500 మైళ్ల దూరంలో ఉన్న మొహెంజో-దారో, హరప్పాల నుంచి వచ్చిన 147 హరప్పా రాతి తూనికలు సుమారు 0.86 గ్రాముల ప్రమాణంపై నిర్మించిన ఒకే శ్రేణిలో సరిపోతాయి

మొహెంజో-దారో తవ్వకాలపై 1931లో ప్రచురించిన అధికారిక వివరణలో, లాహోర్ ప్రభుత్వ కళాశాల మాజీ ప్రిన్సిపాల్ ఎ. ఎస్. హెమ్మీ మొహెంజో-దారో, హరప్పాల్లో దొరికిన చిన్న రాతి దిమ్మలను తూచిన ఫలితాలను నివేదించారు. నమ్మదగిన బరువు ఇవ్వగల స్థితిలో ఉన్న 159 దిమ్మల్లో 147 సుమారు 0.857 గ్రాముల ఒకే ప్రమాణంపై నిర్మించిన ఒకే మెట్ల శ్రేణిలో పడ్డాయి. ప్రమాణం మొహెంజో-దారోలో 0.856 గ్రాములు, హరప్పాలో 0.860 గ్రాములుగా వచ్చింది, సుమారు 500 మైళ్ల (800 కి.మీ.) దూరంలో ఉన్న రెండు నగరాల మధ్య స్థానిక తేడా లేదని హెమ్మీ రాశారు.

తర్వాతి అధ్యయనాలు అదే ఆలోచనను పెద్ద నమూనాలపై, గుజరాత్‌లోని ధోలావీరా సహా మరిన్ని స్థలాలపై పరీక్షించాయి, కొన్ని వివరాలను మార్చాయి. మూలాలు ప్రతి అంకెపై ఏకీభవించవు, ఏ అంకె ఎవరిదో ఈ వ్యాసం వివరిస్తుంది.

చిన్న చారల రాతి దిమ్మలు, దేనిపైనా గుర్తు లేదు

హెమ్మీ అధ్యాయం ఆ వస్తువులను చిన్న దీర్ఘచతురస్రాకార దిమ్మలుగా వర్ణిస్తుంది; చాలావరకు పసుపు గోధుమ లేదా లేత బూడిద రంగు చారల చెర్ట్ (గట్టి, సన్నని రేణువుల రాయి)తో, కొన్ని నైస్ వంటి ఇతర గట్టి రాళ్లతో చేసినవి. చాలావరకు ఘనాలు, కొన్ని స్థూపాలు. అవి బాగా తీర్చిదిద్దినవి, మెరుగు పెట్టినవి, విలువ చెప్పే శాసనం లేదా గుర్తు ఏదీ వాటిపై లేదు.

గృహోపకరణాలపై సంపుటి అధ్యాయం రాసిన తవ్వకందారు ఎర్నెస్ట్ మెకే, ఘనాకార రకం చాలా ఎక్కువగా ఉందని అంటారు. ఘనాలను మొదట ముతకగా చెక్కి, తర్వాత రుబ్బి, తర్వాత మెరుగు పెట్టారు, పూర్తికాని ఒకటి మొహెంజో-దారో నుంచి మిగిలి ఉంది. అతి చిన్న ఘనం 0.3 బై 0.3 బై 0.25 అంగుళాలు, అంటే సుమారు 8 మి.మీ. వెడల్పు.

తూనికలు పెద్ద ఇళ్లలోనే కాక చిన్న ఇళ్లలోనూ కనిపించాయని, వర్క్‌షాప్ కావచ్చని అనిపించే ఏ ఒక్క చోటా కాదని మెకే గమనించారు. ఈ సంఖ్య విశేషమని, భారతదేశం వెలుపల ఏ ప్రాచీన స్థలం ఇన్ని ఇచ్చిందని తాను అనుకోనని రాశారు. ఘనాలు బాబిలోనియాలో వాడిన ఆకారాలకు పూర్తిగా భిన్నమైనవని కూడా ఆయన గమనించారు.

1970లో డానిష్ జర్నల్ కుమ్లో రాసిన టి. జి. బిబ్బీ, మొహెంజో-దారో నుంచి 297, హరప్పా నుంచి 34 తూనికలపై మెకే తర్వాతి విశ్లేషణను ఉదహరిస్తారు, బహ్రెయిన్‌ను 331 సింధు తూనికల నమూనాతో పోలుస్తారు. ఆ నమూనాలో 262 ఘనాకారం, 14 గోళాకారం, 8 స్టియటైట్ (మెత్తని రాయి)తో చేసినవి.

