సుమారు క్రీ.పూ. రెండో శతాబ్దానికి చెందిన పింగళుని ఛందశ్శాస్త్రం హ్రస్వ, దీర్ఘ అక్షరాల ప్రతి అమరికనూ జాబితా చేస్తుంది, వాటికి ద్విసంఖ్యా లెక్కింపుతో సరిపోయే క్రమంలో సంఖ్యలిచ్చి, రెట్టింపు చేస్తూ లెక్కిస్తుంది

పింగళునికి ఆపాదించే ఛందస్సుపై సంస్కృత గ్రంథం ఛందశ్శాస్త్రం, హ్రస్వ, దీర్ఘ అక్షరాల సాధ్యమైన ప్రతి అమరికనూ జాబితా చేయడానికి, జాబితాలో దాని స్థానం నుంచి ఏ అమరికనైనా కనుగొనడానికి, అమరికలను లెక్కించడానికి చిన్న నియమాల వరుసతో ముగుస్తుంది. మూడు అక్షరాలు ఎనిమిది అమరికలను, ఆరు 64ను ఇస్తాయి. అమరికలను లెక్కించే గణితమైన సంయోజక శాస్త్రపు (కాంబినేటరిక్స్) భారతీయ సంప్రదాయం ఈ ఛందస్సుల అధికారిక సిద్ధాంతంతో మొదలైందని, దాన్ని క్రీ.పూ. రెండో శతాబ్దానికి చెందినదిగా నిర్ణయిస్తానని నార్త్‌ఈస్టర్న్ విశ్వవిద్యాలయానికి చెందిన జయంత్ షా రాస్తారు.

అమరికల సంఖ్యాక్రమం కూడా ద్విసంఖ్యా లెక్కింపుతో సరిపోతుంది, హ్రస్వాక్షరాన్ని 1గా చదివి, అంకెలను తిరగేసి, లెక్కను ఒకటి నుంచి మొదలుపెడితే. ఈ అంకగణితంపై ఇక్కడ ఉటంకించిన పండితులు ఏకీభవిస్తారు. పింగళునికి ద్విసంఖ్యల భావన ఉందని ఇది చూపుతుందా అనే దానిపై వారు విభేదిస్తారు; ఈ వ్యాసం ఆ రెంటినీ వేరుగా ఉంచుతుంది. కింది సూత్రాల (సూక్తుల) పాఠాలు షా, హైదరాబాద్ విశ్వవిద్యాలయానికి చెందిన అంబా కులకర్ణి ఉటంకించి అనువదించినట్టే ఉన్నాయి.

గణితంతో ముగిసే ఛందస్సుల గ్రంథం

వైదిక సంస్కృత ఛందస్సులపై లభించిన తొలి గ్రంథం ఛందశ్శాస్త్రమని కులకర్ణి అంటారు. షా, నుహ్ అయ్డిన్ సహచరుల 2026 పత్రం క్రీ.పూ. రెండో శతాబ్దం అని, దివాకరన్ క్రీ.పూ. మూడు నుంచి రెండో శతాబ్దం అని, కులకర్ణి క్రీ.పూ. 200 అని రాస్తారు. పింగళుడు వ్యాకరణకర్త పాణిని తమ్ముడు అనే పాత సంప్రదాయం సరైనదైతే క్రీ.పూ. ఐదో శతాబ్దమని సుభాష్ కాక్ వాదిస్తారు; ఈ సంప్రదాయాన్ని వ్యాఖ్యాత సద్గురుశిష్యుని వరకు కాక్, పరమానంద్ సింగ్ ఇద్దరూ గుర్తించారు. పాణిని, ఆయన నియమ వ్యవస్థ అష్టాధ్యాయిపై మా వ్యాసంలో ఉన్నాయి.

ప్రతి సంస్కృత అక్షరం లఘువు, అంటే తేలికైనది లేదా హ్రస్వమైనది, ఒక మాత్ర (కాల ప్రమాణం) విలువ గలది, లేదా గురువు, అంటే బరువైనది లేదా దీర్ఘమైనది, రెండు మాత్రల విలువ గలది. పింగళుని సంకేతాలు G, L వాడతాయి, n అక్షరాల పాదం అటువంటి n అక్షరాల వరుస. కవులు సాధ్యమైన వరుసల్లో కొన్నింటినే వాడారు. ముగింపు సిద్ధాంతానికి ఛందశ్శాస్త్రంలో ఆచరణాత్మక ఉపయోగం లేదని, అది “బహుశా గణితం కోసమే గణితం” అని షా గమనిస్తారు.

కులకర్ణి ముద్రణలో ఎనిమిదో అధ్యాయంలో 35 సూత్రాలు ఉన్నాయి, చివరి 16 (8.20 నుంచి 8.35) లెక్కింపు గురించి.

