ज्येष्ठदेवाची युक्तिभाषा, सुमारे १५३० मध्ये मल्याळममध्ये लिहिलेली, पाय, साइन आणि कोसाइनसाठीच्या केरळ शाळेच्या श्रेणींची टप्प्याटप्प्याने सिद्धता देते

युक्तिभाषा हा सुमारे १५३० मध्ये केरळची भाषा मल्याळममध्ये लिहिलेला सिद्धतांचा ग्रंथ आहे. त्याचे लेखक ज्येष्ठदेव यांनी केरळच्या गणित आणि खगोलशास्त्र शाळेचे निकाल घेऊन प्रत्येक निकाल का खरा ठरतो ते दाखवले. २००८ मध्ये प्रकाशित झालेली समीक्षात्मक आवृत्ती, जिचे संपादन आणि भाषांतर के. व्ही. शर्मा यांनी केले आणि के. रामसुब्रमण्यन, एम. डी. श्रीनिवास आणि एम. एस. श्रीराम यांनी स्पष्टीकरणात्मक टिपा दिल्या, मजकुराचे वर्णन गणित आणि खगोलशास्त्र अशा दोन भागांत पंधरा प्रकरणे असे करते. तो ज्या निकालांची सिद्धता देतो त्यात पाय, साइन आणि कोसाइनच्या अनंत श्रेणी आहेत, ज्या नंतरचे लेखक १४व्या शतकात होऊन गेलेल्या संगमग्रामाच्या मधवाला श्रेय देतात.

काळ निश्चित नाही. स्प्रिंगरची आवृत्ती आणि के. रामसुब्रमण्यन सुमारे १५३० देतात. एम. डी. श्रीनिवास यांनी उद्धृत केलेल्या २०१० च्या परीक्षणात गणितज्ञ डेव्हिड मम्फर्ड यांनी “कदाचित सुमारे १५४०” असे लिहिले. सेंट अँड्र्यूजचे गणितइतिहास संग्रह मॅकट्युटर सुमारे १५५० देते. हा लेख सुमारे १५३० वापरतो आणि कालमर्यादा नजरेत ठेवतो. मधवा आणि केरळ शाळा यावरील आधीचा लेख श्रेणी स्वतः आणि त्या युरोपात पोहोचल्या का हा प्रश्न मांडतो. हा लेख त्या श्रेणी सिद्ध करणाऱ्या ग्रंथाबद्दल आहे.

लोक बोलत त्या भाषेतील भाष्य

ज्येष्ठदेवांनी युक्तिभाषा तंत्रसंग्रहाचे स्पष्टीकरण देण्यासाठी लिहिली, जो १४४४ मध्ये जन्मलेल्या नीलकंठ सोमयाजींचा मुख्य खगोलशास्त्रीय ग्रंथ आहे. मॅकट्युटर तंत्रसंग्रहाचे वर्णन आठ प्रकरणांतील ४३२ संस्कृत श्लोक असे करते, आणि नीलकंठांनी आर्यभटीयावरही भाष्य लिहिले असे सांगते. आवृत्तीबद्दल स्प्रिंगरचे वर्णन म्हणते की ज्येष्ठदेवांचा ग्रंथ त्या ग्रंथात “मांडल्याप्रमाणे” ग्रहगतींच्या गणनेमागील तंत्रे मांडतो, ज्याचा काळ ते सुमारे १५०० असा देते.

त्याची पद्धत शीर्षकातच आहे. युक्ती म्हणजे तर्क किंवा प्रत्यक्ष सिद्धता, आणि आवृत्तीचे स्वतःचे वर्णन म्हणते की मजकूर गणितीय खगोलशास्त्राच्या निकालांसाठी “तपशीलवार युक्ती सादर करतो”. मॅकट्युटर म्हणते की त्यात प्रमेयांच्या सिद्धता आणि नियमांचे निष्पत्ती आहेत, “भारतीय गणितीय ग्रंथासाठी अतिशय असामान्यपणे”. ते असेही म्हणते की हा ग्रंथ केरळ गणिताचे सर्वेक्षण आहे, त्यामुळे वाचकाला मधवाचे निकाल नंतरच्या लेखकाच्या स्पष्टीकरणातून मिळतात. रामसुब्रमण्यन लिहितात की श्रेणी असलेली मधवाची स्वतःची कृती उपलब्ध नाहीत, आणि परंपरेतील नंतरचे गणितज्ञ त्या त्यालाच श्रेय देतात, कोणत्याही मतभेदाशिवाय.

