En 499 d. C., Aryabhata encajó en unos 120 versos las raíces cifra a cifra, las sumas de series, una tabla de senos de 24 entradas y un método para resolver ecuaciones

El Aryabhatiya, terminado en 499 d. C., condensa la aritmética, el álgebra y la trigonometría de su tiempo en un capítulo de matemáticas de 33 versos. MacTutor, el archivo de historia de las matemáticas de la Universidad de St Andrews, cuenta 66 reglas en esos versos, enunciadas sin demostración. Su autor, Aryabhata, da su propia edad como 23 años, lo que sitúa su nacimiento en 476.

Este artículo trata de las matemáticas. La Tierra que gira y la explicación de los eclipses están en otro artículo, y el satélite que lleva su nombre, en uno más.

Un joven de 23 años en Kusumapura

Aryabhata se fecha a sí mismo en el tercer capítulo del libro. En la traducción inglesa de W. E. Clark de 1930, publicada por la University of Chicago Press, el verso cuenta 3.600 años más tres cuartos de un yuga, un vasto ciclo astronómico, y dice que habían transcurrido veintitrés años de su vida. Si Aryabhata hizo comenzar la edad de Kali en 3102 a. C., como hicieron los astrónomos posteriores, el verso cae en 499 d. C., calcula Clark. Añade que Parameshvara, un comentarista del siglo XV, cita un comentario anterior que lee 499 como la fecha para la que son exactas las tablas planetarias del libro. MacTutor y Clark tratan ambos 499 como el año de composición.

El libro nombra también el lugar cuyo saber expone. En la traducción de Clark, Aryabhata presenta «la ciencia que se honra en Kusumapura». David Pingree, en el Dictionary of Scientific Biography, identifica Kusumapura con Pataliputra, la actual Patna, capital imperial de los Gupta durante buena parte de los siglos IV y V. El emplazamiento exacto de Kusumapura es incierto, añade MacTutor. Clark dice que «puede haber sido o no el lugar de su nacimiento».

Dónde nació sigue abierto. Una tradición que da Asmaka, una región cuya propia ubicación se debate, se apoya en un comentario del comentarista Nilakantha Somasutvan, nacido en 1443. Pingree lo lee como probable confusión con Bhaskara I, y MacTutor dice que la mayoría de los historiadores piensa hoy que Nilakantha confundió a los dos. Otros han propuesto Kerala, Tamil Nadu, Andhra Pradesh o Bengala. MacTutor cita la conclusión de S. Parameswaran de que no puede darse un veredicto final sobre ninguno de los dos lugares.

Dos datos más de las biografías. El erudito árabe al-Biruni creía que había dos matemáticos llamados Aryabhata, y B. Datta demostró en 1926 que eran una sola persona, dice MacTutor. Y solo se conserva uno de sus libros. Pingree enumera un segundo, hoy perdido, que exponía un sistema para contar el día desde la medianoche.

Un libro hecho para memorizarse

El Aryabhatiya tiene cuatro secciones: un breve conjunto inicial de versos con las constantes astronómicas, el capítulo de matemáticas (Ganitapada, 33 versos), un capítulo sobre el cómputo del tiempo y los modelos planetarios (25 versos) y un capítulo sobre la esfera y los eclipses (50 versos). Cuántos versos hay depende de cómo se cuente el comienzo. El recuento de MacTutor es de 118 versos, mientras que la edición de Clark imprime 13 estrofas iniciales, que con los 108 de las otras tres secciones hacen 121.

En la descripción de Clark, la obra es un resumen más que un manual de trabajo completo. Enuncia las partes distintivas del sistema de Aryabhata y omite procedimientos rutinarios que se esperaba que los lectores conocieran. Las matemáticas se dan como reglas en verso comprimido y sin demostraciones, de modo que el lector necesitaba un maestro o un comentario.

Los especialistas se han preguntado si Aryabhata escribió todos los versos. B. L. van der Waerden sugirió, según informa MacTutor, que la apertura de diez versos se escribió después que las otras tres secciones y que un miembro de la escuela de Kusumapura añadió algunos otros versos. Clark no encontró buena razón para rechazar la sección inicial, en parte porque Brahmagupta citó al menos tres pasajes de ella en 628 y se la atribuyó a Aryabhata. Clark juzgó la obra genuina en su conjunto. Escribió en 1930 que, si su autoría se sostiene, es el texto matemático y astronómico indio más antiguo conservado que lleva el nombre de un autor concreto.

