499 ई. में आर्यभट ने अंक-दर-अंक मूल निकालने के नियम, श्रेणियों के योग, 24 प्रविष्टियों की ज्या-सारणी और समीकरण हल करने की एक विधि लगभग 120 श्लोकों में समेट दी

आर्यभटीय, जो 499 ई. में पूरा हुआ, अपने समय का अंकगणित, बीजगणित और त्रिकोणमिति गणित के 33 श्लोकों वाले एक अध्याय में समेटता है। सेंट एंड्रयूज़ विश्वविद्यालय का गणित-इतिहास अभिलेखागार मैकट्यूटर उन श्लोकों में 66 नियम गिनता है, बिना प्रमाण के कहे गए। इसके लेखक आर्यभट अपनी उम्र 23 साल बताते हैं, जिससे उनका जन्म 476 में ठहरता है।

यह लेख गणित के बारे में है। घूमती पृथ्वी और ग्रहण की व्याख्या एक अलग लेख में है, और उनके नाम वाला उपग्रह दूसरे लेख में।

कुसुमपुर का एक 23 वर्षीय युवक

आर्यभट अपना समय पुस्तक के तीसरे अध्याय में बताते हैं। शिकागो विश्वविद्यालय प्रेस से 1930 में छपे डब्ल्यू. ई. क्लार्क के अंग्रेज़ी अनुवाद में यह श्लोक 3,600 वर्ष और एक युग के तीन चौथाई की गिनती करता है, युग एक विशाल खगोलीय चक्र है, और कहता है कि उनके जीवन के तेईस वर्ष बीत चुके थे। क्लार्क निकालते हैं कि अगर आर्यभट ने कलियुग का आरंभ 3102 ई.पू. से माना, जैसा बाद के खगोलविद मानते थे, तो श्लोक 499 ई. पर पहुँचता है। वे जोड़ते हैं कि पंद्रहवीं सदी के टीकाकार परमेश्वर एक पुरानी टीका का हवाला देते हैं, जो 499 को वह तारीख पढ़ती है जिसके लिए पुस्तक की ग्रह-सारणियाँ ठीक बैठती हैं। मैकट्यूटर और क्लार्क दोनों 499 को रचना का वर्ष मानते हैं।

पुस्तक उस जगह का नाम भी लेती है जिसका ज्ञान वह प्रस्तुत करती है। क्लार्क के अनुवाद में आर्यभट “उस विज्ञान” की बात करते हैं “जिसका कुसुमपुर में सम्मान होता है।” डेविड पिंग्री ने डिक्शनरी ऑफ़ साइंटिफ़िक बायोग्राफ़ी में कुसुमपुर की पहचान पाटलिपुत्र, यानी आज के पटना से की है, जो चौथी और पाँचवीं सदी के बड़े हिस्से में गुप्तों की शाही राजधानी था। मैकट्यूटर जोड़ता है कि कुसुमपुर की ठीक जगह अनिश्चित है। क्लार्क कहते हैं कि वह “उनकी जन्मभूमि हो भी सकती है और नहीं भी।”

उनका जन्म कहाँ हुआ, यह खुला प्रश्न है। एक परंपरा अश्मक को जन्मस्थान बताती है, एक ऐसा क्षेत्र जिसकी अपनी स्थिति पर बहस है, और वह टीकाकार नीलकंठ सोमसुत्वन की एक टिप्पणी पर टिकी है, जिनका जन्म 1443 में हुआ। पिंग्री इसे संभवतः भास्कर प्रथम से हुआ भ्रम मानते हैं, और मैकट्यूटर कहता है कि अधिकांश इतिहासकार अब सोचते हैं कि नीलकंठ ने दोनों को मिला दिया। औरों ने केरल, तमिलनाडु, आंध्र प्रदेश या बंगाल का सुझाव दिया है। मैकट्यूटर एस. परमेश्वरन का निष्कर्ष उद्धृत करता है कि किसी भी स्थान के बारे में अंतिम फ़ैसला नहीं दिया जा सकता।

