత శాస్త్రవేత్త అని కోల్‌బ్రూక్ అనువాదం చెబుతుంది. దాని అతి చిన్న సమాధానం 120, చేతితో సరిచూడవచ్చు: 120 వర్గాన్ని 92తో గుణించి, ఒకటి కూడితే 1,324,801, అది 1,151 వర్గం. సంబంధిత సమీకరణం 8x² + 1 = y²కు అతను పరిష్కారాల శ్రేణిని కనుగొన్నాడని, వాటిలో (1, 3), (6, 17), (35, 99) ఉన్నాయని మ్యాక్‌ట్యూటర్ జోడిస్తుంది.

వైశాల్యాలు, వృత్తాలు, చతుర్భుజం కేసు

అంకగణిత అధ్యాయం త్రిభుజం లేదా నాలుగు భుజాల ఆకృతి “కచ్చితమైన” వైశాల్యానికి ఒక సూత్రం ఇస్తుంది. కోల్‌బ్రూక్ దాన్ని ఇలా అనువదిస్తాడు: భుజాల మొత్తంలో సగాన్ని నాలుగుసార్లు రాసి, ప్రతిదాని నుండి ఒక భుజాన్ని తీసివేసి, గుణిస్తారు, “ఆ లబ్ధపు వర్గమూలం కచ్చితమైన వైశాల్యం.” త్రిభుజంలో నాలుగు తగ్గించిన సంఖ్యల్లో ఒకటి సగం మొత్తంగానే మిగులుతుందని కోల్‌బ్రూక్ గమనిస్తాడు. ఆయన వ్యాఖ్యానం 14, 13, 15 భుజాలున్న త్రిభుజాన్ని పరిష్కరిస్తుంది: సగం మొత్తం 21, నాలుగు సంఖ్యలు 7, 8, 6, 21, వాటి లబ్ధం 7,056, దాని మూలం 84.

అదే నియమాన్ని, మూలలు ఒక వృత్తంపై ఉన్న నాలుగు భుజాల ఆకృతి వైశాల్య సూత్రంగా, దాని కర్ణాలకు సంబంధించిన సూత్రంతో కలిపి మ్యాక్‌ట్యూటర్ వర్ణిస్తుంది. ఆ సూత్రం అలాంటి ఆకృతులకే వర్తిస్తుందని బ్రహ్మగుప్తుడు చెప్పడని అది జోడిస్తుంది. కొందరు చరిత్రకారులు దాన్ని పొరపాటుగా చూస్తారని, మరికొందరు అతను ఆ సందర్భాన్ని మాత్రమే ఉద్దేశించాడని చదువుతారని మ్యాక్‌ట్యూటర్ అంటుంది.

కోల్‌బ్రూక్ అనువాదంలో వృత్తాలకు చుట్టుకొలతకు, వైశాల్యానికి ఒక్కొక్కదానికి రెండు విలువలు ఉన్నాయి. మూడుతో గుణిస్తే “ఆచరణాత్మక” విలువ వస్తుంది; వర్గానికి పదిరెట్ల వర్గమూలం “చక్కని” విలువను ఇస్తుంది. చుట్టుకొలతకు వర్తింపజేస్తే, అంటే వ్యాసాన్ని పది వర్గమూలంతో గుణించడం, ఇది వ్యాసానికి సుమారు 3.16 రెట్లు.

అంకగణిత అధ్యాయం రోజువారీ సమస్యలతో కూడా నిండి ఉంది. మ్యాక్‌ట్యూటర్ ఉటంకించిన ఒకటి, తెలియని వడ్డీ రేటుపై అప్పుగా ఇచ్చిన 500 ద్రమ్మాల గురించి. దానిపై నాలుగు నెలల వడ్డీని అదే రేటుతో మరొకరికి అప్పుగా ఇస్తే పది నెలల్లో 78 ద్రమ్మాలు అవుతుంది; పాఠకుడు రేటును కనుగొనాలి.

ఆర్యభటుని విమర్శకుడు, ఆయన మౌనం వహించిన ఒక్క చోటు

బ్రహ్మగుప్తుని పదకొండో అధ్యాయం పూర్వ ఖగోళశాస్త్రవేత్తలను, ఎక్కువగా ఆర్యభటుని విమర్శిస్తుంది. డబ్ల్యూ. ఈ. క్లార్క్ వివరణ ప్రకారం, బ్రహ్మగుప్తుడు ఆర్యభటుని సుమారు అరవైసార్లు ప్రస్తావిస్తాడు, అత్యంత కఠినమైన విమర్శ చాలావరకు ఆర్యభటుడు సంప్రదాయం నుండి తొలగిన అంశాల గురించే. ఆర్యభటుని గణిత విభాగం నుండి ఒక్క శ్లోకాన్నీ ఉటంకించలేదని, విమర్శించలేదని క్లార్క్ జోడిస్తాడు, ఆ మౌనం బ్రహ్మగుప్తునికి అభ్యంతరపెట్టేది ఏమీ కనపడలేదని అర్థం కావచ్చని ఆయన సూచిస్తాడు.