लेखक कोण याचा निर्णय फक्त १९५८ मध्ये झाला. चार्ल्स व्हिश यांनी १८३४ मध्ये लेखकाचे नाव चेल्लालूर नंबुतिरी असे दिले होते, आणि श्रीनिवास म्हणतात की नावाबद्दलचा गोंधळ त्या वर्षापर्यंत चालला, जेव्हा के. व्ही. शर्मा यांना केरळ विद्यापीठ ग्रंथालयातील एका हस्तलिखितात एक विधान सापडले ज्यात “भाषा”, म्हणजे देशी भाषेतील ग्रंथ, याचे लेखक ज्येष्ठदेव असल्याचे दिसते. बडोद्यातील एका हस्तलिखिताने भर घातली की ज्येष्ठदेव, नीलकंठांप्रमाणेच, परमेश्वराचा पुत्र दामोदर याचे शिष्य होते.

सुधारणा, घात आणि वर्तुळासाठी एक श्रेणी

पायच्या श्रेणीची सिद्धता लहान निकालांतून रचलेली आहे, आणि रामसुब्रमण्यन ती साखळी उलगडून दाखवतात.

एक दुवा म्हणजे एक भागिले एक अधिक x या अपूर्णांकाचा विस्तार. तो एका साध्या सर्वसमिकेपासून सुरू होतो आणि एका संख्येने भागण्याऐवजी दुसऱ्या संख्येने भागतो, आणि प्रत्येक अदलाबदलीला सुधारणा लागते. सुधारणा मिळून एक एकांतरित श्रेणी बनवतात. युक्तिभाषा आणि क्रियाक्रमकरी, शंकर वारियर आणि त्यांचे शिष्य नारायण यांनी लिहिलेले भास्कर दुसरा यांच्या लीलावतीवरील संस्कृत भाष्य, दोन्ही म्हणतात की सुधारणांना तार्किक अंत नाही आणि हवी ती अचूकता गाठली की प्रक्रिया थांबवता येते.

दुसरा दुवा म्हणजे पूर्ण संख्यांच्या घातांच्या बेरजा अंदाजे काढण्याची सामान्य पद्धत. मोठ्या पदसंख्या n साठी, १, २ ते n यांच्या k व्या घातांची बेरीज सुमारे n चा (k+१) वा घात भागिले (k+१) इतकी येते. रामसुब्रमण्यन म्हणतात की मजकूर जी कार्यपद्धती देतो ती गणितीय आगमनाने केलेल्या सिद्धतेच्या बरोबरीची आहे.

तिसरा दुवा म्हणजे श्रेणी स्वतः. मधवाचा श्लोक, शंकर वारियर यांनी उद्धृत केल्याप्रमाणे, वाचकाला व्यास चारने गुणायला सांगतो, मग त्या गुणाकाराला प्रत्येक विषम संख्येने क्रमाने भागायला, आणि आलटून पालटून वजा आणि बेरीज करायला. आधुनिक भाषेत परिघ बरोबर चार गुणिले व्यास, वजा चार गुणिले व्यास भागिले तीन, अधिक चार गुणिले व्यास भागिले पाच, आणि असेच पुढे. ज्येष्ठदेवांची निष्पत्ती वर्तुळाभोवतीच्या चौरसाचा एक चतुर्थांश घेते, एक बाजू n समान भागांत विभागते आणि प्रत्येक विभाजन बिंदू केंद्राशी जोडते. पुढे ते युक्तिवाद करतात की मोठ्या n साठी लहान कंसांच्या अर्धजीवा “मुळात कंसाच्या तुकड्यांइतक्याच असतात”, जसे रामसुब्रमण्यन भाषांतर करतात. तुकडे बेरजेत मांडून आणि घातांच्या बेरजेचे अंदाज वापरून श्रेणी मिळते, जी, रामसुब्रमण्यन यांच्या शब्दांत, ग्रेगरी आणि लाइबनिझ यांनी जवळजवळ तीन शतकांनंतर पुन्हा शोधली.

