পিঙ্গলের ছন্দঃশাস্ত্র, আনুমানিক খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় শতকের বলে ধরা, হ্রস্ব আর দীর্ঘ অক্ষরের সব বিন্যাসের তালিকা করেছে, সেগুলিকে বাইনারি গণনার সঙ্গে মেলে এমন ক্রমে সংখ্যা দিয়েছে, আর দ্বিগুণ করে করে তাদের গুনেছে

পিঙ্গলের রচনা বলে ধরা ছন্দ নিয়ে সংস্কৃত নির্দেশিকা ছন্দঃশাস্ত্র শেষ হয়েছে কয়েকটি ছোট নিয়মে, যা হ্রস্ব আর দীর্ঘ অক্ষরের সম্ভাব্য প্রতিটি বিন্যাসের তালিকা করে, তালিকার অবস্থান থেকে যেকোনো বিন্যাস খুঁজে বের করে, আর বিন্যাসগুলি গোনে। তিন অক্ষরে আটটি বিন্যাস হয়, ছয় অক্ষরে ৬৪টি। নর্থইস্টার্ন বিশ্ববিদ্যালয়ের জয়ন্ত শাহ লিখেছেন, ভারতের বিন্যাস-সমাবেশবিদ্যা, অর্থাৎ সাজানোর উপায় গোনার গণিতের ঐতিহ্য, শুরু হয়েছিল ছন্দের এই আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব দিয়ে, যা তিনি খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় শতকের বলে ধরেন।

বিন্যাসগুলির সংখ্যায়নও বাইনারি গণনার সঙ্গে মেলে, যদি হ্রস্ব অক্ষরকে ১ ধরা হয়, অঙ্কগুলি উল্টে পড়া হয় আর গোনা শুরু হয় এক থেকে। এখানে উদ্ধৃত পণ্ডিতেরা এই পাটিগণিতে একমত। তাঁরা একমত নন এই প্রশ্নে যে, এতে প্রমাণ হয় কি না পিঙ্গলের বাইনারি সংখ্যার ধারণা ছিল, আর এই লেখা দুটিকে আলাদা রেখেছে। নিচের সূত্রের (সূত্র মানে সংক্ষিপ্ত বিধিবাক্য) ভাষা শাহ এবং হায়দরাবাদ বিশ্ববিদ্যালয়ের অম্বা কুলকার্নির উদ্ধৃত ও অনূদিত রূপ।

ছন্দের নির্দেশিকা, যা শেষ হয়েছে গণিতে

কুলকার্নি ছন্দঃশাস্ত্রকে বৈদিক সংস্কৃত ছন্দ নিয়ে পাওয়া সবচেয়ে পুরোনো গ্রন্থ বলেছেন। শাহ এবং নুহ আয়দিন ও সহলেখকদের ২০২৬ সালের একটি প্রবন্ধ দিয়েছে খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় শতক, দিবাকরন বলেছেন খ্রিস্টপূর্ব তৃতীয় থেকে দ্বিতীয় শতক আর কুলকার্নি লিখেছেন ২০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দ। সুভাষ কাক যুক্তি দিয়েছেন খ্রিস্টপূর্ব পঞ্চম শতকের পক্ষে, যদি প্রাচীন ঐতিহ্য ঠিক হয় যে পিঙ্গল বৈয়াকরণ পাণিনির ছোট ভাই ছিলেন, এমন ঐতিহ্য যার সূত্র কাক আর পরমানন্দ সিং দুজনেই টীকাকার সদ্গুরুশিষ্যের কাছে খুঁজে পেয়েছেন। পাণিনি ও তাঁর নিয়ম-ব্যবস্থার কথা আছে অষ্টাধ্যায়ী নিয়ে আমাদের লেখায়।

