500 மைல் இடைவெளியில் உள்ள மொகஞ்சதாரோ, ஹரப்பா நகரங்களின் 147 ஹரப்பா கல் எடைகள் சுமார் 0.86 கிராம் அலகின் மீது அமைந்த ஒரே தொடரில் பொருந்துகின்றன

1931இல் வெளியான மொகஞ்சதாரோ அகழ்வுகளின் அதிகாரப்பூர்வ விவரத்தில், லாகூர் அரசுக் கல்லூரியின் முன்னாள் முதல்வர் ஏ. எஸ். ஹெம்மி, மொகஞ்சதாரோவிலும் ஹரப்பாவிலும் கிடைத்த சிறு கல் கட்டைகளை எடைபோட்டதன் முடிவுகளை அறிவித்தார். நம்பகமான எடையைத் தரும் அளவுக்கு நல்ல நிலையில் இருந்த 159 கட்டைகளில், 147 சுமார் 0.857 கிராம் என்ற ஒரே அலகின் மீது அமைந்த ஒரே படித்தொடரில் விழுந்தன. அந்த அலகு மொகஞ்சதாரோவில் 0.856 கிராமாகவும் ஹரப்பாவில் 0.860 கிராமாகவும் வந்தது; ஏறத்தாழ 500 மைல் (800 கி.மீ.) இடைவெளியில் உள்ள இரு நகரங்களுக்கு இடையே உள்ளூர் வேறுபாடு இல்லை என்று ஹெம்மி எழுதினார்.

அதே கருத்தை பிந்தைய ஆய்வுகள் பெரிய மாதிரிகளிலும் கூடுதல் இடங்களிலும், குஜராத்தின் தோலாவீரா உட்பட, சோதித்து, சில விவரங்களை மாற்றியுள்ளன. எல்லா எண்களிலும் மூலங்கள் ஒத்துப்போவதில்லை; இந்தக் கட்டுரை எந்த எண் யாரிடமிருந்து வருகிறது என்பதை விளக்குகிறது.

வரிகள் கொண்ட கல்லின் சிறு கட்டைகள், எதிலும் குறியில்லை

ஹெம்மியின் அத்தியாயம் அந்தப் பொருட்களைச் சிறு செவ்வகக் கட்டைகள் என்று விவரிக்கிறது; பெரும்பாலானவை பழுப்பு அல்லது வெளிர் சாம்பல் நிறக் கோடிட்ட செர்ட் (கடினமான நுண்மணிக் கல்) கல்லால் ஆனவை, சில நீஸ் போன்ற பிற கடினப் பாறைகளால் ஆனவை. பெரும்பாலானவை கனசதுரங்கள், சில உருளைகள். அவை நன்கு முடிக்கப்பட்டு மெருகூட்டப்பட்டவை; எதிலும் மதிப்பைத் தரும் கல்வெட்டோ குறியோ இல்லை.

தொகுதியின் வீட்டுப் பொருட்கள் அத்தியாயத்தை எழுதிய அகழ்வாளர் எர்னெஸ்ட் மெக்கே, கனசதுர வகைதான் மிக அதிகம் என்கிறார். கனசதுரங்கள் தோராயமாகச் செதுக்கி வடிவமைக்கப்பட்டு, பின்னர் தேய்க்கப்பட்டு, அதன் பின் மெருகூட்டப்பட்டன; முடிக்கப்படாத ஒன்று மொகஞ்சதாரோவிலிருந்து எஞ்சியுள்ளது. மிகச் சிறிய கனசதுரம் 0.3க்கு 0.3க்கு 0.25 அங்குலம், சுமார் 8 மி.மீ. குறுக்களவு.

எடைகள் பெரிய வீடுகளிலும் சிறு வீடுகளிலும் கிடைத்தன என்றும், பட்டறை என்று கருதத்தக்க எந்த ஒரு இடத்திலும் அல்ல என்றும் மெக்கே குறிப்பிட்டார். எண்ணிக்கை குறிப்பிடத்தக்கது என்று கண்ட அவர், இந்தியாவுக்கு வெளியே எந்தப் பண்டைய இடமும் இவ்வளவு எடைகளைத் தந்ததாகத் தாம் நினைக்கவில்லை என்று எழுதினார். கனசதுரங்கள் பாபிலோனியாவில் பயன்படுத்தப்பட்ட வடிவங்களிலிருந்து முற்றிலும் வேறுபட்டவை என்பதையும் குறிப்பிட்டார்.