Números escritos como sílabas

Aryabhata escribía los números grandes con palabras. Las consonantes representan los valores del 1 al 25 y luego del 30 al 100, y las vocales unidas a ellas llevan el valor a lugares más altos. El esquema puede llegar a 10 elevado a 18, según MacTutor. Clark señala que la regla de las vocales puede traducirse de más de una manera, y que el mayor número que usa el propio Aryabhata tiene solo diez cifras.

Su propio ejemplo es el número de veces que la Luna da la vuelta a la Tierra en un yuga. Una palabra sánscrita, leída sílaba a sílaba, da a Clark los valores 6, 30, 300, 3.000, 50.000, 700.000, 7.000.000 y 50.000.000. Juntos suman 57.753.336. Solo los versos iniciales usan esta notación. En el resto, el libro emplea palabras numerales corrientes.

Un sistema así depende de que la posición fije el valor, y el capítulo de matemáticas lo dice directamente. El verso 2 nombra las clases de números desde uno hasta mil millones y dice que van «de lugar en lugar, cada una diez veces la anterior», en la traducción de Clark. Clark juzgó que «es difícil creer que una notación alfabética tan descriptiva no se basara en una notación de valor posicional». La historia más amplia del sistema decimal, desde las reglas de Brahmagupta para el cero en adelante, está en el artículo sobre la India y el cero.

Si Aryabhata tenía un símbolo para el cero es otra cuestión, y las fuentes se dividen. La palabra kha, que usa para un lugar, pasó a ser una palabra sánscrita corriente para el cero. En palabras de Clark, seguía discutiéndose si en tiempos de Aryabhata se usaba un símbolo del cero, y sugirió que el cálculo pudo hacerse en un tablero dividido en columnas, con una columna vacía para el cero. La historia del cero de MacTutor dice que ideó un sistema numérico que no tiene cero y sin embargo es posicional. El historiador Georges Ifrah, citado por MacTutor, sostiene que «es extremadamente probable que Aryabhata conociera el signo del cero», porque su extracción de raíces sería imposible sin uno. La datación por carbono del manuscrito de Bakhshali hecha en Oxford, que usa un punto para un lugar vacío, sitúa su material más antiguo en el siglo III o IV. La página de MacTutor sobre los numerales indios dice que la fecha de ese manuscrito se discute. El primer cero fechado que todos los historiadores aceptan es una inscripción de Gwalior del año 876, según MacTutor.

Raíces, sumas e interés

Las reglas de las raíces vienen en los versos 4 y 5. La regla de la raíz cuadrada comienza, en la traducción de Clark: «Hay que dividir siempre el avarga por el doble de la raíz (cuadrada) del varga (precedente)». Aquí varga significa un cuadrado y también los lugares de numeración impar contados desde la derecha, y avarga significa los lugares de numeración par. Al trabajar un número lugar por lugar, el método toma las cifras de la raíz de una en una. Clark juzgó el proceso sustancialmente correcto, aunque señaló varias dificultades en la redacción. A continuación viene una regla de la raíz cúbica en el mismo estilo.

El verso 22 da dos sumas. La suma de los cuadrados de los primeros n números enteros es una sexta parte del producto de n, n más 1 y el doble de n más 1. Sus cubos suman el cuadrado de la suma de los propios números. En notación moderna, son n(n+1)(2n+1)/6 y (1 + 2 + … + n) al cuadrado. El verso 19 da la suma de cualquier tramo de términos de una serie que crece con un paso fijo, y el verso 20 va hacia atrás, desde un total hasta el número de términos, lo que implica una raíz cuadrada.

El capítulo contiene también una regla para un problema en el que el propio interés produce interés, una regla de tres («multiplica el fruto por el deseo y divide por la medida», la traduce Clark) y el área de un triángulo como la perpendicular por la mitad de la base. Las áreas del triángulo y del círculo son correctas, señala MacTutor.

El pulverizador

Las reglas más técnicas son los versos 32 y 33. Hallan un número entero que deja restos dados al dividirlo por dos números distintos. El problema son las soluciones en números enteros de ecuaciones de la forma by = ax + c o by = ax menos c, en la descripción de MacTutor, y el tratamiento de Aryabhata es el más antiguo que conoce. Los astrónomos se toparon con la cuestión al calcular los periodos de los planetas.

El método se llama kuttaka, «pulverizar»: el problema se descompone en problemas nuevos con coeficientes cada vez menores. En el relato de MacTutor esto es en esencia el algoritmo de Euclides para el máximo común divisor y está emparentado con las fracciones continuas. Un caso de juguete es un número que deja 2 al dividirlo por 5 y 3 al dividirlo por 7, que es 17. Los casos astronómicos implican divisores mucho mayores. En un artículo de 2006 para la conferencia de seguridad RSA, Subhash Kak señala que el algoritmo para resolver tales congruencias puede sustituir al teorema chino del resto en ciertas situaciones.