शेवटचा मुद्दा वेगाचा. पायची श्रेणी अतिशय हळू अभिसरते, आणि रामसुब्रमण्यन अन्त्यसंस्कार (antya-samskara) नावाच्या तंत्राचे वर्णन करतात, एखाद्या पदावर थांबल्यानंतर लावलेली सुधारणा. मजकूर तीन क्रमाने अधिक चांगल्या प्रकारच्या सुधारणा कशा मिळतात यावर चर्चा करतो. व्ही. एन. कृष्णचंद्रन २०२४ च्या एका पूर्वप्रकाशनात त्यातील पहिल्या युक्तिवादाचे असे वाचन करतात: मजकूर सुधारणेची एक नीटनेटकी निवड करून पाहतो, त्यामुळे सुधारणा प्रत्येक विषम संख्येला सारखीच होईल हे दिसते, जे टिकू शकत नाही, आणि म्हणून जवळच्या दोन सम संख्यांतून निवड करतो, n च्या चौपट ही पहिली अंदाजे किंमत धरून. रामसुब्रमण्यन नोंदवतात की तिसऱ्या सुधारणेसह श्रेणीची सुमारे २५ पदे पायची किंमत १० दशांश स्थळांपर्यंत अचूक देतात.

मधवाने दिलेली पायची एक किंमत, जिचा नीलकंठ आणि शंकर वारियर दोघेही उल्लेख करतात, २,८२७,४३३,३८८,२३३ भागिले ९००,०००,०००,००० म्हणजे ३.१४१५९२६५३५९२ आहे. ती ११ दशांश स्थळांपर्यंत अचूक आहे. मॅकट्युटर वेगळ्या मार्गाने, पुढे १२ चे वर्गमूळ असलेल्या आणि २१ पदांपर्यंत बेरीज केलेल्या श्रेणीने, तीच ११ स्थळे गाठते.

साइन आणि कोसाइन

युक्तिभाषा साइन आणि कोसाइनच्या श्रेणीही मिळवते. रामसुब्रमण्यन वाचकांना सिद्धतेसाठी साहित्याकडे पाठवतात, आणि गणितज्ञ पी. पी. दिवाकरन यांचा निर्वाळा उद्धृत करतात. दिवाकरन नोंदवतात की न्यूटनने आपली श्रेणी क्रमवार पदे त्यांच्या रूपावरून “अंदाजाने” शोधली, आणि साइन व कोसाइनसाठीच्या भेदसमीकरणाचे अनुकलन करण्याची युक्तिभाषेची पद्धत, दिवाकरन यांच्या शब्दांत, “पूर्णपणे वेगळी आणि अतिशय आधुनिक” आहे.

मम्फर्ड, श्रीनिवास उद्धृत करतात त्या परीक्षणात, लिहितात की या निकालांचे “पूर्ण निष्पत्तींसह अनौपचारिक विवेचन” मल्याळममध्ये टिकून आहे आणि भारतीय पद्धतींबद्दल अद्वितीय अंतर्दृष्टी देते, जी ते पुनरावृत्ती, आगमन आणि मर्यादेकडे काळजीपूर्वक जाणे अशी सांगतात.

खगोलशास्त्राचा भाग

आवृत्तीचा खंड II आठ खगोलशास्त्रीय प्रकरणे नोंदवतो: ग्रहांची गणना, पृथ्वी आणि खगोलीय गोल, पंधरा प्रश्न, शंकूची छाया, ग्रहण, व्यतिपात, ग्रहांच्या दृश्यतेच्या सुधारणा, आणि चंद्राच्या शृंगांची उन्नती.

