पिंगलाचे छंदःशास्त्र, सुमारे इ.स.पू. दुसऱ्या शतकातील मानले जाणारे, र्हस्व आणि दीर्घ अक्षरांचे प्रत्येक आकृतिबंध यादीत देते, त्यांना बायनरी मोजणीशी जुळणाऱ्या क्रमाने क्रमांक देते आणि दुप्पट करत त्यांची मोजणी करते

पिंगलाला श्रेय दिले जाणारे छंदःशास्त्र, काव्यछंदांवरचा संस्कृत ग्रंथ, लहान नियमांच्या एका मालिकेने संपते, जे र्हस्व आणि दीर्घ अक्षरांचे प्रत्येक शक्य आकृतिबंध यादीत देतात, यादीतील स्थानावरून कोणताही आकृतिबंध शोधतात आणि आकृतिबंधांची मोजणी करतात. तीन अक्षरांतून आठ आकृतिबंध आणि सहा अक्षरांतून ६४ मिळतात. नॉर्थईस्टर्न विद्यापीठाचे जयंत शाह लिहितात की मांडण्या मोजण्याचे गणित, संयोजनशास्त्र, याची भारतीय परंपरा छंदांच्या या औपचारिक सिद्धान्ताने सुरू झाली, जो ते इ.स.पू. दुसऱ्या शतकात ठेवतात.

र्हस्व अक्षर १ मानले, अंक उलटे केले आणि मोजणी एकापासून सुरू केली, तर आकृतिबंधांचा क्रमांकनही बायनरी मोजणीशी जुळतो. येथे उद्धृत अभ्यासक त्या अंकगणितावर सहमत आहेत. पिंगलाला बायनरी संख्यांची कल्पना होती हे त्यातून सिद्ध होते का, यावर त्यांचे मतभेद आहेत, आणि हा लेख दोन्ही बाबी वेगळ्या ठेवतो. खालील सूत्रांचे (aphorism) शब्द शाह आणि हैदराबाद विद्यापीठाच्या अंबा कुलकर्णी यांनी उद्धृत आणि भाषांतरित केल्याप्रमाणे आहेत.

छंदांचा ग्रंथ जो गणितात संपतो

कुलकर्णी छंदःशास्त्राला वैदिक संस्कृत छंदांवर सापडलेला सर्वांत जुना ग्रंथ म्हणतात. शाह आणि नूह आयदिन व सहकाऱ्यांचा २०२६ चा निबंध इ.स.पू. दुसरे शतक देतात, दिवाकरन इ.स.पू. तिसरे ते दुसरे शतक म्हणतात आणि कुलकर्णी २०० BC लिहितात. सुभाष काक इ.स.पू. पाचव्या शतकाची बाजू मांडतात, जर पिंगल हा वैयाकरण पाणिनीचा धाकटा भाऊ होता ही जुनी परंपरा बरोबर असेल तर, ही परंपरा काक आणि परमानंद सिंह दोघेही टीकाकार सद्गुरुशिष्य याच्याकडे नेतात. पाणिनी आणि त्याची नियमव्यवस्था अष्टाध्यायीवरील आमच्या लेखात आहेत.

प्रत्येक संस्कृत अक्षर एकतर लघु, हलके किंवा र्हस्व, एक मात्रा (कालमापनाचे एकक) किंमतीचे, किंवा गुरु, जड किंवा दीर्घ, दोन मात्रांचे असते. पिंगलाची संकेतलिपी G आणि L वापरते, आणि n अक्षरांची ओळ म्हणजे अशा n अक्षरांची मालिका. कवींनी शक्य मालिकांपैकी फक्त थोड्या वापरल्या. शाह निरीक्षण नोंदवतात की शेवटच्या सिद्धान्ताचा छंदःशास्त्रात कोणताही व्यावहारिक उपयोग नाही आणि तो “वरवर पाहता गणितासाठीच गणित” आहे.

कुलकर्णी यांच्या आवृत्तीत आठव्या अध्यायात ३५ सूत्रे आहेत, आणि शेवटची १६ (८.२० ते ८.३५) मोजणीबद्दल आहेत.