Clark fue franco sobre los dos versos. Están comprimidos, y no encontró ayuda para leerlos en Mahavira, Bhaskara ni el segundo Aryabhata. El paralelo más cercano es el texto más extenso de Brahmagupta, el capítulo 18 del Brahmasphutasiddhanta (628). La lectura de Clark sigue por tanto el comentario de Parameshvara y la redacción de Brahmagupta, y dejó a los matemáticos decidir cuál de las dos reglas es anterior. El comentario de Bhaskara I de 629 cubre solo los 33 versos de matemáticas, dice MacTutor, y aborda las ecuaciones indeterminadas de primer grado y da ejemplos que ilustran las reglas de Aryabhata.

Pi y la tabla de senos

El verso 10 indica al lector que sume 4 a 100, multiplique por 8 y sume 62.000, lo que da 62.832 como circunferencia de un círculo de diámetro 20.000. Eso hace la razón 3,1416. El verso llama al resultado «aproximadamente» la circunferencia, en la traducción de Clark. Según MacTutor, Aryabhata no explica cómo halló la cifra y en la práctica usaba la raíz cuadrada de 10. A. Ahmad propuso un polígono de 256 lados, y E. M. Bruins demostró que duplicar los lados no puede producir ese valor. Un relato más completo está en el artículo anterior.

La primera sección enumera 24 diferencias de seno, desde 225, 224 y 222 hasta 7, para un cuarto de círculo dividido en pasos de 225 minutos de arco, o 3 grados 45 minutos. Con un radio de 3.438 minutos, las 24 diferencias suman exactamente esa cifra. Un círculo de 21.600 minutos dividido por dos veces pi da también unos 3.438. El verso 12 da una regla para construir toda la tabla a partir de la primera entrada. Clark señaló que no se conoce el método exacto que Aryabhata usó para calcular los senos.

El Mahabhaskariya de Bhaskara I da más tarde una fórmula racional para el seno y se la atribuye a Aryabhata. MacTutor informa de un error máximo inferior al uno por ciento. La página de MacTutor sobre las funciones trigonométricas sigue la palabra sánscrita de Aryabhata para la media cuerda, jya, a través del árabe jiba y luego jaib hasta el latín sinus.

Dónde difieren las fuentes sobre las matemáticas

Dos reglas del capítulo se juzgan erróneas. Los versos 6 y 7 dan de forma incorrecta el volumen de una pirámide y el de una esfera, dice Clark, y MacTutor informa de que la mayoría de los historiadores los trata como erróneos. K. Elfering sostuvo que una traducción distinta de dos términos técnicos hace correctos ambos. MacTutor observa que su lectura exige esos términos en sentidos inusuales, de modo que la cuestión sigue abierta. Clark añadió que Brahmagupta, que criticó a Aryabhata unas sesenta veces, sobre todo en astronomía y en apartamientos de la tradición, no dijo nada del capítulo de matemáticas, lo que Clark pensó que quizá solo significaba que no encontró nada que objetar.

Comentarios desde el siglo VI hasta 1854

El libro se explicó durante más de doce siglos. Pingree enumera a los comentaristas: Prabhakara hacia 525, cuya obra está perdida, luego Bhaskara I en 629, Someshvara hacia 1040, Suryadeva Yajvan de Kerala (nacido en 1191), Parameshvara (hacia 1400 a 1450), Nilakantha Somasutvan (nacido en 1443), cuya escuela de Kerala es el tema de un artículo aparte sobre las series y el cálculo, y hasta Kodandarama de Bobbili, cuyo comentario en telugu data de hacia 1854. Pingree señala que los estudiosos del sur de la India lo estudiaron con especial detenimiento. El libro se tradujo al árabe hacia 800 como Zij al-Arjabhar, y Pingree dice que todas las citas de al-Biruni proceden de esa traducción. H. Kern publicó el texto sánscrito con el comentario de Parameshvara en Leiden en 1874, y la traducción inglesa de Clark siguió en 1930.

Bhaskara I, según MacTutor, llamó a Aryabhata el maestro que transmitió las tres ciencias de las matemáticas, la cinemática y la esférica. El primer satélite de la India, lanzado el 19 de abril de 1975, recibió su nombre, registra la página de la ISRO. En 1979 la Unión Astronómica Internacional aprobó el nombre Aryabhata para un cráter lunar, que el catálogo del USGS da con 21,89 kilómetros de diámetro.