সংস্কৃতের প্রতিটি অক্ষর হয় লঘু, হালকা বা হ্রস্ব, এক মাত্রার (সময়ের একক), অথবা গুরু, ভারী বা দীর্ঘ, দুই মাত্রার। পিঙ্গলের চিহ্ন G আর L, এবং n অক্ষরের একটি পঙ্‌ক্তি হলো n সংখ্যক এমন অক্ষরের একটি সারি। কবিরা সম্ভাব্য সারির অল্প কয়েকটিই ব্যবহার করতেন। শাহ লক্ষ করেছেন, শেষের তত্ত্বের ছন্দের ব্যবহারিক কোনো কাজ নেই, এটি “দৃশ্যত গণিতের জন্যই গণিত”।

কুলকার্নির সংস্করণে অষ্টম অধ্যায়ে ৩৫টি সূত্র, আর শেষ ১৬টি (৮.২০ থেকে ৮.৩৫) গণনা নিয়ে।

তিন অক্ষর থেকে আটটি বিন্যাস

প্রথম নিয়মগুলি তালিকা বানায়, সংস্কৃত ছন্দবিদেরা যাকে বলেন প্রস্তার, “বিস্তার”। সূত্র ৮.২০, dvikau glau, এক অক্ষরের ছন্দকে দুটি রূপ দেয়, G আর L, এবং সূত্র ৮.২১ (misrau ca, “আর মিশ্র”) ও ৮.২২ ধাপটি পুনরাবৃত্তি করে। শাহের বর্ণনায় পদ্ধতিটি ছোট দৈর্ঘ্যের তালিকার দুটি কপি বানায়, একটি কপির প্রতিটি ভুক্তির শেষে G আর অন্যটির প্রতিটির শেষে L যোগ করে, এবং কপি দুটি জুড়ে দেয়।

এক অক্ষরে হয় G, L। দুইয়ে GG, LG, GL, LL। তিনে GGG, LGG, GLG, LLG, GGL, LGL, GLL, LLL। সূত্র ৮.২৩, vasavastrikah, বলে আটটি (বসু) ত্রয়ী আছে। পিঙ্গল আটটির প্রতিটিকে একটি ছোট সংকেত দিয়েছেন, উপরের ক্রমে m, y, r, s, t, j, bh আর n। কুলকার্নি দেখিয়েছেন, লম্বা ছন্দের জন্য একই ধাপ পুনরাবৃত্ত হবে বলে ধরা হয়, তাই চারটি নিয়মই সব তালিকা বানাতে যথেষ্ট।

কাক আটটি সংকেতের একটি স্মরণ-সূত্র নথিবদ্ধ করেছেন, yamatarajabhanasalagam, যা বৃত্তাকারে পড়লে তিন অক্ষরের আটটি বিন্যাসের প্রতিটির ওপর দিয়ে একবার করে যায়। এর বয়স খোলা প্রশ্ন: কাক একে সম্ভবত প্রাচীন বলেছেন এবং বলেছেন তা প্রমাণ নয়।

তালিকা না লিখে ষষ্ঠ বিন্যাসটি খুঁজে পাওয়া

দুটি নিয়ম পাঠককে যেকোনো ভুক্তিতে লাফিয়ে যেতে দেয়। নষ্ট নিয়ম (“হারানো সারি”), সূত্র ৮.২৪ ও ৮.২৫-এ, অবস্থান থেকে বিন্যাস বের করে। সংখ্যাটি জোড় হলে L লিখে অর্ধেক করুন, বা বিজোড় হলে G লিখে এক যোগ করে অর্ধেক করুন। বিন্যাসে যথেষ্ট অক্ষর না হওয়া পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি করুন। শাহের উদাহরণ অবস্থান ৬, যা দেয় L, তারপর G, তারপর L। ভুক্তি ৬ আসে তিন অক্ষরের জন্য LGL, চারের জন্য LGLG আর পাঁচের জন্য LGLGG।