ఖగోళశాస్త్రంపై, బ్రహ్మగుప్తుడు స్థిరమైన భూమిని నమ్మాడని మ్యాక్‌ట్యూటర్ చెబుతుంది, తొలి గ్రంథంలో సంవత్సర నిడివిని 365 రోజుల 6 గంటల 5 నిమిషాల 19 సెకన్లుగా ఇచ్చాడు. ఖండఖాద్యకంలో దాన్ని 365 రోజుల 6 గంటల 12 నిమిషాల 36 సెకన్లకు మార్చాడు, దాన్ని మ్యాక్‌ట్యూటర్ మెరుగుదలగా లెక్కించదు. ఆ తర్వాతి గ్రంథం మొదటి భాగంలో అతను మొదటి ఆర్యభటుడు స్థాపించాడని చెప్పే అర్ధరాత్రిక పాఠశాలను అనుసరించాడని స్ప్రింగర్ జోడిస్తుంది. భూమి భ్రమణ ప్రశ్నపై ఆర్యభటునిపై ముందటి వ్యాసం చూడండి.

ఉజ్జయిని నుండి బాగ్దాద్ వరకు

భారతీయ గణితంపై మ్యాక్‌ట్యూటర్ అవలోకనంలో, ఉజ్జయిని పాఠశాలలో బ్రహ్మగుప్తుడు ముఖ్యమైన తదుపరి వ్యక్తి, ఋణ సంఖ్యలు, సున్నాపై తన పని ద్వారా సంఖ్యా వ్యవస్థలకు ప్రధాన కృషిలో ఒకటి చేశాడు. అతని ఖగోళశాస్త్రం ఎనిమిదో శతాబ్దం ద్వితీయార్ధంలో అరేబియాకు చేరిందని స్ప్రింగర్ చెబుతుంది.

1987 అంతర్జాతీయ ఖగోళ సంఘం కొలోక్వియంకు రాసిన పత్రంలో ఎం. ఎస్. ఖాన్, బ్రహ్మస్ఫుటసిద్ధాంతం బాగ్దాద్ ఖలీఫా అల్-మన్సూర్ ఆదేశంతో ఇస్లామిక్ క్యాలెండర్ 154 లేదా 156 సంవత్సరంలో, అంటే క్రీ.శ. 770 నుండి 773 మధ్యలో, అనువదించబడిందని అల్-బిరూని నమోదు చేసినట్టు నివేదిస్తాడు. ఆ అరబిక్ రూపాన్ని మహా సింద్‌హింద్ అన్నారు. 920లో ప్రచురించిన అరబిక్ ఖగోళ పట్టికల పీఠికను ఉటంకిస్తూ, ఒక భారతీయ ఖగోళశాస్త్రవేత్త ఇస్లామిక్ క్యాలెండర్ 156వ సంవత్సరంలో (క్రీ.శ. 773) పట్టికలను అల్-మన్సూర్ ఆస్థానానికి తెచ్చాడని, ముహమ్మద్ అల్-ఫజారీ ఆ గ్రంథాన్ని గొప్ప సింద్‌హింద్‌గా అనువదించాడని కోల్‌బ్రూక్ నివేదిస్తాడు. ఆ పేరుకు, సంస్కృత సిద్ధాంతంకు మధ్య సంబంధం ఒక ఊహ అని కోల్‌బ్రూక్ అంటాడు.

అల్-ఖ్వారిజ్మీపై మ్యాక్‌ట్యూటర్ జీవిత చరిత్ర ప్రకారం, అతని సింద్‌హింద్ జిజ్ (ఖగోళ పట్టికల గ్రంథం) వెనుక ఉన్న భారతీయ గ్రంథం ఒక భారతీయ రాజకీయ మిషన్ బహుమతిగా సుమారు 770లో బాగ్దాద్ ఆస్థానానికి చేరింది. హిందూ గణన కళపై అతని రచన ఇప్పటి ఇరాక్‌లో సున్నాను స్థానపూరకంగా వాడిన మొదటిదని మ్యాక్‌ట్యూటర్ సున్నా చరిత్ర జోడిస్తుంది.

తర్వాత భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తలు బ్రహ్మగుప్తుని తెరిచి ఉంచిన ప్రశ్న, సున్నాతో భాగహారంపై పని కొనసాగించారు. తన నియమాల్లో సున్నాను సున్నాతో భాగిస్తే సున్నా అని అతను రాశాడు, అది తప్పని మ్యాక్‌ట్యూటర్ భావిస్తుంది, అదే సమయంలో ఆ మొత్తం ప్రయత్నాన్ని అంకగణితాన్ని విస్తరించే అద్భుతమైన ప్రయత్నంగా పిలుస్తుంది. సుమారు 830లో మహావీరుడు గణిత సార సంగ్రహంను బ్రహ్మగుప్తుని గ్రంథపు నవీకరణగా రాశాడు, బ్రహ్మగుప్తుని తర్వాత 500 ఏళ్లకు పైగా భాస్కరుడు అదే సమస్యపై పని చేస్తూనే ఉన్నాడు.

సుమారు 1200లో లిబర్ అబాసీలో ఫిబొనాచీ తొమ్మిది భారతీయ అంకెలను 0 గుర్తుతో కలిపి వర్ణించాడని, 0ను ఒక గుర్తుగా, మిగిలిన తొమ్మిది చిహ్నాలను సంఖ్యలుగా పిలిచాడని మ్యాక్‌ట్యూటర్ సున్నా చరిత్ర నమోదు చేస్తుంది.