जीवनियों से दो और बातें। अरब विद्वान अल-बिरूनी मानते थे कि आर्यभट नाम के दो गणितज्ञ थे, और बी. दत्त ने 1926 में दिखाया कि वे एक ही व्यक्ति थे, मैकट्यूटर बताता है। और उनकी केवल एक पुस्तक बची है। पिंग्री एक दूसरी, अब खो चुकी पुस्तक का ज़िक्र करते हैं, जिसमें मध्यरात्रि से दिन गिनने की पद्धति बताई गई थी।

याद करने के लिए बनी पुस्तक

आर्यभटीय के चार खंड हैं: खगोलीय स्थिरांकों वाले श्लोकों का एक छोटा आरंभिक समूह, गणित का अध्याय (गणितपाद, 33 श्लोक), काल-गणना और ग्रह-मॉडलों का एक अध्याय (25 श्लोक), और गोल और ग्रहणों का एक अध्याय (50 श्लोक)। श्लोकों की कुल संख्या इस पर निर्भर करती है कि आरंभ को कैसे गिना जाए। मैकट्यूटर में गिनती 118 श्लोकों की है, जबकि क्लार्क का संस्करण 13 आरंभिक पद छापता है, जो बाकी तीन खंडों के 108 के साथ 121 होते हैं।

क्लार्क के वर्णन में यह रचना पूरी कार्य-पुस्तिका नहीं, एक सार है। वह आर्यभट की प्रणाली के अलग हिस्से बताती है और नियमित प्रक्रियाएँ छोड़ देती है, जिन्हें पाठक से जानने की अपेक्षा थी। गणित संक्षिप्त श्लोकों में नियमों के रूप में दिया गया है, प्रमाण के बिना, इसलिए पाठक को शिक्षक या टीका की ज़रूरत पड़ती थी।

विद्वानों ने पूछा है कि क्या हर श्लोक आर्यभट ने ही लिखा। मैकट्यूटर के हवाले से बी. एल. फ़ान डर वार्डन ने सुझाया कि दस श्लोकों का आरंभ बाकी तीन खंडों से बाद में लिखा गया और कुछ और श्लोक कुसुमपुर की पाठशाला के किसी सदस्य ने जोड़े। क्लार्क को आरंभिक खंड को ठुकराने का कोई ठोस कारण नहीं मिला, आंशिक रूप से इसलिए कि ब्रह्मगुप्त ने 628 में उसके कम से कम तीन अंश उद्धृत किए और उसे आर्यभट का बताया। क्लार्क ने रचना को कुल मिलाकर प्रामाणिक माना। उन्होंने 1930 में लिखा कि अगर रचयिता का दावा टिकता है, तो यह किसी व्यक्ति के नाम वाला सबसे पुराना सुरक्षित भारतीय गणितीय और खगोलीय ग्रंथ है।

अक्षरों में लिखी संख्याएँ

आर्यभट बड़ी संख्याएँ शब्दों के रूप में लिखते थे। व्यंजन 1 से 25 तक और फिर 30 से 100 तक के मान दर्शाते हैं, और उनसे जुड़े स्वर मान को ऊँचे स्थानों पर ले जाते हैं। मैकट्यूटर के अनुसार यह योजना 10 की घात 18 तक पहुँच सकती है। क्लार्क ध्यान दिलाते हैं कि स्वरों का नियम एक से अधिक तरीकों से अनुवादित हो सकता है, और कि आर्यभट स्वयं जो सबसे बड़ी संख्या इस्तेमाल करते हैं उसमें केवल दस स्थान हैं।

उनका अपना उदाहरण एक युग में चंद्रमा के पृथ्वी की परिक्रमा करने की संख्या है। एक संस्कृत शब्द को अक्षर-अक्षर पढ़ने पर क्लार्क को मान मिलते हैं 6, 30, 300, 3,000, 50,000, 700,000, 7,000,000 और 50,000,000। साथ मिलकर वे 57,753,336 बनाते हैं। यह संकेतन केवल आरंभिक श्लोकों में आता है। बाकी पुस्तक में सामान्य संख्या-शब्द इस्तेमाल हुए हैं।