উদ্দিষ্ট নিয়ম (“নির্দেশিত সারি”), সূত্র ৮.২৬ ও ৮.২৭-এ, প্রক্রিয়াটি উল্টো দিকে চালায়। ১ থেকে শুরু করুন এবং বিন্যাসটি ডান দিক থেকে পড়ুন, একেবারে শেষের কোনো G বাদ দিয়ে। প্রথম L-এ সংখ্যাটি দ্বিগুণ করুন। তারপর প্রতিটি L-এ দ্বিগুণ করুন, আর প্রতিটি G-তে দ্বিগুণ করে এক বিয়োগ করুন। ধরা যাক LGLG: ডানের L দেয় ২, তার বাঁয়ের G দেয় ২ গুণ ২ বিয়োগ ১, অর্থাৎ ৩, আর প্রথম L দেয় ৬।

কুলকার্নি ও কাক একে পড়েছেন বাইনারি পাটিগণিত হিসেবে। L-কে ১ আর G-কে ০ লিখুন, অবস্থান থেকে এক বিয়োগ করুন, এবং ফলটি বাইনারিতে লিখুন, সবচেয়ে কম মানের অঙ্ক আগে বসিয়ে। চার অক্ষরের তালিকার ভুক্তি ৬, LGLG, হলো ১০১০, যা উল্টালে ০১০১, অর্থাৎ ৫, আর ৫ হলো ৬ বিয়োগ ১। কুলকার্নি আধুনিক চর্চা থেকে দুটি তফাত বলেছেন: বড় স্থানীয় মান বসে ডানে, আর গোনা শুরু হয় ১ থেকে। কাকের সিদ্ধান্ত, পিঙ্গল বাইনারি পদ্ধতি পুরোপুরি বুঝেছিলেন।

দিবাকরন একই তথ্য পড়েছেন আরও সাবধানে। এফপিএসএসি-তে তাঁর বক্তৃতায় তিনি মানেন যে অঙ্ক উল্টে পড়লে আর L-কে ১ ধরলে i-তম ভুক্তি i বিয়োগ ১-এর বাইনারি রূপের সঙ্গে মেলে, কিন্তু তিনি দেখান যে, তালিকায় যেমন আছে, G আর L-এ ০ ও ১ বসানোর কোনোটিই তালিকাটিকে স্বাভাবিক ক্রমের বাইনারি সংখ্যা বানায় না। তাঁর বিবরণে পিঙ্গলের নিয়মে কোনো স্পষ্ট বাইনারি সংখ্যা নেই, স্থানমানযুক্ত অঙ্ক আর শূন্যের চিহ্ন তখন থেকে ৬০০ থেকে ৭০০ বছর দূরে, আর ভারতে ভিত্তি সব সময় ছিল দশ।

বাইনারি সংখ্যার দিকে সবচেয়ে স্পষ্ট পদক্ষেপ শাহের পাঠে আসে পরে। মহাবীর, যাঁকে শাহের সারণি ধরে প্রায় ৮৫০ খ্রিস্টাব্দে, পিঙ্গলের নিয়মের জায়গায় এনেছিলেন এমন একটি নিয়ম, যা অক্ষরগুলির ওপরে ২-এর ঘাতগুলি লেখে এবং প্রতিটি L-এর ওপরের মান যোগ করে তাতে এক যোগ করে অবস্থান ঠিক করে। শাহ একে বলেছেন “ভারতীয় গণিতবিদেরা বাইনারি সংখ্যা উদ্ভাবনের সবচেয়ে কাছে যেখানে পৌঁছেছিলেন”, এবং যোগ করেছেন যে ভরতের নাট্যশাস্ত্র, খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় থেকে খ্রিস্টীয় প্রথম শতকের একটি গ্রন্থ, তার ১২১ নম্বর শ্লোকে একই পদ্ধতির রূপরেখা দিয়েছে বলে মনে হয়।

৬৪ পর্যন্ত না গুনেই চৌষট্টিটি বিন্যাস

Pare purnam (“পরের, পূর্ণ”) বলে প্রতিটি অতিরিক্ত অক্ষর বিন্যাসের সংখ্যা দ্বিগুণ করে। শাহের পাঠে শেষের সূত্রজোড়া একটি পুনরাবৃত্তি, অর্থাৎ এমন নিয়ম যা প্রতিটি সংখ্যা আগেরটি থেকে ঠিক করে: n যোগ ১ অক্ষরের সংখ্যা n অক্ষরের সংখ্যার দ্বিগুণ।