तीन अक्षरांतून आठ आकृतिबंध

पहिले नियम यादी रचतात, जिला संस्कृत छंदशास्त्रज्ञ प्रस्तार, म्हणजे “पसरवणे”, म्हणतात. सूत्र ८.२०, द्विकौ ग्लौ, एका अक्षराच्या छंदाला दोन रूपे देते, G आणि L, आणि सूत्रे ८.२१ (मिश्रौ च, “आणि मिश्र”) आणि ८.२२ ती पायरी पुन्हा करतात. शाह यांच्या वर्णनानुसार, ही प्रक्रिया आधीच्या लांबीच्या यादीच्या दोन प्रती करते, एका प्रतीतील प्रत्येक नोंदीच्या शेवटी G आणि दुसऱ्या प्रतीत L जोडते, आणि प्रती जोडते.

एका अक्षरापासून G, L मिळतात. दोन अक्षरांपासून GG, LG, GL, LL. तीनपासून GGG, LGG, GLG, LLG, GGL, LGL, GLL, LLL. सूत्र ८.२३, वसवस्त्रिकाः, सांगते की आठ (वसु) त्रिक आहेत. पिंगल आठही आकृतिबंधांना एक लहान संकेत देतो, म, य, र, स, त, ज, भ आणि न, आताच दिलेल्या क्रमाने. कुलकर्णी निदर्शनास आणतात की तीच पायरी लांब छंदांसाठी पुन्हा होते असे समजले जाते, म्हणून चार नियम प्रत्येक यादी तयार करण्यास पुरेसे आहेत.

काक आठ संकेतांसाठी एक स्मरणसूत्र नोंदवतात, यमाताराजभानसलगम्, जे वर्तुळाकार वाचले तर तीन अक्षरांचे सर्व आठ आकृतिबंध प्रत्येकी एकदा पार करते. त्याचे वय अनिश्चित आहे: काक त्याला संभवतः प्राचीन म्हणतात आणि तो पुरावा नाही असे म्हणतात.

यादी न लिहिता सहावा आकृतिबंध शोधणे

दोन नियम वाचकाला कोणत्याही नोंदीकडे उडी मारू देतात. नष्ट नियम (“हरवलेली ओळ”), सूत्रे ८.२४ आणि ८.२५ मध्ये, स्थानाचे आकृतिबंधात रूपांतर करतो. संख्या सम असेल तर L लिहा आणि तिला निम्मे करा, किंवा विषम असेल तर G लिहा आणि एक जोडल्यानंतर संख्या निम्मी करा. आकृतिबंधात पुरेशी अक्षरे होईपर्यंत पुन्हा करा. शाह यांचे उदाहरण स्थान ६ आहे, ज्यातून L, मग G, मग L मिळते. नोंद ६ तीन अक्षरांसाठी LGL, चारसाठी LGLG आणि पाचसाठी LGLGG निघते.

उद्दिष्ट नियम (“दाखवलेली ओळ”), सूत्रे ८.२६ आणि ८.२७ मध्ये, प्रक्रिया उलट चालवतो. १ पासून सुरू करा आणि आकृतिबंध उजवीकडून स्कॅन करा, अगदी शेवटी असलेले कोणतेही G सोडून. पहिल्या L वर संख्या दुप्पट करा. त्यानंतर प्रत्येक L वर दुप्पट करा, आणि प्रत्येक G वर दुप्पट करून एक वजा करा. LGLG घ्या: उजवीकडचा L २ देतो, त्याच्या डावीकडचा G २ गुणिले २ वजा १, म्हणजे ३ देतो, आणि पहिला L ६ देतो.

कुलकर्णी आणि काक याला बायनरी अंकगणित म्हणून वाचतात. L ला १ आणि G ला ० लिहा, स्थानातून एक वजा करा, आणि निकाल बायनरीमध्ये सर्वांत कमी महत्त्वाचा अंक आधी ठेवून लिहा. चार अक्षरांच्या यादीतील नोंद ६, LGLG, म्हणजे १०१०, जे उलटे ०१०१, म्हणजे ५, आणि ५ म्हणजे ६ वजा १. कुलकर्णी आधुनिक पद्धतीपासून दोन फरक सांगतात: उच्च स्थानमूल्ये उजवीकडे आहेत, आणि मोजणी १ पासून सुरू होते. काक निष्कर्ष काढतात की पिंगलाला बायनरी पद्धती पूर्णपणे समजत होती.