खगोलशास्त्राचा बराच भाग नीलकंठांनी जुन्या भारतीय ग्रहमंडलाला दिलेल्या सुधारणेचे अनुसरण करतो. रामसुब्रमण्यन, श्रीनिवास आणि श्रीराम लिहितात की सुमारे १५०० मध्ये रचलेल्या तंत्रसंग्रहात नीलकंठांनी बुध आणि शुक्रासाठी केंद्रसमीकरण (equation of centre) मध्यम सूर्याऐवजी मध्यम सूर्यकेंद्री ग्रहाला लावले. ते भर घालतात की प्राचीन ग्रीक, इस्लामी आणि युरोपीय ग्रहसिद्धांत केप्लरपर्यंत ते मध्यम सूर्याला लावत, आणि योग्य नियम युरोपीय परंपरेत १७व्या शतकाच्या आरंभी प्रथम मांडला गेला. ते नोंदवतात की ज्येष्ठदेवांचा ग्रंथ नीलकंठांच्या मॉडेलसह जाणाऱ्या भौमितिक चित्राचे तपशीलवार विवेचन देतो.

त्याच लेखकांनुसार, एका लहान निबंधात नीलकंठ आपले विश्वरचनेचे मॉडेल मांडतात: बुध, शुक्र, मंगळ, गुरू आणि शनी मध्यम सूर्याभोवती विकेंद्री कक्षांत फिरतात, तर मध्यम सूर्य पृथ्वीभोवती फिरतो. ते निरीक्षण नोंदवतात की हेच मॉडेल टायको ब्राहे यांनी १६व्या शतकाच्या शेवटी मांडले, “जरी पूर्णपणे वेगळ्या विचारांवरून”. त्यात मध्यम सूर्य पृथ्वीभोवती फिरतो, त्यामुळे ती कोपर्निकन मांडणी नाही.

ग्रंथ व्यापक वाचकांपर्यंत कसा पोहोचला

१९व्या शतकाच्या आरंभी मद्रास वेधशाळा चालवणाऱ्या जॉन वॉरन यांनी आपल्या १८२५ च्या पुस्तकात लिहिले की एका भारतीय खगोलशास्त्रज्ञाने त्यांना पायची श्रेणी दिली होती. चार्ल्स व्हिश, ईस्ट इंडिया कंपनीचे नागरी सेवक ज्यांनी मलबारमध्ये पंधरापेक्षा जास्त वर्षे घालवली आणि मल्याळम व संस्कृत वाचले, यांनी हा विषय पुढे नेला. त्यांचा हिंदू वर्तुळचतुष्कोणतेवरील शोधनिबंध १५ डिसेंबर १८३२ रोजी रॉयल एशियाटिक सोसायटीसमोर वाचला गेला आणि १८३४ मध्ये त्यांच्या ट्रान्झॅक्शन्सच्या खंड ३ मध्ये छापला गेला. त्यात तंत्रसंग्रह, युक्तिभाषा, करणपद्धती आणि सद्रत्नमाला असे चार ग्रंथ नावाने आहेत, आणि शेवट एका आश्वासनाने होतो: “युक्तिभाषेचा आणखी एक वृत्तांत, अनंत श्रेणींनी वर्तुळाच्या चतुष्कोणतेच्या नियमांच्या सिद्धता” स्वतंत्र शोधनिबंधात येईल.

व्हिश १४ एप्रिल १८३३ रोजी मरण पावले आणि दुसरा शोधनिबंध कधीच आला नाही. श्रीनिवास नोंदवतात की व्हिश यांनी आपल्या दोन युक्तिभाषा हस्तलिखितांपैकी एकाच्या, जे आता लंडनच्या रॉयल एशियाटिक सोसायटीत आहे, पहिल्या कोऱ्या ताडपत्रावर लिहिले की त्यात “लेखकांच्या अनंत श्रेणीची सिद्धता” आहे.