মোট সংখ্যা খুঁজে পাওয়ার একটি দ্রুততর উপায়ও পিঙ্গল দিয়েছেন, সংখ্যা নিয়ম। অক্ষরের সংখ্যাকে অর্ধেক করা গেলে অর্ধেকটির উত্তর বের করে বর্গ করুন। না গেলে এক বিয়োগ করে উত্তর বের করুন আর দ্বিগুণ করুন। শাহ ছয় অক্ষরের হিসাবটি করে দেখিয়েছেন: ৬ অর্ধেক হয়ে ৩, ৩ হয় ২, ২ অর্ধেক হয়ে ১, আর ১ হয় ০। উল্টো দিকে উঠলে পাওয়া যায় ২, তারপর বর্গ করে ৪, তারপর দ্বিগুণ করে ৮, তারপর বর্গ করে ৬৪। নিয়মে বিজোড় ক্ষেত্রটির চিহ্ন শূন্য শব্দটি, “শূন্যতা”, এবং দিবাকরন একে সংখ্যা হিসেবে শূন্যের একটি আদি আবির্ভাব বলে পড়েন। শাহ যেমন বলেছেন, কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা পদ্ধতিটিকে বলেন ভাগ করো আর জয় করো।

পাশের একটি নিয়ম দ্বিগুণ হওয়া ধারাটির যোগফল দেয়: n অক্ষরের সংখ্যার দ্বিগুণ বিয়োগ ২ সমান ১ থেকে n দৈর্ঘ্যের সংখ্যাগুলির যোগফল। তিন অক্ষরে ২ যোগ ৪ যোগ ৮ হলো ১৪, যা ১৬ বিয়োগ ২। শাহ জানিয়েছেন, পরবর্তী ভারতীয় গণিতবিদেরা গুণোত্তর ধারার জন্য এই অর্ধেক-করো-আর-বর্গ-করো ভাষা আবার ব্যবহার করেছিলেন, এবং নারায়ণ পণ্ডিত ১৩৫৬ সালের গণিতকৌমুদীতে প্রায় হুবহু তা পুনরাবৃত্তি করেছেন।

অর্ধেক-করো-আর-বর্গ-করো নিয়মকে বাইনারি ঘাতকরণের আবিষ্কার বলে দাবি করা হয়েছে, যা আধুনিক গুপ্তবিদ্যায় ব্যবহৃত বর্গ-ও-গুণ পদ্ধতি। আয়দিন ও তাঁর সহলেখকেরা বলেছেন, ডোনাল্ড ক্নুথের দ্য আর্ট অফ কম্পিউটার প্রোগ্রামিং পদ্ধতিটির আদি আবির্ভাবের কৃতিত্ব পিঙ্গলকে দেয় ৪০০ খ্রিস্টাব্দের আগে, এবং ব্লগ ও অন্যান্য গৌণ সূত্র মূল পাঠ যাচাই না করেই এই কৃতিত্ব আওড়ায়। তাঁদের পাঠে পিঙ্গলের ব্যবহার ছন্দ গণনার ভেতরেই, কোনো ভিত্তির জন্য সাধারণ নিয়ম হিসেবে বলা নয়। তাঁরা প্রথম স্পষ্ট সাধারণ নিয়ম পেয়েছেন ১৪২৭ সালে আল-কাশির কাজে, এবং সিদ্ধান্ত করেছেন পদ্ধতিটি স্বাধীনভাবে কয়েকবার দেখা দিয়েছে।

ছয়টি প্রক্রিয়ার শেষটি, অধ্বযোগ, মাপে তালিকা কতটা জায়গা নেয়। জনাশ্রয়, যাঁকে শাহ ধরেন আনুমানিক ৬০০ খ্রিস্টাব্দের, প্রতিটি পঙ্‌ক্তিকে এক আঙুল চওড়া ধরে দেখেছিলেন ২৪ অক্ষরের তালিকার লাগে ৩,৩৫,৫৪,৪৩১ আঙুলের প্রস্থ, যে সংখ্যা সমান ২-এর ২৪ ঘাতের দ্বিগুণ বিয়োগ এক। শাহ তাকে রূপান্তর করেছেন প্রায় ২৬৫ মাইলে।