दिवाकरन तीच तथ्ये अधिक सावधपणे वाचतात. त्यांच्या FPSAC व्याख्यानात ते मान्य करतात की अंक उलटे वाचले आणि L ला १ मानले तर i वी नोंद i वजा १ च्या बायनरी रूपाशी जुळते, पण ते निदर्शनास आणतात की, यादीत मांडल्याप्रमाणे, G आणि L ला ० आणि १ देण्याच्या कोणत्याही पद्धतीने यादी बायनरी संख्यांच्या नेहमीच्या क्रमात येत नाही. त्यांच्या मांडणीत पिंगलाचे नियम कोणत्याही स्पष्ट बायनरी संख्या वापरत नाहीत, स्थानमूल्य अंक आणि शून्याचे चिन्ह ६०० ते ७०० वर्षे दूर होते, आणि भारतात आधार नेहमी दहा होता.

बायनरी संख्यांकडे जाणारे सर्वांत स्पष्ट पाऊल शाह यांच्या वाचनात नंतर येते. महावीर, ज्याला शाह यांचा तक्ता सुमारे इ.स. ८५० वर ठेवतो, याने पिंगलाचा नियम अशा नियमाने बदलला जो अक्षरांच्या वर २ च्या घाती लिहितो आणि स्थान म्हणजे एक अधिक प्रत्येक L वरील किंमतींची बेरीज ठरवतो. शाह त्याला “बायनरी संख्यांचा शोध लावण्याच्या भारतीय गणितज्ञांच्या सर्वांत जवळची गोष्ट” म्हणतात, आणि जोडतात की भरताचे नाट्यशास्त्र, इ.स.पू. दुसऱ्या शतकापासून इ.स.च्या पहिल्या शतकापर्यंतचा ग्रंथ, त्याच्या श्लोक १२१ मध्ये तीच पद्धत मांडत असल्याचे दिसते.

६४ मोजल्याशिवाय चौसष्ट आकृतिबंध

परे पूर्णम् (“पुढे, पूर्ण”) सांगते की प्रत्येक जोडलेले अक्षर आकृतिबंधांची संख्या दुप्पट करते. शाह यांच्या वाचनात शेवटच्या सूत्रांची जोडी म्हणजे पुनरावृत्ती आहे, प्रत्येक संख्येची व्याख्या आधीच्या संख्येवरून करणारा नियम: n अधिक १ अक्षरांची संख्या n च्या संख्येच्या दुप्पट आहे.

पिंगल एकूण शोधण्याचा आणखी जलद मार्गही देतो, सङ्ख्या नियम. अक्षरांची संख्या निम्मी करता येत असेल, तर निम्म्यासाठी उत्तर शोधा आणि त्याचा वर्ग करा. करता येत नसेल, तर एक वजा करा, उत्तर शोधा, आणि दुप्पट करा. शाह सहा अक्षरे पूर्ण करून दाखवतात: ६ निम्मे होऊन ३, ३ चे २, २ निम्मे होऊन १, आणि १ चे ०. परत वर चढताना २ मिळतो, मग वर्गाने ४, मग दुप्पटीने ८, मग वर्गाने ६४. शून्य, “रिक्त”, हा शब्द नियमातील विषम प्रसंगाला नाव देतो, आणि दिवाकरन त्याला संख्या म्हणून शून्याचे आरंभीचे दर्शन मानतात. संगणक शास्त्रज्ञ या पद्धतीला भागा आणि जिंका म्हणतात, असे शाह नोंदवतात.

शेजारचा नियम दुप्पटीच्या मालिकेची बेरीज करतो: n अक्षरांच्या संख्येचे दुप्पट, वजा २, हे १ ते n लांबींच्या संख्यांच्या बेरजेइतके असते. तीन अक्षरे २ अधिक ४ अधिक ८, म्हणजे १४, जे १६ वजा २ आहे. शाह नोंदवतात की नंतरच्या भारतीय गणितज्ञांनी भूमितीय श्रेणींसाठी निम्मे आणि वर्ग हे शब्द पुन्हा वापरले, आणि नारायण पंडित १३५६ च्या गणितकौमुदीत ते जवळपास शब्दशः पुन्हा सांगतो.

