147 pesas de piedra harappanas de Mohenjo-daro y Harappa, a 500 millas de distancia, encajan en una sola serie construida sobre una unidad de unos 0,86 gramos

En el relato oficial de las excavaciones de Mohenjo-daro, publicado en 1931, A. S. Hemmy, antiguo director del Government College de Lahore, informó de los resultados de pesar los pequeños bloques de piedra hallados en Mohenjo-daro y Harappa. De 159 bloques en estado suficiente para dar un peso fiable, 147 caían en una misma serie de escalones construida sobre una sola unidad de unos 0,857 gramos. La unidad resultó de 0,856 gramos en Mohenjo-daro y de 0,860 gramos en Harappa, y Hemmy escribió que no había variación local entre dos ciudades separadas por unas 500 millas (800 km).

Estudios posteriores han puesto a prueba la misma idea con muestras mayores y más sitios, entre ellos Dholavira, en Gujarat, y han cambiado algunos detalles. Las fuentes no coinciden en todas las cifras, y este artículo expone qué cifra viene de quién.

Pequeños bloques de piedra bandeada, ninguno marcado

El capítulo de Hemmy describe los objetos como pequeños bloques rectangulares, en su mayoría de un sílex bandeado de color pardo claro o gris claro (una piedra dura de grano fino) y unos pocos de otras rocas duras como el gneis. La mayoría son cubos y unos pocos cilindros. Están bien acabados y pulidos, y ninguno lleva una inscripción o marca que indique un valor.

Ernest Mackay, el excavador que escribió el capítulo del volumen sobre objetos domésticos, dice que el tipo en forma de cubo era con mucho el más común. Los cubos se desbastaban a golpes, luego se esmerilaban y después se pulían, y se conserva uno sin terminar de Mohenjo-daro. El cubo más pequeño mide 0,3 por 0,3 por 0,25 pulgadas, unos 8 mm de lado.

Mackay observó que las pesas aparecían tanto en casas pequeñas como en grandes, y no en un lugar concreto que pudiera ser un taller. Le pareció notable su cantidad, y escribió que no creía que ningún yacimiento antiguo fuera de la India hubiera dado tantas. Observó también que los cubos eran muy distintos de las formas usadas en Babilonia.

T. G. Bibby, escribiendo en la revista danesa Kuml en 1970, cita el análisis posterior de Mackay de 297 pesas de Mohenjo-daro y 34 de Harappa, y compara Bahréin con una muestra de 331 pesas del Indo. En esa muestra, 262 eran cúbicas, 14 esféricas y 8 de esteatita (una piedra blanda).

Cómo un montón de cubos grises reveló una unidad

El método de Hemmy era sencillo. Supuso que ninguna pesa era más exacta que las demás y que la probabilidad de error era la misma para todas. Luego ordenó los bloques en grupos cuyas masas guardaban proporciones simples entre sí, dio al grupo más pequeño el valor de uno, dividió la media de cada grupo por su razón y promedió los resultados, de modo que cada ejemplar contara por igual.

En Mohenjo-daro, 113 de las 120 pesas que seleccionó encajan en la tabla, y en Harappa 34 de 39. Combinadas, las razones de los grupos van 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 64, y luego saltan a 160, 200, 320, 640 y 1600. Hay un grupo adicional, cuyos dos miembros pesan un tercio del grupo de razón 8. Hemmy comentó que el sistema no muestra rastro del conteo sexagesimal (base 60) usado en Mesopotamia: todas las razones son binarias o decimales, salvo ese único tercio.

En lo alto de la tabla de Hemmy, el grupo más pesado ronda los 1375 gramos, o 1,37 kilogramos. En la base, la unidad es un bloque que pesa menos de un gramo.

Hemmy fue franco sobre la dispersión. Ejemplares del mismo peso nominal podían diferir hasta en un 10 por ciento, escribió, aunque la desviación media dentro de un grupo rara vez superaba el 2 por ciento. Fijó la pérdida por desportilladuras o desgaste en rara vez más de 3 partes en 1000, pequeña frente a esa dispersión.

Por qué las fuentes citan unidades distintas

Quien consulta el tema encuentra cifras que difieren en un factor de 16 o de 2, y la razón es qué escalón llama base cada autor.

En la tabla de Hemmy, el 16.º escalón, el grupo F, tiene un valor calculado de 13,71 gramos. La cifra de unos 13,6 gramos que citan muchos relatos pertenece a ese escalón, no a la unidad. El resumen de Chandrakant Doshi de 2019 sobre el informe de excavación de Dholavira da 13,625 gramos para el sistema harappano estándar, que es el mismo escalón.

El análisis posterior de Mackay, tal como lo recoge Bibby, fijó el peso básico en 1,714 gramos. Eso coincide con el segundo escalón de Hemmy, el grupo B, cuyo valor calculado es 1,71 gramos.

El panorama de las matemáticas indias de MacTutor describe las pesas harappanas como dos series de base decimal, en las que cada valor se multiplica y se divide por dos, con una serie principal de 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1; 2; 5; 10; 20; 50; 100; 200 y 500 veces una base. El panorama no dice de dónde sale esa escala, y difiere de la tabla de Hemmy de 1931. Lo que las fuentes comparten es la idea de escalones fijos relacionados por duplicación y, más arriba, por decenas. Difieren en la escala exacta.