ঠিক দুটি হ্রস্ব অক্ষরের বিন্যাস কতগুলি

গ্রন্থ যে পঞ্চম প্রশ্নের উত্তর দেয় তা হলো, কতগুলি বিন্যাসে হ্রস্ব অক্ষরের সংখ্যা নির্দিষ্ট, যা আধুনিক বীজগণিতের দ্বিপদ সহগ। ছয় অক্ষরের ৬৪টি বিন্যাসের মধ্যে ১৫টিতে ঠিক দুটি L আছে।

প্রচলিত উত্তর সেই ত্রিভুজ, ইউরোপ যাকে বলে পাসকালের, আর সংস্কৃতে মেরু প্রস্তার, “পর্বতের বিস্তার”। টীকাকার হলায়ুধ গঠনটি লিখে দিয়েছেন: ওপরে একটি ঘর, নিচে দুটি, তারপর তিনটি, প্রতিটি ঘর ওপরের দুই ঘরের যোগফল। ছয় অক্ষরের জন্য শাহের সংস্করণের নিচের সারি ১, ৬, ১৫, ২০, ১৫, ৬, ১, যেগুলি শূন্য, এক, দুই থেকে ছয়টি হ্রস্ব অক্ষরের বিন্যাসের সংখ্যা, আর সারির যোগফল ৬৪।

হলায়ুধ গঠনটি জুড়েছিলেন পিঙ্গলের শেষ দুটি সূত্রের সঙ্গে। শাহ এটি পরীক্ষা করেছেন হলায়ুধের আগে লেখা ছন্দবিদদের রচনা ধরে, এবং মানেননি। যেমন লেখা আছে, সূত্র দুটি “পরের, পূর্ণ” দুবার বলে আর দ্বিগুণ হওয়ার নিয়ম পুনরাবৃত্তি করে। এ বিষয়ে শাহ জার্মান পণ্ডিত আলব্রেখট ভেবারের পক্ষে, যিনি হলায়ুধের পাঠে আপত্তি তুলেছিলেন, আর সংস্কৃতের সরল অর্থের পক্ষে। তবু তিনি দ্বিপদ গণনার মূল পিঙ্গলেই খুঁজে পান, আরেকটি সূত্রের মাধ্যমে, যা ভেবার গ্রন্থের যজুর্বেদীয় পাঠ থেকে উদ্ধৃত করেছেন, ekottarakramashah purvaprkta lasankhya। তিনি একে পড়েন ১, ২ থেকে n পর্যন্ত আংশিক যোগফল বারবার বানানোর নির্দেশ হিসেবে, এবং দেখান নাট্যশাস্ত্রের ১২৪ থেকে ১২৭ নম্বর শ্লোক আরও বিস্তৃত ভাষায় একই ধাপ বর্ণনা করে। যে সংখ্যাগুলি পাওয়া যায় তা একই ত্রিভুজের ঘোরানো রূপ।

হলায়ুধ যে গঠনের বর্ণনা দিয়েছেন তার প্রথম আবির্ভাব বিরহাঙ্কের বৃত্তজাতিসমুচ্চয়ে, যা শাহ সপ্তম শতকের বলে ধরেন। বিরহাঙ্ক দুটি গঠন দিয়েছেন, আংশিক যোগফল থেকে গড়া সূচী প্রস্তার (“সুঁচের বিস্তার”), এবং মেরু প্রস্তার। দিবাকরন পুনরাবৃত্তিটি লিখেছেন এভাবে: k সংখ্যক হ্রস্বসহ n অক্ষরের সংখ্যা সমান n বিয়োগ ১ ও k বিয়োগ ১-এর সংখ্যা যোগ n বিয়োগ ১ ও k-এর সংখ্যা।

