相距500英里的摩亨佐达罗和哈拉帕出土的147枚哈拉帕石砝码，符合同一个以约0.86克为单位的序列

在1931年出版的摩亨佐达罗发掘官方报告中，拉合尔政府学院的前院长A. S. 赫米报告了他称量摩亨佐达罗和哈拉帕出土的小石块的结果。在159枚状态良好、足以给出可靠重量的石块中，有147枚落入同一个阶梯序列，这个序列建立在约0.857克的单一单位上。这个单位在摩亨佐达罗得出的是0.856克，在哈拉帕是0.860克，赫米写道，在这两座相距约500英里（800公里）的城市之间，没有地方差异。

后来的研究用更大的样本和更多的遗址检验了同一个想法，其中包括古吉拉特的多拉维拉，并改动了一些细节。各家的数字并不完全一致，本文说明每个数字出自谁。

没有任何标记的小块带纹石头

赫米那一章把这些物体描述为小型长方块，大多是黄褐色或浅灰色带纹燧石（一种坚硬、细粒的石头），少数是片麻岩等其他硬岩。多数是立方体，少数是圆柱体。它们加工精细，经过磨光，没有一块刻有表明数值的铭文或记号。

欧内斯特·麦凯（Ernest Mackay）是该卷中写家用器物一章的发掘者，他说立方体这一类是最常见的。立方体先是粗略打制成形，再磨，再抛光，摩亨佐达罗留有一件未完工的。最小的立方体尺寸为0.3乘0.3乘0.25英寸，约8毫米见方。

麦凯指出，砝码在小房子里和大房子里都有出现，而不集中在任何可能是作坊的地方。他觉得数量之多不寻常，写道他认为印度以外的古代遗址没有出土过这么多。他还指出，这些立方体与巴比伦尼亚使用的形状很不一样。

T. G. 比比（T. G. Bibby）1970年在丹麦期刊《Kuml》上撰文，引用了麦凯后来对摩亨佐达罗297枚、哈拉帕34枚砝码的分析，并把巴林与331枚印度河砝码的样本作了比较。在这个样本中，262枚是立方体，14枚是球形，8枚是皂石（一种软石）。

一堆灰色立方体如何交出一个单位

赫米的方法很朴素。他假定没有哪一枚砝码比其余的更准确，出错的可能对所有砝码都相同。然后他把石块按质量成简单比例的关系分组，把最小的一组定为一，将每组的平均值除以它的比值，再取平均，使每一枚标本的权重相同。

在摩亨佐达罗，他选出的120枚砝码中有113枚符合这张表，在哈拉帕是39枚中的34枚。合在一起，各组的比值依次为1、2、4、8、16、32和64，然后跳到160、200、320、640和1,600。另有一个额外的组，它的两枚成员重量是比值为8那一组的三分之一。赫米评论说，这套体系没有显示出美索不达米亚所用的六十进制（sexagesimal）计数的痕迹：除了那一个三分之一之外，每个比值不是二进制就是十进制。

在赫米这张表的顶端，最重的一组约为1,375克，即1.37公斤。在底端，单位是一块不到一克的石块。

赫米对离散情况很坦率。他写道，名义重量相同的标本可以相差多达10%，不过一组之内的平均偏差很少超过2%。他把崩缺或磨损造成的损失定为很少超过千分之三，与这种离散相比很小。

为什么各家引用不同的单位

查这个问题的读者会发现，各处的数字相差16倍或2倍，原因在于每位作者把哪一级称为基数。

在赫米的表中，第16级即F组的计算值是13.71克。许多叙述中引用的约13.6克这个数，属于这一级，而不是单位。钱德拉坎特·多希（Chandrakant Doshi）2019年对多拉维拉发掘报告的概述，给出标准哈拉帕体系为13.625克，这是同一级。

麦凯后来的分析，按比比的转述，把基本重量定为1.714克。这与赫米的第二级即B组相合，其计算值是1.71克。

MacTutor对印度数学的概述，把哈拉帕砝码描述为两个以十进制为基础的序列，其中每个数值都乘以二、除以二，主序列是基数的0.05、0.1、0.2、0.5、1、2、5、10、20、50、100、200和500倍。该概述没有说这一阶梯出自何处，它也不同于赫米1931年的表。各家共有的是这样一种想法：存在固定的阶梯，彼此以倍数关系相连，更高处则以十倍相连。他们不同的是确切的阶梯。