బూడిద రంగు ఘనాల కుప్ప ఒక ప్రమాణాన్ని ఎలా ఇచ్చింది

హెమ్మీ పద్ధతి సరళం. ఏ ఒక్క తూనిక మిగిలిన వాటికంటే కచ్చితమైనది కాదని, దోష అవకాశం అన్నింటికీ సమానమని ఆయన భావించారు. తర్వాత దిమ్మలను సాధారణ నిష్పత్తుల్లో ద్రవ్యరాశులు గల సమూహాలుగా వర్గీకరించారు, అతి చిన్న సమూహానికి ఒకటి విలువ ఇచ్చారు, ప్రతి సమూహపు సగటును దాని నిష్పత్తితో భాగించి ఫలితాలను సగటు తీశారు, కాబట్టి ప్రతి నమూనా సమానంగా లెక్కలోకి వచ్చింది.

మొహెంజో-దారోలో ఆయన ఎంచుకున్న 120 తూనికల్లో 113, హరప్పాలో 39లో 34 పట్టికలో సరిపోయాయి. కలిపి చూస్తే, సమూహాల నిష్పత్తులు 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 అని సాగి, తర్వాత 160, 200, 320, 640, 1,600కు దూకుతాయి. ఒక అదనపు సమూహం ఉంది, దాని రెండు సభ్యులు నిష్పత్తి 8 వద్ద ఉన్న సమూహంలో మూడో వంతు బరువు తూగుతాయి. ఆ ఒక్క మూడో వంతు తప్ప ప్రతి నిష్పత్తీ బైనరీయో దశాంశమో; మెసొపొటేమియాలో వాడిన షష్టిమాన (60 ఆధార) లెక్కింపు జాడ ఈ వ్యవస్థలో లేదని హెమ్మీ అన్నారు.

హెమ్మీ పట్టిక పైభాగంలో అత్యంత భారీ సమూహం సుమారు 1,375 గ్రాములు, అంటే 1.37 కిలోలు. అడుగున ప్రమాణం ఒక గ్రాము కంటే తక్కువ బరువున్న దిమ్మ.

చెదురుదనం గురించి హెమ్మీ నిజాయితీగా చెప్పారు. ఒకే నామమాత్ర బరువున్న నమూనాలు 10 శాతం వరకు తేడాగా ఉండవచ్చని, కానీ ఒక సమూహంలో సగటు విచలనం 2 శాతం మించడం అరుదని ఆయన రాశారు. చిప్ అవడం లేదా అరగడం వల్ల నష్టం వెయ్యికి 3 భాగాలకు మించడం అరుదని, ఆ చెదురుదనం పక్కన అది చిన్నదని ఆయన భావించారు.

మూలాలు వేర్వేరు ప్రమాణాలను ఎందుకు ఉటంకిస్తాయి

దీని గురించి చదివేవారికి 16 లేదా 2 రెట్లు తేడా ఉన్న అంకెలు కనిపిస్తాయి, ప్రతి రచయిత ఏ మెట్టును ఆధారంగా పిలుస్తారనేదే కారణం.

హెమ్మీ పట్టికలో 16వ మెట్టు, సమూహం F, లెక్కించిన విలువ 13.71 గ్రాములు. చాలా వివరణల్లో ఉటంకించే సుమారు 13.6 గ్రాముల అంకె ఈ మెట్టుకు చెందినది, ప్రమాణానికి కాదు. ప్రామాణిక హరప్పా వ్యవస్థకు చంద్రకాంత్ దోషి 2019 ధోలావీరా తవ్వకం నివేదిక సారాంశం 13.625 గ్రాములు ఇస్తుంది, అది అదే మెట్టు.

బిబ్బీ నివేదించినట్లు మెకే తర్వాతి విశ్లేషణ ప్రాథమిక బరువును 1.714 గ్రాములుగా పెట్టింది. అది హెమ్మీ రెండో మెట్టు, సమూహం B, లెక్కించిన విలువ 1.71 గ్రాములతో సరిపోతుంది.

MacTutor భారతీయ గణితం అవలోకనం హరప్పా తూనికలను రెండు దశాంశ ఆధార శ్రేణులుగా వర్ణిస్తుంది, ప్రతి విలువను రెండుతో గుణిస్తారు, భాగిస్తారు; ప్రధాన శ్రేణి ఒక ఆధారానికి 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500 రెట్లు. ఆ నిచ్చెన ఎక్కడి నుంచి వస్తుందో అవలోకనం చెప్పదు, అది హెమ్మీ 1931 పట్టికకు భిన్నంగా ఉంది. మూలాలు ఉమ్మడిగా చెప్పేది రెట్టింపు చేసి, పైకి వెళ్లేకొద్దీ పదులుగా, సంబంధం ఉన్న స్థిర మెట్లు అనే ఆలోచన. కచ్చితమైన నిచ్చెనపై వారు విభేదిస్తారు.