ऐसी प्रणाली इस पर टिकी है कि स्थान मान तय करता है, और गणित का अध्याय यह सीधे कहता है। श्लोक 2 एक से हज़ार मिलियन तक की संख्याओं के वर्ग गिनाता है और कहता है कि वे “स्थान से स्थान पर पिछले से दस गुना” चलते हैं, क्लार्क के अनुवाद में। क्लार्क का निर्णय था कि “यह मानना कठिन है कि ऐसा वर्णनात्मक अक्षर-संकेतन स्थानमान संकेतन पर आधारित नहीं था।” दशमलव प्रणाली का व्यापक इतिहास, ब्रह्मगुप्त के शून्य के नियमों से आगे, भारत और शून्य वाले लेख में है।

आर्यभट के पास शून्य का चिह्न था या नहीं, यह अलग प्रश्न है, और स्रोत बँटे हुए हैं। शब्द ख, जिसे वे एक स्थान के लिए इस्तेमाल करते हैं, संस्कृत में शून्य का आम शब्द बन गया। क्लार्क के शब्दों में यह अब भी विवादित था कि आर्यभट के समय शून्य का चिह्न चलन में था या नहीं, और उन्होंने सुझाया कि गणना खानों वाले एक फलक पर होती रही होगी, जिसमें शून्य के लिए खाली खाना रहता। मैकट्यूटर का शून्य का इतिहास कहता है कि उन्होंने ऐसी संख्या-प्रणाली बनाई जिसमें शून्य नहीं है, फिर भी वह स्थानमान वाली है। इतिहासकार जॉर्जेस इफ़्रा, जिन्हें मैकट्यूटर उद्धृत करता है, मानते हैं कि “यह अत्यंत संभव है कि आर्यभट शून्य का चिह्न जानते थे,” क्योंकि उनके मूल निकालने के तरीके के बिना वह असंभव होता। ऑक्सफ़ोर्ड की बख़्शाली पांडुलिपि की कार्बन डेटिंग, जिसमें खाली स्थान के लिए बिंदु का इस्तेमाल है, उसकी सबसे पुरानी सामग्री को तीसरी या चौथी सदी जितना पुराना बताती है। मैकट्यूटर का भारतीय अंकों वाला पृष्ठ कहता है कि उस पांडुलिपि की तारीख विवादित है। मैकट्यूटर के अनुसार पहला दिनांकित शून्य, जिसे सभी इतिहासकार मानते हैं, 876 का ग्वालियर का एक अभिलेख है।

मूल, योग और ब्याज

मूल के नियम श्लोक 4 और 5 में आते हैं। वर्गमूल का नियम क्लार्क के अनुवाद में यों शुरू होता है: “अवर्ग को सदा (पिछले) वर्ग के (वर्ग) मूल के दुगुने से भाग दें।” यहाँ वर्ग का अर्थ एक वर्ग है और दाएँ से गिनने पर विषम स्थान भी, और अवर्ग का अर्थ सम स्थान। संख्या में स्थान-दर-स्थान आगे बढ़ते हुए यह विधि मूल के अंक एक-एक करके निकालती है। क्लार्क ने प्रक्रिया को मूलतः सही माना, जबकि शब्दों में कई कठिनाइयाँ बताईं। घनमूल का नियम उसी शैली में आगे आता है।

श्लोक 22 दो योग देता है। पहली n पूर्ण संख्याओं के वर्गों का योग n, n जमा 1, और दुगुने n जमा 1 के गुणनफल का छठा भाग है। उनके घनों का योग स्वयं उन संख्याओं के योग का वर्ग है। आधुनिक संकेतन में ये n(n+1)(2n+1)/6 और (1 + 2 + … + n) का वर्ग हैं। श्लोक 19 एक निश्चित अंतर से बढ़ती श्रेणी के किसी भी पद-समूह का योग देता है, और श्लोक 20 कुल योग से पदों की संख्या तक उलटे चलता है, जिसमें वर्गमूल लगता है।

अध्याय में उस प्रश्न का नियम भी है जिसमें ब्याज पर ब्याज लगता है, त्रैराशिक का नियम (“फल को इच्छा से गुणा करें और प्रमाण से भाग दें,” क्लार्क इसका अनुवाद यों करते हैं), और त्रिभुज का क्षेत्रफल लंब गुणा आधे आधार के रूप में। मैकट्यूटर ध्यान दिलाता है कि त्रिभुज और वृत्त के क्षेत्रफल सही हैं।