De Mohenjo-daro a Dholavira

Dholavira, la ciudad harappana del Rann de Kutch que la UNESCO inscribió en su Lista del Patrimonio Mundial el 27 de julio de 2021, está lejos de los dos sitios de Hemmy. El comunicado de la Oficina de Información de Prensa sobre la inscripción data la ciudad entre el tercer milenio y mediados del segundo milenio a. C. Para la historia de sus obras hidráulicas, véase nuestro artículo sobre Dholavira.

La entrada de blog de Doshi, que resume el informe de excavación de Dholavira de R. S. Bisht, del Servicio Arqueológico de la India, dice que el informe enumera 996 ejemplares de pesas en 20 formas y 44 materiales. Los cuboides son la forma más común, con 387, seguidos de 124 esferoides. Bisht identificó tres sistemas de pesas en el sitio, y uno de ellos es el sistema harappano estándar con el escalón de 13,625 gramos. Doshi representa gráficamente las pesas que encajan en él y halla que el sílex da el patrón de escalera más nítido.

Doshi registra también un caso que no encaja. La pesa más pesada de Dholavira, una pieza de caliza de 35.700 gramos, queda a un 31 por ciento del valor nominal más cercano. La entrada es un resumen secundario, y las tablas del propio informe son el lugar para comprobar estas cifras.

Más allá de las propias ciudades, Bibby sostuvo en 1970 que siete pesas del Dilmun antiguo, en Bahréin, coinciden en forma y peso con las de las ciudades harappanas. Añadió que siete son demasiado pocas para tener mucho peso como prueba.

Para dar la escala, un artículo de PLoS ONE de 2010 dice que la civilización cubría alrededor de un millón de kilómetros cuadrados entre 2600 y 1900 a. C. Sinha, Yadav y Vahia, en un artículo de arXiv de 2011, describen un sorprendente grado de uniformidad en las unidades de medida entre centros muy dispersos. Para el puerto de Gujarat que pertenece a la misma cultura, véase nuestro artículo sobre Lothal.

Las reglas: una pulgada del Indo y una escala de marfil

MacTutor informa de una escala decimal de longitud con una unidad de 1,32 pulgadas (3,35 cm), que llama la pulgada del Indo, y una vara de bronce marcada en unidades de 0,367 pulgadas. Añade que las mediciones de ruinas excavadas muestran que esas longitudes se usaron con exactitud en la construcción. Sus autores califican de sorprendente la exactitud de las marcas.

Un hallazgo muy conocido es la escala de marfil de Lothal, excavada por S. R. Rao. Sinha, Yadav y Vahia la describen como 27 líneas uniformemente espaciadas a lo largo de 46 mm, lo que indica una unidad de unos 1,70 mm. El ensayo de Subhash Kak sobre el espacio y el tiempo en la India antigua da los mismos datos, 27 graduaciones en 46 mm, como 1,76 mm cada una. Las dos cifras difieren por cómo se cuentan las líneas: 27 líneas encierran 26 intervalos, y 46 dividido entre 26 es unos 1,77 mm. Quien cite la unidad de Lothal debería decir qué recuento usó.

Kak resume también el análisis de Michel Danino sobre las dimensiones de Dholavira, que propone una unidad de longitud de 190,4 cm. Danino la vincula con una medida nombrada en el posterior Arthashastra, y Kak traza de ahí una continuidad. Esa es una propuesta de los autores y no la lectura de un excavador sobre un objeto, y debe sopesarse como tal.

Qué tan estricto era el patrón, y quién lo hacía cumplir

Los cubos no resuelven cuán estrictamente se mantenía el sistema. Las propias cifras de Hemmy muestran un error de hasta un 10 por ciento entre ejemplares y de en torno al 2 por ciento de media dentro de un grupo, lo que es ajustado para piedra esmerilada a mano pero no una tolerancia moderna.

La cuestión del control se discute. El capítulo de Kenoyer en The Archaeology of Measurement parte de la opinión más antigua de que las proporciones uniformes de los ladrillos cocidos y los tamaños semejantes de las pesas en todo el valle del Indo reflejan una estandarización impuesta por los gobernantes de las ciudades. El capítulo trata eso como una premisa que hay que poner a prueba, usando mediciones detalladas de Harappa para preguntar cuán estandarizados estaban los sistemas del Indo y cuánto variaban por regiones.

Mackay ofreció una lectura en el mismo volumen de 1931. Pensaba que la esmerada factura y la piedra dura sugerían que las autoridades vigilaban en alguna medida la fabricación, y añadió que las pesas falsas pudieron ser un delito penado. Lo dio como una posibilidad, y ningún texto de la civilización registra una norma de ese tipo. La escritura sigue sin descifrar.

Qué pesaban los cubos

Hemmy citó una hipótesis de Ridgeway según la cual el pesaje se limitó al principio a los objetos más preciosos que se trocaban en pequeñas cantidades. Eso llevaría a esperar que las pesas menores fueran las más exactas, escribió, pero sus tablas muestran una consistencia porcentual muy parecida en toda la escala.

Mackay pensaba que los bloques más pequeños los usaban probablemente los joyeros para metales preciosos. Añadió que no se habían hallado balanzas en Mohenjo-daro y que, si eran de madera, como parecía probable, habrían perecido hace mucho.