1970இல் டேனிஷ் இதழான குமுலில் எழுதிய டி. ஜி. பிப்பி, மொகஞ்சதாரோவின் 297 எடைகள், ஹரப்பாவின் 34 எடைகள் பற்றிய மெக்கேயின் பிந்தைய பகுப்பாய்வை மேற்கோள் காட்டி, பஹ்ரைனை 331 சிந்து எடைகளின் மாதிரியுடன் ஒப்பிடுகிறார். அந்த மாதிரியில் 262 கனசதுரம், 14 கோளம், 8 ஸ்டீடைட் (மென்மையான கல்) ஆனவை.

சாம்பல் கனசதுரங்களின் குவியல் ஓர் அலகை வெளிப்படுத்திய விதம்

ஹெம்மியின் முறை எளிமையானது. எந்த ஒரு எடையும் மற்றவற்றை விடத் துல்லியமானது அல்ல என்றும், பிழைக்கான வாய்ப்பு எல்லாவற்றுக்கும் ஒன்றே என்றும் அவர் கருதினார். பிறகு கட்டைகளை, நிறைகள் எளிய விகிதங்களில் இருக்கும் குழுக்களாகப் பிரித்து, மிகச் சிறிய குழுவுக்கு ஒன்று என்ற மதிப்பைத் தந்து, ஒவ்வொரு குழுவின் சராசரியையும் அதன் விகிதத்தால் வகுத்து, முடிவுகளின் சராசரியை எடுத்தார்; இதனால் ஒவ்வொரு மாதிரியும் சமமாக எண்ணப்பட்டது.

மொகஞ்சதாரோவில் அவர் தேர்ந்தெடுத்த 120 எடைகளில் 113, ஹரப்பாவில் 39இல் 34 அட்டவணைக்குப் பொருந்தின. இணைத்துப் பார்த்தால், குழுக்களின் விகிதங்கள் 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 என்று செல்கின்றன; பிறகு 160, 200, 320, 640, 1,600 என்று தாவுகின்றன. ஒரு கூடுதல் குழு உள்ளது; அதன் இரண்டு உறுப்பினர்களும் விகிதம் 8 உள்ள குழுவின் மூன்றில் ஒரு பங்கு எடை கொண்டவை. மெசபடோமியாவில் பயன்படுத்தப்பட்ட அறுபதின்ம (அடிப்படை 60) எண்ணும் முறையின் தடயம் இந்த அமைப்பில் இல்லை என்று ஹெம்மி குறிப்பிட்டார்: அந்த ஒரு மூன்றில் ஒரு பங்கைத் தவிர ஒவ்வொரு விகிதமும் இருமம் அல்லது பதின்மம்.

ஹெம்மியின் அட்டவணையின் உச்சியில், மிகக் கனமான குழு ஏறத்தாழ 1,375 கிராமில், அதாவது 1.37 கிலோகிராமில் உள்ளது. அடியில், அலகு ஒரு கிராமுக்கும் குறைவான எடையுள்ள ஒரு கட்டை.

சிதறல் பற்றி ஹெம்மி வெளிப்படையாக இருந்தார். ஒரே பெயரளவு எடையுள்ள மாதிரிகள் 10 சதவீதம் வரை வேறுபடலாம், ஆனால் ஒரு குழுவுக்குள் சராசரி விலகல் 2 சதவீதத்தை அரிதாகவே தாண்டியது என்று அவர் எழுதினார். சிப்பு உடைதல் அல்லது தேய்மானத்தால் ஏற்படும் இழப்பு அரிதாகவே ஆயிரத்தில் மூன்று பங்குக்கு மேல் இருக்கும் என்று அவர் மதிப்பிட்டார்; அந்தச் சிதறலுடன் ஒப்பிட்டால் அது சிறியது.

மூலங்கள் ஏன் வெவ்வேறு அலகுகளை மேற்கோள் காட்டுகின்றன

இதைத் தேடிப்பார்க்கும் வாசகர்கள், 16 அல்லது 2 மடங்கு வேறுபடும் எண்களைக் காண்பர்; ஒவ்வொரு ஆசிரியரும் எந்தப் படியை அடிப்படை என்று அழைக்கிறார் என்பதே காரணம்.