निम्मे-आणि-वर्ग नियम हा बायनरी घातांकनाचा शोध म्हणून सांगितला गेला आहे, आधुनिक क्रिप्टोग्राफीत वापरली जाणारी वर्ग-आणि-गुणाकार पद्धत. आयदिन आणि त्यांचे सहलेखक म्हणतात की डोनाल्ड नुथ यांचे The Art of Computer Programming या पद्धतीच्या आरंभीच्या दर्शनाचे श्रेय, इ.स. ४०० पूर्वी, पिंगलाला देते, आणि ब्लॉग आणि इतर दुय्यम स्रोत मूळ मजकूर न तपासता तेच श्रेय पुन्हा सांगतात. त्यांच्या वाचनात पिंगलाचा वापर छंदांच्या मोजणीच्या आत बसतो आणि कोणत्याही आधारासाठी सर्वसाधारण नियम म्हणून सांगितलेला नाही. त्यांना पहिला स्पष्ट सर्वसाधारण नियम १४२७ मधील अल-काशीच्या कार्यात सापडतो आणि ते निष्कर्ष काढतात की ही पद्धत अनेकदा स्वतंत्रपणे उगवली.

सहा प्रक्रियांपैकी शेवटची, अध्वयोग, यादीला किती जागा लागते ते मोजते. जनाश्रय, ज्याला शाह सुमारे इ.स. ६०० वर ठेवतात, याने प्रत्येक ओळ एका बोटाच्या रुंदीची ठरवली आणि शोधले की २४ अक्षरांच्या यादीला ३,३५,५४,४३१ बोटांच्या रुंदी लागतात, ही संख्या २ च्या २४ व्या घाताच्या दुप्पट वजा एक इतकी आहे. शाह ते सुमारे २६५ मैलांमध्ये रूपांतरित करतात.

अगदी दोन र्हस्व अक्षरे असलेले किती आकृतिबंध

मजकूर उत्तर देत असलेला पाचवा प्रश्न म्हणजे दिलेल्या संख्येची र्हस्व अक्षरे असलेले किती आकृतिबंध आहेत, जो आधुनिक बीजगणिताचा द्विपद गुणांक आहे. सहा अक्षरांच्या ६४ आकृतिबंधांपैकी १५ मध्ये नेमके दोन L आहेत.

प्रमाण उत्तर म्हणजे युरोप ज्याला पास्कलचा म्हणतो तो त्रिकोण, संस्कृतमध्ये मेरु प्रस्तार, “पर्वताचा विस्तार”, म्हणून ओळखला जाणारा. टीकाकार हलायुध याने रचना लिहून काढली: वर एक कोष्ठ, खाली दोन, मग तीन, प्रत्येक कोष्ठ वरच्या दोहोंची बेरीज. सहा अक्षरांसाठी शाह यांच्या आवृत्तीची खालची ओळ १, ६, १५, २०, १५, ६, १ आहे, ही शून्य, एक, दोन आणि सहापर्यंत र्हस्व अक्षरे असलेल्या आकृतिबंधांची संख्या आहे, आणि ओळीची बेरीज ६४ आहे.

हलायुधाने ही रचना पिंगलाच्या शेवटच्या दोन सूत्रांना जोडली. शाह यांनी हलायुधाच्या आधी लिहिणाऱ्या छंदशास्त्रज्ञांच्या कृतींच्या विरुद्ध हे तपासले आणि ते मान्य करत नाहीत. लिहिल्याप्रमाणे, दोन सूत्रे दोनदा “पुढे, पूर्ण” म्हणतात आणि दुप्पटीचा नियम पुन्हा सांगतात. यावर शाह जर्मन अभ्यासक आल्ब्रेख्त वेबर यांच्या बाजूने आहेत, ज्यांनी हलायुधाच्या वाचनावर आक्षेप घेतला, आणि संस्कृतच्या साध्या अर्थाच्या बाजूने. तरीही ते द्विपद मोजणी पिंगलापर्यंत नेतात, वेबर यांनी ग्रंथाच्या यजुर्वेदी आवृत्तीतून उद्धृत केलेल्या आणखी एका सूत्रातून, एकोत्तरक्रमशः पूर्वपृक्ता लसङ्ख्या. ते त्याला १, २, ते n पर्यंतच्या आंशिक बेरजा पुन्हा पुन्हा तयार करण्याची सूचना म्हणून वाचतात, आणि दाखवतात की नाट्यशास्त्राचे श्लोक १२४ ते १२७ तीच पायरी अधिक पूर्ण शब्दांत वर्णन करतात. परिणामी संख्या त्याच त्रिकोणाची फिरवलेली आवृत्ती बनवतात.