कुट्टक

सबसे तकनीकी नियम श्लोक 32 और 33 हैं। वे ऐसी पूर्ण संख्या खोजते हैं जो दो अलग संख्याओं से भाग देने पर दिए हुए शेष छोड़े। मैकट्यूटर के वर्णन में by = ax + c या by = ax घटा c रूप के समीकरणों के पूर्ण-संख्या हल समस्या हैं, और आर्यभट का इसका सबसे पुराना उपचार है जिसे वह जानता है। खगोलविदों को यह प्रश्न ग्रहों के आवर्तकाल निकालते समय मिला।

विधि का नाम कुट्टक है, “चूर्ण करना”: समस्या टूटकर छोटे से छोटे गुणांकों वाली नई समस्याओं में बदलती जाती है। मैकट्यूटर के विवरण में यह मूलतः महत्तम समापवर्तक की यूक्लिड विधि है और निरंतर भिन्नों से जुड़ी है। एक छोटा उदाहरण वह संख्या है जो 5 से भाग देने पर 2 और 7 से भाग देने पर 3 छोड़े, यानी 17। खगोलीय मामलों में भाजक कहीं बड़े होते हैं। आरएसए सुरक्षा सम्मेलन के लिए 2006 के एक शोध-पत्र में सुभाष काक ध्यान दिलाते हैं कि ऐसे सर्वांगसमता-समीकरण हल करने वाला यह एल्गोरिद्म कुछ स्थितियों में चीनी शेषफल प्रमेय की जगह ले सकता है।

क्लार्क इन दोनों श्लोकों के बारे में स्पष्टवादी थे। वे संक्षिप्त हैं, और उन्हें पढ़ने में महावीर, भास्कर या दूसरे आर्यभट से उन्हें कोई मदद नहीं मिली। सबसे निकट समानांतर ब्रह्मगुप्त का विस्तृत पाठ है, ब्रह्मस्फुटसिद्धांत (628) का अठारहवाँ अध्याय। इसलिए क्लार्क की व्याख्या परमेश्वर की टीका और ब्रह्मगुप्त के शब्दों का अनुसरण करती है, और दोनों नियमों में कौन पुराना है, यह उन्होंने गणितज्ञों पर छोड़ दिया। भास्कर प्रथम की 629 की टीका केवल गणित के 33 श्लोकों को लेती है, मैकट्यूटर कहता है, और प्रथम घात के अनिर्धार्य समीकरणों को उठाती है तथा आर्यभट के नियमों को स्पष्ट करने वाले उदाहरण देती है।

पाई और ज्याओं की सारणी

श्लोक 10 पाठक से कहता है कि 100 में 4 जोड़ें, 8 से गुणा करें और 62,000 जोड़ें, जिससे 20,000 व्यास वाले वृत्त की परिधि 62,832 आती है। इससे अनुपात 3.1416 बनता है। श्लोक इस परिणाम को परिधि का “लगभग” मान कहता है, क्लार्क के अनुवाद में। मैकट्यूटर के अनुसार आर्यभट यह नहीं समझाते कि यह आँकड़ा उन्हें कैसे मिला, और व्यवहार में वे 10 का वर्गमूल इस्तेमाल करते थे। ए. अहमद ने 256 भुजाओं वाले बहुभुज का सुझाव दिया, और ई. एम. ब्रुइन्स ने दिखाया कि भुजाएँ दुगुनी करने से यह मान नहीं निकल सकता। विस्तृत विवरण पहले वाले लेख में है।

पहला खंड 24 ज्या-अंतर गिनाता है, 225, 224 और 222 से घटते हुए 7 तक, एक चौथाई वृत्त को 225 कला, यानी 3 अंश 45 कला के क़दमों में काटकर। 3,438 कला की त्रिज्या के साथ, 24 अंतरों का योग ठीक उतना ही आता है। 21,600 कला का वृत्त दुगुने पाई से भाग देने पर भी लगभग 3,438 देता है। श्लोक 12 पहली प्रविष्टि से पूरी सारणी बनाने का नियम देता है। क्लार्क ने नोट किया कि ज्याओं की गणना के लिए आर्यभट ने ठीक कौन-सी विधि अपनाई, यह ज्ञात नहीं।