ஹெம்மியின் அட்டவணையில் 16ஆம் படியான குழு F-க்குக் கணக்கிட்ட மதிப்பு 13.71 கிராம். பல விவரிப்புகளில் மேற்கோள் காட்டப்படும் சுமார் 13.6 கிராம் என்ற எண் அந்தப் படிக்குரியது, அலகுக்கு அல்ல. தோலாவீரா அகழ்வு அறிக்கை பற்றிய சந்திரகாந்த் தோஷியின் 2019 சுருக்கம், நிலையான ஹரப்பா அமைப்புக்கு 13.625 கிராம் என்று தருகிறது; அதுவும் அதே படிதான்.

மெக்கேயின் பிந்தைய பகுப்பாய்வு, பிப்பி தெரிவிப்பதன்படி, அடிப்படை எடையை 1.714 கிராமாக வைத்தது. அது ஹெம்மியின் இரண்டாம் படியான குழு B உடன் பொருந்துகிறது; அதன் கணக்கிட்ட மதிப்பு 1.71 கிராம்.

இந்தியக் கணிதம் பற்றிய மெக்டூட்டர் மேலோட்டம், ஹரப்பா எடைகளை இரண்டு பதின்மம் சார்ந்த தொடர்களாக விவரிக்கிறது; ஒவ்வொரு மதிப்பும் இரண்டால் பெருக்கப்பட்டு வகுக்கப்படுகிறது, முதன்மைத் தொடர் அடிப்படையின் 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500 மடங்குகளில் உள்ளது. அந்தப் படிக்கட்டு எங்கிருந்து வருகிறது என்பதை அந்த மேலோட்டம் சொல்லவில்லை; அது ஹெம்மியின் 1931 அட்டவணையிலிருந்து வேறுபடுகிறது. மூலங்கள் பகிர்ந்துகொள்வது, இரட்டிப்பால் இணைக்கப்பட்ட, உயர்நிலைகளில் பத்துகளால் இணைக்கப்பட்ட நிலையான படிகள் என்ற கருத்து. துல்லியமான படிக்கட்டில் அவை வேறுபடுகின்றன.

மொகஞ்சதாரோவிலிருந்து தோலாவீரா வரை

2021 ஜூலை 27 அன்று யுனெஸ்கோ தன் உலகப் பாரம்பரியப் பட்டியலில் சேர்த்த, கச்சின் ரானில் உள்ள ஹரப்பா நகரமான தோலாவீரா, ஹெம்மியின் இரு இடங்களிலிருந்தும் வெகு தொலைவில் உள்ளது. அந்தப் பட்டியல் சேர்க்கை குறித்த பத்திரிகைத் தகவல் அலுவலக அறிவிப்பு, நகரத்தைக் கி.மு. மூன்றாம் முதல் இரண்டாம் ஆயிரத்தாண்டின் நடுப்பகுதி வரை வைக்கிறது. அதன் நீர்ப் பணிகளின் கதைக்கு, தோலாவீரா பற்றிய எங்கள் கட்டுரை பார்க்கவும்.

இந்தியத் தொல்லியல் ஆய்வுத் துறையின் ஆர். எஸ். பிஷ்த் எழுதிய தோலாவீரா அகழ்வு அறிக்கையைச் சுருக்கும் தோஷியின் வலைப்பதிவு, 20 வடிவங்களிலும் 44 பொருட்களிலும் 996 எடை மாதிரிகளை அறிக்கை பட்டியலிடுவதாகக் கூறுகிறது. கனசெவ்வகங்கள் 387 என மிகவும் பொதுவான வடிவம், அதைத் தொடர்ந்து 124 கோளங்கள். அந்த இடத்தில் மூன்று எடை அமைப்புகளைப் பிஷ்த் அடையாளம் கண்டார்; அவற்றில் ஒன்று 13.625 கிராம் படி கொண்ட நிலையான ஹரப்பா அமைப்பு. அதற்குப் பொருந்தும் எடைகளைத் தோஷி வரைபடமாக்கி, செர்ட் மிகத் தெளிவான படிக்கட்டு வடிவத்தைத் தருவதாகக் காண்கிறார்.