हलायुध वर्णन करतो त्या रचनेचे पहिले दर्शन विरहांकाच्या वृत्तजातिसमुच्चयात आहे, जो शाह सातव्या शतकात ठेवतात. विरहांक दोन रचना देतो, सूची प्रस्तार (“सुईचा विस्तार”), आंशिक बेरजांतून बनलेला, आणि मेरु प्रस्तार. दिवाकरन पुनरावृत्ती अशी लिहितात की n अक्षरांची आणि k र्हस्वांची संख्या ही n वजा १ आणि k वजा १ ची संख्या अधिक n वजा १ आणि k ची संख्या असते.

फिबोनाची संख्या देणारी दुसरी मोजणी

जर र्हस्व अक्षर एक मात्रा आणि दीर्घ अक्षर दोन मात्रा धरले, तर प्रश्न बदलतो: एकूण लांबी n मात्रा असलेले किती आकृतिबंध आहेत. एक ते सहा मात्रांची उत्तरे १, २, ३, ५, ८ आणि १३ आहेत, जसे सिंग यांनी Historia Mathematica मधील १९८५ च्या निबंधात मांडले आहे. प्रत्येक आधीच्या दोहोंची बेरीज आहे, आणि शाह पुनरावृत्ती ही विरहांकाने पिंगलाच्या पद्धतीचा मात्रा-मोजणीच्या छंदांपर्यंत केलेला विस्तार म्हणून देतात.

सिंग विरहांकाला इ.स. ६०० ते ८०० दरम्यान, गोपालाला ११३५ पूर्वी आणि हेमचंद्राला सुमारे ११५० ला ठेवतात, सर्व फिबोनाचीच्या सुमारे १२०२ पूर्वी. शाह उद्धृत करतात ती चार मात्रांच्या पदांची पिंगलाची स्वतःची यादी अपेक्षित पाच नोंदी देते: GG, LLG, LGL, GLL आणि LLLL. सिंग १० व्या शतकातील टीकाकार यादव यावर अवलंबून आहेत, जो मिश्रौ च नियम मात्रा-मोजणीच्या छंदांनाही लागू होतो असे वाचतो, त्यामुळे खुद्द पिंगलाशी असलेला दुवा टीकेतून जातो.

तारखा ज्यांवर स्रोत सहमत नाहीत

शाह, दिवाकरन आणि सिंग टीकाकार हलायुधाला १० व्या शतकात ठेवतात, तर कुलकर्णी १३ वे शतक लिहितात. केदाराच्या वृत्तरत्नाकराबद्दल, वेगळ्या पद्धतीने मोजणारी नंतरची पुस्तिका, कुलकर्णी सुमारे ८०० AD म्हणतात आणि शाह यांचा तक्ता सुमारे ११०० CE. पिंगलाची स्वतःची तारीख, वर मांडल्याप्रमाणे, पाणिनीबद्दलची कौटुंबिक परंपरा स्वीकारली जाते की नाही यावर अवलंबून आहे.

ही पद्धत कुठे गेली

शाह पिंगलाच्या अल्गोरिदमचा माग सुमारे पंधरा शतकांच्या भारतीय कृतींमधून घेतात. दिवाकरन जोडतात की माधवाची ज्यामालिका, सुमारे इ.स. १४००, बेरजांच्या बेरजांवर उभी आहे ज्या पिंगलाच्या पुनरावृत्तीचे पालन करतात, हा दुवा ग्रंथ कधीही सांगत नाहीत; केरळ शाळा केरळमधील कलनशास्त्रावरील आमच्या लेखाचा विषय आहे. दिवाकरन यांच्या मांडणीनुसार लिखित स्थानमूल्य अंक आणि शून्याचे चिन्ह पिंगलानंतर शतकांनी आले, आणि ती कथा भारताने जगाला शून्य दिले यात सांगितली आहे. शार्ङ्गदेवाच्या संगीतरत्नाकराने, सुमारे इ.स. १२२५, ही पद्धत चार प्रकारच्या तालांच्या लयींपर्यंत वाढवली: द्रुत, लघु, गुरु आणि प्लुत, जे १, २, ४ आणि ६ एकके टिकतात.