మొహెంజో-దారో నుంచి ధోలావీరా వరకు

2021 జూలై 27న యునెస్కో తన ప్రపంచ వారసత్వ జాబితాలో చేర్చిన, రాణ్ ఆఫ్ కచ్‌లోని హరప్పా నగరం ధోలావీరా, హెమ్మీ రెండు స్థలాలకు దూరంగా ఉంది. ఆ జాబితా చేరికపై పత్రికా సమాచార కార్యాలయం విడుదల నగరాన్ని క్రీ.పూ. మూడో నుంచి రెండో సహస్రాబ్ది మధ్య వరకు నాటిదిగా నిర్ణయిస్తుంది. దాని నీటి పనుల కథ కోసం ధోలావీరాపై మా వ్యాసం చూడండి.

భారత పురావస్తు సర్వే సంస్థకు చెందిన ఆర్. ఎస్. బిష్త్ ధోలావీరా తవ్వకం నివేదికను సంగ్రహించిన దోషి బ్లాగ్ పోస్ట్, నివేదిక 20 ఆకారాలు, 44 పదార్థాల్లో 996 తూనిక నమూనాలను జాబితా చేస్తుందని చెబుతుంది. ఘనాకారాలు 387తో అత్యంత సాధారణం, తర్వాత 124 గోళాభాలు. ఆ స్థలంలో మూడు తూనిక వ్యవస్థలను బిష్త్ గుర్తించారు, వాటిలో ఒకటి 13.625 గ్రాముల మెట్టున్న ప్రామాణిక హరప్పా వ్యవస్థ. దానికి సరిపోయే తూనికలను దోషి ప్లాట్ చేసి, చెర్ట్ స్పష్టమైన మెట్ల నమూనాను ఇస్తుందని కనుగొంటారు.

సరిపోని ఒక సందర్భాన్ని కూడా దోషి నమోదు చేస్తారు. ధోలావీరాలో అత్యంత భారీ తూనిక, 35,700 గ్రాముల సున్నపురాయి ముక్క, దగ్గరి నామమాత్ర విలువకు సుమారు 31 శాతం దూరంలో ఉంది. ఈ పోస్ట్ ద్వితీయ సారాంశం, ఈ లెక్కలను పరిశీలించాల్సిన చోటు నివేదిక సొంత పట్టికలు.

నగరాలకు అవతల, బహ్రెయిన్‌లోని తొలి దిల్మున్ నుంచి ఏడు తూనికలు ఆకారంలోనూ బరువులోనూ హరప్పా నగరాల వాటితో సరిపోతాయని బిబ్బీ 1970లో వాదించారు. రుజువుగా నిలవడానికి ఏడు చాలా తక్కువ అని ఆయన జోడించారు.

పరిమాణం కోసం, 2010 PLoS ONE పత్రం ఆ నాగరికత క్రీ.పూ. 2600 నుంచి 1900 మధ్య సుమారు పది లక్షల చదరపు కిలోమీటర్లు విస్తరించిందని చెబుతుంది. విస్తృతంగా చెదిరి ఉన్న కేంద్రాల్లో కొలత యూనిట్లలో ఆశ్చర్యకరమైన ఏకరూపత ఉందని సిన్హా, యాదవ్, వాహియా 2011 arXiv పత్రంలో వర్ణిస్తారు. అదే సంస్కృతిలోని గుజరాత్ రేవు కోసం లోథల్‌పై మా వ్యాసం చూడండి.

కొలత కర్రలు: సింధు అంగుళం, ఏనుగు దంతపు స్కేలు

MacTutor 1.32 అంగుళాల (3.35 సెం.మీ.) ప్రమాణం గల దశాంశ పొడవు స్కేలును నివేదిస్తుంది, దాన్ని సింధు అంగుళం అంటుంది, అలాగే 0.367 అంగుళాల యూనిట్లతో గుర్తించిన ఒక కాంస్య కడ్డీని. తవ్విన శిథిలాల కొలతలు ఈ పొడవులను నిర్మాణంలో కచ్చితంగా వాడారని చూపుతున్నాయని అది జోడిస్తుంది. గుర్తుల కచ్చితత్వం ఆశ్చర్యకరమని దాని రచయితలు అంటారు.