பொருந்தாத ஒரு சந்தர்ப்பத்தையும் தோஷி பதிவு செய்கிறார். தோலாவீராவின் மிகக் கனமான எடையான 35,700 கிராம் சுண்ணாம்புக் கல், அருகிலுள்ள பெயரளவு மதிப்பிலிருந்து ஏறத்தாழ 31 சதவீதம் விலகியுள்ளது. அந்தப் பதிவு இரண்டாம் நிலைச் சுருக்கம்; இந்த எண்ணிக்கைகளைச் சரிபார்க்க வேண்டிய இடம் அறிக்கையின் சொந்த அட்டவணைகள்.

நகரங்களுக்கு அப்பால், பஹ்ரைனில் உள்ள தொடக்க தில்முனின் ஏழு எடைகள் வடிவத்திலும் எடையிலும் ஹரப்பா நகரங்களின் எடைகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன என்று பிப்பி 1970இல் வாதிட்டார். ஏழு என்பது சான்றாக நிறைய எடை சுமக்க மிகக் குறைவு என்றும் அவர் சேர்த்தார்.

அளவை உணர, 2010 PLoS ONE ஆய்வுக் கட்டுரை, அந்த நாகரிகம் கி.மு. 2600க்கும் 1900க்கும் இடையே சுமார் ஒரு மில்லியன் சதுர கிலோமீட்டர் பரப்பில் இருந்தது என்கிறது. சின்ஹா, யாதவ், வாஹியா ஆகியோர் 2011 arXiv கட்டுரையில், பரவலாகச் சிதறிய மையங்களில் அளவீட்டு அலகுகளில் வியக்க வைக்கும் அளவு ஒருமைப்பாடு இருந்ததாக விவரிக்கின்றனர். அதே பண்பாட்டுக்குள் அடங்கும் குஜராத் துறைமுகத்துக்கு, லோதல் பற்றிய எங்கள் கட்டுரை பார்க்கவும்.

அளவுகோல்கள்: சிந்து அங்குலமும் தந்த அளவுகோலும்

1.32 அங்குல (3.35 செ.மீ.) அலகு கொண்ட ஒரு பதின்ம நீள அளவுகோலை மெக்டூட்டர் குறிப்பிடுகிறது; அதைச் சிந்து அங்குலம் என்கிறது. 0.367 அங்குல அலகுகளில் குறிக்கப்பட்ட ஒரு வெண்கலக் கம்பியையும் குறிப்பிடுகிறது. தோண்டியெடுக்கப்பட்ட இடிபாடுகளின் அளவீடுகள் இந்த நீளங்கள் கட்டுமானத்தில் துல்லியமாகப் பயன்படுத்தப்பட்டன என்பதைக் காட்டுகின்றன என்று அது சேர்க்கிறது. குறிகளின் துல்லியம் வியப்பூட்டுவது என்று அதன் ஆசிரியர்கள் கூறுகின்றனர்.

எஸ். ஆர். ராவ் அகழ்ந்த லோதலின் தந்த அளவுகோல் நன்கு அறியப்பட்ட கண்டுபிடிப்பு. அதை 46 மி.மீ.க்கு மேல் ஒரே சீராக இடைவெளிவிட்ட 27 கோடுகள் என்று சின்ஹா, யாதவ், வாஹியா விவரிக்கின்றனர்; அது சுமார் 1.70 மி.மீ. அலகைக் குறிக்கிறது. பண்டைய இந்திய வெளி, காலம் பற்றிய சுபாஷ் காக்கின் கட்டுரை அதே தரவை, 46 மி.மீட்டரில் 27 குறியீடுகள், ஒவ்வொன்றும் 1.76 மி.மீ. எனத் தருகிறது. கோடுகள் எண்ணப்படும் முறையால் இரண்டு எண்களும் வேறுபடுகின்றன: 27 கோடுகள் 26 இடைவெளிகளைச் சூழ்கின்றன, 46ஐ 26ஆல் வகுத்தால் சுமார் 1.77 மி.மீ. லோதல் அலகை மேற்கோள் காட்டுபவர்கள் எந்த எண்ணும் முறையைப் பயன்படுத்தினர் என்பதைக் கூற வேண்டும்.