भास्कर प्रथम की महाभास्करीय में आगे ज्या का एक परिमेय सूत्र आता है, जिसे वह आर्यभट का बताता है। मैकट्यूटर अधिकतम त्रुटि एक प्रतिशत से कम बताता है। मैकट्यूटर का त्रिकोणमितीय फलनों वाला पृष्ठ आर्यभट के अर्ध-जीवा के संस्कृत शब्द ज्या का सफ़र अरबी जिबा और फिर जैब से होते हुए लैटिन साइनस तक दिखाता है।

गणित पर स्रोत कहाँ अलग हैं

अध्याय के दो नियमों को ग़लत ठहराया गया है। क्लार्क कहते हैं कि श्लोक 6 और 7 पिरामिड और गोले का आयतन ग़लत देते हैं, और मैकट्यूटर बताता है कि अधिकांश इतिहासकार उन्हें ग़लत मानते हैं। के. एल्फ़रिंग ने तर्क दिया कि दो तकनीकी शब्दों का अलग अनुवाद करने पर दोनों सही हो जाते हैं। मैकट्यूटर देखता है कि उनकी व्याख्या के लिए उन शब्दों को असामान्य अर्थों में लेना पड़ता है, इसलिए प्रश्न खुला रहता है। क्लार्क ने जोड़ा कि ब्रह्मगुप्त ने, जिन्होंने आर्यभट की लगभग साठ बार आलोचना की, अधिकतर खगोल और परंपरा से हटने पर, गणित के अध्याय के बारे में कुछ नहीं कहा, जिसका क्लार्क के विचार से बस यह अर्थ हो सकता है कि उन्हें आपत्ति करने लायक कुछ नहीं मिला।

छठी सदी से 1854 तक की टीकाएँ

पुस्तक को बारह सदियों से ज़्यादा समझाया जाता रहा। पिंग्री टीकाकारों की सूची देते हैं: लगभग 525 में प्रभाकर, जिनका काम खो गया है, फिर 629 में भास्कर प्रथम, लगभग 1040 में सोमेश्वर, केरल के सूर्यदेव यज्वन (जन्म 1191), परमेश्वर (लगभग 1400 से 1450 तक), नीलकंठ सोमसुत्वन (जन्म 1443), जिनके केरल संप्रदाय पर श्रेणियों और कलन वाला एक अलग लेख है, और आगे बोब्बिली के कोदंडराम तक, जिनकी तेलुगु टीका लगभग 1854 की है। पिंग्री नोट करते हैं कि दक्षिण भारत के विद्वानों ने इसका विशेष रूप से गहन अध्ययन किया। पुस्तक का अरबी में लगभग 800 के आसपास ज़ीज अल-अरजभर के नाम से अनुवाद हुआ, और पिंग्री कहते हैं कि अल-बिरूनी के सारे उद्धरण उसी अनुवाद से आए हैं। एच. केर्न ने 1874 में लीडन में परमेश्वर की टीका के साथ संस्कृत पाठ छापा, और क्लार्क का अंग्रेज़ी अनुवाद 1930 में आया।

भास्कर प्रथम ने, मैकट्यूटर के अनुसार, आर्यभट को उस गुरु के रूप में याद किया जिसने गणित, गति-विज्ञान और गोल-विज्ञान, तीनों विज्ञान आगे सौंपे। भारत का पहला उपग्रह, जो 19 अप्रैल 1975 को छोड़ा गया, उन्हीं के नाम पर रखा गया, इसरो का पृष्ठ दर्ज करता है। 1979 में अंतरराष्ट्रीय खगोलीय संघ ने एक चंद्र गर्त के लिए आर्यभट नाम स्वीकृत किया, जिसे यूएसजीएस का गैज़ेटियर 21.89 किलोमीटर चौड़ा बताता है।