ब्रिटनमधील स्वागत संमिश्र होते. रामसुब्रमण्यन नोंदवतात की मद्रास लिटररी सोसायटीचे ज्येष्ठ सदस्य जॉर्ज हाइन यांनी १८२० च्या दशकात निष्कर्ष काढला की श्रेणी युरोपीयांकडून उसन्या घेतल्या होत्या, आणि वॉरन यांनी त्यांचे मत स्वीकारायचे ठरवले. श्रीनिवास भर घालतात की १८४३ मध्ये ऑगस्टस डी मॉर्गन यांनी लिहिले की व्हिश यांचा शोधनिबंध सोसायटीच्याच ट्रान्झॅक्शन्समध्ये आला नसता तर त्यांनी तो “चलाख बनावट” म्हणून फेटाळला असता, आणि फ्रेंच खगोलशास्त्रज्ञ ले जांतील किंवा कॅथलिक धर्मप्रसारकांनी भारतीयांना श्रेणी पुरवल्या असाव्यात असे सुचवले. श्रीनिवास आणि रामसुब्रमण्यन दोघेही त्यानंतर युरोपीय इतिहासकारांतील दीर्घ शांततेचे वर्णन करतात. विज्ञान इतिहासकार डेव्हिड पिंग्री यांनी १९९२ मध्ये प्रकाशित झालेल्या एका व्याख्यानात त्याची दोन कारणे दिली: पाश्चात्य इतिहासकारांना सुरुवातीला भारतीयाने कॅल्क्युलसचा शोध लावला हे मान्य करता आले नाही, आणि नंतर कोणी सोसायटीचे ट्रान्झॅक्शन्स वाचले नाहीत. श्रीनिवास यातील काही भागाला आक्षेप घेतात, आणि म्हणतात की व्हिश यांचा शोधनिबंध वाचला गेल्यानंतरच्या दशकात व्यापकपणे नोंदवला गेला. पिंग्री असेही म्हणाले की मधवाच्या कर्तृत्वाला कॅल्क्युलसच्या शोधाशी गल्लत करू नये, कारण ते भौमितिक आणि बीजगणितीय युक्तिवादांवर आधारित होते.

पुनर्प्राप्ती भारतात सुरू झाली. बिभूतिभूषण दत्त यांनी १९२६ मध्ये पायच्या हिंदू किमतींवर लिहिले, ए. एन. सिंग यांनी १९३६ मध्ये श्रेणींच्या वापरावर, आणि सी. टी. राजगोपाल व सहकाऱ्यांनी १९४० च्या दशकात स्पष्टीकरणे प्रकाशित केली. १९४८ मध्ये रामवर्मा तंपुरान आणि ए. आर. अखिलेश्वरय्यर यांनी युक्तिभाषेचा गणित भाग मल्याळम टिपांसह प्रकाशित केला. स्प्रिंगर म्हणते की २००८ ची आवृत्ती संपूर्ण मल्याळम मजकुराची पहिली समीक्षात्मक आवृत्ती आहे, आणि त्यात रामसुब्रमण्यन, श्रीनिवास आणि श्रीराम यांचे इंग्रजी भाषांतर आणि स्पष्टीकरणात्मक टिपा जोडल्या आहेत.

दाव्यांची व्याप्ती

व्याप्तीबद्दल रामसुब्रमण्यन स्पष्ट आहेत: केरळच्या गणितज्ञांनी आपली चर्चा वर्तुळाच्या चतुष्कोणतेपुरती आणि काही त्रिकोणमितीय फलनांपुरती मर्यादित ठेवली, तर युरोपीय गणितज्ञांनी औपचारिक व्याख्यांसह मनमानी वक्र आणि सर्वसाधारण हाताळणी हाती घेतली. त्यांच्या मांडणीत संदर्भ आणि उद्देशही वेगळे होते. पिंग्री यांचा वर उल्लेखलेला आक्षेप हा सर्वात प्रसिद्ध विरोधी दृष्टिकोन आहे. एखादा वाचक युक्तिभाषेच्या पद्धतींना कॅल्क्युलस म्हणतो की नाही हे शब्द किती व्यापकपणे वापरला जातो यावर अवलंबून आहे, आणि स्रोत त्यासाठी वेगवेगळे शब्द वापरतात.

इतर मुद्दे खुले राहतात. मधवाचे स्वतःचे गणितीय लेखन हरवले आहे. युक्तिभाषेचा काळ वर दिलेल्या स्रोतांमध्ये सुमारे दोन दशकांनी बदलतो. हा लेख १७व्या शतकापूर्वी कोणतेही निकाल युरोपात पोहोचले असा दावा करत नाही.

स्प्रिंगरच्या सूचीतील नोंद दोन खंडांच्या आवृत्तीची लांबी LXVIII प्रास्ताविक पाने आणि १,०८४ पाने अशी देते.