从摩亨佐达罗到多拉维拉

多拉维拉是库奇沼泽中的哈拉帕城市，联合国教科文组织于2021年7月27日把它列入世界遗产名录，它离赫米研究的两处遗址都很远。新闻信息局关于列入名录的新闻稿，把这座城市定在公元前第三千纪至第二千纪中叶。关于它的水利工程，参见我们关于多拉维拉的文章。

多希的博客文章概述了印度考古调查局R. S. 比什特（R. S. Bisht）的多拉维拉发掘报告，说该报告列出了996件砝码标本，有20种形状、44种材料。长方体最常见，有387件，其次是124件扁球体。比什特在遗址辨认出三套砝码体系，其中之一就是带13.625克一级的标准哈拉帕体系。多希把符合该体系的砝码画出来，发现燧石给出最清晰的阶梯形态。

多希还记录了一个不符合的情况。多拉维拉最重的砝码是一块35,700克的石灰岩，离最近的名义值约有31%的差距。这篇博客是二手概述，核对这些数目要看报告自己的表格。

在这些城市之外，比比1970年提出，巴林的早期狄尔蒙（Dilmun）出土的七枚砝码，在形状和重量上与哈拉帕诸城的一致。他补充说，七枚太少，不足以作为有分量的证明。

至于规模，2010年PLoS ONE上的一篇论文说，这一文明在公元前2600年至前1900年之间覆盖约一百万平方公里。辛哈、亚达夫和瓦希亚（Sinha, Yadav and Vahia）在2011年的arXiv论文中，描述了分布广泛的各中心之间度量单位惊人的一致性。关于同一文化中的古吉拉特港口，参见我们关于洛塔尔的文章。

尺子：印度河寸和象牙刻度尺

MacTutor报告了一个十进制长度刻度，单位为1.32英寸（3.35厘米），它称之为印度河寸，还有一根按0.367英寸为单位刻有标记的青铜杆。它补充说，对发掘出的遗迹的测量表明这些长度在建筑中被精确地使用。它的作者称这些刻度的精确程度令人惊讶。

一件著名的发现是洛塔尔的象牙刻度尺，由S. R. 拉奥（S. R. Rao）发掘。辛哈、亚达夫和瓦希亚把它描述为46毫米上均匀分布27道线，表明单位约为1.70毫米。苏巴什·卡克（Subhash Kak）关于古印度空间与时间的文章，给出了同样的数据，46毫米内27道刻度，每格1.76毫米。两个数字不同，是因为数线条的方法不同：27道线围出26个间隔，46除以26约为1.77毫米。引用洛塔尔单位的人应当说明用的是哪种数法。

卡克还概述了米歇尔·达尼诺（Michel Danino）对多拉维拉尺寸的分析，该分析提出一个190.4厘米的长度单位。达尼诺把它与后来《政事论》（Arthashastra）中提到的一种度量联系起来，卡克由此推出一种连续性。这是作者们的提议，不是发掘者对某件器物的解读，应当按此来权衡。

标准有多严，由谁来执行

这些立方体并不能说明这个体系守得有多严。赫米自己的数字显示，标本之间的误差最大可达10%，一组之内平均约为2%，这对手工磨制的石头来说很紧，但不是现代的公差。

关于管控的问题有争论。凯诺耶（Kenoyer）在《度量考古学》（The Archaeology of Measurement）中的一章，从较旧的看法出发：整个印度河谷烧砖的统一比例和砝码的相近尺寸，反映了城市统治者强加的标准化。该章把这一点当作要检验的前提，用哈拉帕的详细测量来问印度河诸体系的标准化程度如何，各地区之间又有多大差异。

麦凯在同一部1931年的卷册中提出了一种解读。他认为制作的精细和石头的坚硬，表明当局对制造有某种监督，并补充说，使用假砝码也许是应受惩罚的罪行。他是把这作为一种可能性提出的，这个文明没有留下任何记载这类规定的文本。其文字尚未破译。

这些立方体称的是什么

赫米引用了里奇韦（Ridgeway）的一个假说：称重最初只限于以小数量交易的较贵重物品。他写道，由此会预期较小的砝码更准确，然而他的表显示，整个刻度上的百分比一致性大致相同。

麦凯认为最小的石块大概是珠宝商称量贵金属用的。他补充说，摩亨佐达罗没有发现天平，如果它们是木制的（看起来很可能），早就腐烂了。