தோலாவீராவின் பரிமாணங்களைப் பற்றிய மைக்கேல் டானினோவின் பகுப்பாய்வையும் காக் சுருக்குகிறார்; அது 190.4 செ.மீ. என்ற நீள அலகை முன்மொழிகிறது. டானினோ அதைப் பிந்தைய அர்த்தசாஸ்திரத்தில் பெயர் சொல்லப்பட்ட ஓர் அளவுடன் இணைக்கிறார்; காக் அங்கிருந்து ஒரு தொடர்ச்சியை வரைகிறார். அது ஆசிரியர்களின் முன்மொழிவே, ஒரு பொருளைப் பற்றிய அகழ்வாளரின் வாசிப்பு அல்ல; அவ்வாறே எடைபோடப்பட வேண்டும்.

தரம் எவ்வளவு இறுக்கமானது, யார் அதைச் செயல்படுத்தினார்கள்

அமைப்பு எவ்வளவு இறுக்கமாகப் பேணப்பட்டது என்பதைக் கனசதுரங்கள் தீர்மானிப்பதில்லை. ஹெம்மியின் சொந்த எண்கள் மாதிரிகளுக்கு இடையே 10 சதவீதம் வரை பிழையையும், ஒரு குழுவுக்குள் சராசரியாக ஏறத்தாழ 2 சதவீதத்தையும் காட்டுகின்றன; கையால் தேய்த்த கல்லுக்கு அது இறுக்கமானது, ஆனால் நவீன சகிப்பு அளவு அல்ல.

கட்டுப்பாடு பற்றிய கேள்வி விவாதத்துக்குரியது. சுட்ட செங்கற்களின் ஒரே மாதிரியான விகிதங்களும் சிந்துப் பள்ளத்தாக்கு முழுவதும் எடைகளின் ஒத்த அளவுகளும் நகர ஆட்சியாளர்கள் திணித்த தரப்படுத்தலைப் பிரதிபலிக்கின்றன என்ற பழைய பார்வையிலிருந்து The Archaeology of Measurement நூலில் கெனோயரின் அத்தியாயம் தொடங்குகிறது. அந்த அத்தியாயம் அதைச் சோதிக்க வேண்டிய ஒரு முன்கோளாகக் கருதுகிறது; ஹரப்பாவின் விரிவான அளவீடுகளைக் கொண்டு, சிந்து அமைப்புகள் எவ்வளவு தரப்படுத்தப்பட்டிருந்தன, பிராந்தியத்துக்கு ஏற்ப எவ்வளவு மாறின என்று ஆராய்கிறது.

அதே 1931 தொகுதியில் மெக்கே ஒரு வாசிப்பை முன்வைத்தார். கவனமான தயாரிப்பும் கடினமான கல்லும் தயாரிப்பை அதிகாரிகள் ஓரளவு கண்காணித்ததைக் குறிக்கின்றன என்று அவர் எண்ணினார்; போலி எடைகள் தண்டனைக்குரிய குற்றமாக இருந்திருக்கலாம் என்றும் சேர்த்தார். இதை அவர் ஒரு சாத்தியமாகவே தந்தார்; அந்த நாகரிகத்தின் எந்த உரையிலும் அத்தகைய விதி பதிவாகவில்லை. எழுத்து புரிந்துகொள்ளப்படவில்லை.

கனசதுரங்கள் எதை எடைபோட்டன

எடை போடுதல் முதலில் சிறு அளவில் பண்டமாற்றம் செய்யப்படும் மிக விலையுயர்ந்த பொருட்களுக்கே வரையறுக்கப்பட்டிருந்தது என்ற ரிட்ஜ்வேயின் கருதுகோளை ஹெம்மி மேற்கோள் காட்டினார். அப்படியானால் சிறிய எடைகள் மிகவும் துல்லியமானவையாக இருக்கும் என்று எதிர்பார்க்கலாம் என்று அவர் எழுதினார்; ஆனால் அவரது அட்டவணைகள் முழு அளவுகோலிலும் ஏறத்தாழ ஒரே சதவீத நிலைத்தன்மையைக் காட்டுகின்றன.

மிகச் சிறிய கட்டைகள் நகைத் தொழிலாளர்கள் விலைமதிப்புள்ள உலோகங்களுக்குப் பயன்படுத்தியவை என்று மெக்கே கருதினார். மொகஞ்சதாரோவில் தராசுகள் எதுவும் கிடைக்கவில்லை என்றும், அவை மரத்தால் செய்யப்பட்டிருந்தால், அவ்வாறு இருக்கவே வாய்ப்பு என்பதால், நெடுங்காலம் முன்பே அழிந்திருக்கும் என்றும் அவர் சேர்த்தார்.