দ্বিতীয় একটি গণনা, যা ফিবোনাচ্চি সংখ্যা দেয়

হ্রস্ব অক্ষর যদি এক মাত্রা আর দীর্ঘ দুই মাত্রা ধরা হয়, প্রশ্নটি বদলে যায়: কতগুলি বিন্যাসের মোট দৈর্ঘ্য n মাত্রা? এক থেকে ছয় মাত্রার উত্তর ১, ২, ৩, ৫, ৮ আর ১৩, যেমন সিং ১৯৮৫ সালে হিস্টোরিয়া ম্যাথেমাটিকা-য় একটি প্রবন্ধে দেখিয়েছেন। প্রতিটি আগের দুটির যোগফল, এবং শাহ পুনরাবৃত্তিটিকে দিয়েছেন মাত্রা গোনা ছন্দের জন্য পিঙ্গলের পদ্ধতির বিরহাঙ্ককৃত সম্প্রসারণ হিসেবে।

সিং বিরহাঙ্ককে বসান ৬০০ থেকে ৮০০ খ্রিস্টাব্দের মধ্যে, গোপালকে ১১৩৫-এর আগে আর হেমচন্দ্রকে আনুমানিক ১১৫০-এ, সবই ফিবোনাচ্চির আনুমানিক ১২০২-এর আগে। চার মাত্রার পদের পিঙ্গলের নিজের তালিকা, যা শাহ উদ্ধৃত করেছেন, প্রত্যাশিত পাঁচটি ভুক্তি রাখে: GG, LLG, LGL, GLL আর LLLL। সিং ভরসা করেছেন দশম শতকের টীকাকার যাদবের ওপর, যিনি misrau ca নিয়মকে মাত্রা গোনা ছন্দের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য পড়েন, তাই পিঙ্গলের সঙ্গে যোগ একটি টীকার মধ্য দিয়ে।

যে তারিখে সূত্রগুলি একমত নয়

শাহ, দিবাকরন ও সিং টীকাকার হলায়ুধকে বসান দশম শতকে, কুলকার্নি লেখেন ত্রয়োদশ। কেদারের বৃত্তরত্নাকর, ভিন্ন পদ্ধতিতে গোনা পরবর্তী একটি নির্দেশিকা, সম্পর্কে কুলকার্নি বলেন প্রায় ৮০০ খ্রিস্টাব্দ, আর শাহের সারণিতে প্রায় ১১০০ খ্রিস্টাব্দ। পিঙ্গলের নিজের সময়, উপরে যেমন বলা হয়েছে, নির্ভর করে পাণিনি সম্পর্কে পারিবারিক ঐতিহ্য মানা হয় কি না তার ওপর।

পদ্ধতিটি কোথায় গেল

শাহ পিঙ্গলের কলাকৌশল অনুসরণ করেছেন ভারতীয় রচনার প্রায় পনেরো শতক ধরে। দিবাকরন যোগ করেছেন যে মাধবের সাইন ধারা, আনুমানিক ১৪০০ খ্রিস্টাব্দ থেকে, দাঁড়িয়ে আছে যোগফলের যোগফলের ওপর, যা পিঙ্গলের পুনরাবৃত্তি মানে, এমন একটি যোগসূত্র যা গ্রন্থগুলি কখনো বলেনি; কেরল ঘরানা কেরলে ক্যালকুলাসের পূর্বসূরি নিয়ে আমাদের লেখার বিষয়। দিবাকরনের বিবরণে স্থানমানযুক্ত লিখিত অঙ্ক আর শূন্যের চিহ্ন এসেছে পিঙ্গলের কয়েক শতক পরে, এবং সে গল্প বলা আছে ভারত বিশ্বকে শূন্য দিয়েছিল লেখায়। শার্ঙ্গদেবের সংগীতরত্নাকর, আনুমানিক ১২২৫ খ্রিস্টাব্দের, পদ্ধতিটিকে বাড়িয়ে নিয়েছিল চার রকম তালের ছন্দে, দ্রুত, লঘু, গুরু আর প্লুত, যা স্থায়ী হয় ১, ২, ৪ আর ৬ একক।