ఎస్. ఆర్. రావ్ తవ్వి తీసిన లోథల్ ఏనుగు దంతపు స్కేలు ప్రసిద్ధ ఆవిష్కరణ. సిన్హా, యాదవ్, వాహియా దాన్ని 46 మి.మీ.లో 27 సమానంగా ఖాళీ ఉన్న గీతలుగా, సుమారు 1.70 మి.మీ. ప్రమాణాన్ని సూచిస్తూ వర్ణిస్తారు. ప్రాచీన భారతీయ స్థల, కాల అంశాలపై సుభాష్ కాక్ వ్యాసం అదే సమాచారాన్ని, 46 మి.మీ.లో 27 అంశాలు, ఒక్కొక్కటి 1.76 మి.మీ.గా ఇస్తుంది. గీతలను లెక్కించే తీరు వల్ల రెండు అంకెలు భిన్నంగా ఉన్నాయి: 27 గీతలు 26 ఖాళీలను చుట్టుతాయి, 46ను 26తో భాగిస్తే సుమారు 1.77 మి.మీ. లోథల్ ప్రమాణాన్ని ఉటంకించేవారు ఏ లెక్కింపు వాడారో చెప్పాలి.

ధోలావీరా కొలతలపై మైకేల్ డనినో విశ్లేషణను కూడా కాక్ సంగ్రహిస్తారు, అది 190.4 సెం.మీ. పొడవు ప్రమాణాన్ని ప్రతిపాదిస్తుంది. డనినో దాన్ని తర్వాతి అర్థశాస్త్రంలో పేర్కొన్న ఒక కొలతతో ముడిపెడతారు, అక్కడి నుంచి కాక్ ఒక కొనసాగింపును గీస్తారు. అది రచయితల ప్రతిపాదన, ఒక తవ్వకందారు ఒక వస్తువును చదివినది కాదు, కాబట్టి అలాగే తూచాలి.

ప్రమాణం ఎంత కచ్చితం, ఎవరు అమలు చేశారు

వ్యవస్థను ఎంత కచ్చితంగా అమలు చేశారో ఘనాలు తేల్చవు. నమూనాల మధ్య 10 శాతం వరకు దోషం, ఒక సమూహంలో సగటున సుమారు 2 శాతం అని హెమ్మీ స్వంత అంకెలు చూపుతాయి; చేత్తో రుబ్బిన రాయికి అది కచ్చితమే కానీ ఆధునిక సహన స్థాయి కాదు.

నియంత్రణ ప్రశ్నపై వాదన ఉంది. ది ఆర్కియాలజీ ఆఫ్ మెజర్‌మెంట్‌లో కెనోయర్ అధ్యాయం పాత అభిప్రాయం నుంచి మొదలవుతుంది: కాల్చిన ఇటుకల ఏకరీతి నిష్పత్తులు, సింధు లోయ అంతటా తూనికల సమాన పరిమాణాలు నగర పాలకులు విధించిన ప్రమాణీకరణను ప్రతిబింబిస్తాయి. ఆ అధ్యాయం దీన్ని పరీక్షించవలసిన పూర్వ భావనగా చూస్తుంది, హరప్పా నుంచి వివరమైన కొలతలతో సింధు వ్యవస్థలు ఎంత ప్రమాణీకరించబడ్డాయో, ప్రాంతాన్ని బట్టి ఎంత మారాయో అడుగుతుంది.

అదే 1931 సంపుటిలో మెకే ఒక చదువు ఇచ్చారు. జాగ్రత్తగా చేయడం, గట్టి రాయి అధికారులు తయారీపై కొంత నిఘా ఉంచారని సూచిస్తాయని ఆయన భావించారు, తప్పుడు తూనికలు శిక్షార్హమైన నేరం కావచ్చని జోడించారు. ఆయన దీన్ని ఒక అవకాశంగా ఇచ్చారు, ఆ నాగరికత నుంచి అలాంటి నియమాన్ని నమోదు చేసే పాఠం ఏదీ లేదు. లిపి ఇంకా చదవబడలేదు.

ఘనాలు దేన్ని తూచాయి

ముందు విలువైన వస్తువులను చిన్న పరిమాణాల్లో మార్పిడి చేసేటప్పుడు మాత్రమే తూకం వేయడం పరిమితమని రిడ్జ్‌వే పరికల్పనను హెమ్మీ ఉదహరించారు. అది చిన్న తూనికలు మరింత కచ్చితంగా ఉంటాయని ఊహించేలా చేస్తుందని ఆయన రాశారు, అయినా ఆయన పట్టికలు మొత్తం స్కేలులో దాదాపు ఒకే శాతం స్థిరత్వాన్ని చూపుతాయి.

అతి చిన్న దిమ్మలను బహుశా నగల వ్యాపారులు విలువైన లోహాలకు వాడారని మెకే భావించారు. మొహెంజో-దారోలో త్రాసులు దొరకలేదని, అవి చెక్కతో చేసినవైతే, అదే ఎక్కువ అవకాశమనిపిస్తుంది, చాలా కాలం క్రితమే నశించి ఉంటాయని ఆయన జోడించారు.