మూడు అక్షరాల నుంచి ఎనిమిది అమరికలు

మొదటి నియమాలు జాబితాను నిర్మిస్తాయి; దాన్ని సంస్కృత ఛందశ్శాస్త్రజ్ఞులు ప్రస్తారం, అంటే “విస్తరణ” అంటారు. సూత్రం 8.20, ద్వికౌ గ్లౌ, ఒక అక్షరపు ఛందస్సుకు G, L అనే రెండు రూపాలనిస్తుంది, 8.21 (మిశ్రౌ చ, “మరియు మిశ్రమం”), 8.22 సూత్రాలు ఆ అడుగును పునరావృతం చేస్తాయి. షా వివరణలో, ఈ పద్ధతి చిన్న పొడవు జాబితాను రెండు నకళ్లు చేసి, ఒక నకలులో ప్రతి ఎంట్రీ చివర G, మరొక నకలులో L జోడించి, నకళ్లను కలుపుతుంది.

ఒక అక్షరం G, L ఇస్తుంది. రెండు GG, LG, GL, LL ఇస్తాయి. మూడు GGG, LGG, GLG, LLG, GGL, LGL, GLL, LLL ఇస్తాయి. సూత్రం 8.23, వసవస్త్రికః, ఎనిమిది (వసు) త్రికాలు ఉన్నాయని చెబుతుంది. ఆ ఎనిమిదింటిలో ప్రతిదానికీ పింగళుడు, ఇప్పుడే జాబితా చేసిన క్రమంలో, m, y, r, s, t, j, bh, n అనే చిన్న సంకేతం ఇస్తాడు. ఇదే అడుగు పొడవైన ఛందస్సులకు పునరావృతమవుతుందని అర్థం చేసుకోవాలని, కాబట్టి ప్రతి జాబితానూ ఉత్పత్తి చేయడానికి నాలుగు నియమాలు చాలునని కులకర్ణి సూచిస్తారు.

ఎనిమిది సంకేతాలకు జ్ఞాపక వాక్యం యమాతారాజభానసలగం అని కాక్ నమోదు చేస్తారు; దాన్ని వలయంగా చదివితే ఎనిమిది మూడక్షరాల అమరికలనూ ఒక్కొక్కటి ఒకసారి దాటుతుంది. దాని వయసు తేలలేదు: ఇది సంభావ్యంగా ప్రాచీనమని కాక్ అంటారు, అది రుజువు కాదని కూడా అంటారు.

జాబితా రాయకుండానే ఆరో అమరికను కనుగొనడం

రెండు నియమాలు పాఠకుడిని ఏ ఎంట్రీకైనా దూకనిస్తాయి. 8.24, 8.25 సూత్రాల్లోని నష్ట నియమం (“తప్పిపోయిన వరుస”) స్థానాన్ని అమరికగా మారుస్తుంది. సంఖ్య సరి అయితే L రాసి దాన్ని సగం చేయండి, లేదా బేసి అయితే G రాసి ఒకటి కలిపిన తరువాత సంఖ్యను సగం చేయండి. అమరికకు తగినన్ని అక్షరాలు వచ్చే వరకు పునరావృతం చేయండి. షా ఉదాహరణ స్థానం 6, అది L, తరువాత G, తరువాత L ఇస్తుంది. 6వ ఎంట్రీ మూడు అక్షరాలకు LGL, నాలుగుకు LGLG, ఐదుకు LGLGG వస్తుంది.

8.26, 8.27 సూత్రాల్లోని ఉద్దిష్ట నియమం (“చూపబడిన వరుస”) ప్రక్రియను వెనక్కి నడుపుతుంది. 1 వద్ద మొదలుపెట్టి, అమరికను కుడి నుంచి స్కాన్ చేయండి, చివరి భాగంలోని ఏ G నైనా దాటవేయండి. మొదటి L వద్ద సంఖ్యను రెట్టింపు చేయండి. ఆ తరువాత ప్రతి L వద్ద రెట్టింపు చేయండి, ప్రతి G వద్ద రెట్టింపు చేసి ఒకటి తీసివేయండి. LGLG తీసుకోండి: కుడివైపు L 2 ఇస్తుంది, దాని ఎడమ వైపు G 2 సార్లు 2 మైనస్ 1, అంటే 3 ఇస్తుంది, మొదటి L 6 ఇస్తుంది.

దీన్ని ద్విసంఖ్యా అంకగణితంగా కులకర్ణి, కాక్ చదువుతారు. L ను 1గా, G ను 0గా రాయండి, స్థానం నుంచి ఒకటి తీసివేయండి, ఫలితాన్ని అల్ప ప్రాముఖ్య అంకె మొదట ఉండేలా ద్విసంఖ్యలో రాయండి. నాలుగు అక్షరాల జాబితాలో 6వ ఎంట్రీ LGLG 1010, దాన్ని తిరగేస్తే 0101, అంటే 5, 5 అంటే 6 మైనస్ 1. ఆధునిక పద్ధతితో రెండు తేడాలను కులకర్ణి పేర్కొంటారు: అధిక స్థాన విలువలు కుడివైపు ఉంటాయి, లెక్క 1 నుంచి మొదలవుతుంది. పింగళునికి ద్వి సంఖ్యా వ్యవస్థ సంపూర్ణంగా అర్థమైందని కాక్ నిర్ధారిస్తారు.

అవే వాస్తవాలను దివాకరన్ మరింత జాగ్రత్తగా చదువుతారు. తన FPSAC ప్రసంగంలో, అంకెలను వెనుక నుంచి L ను 1గా చదివితే i వ ఎంట్రీ i మైనస్ 1 యొక్క ద్విసంఖ్యా రూపానికి సరిపోతుందని ఆయన అంగీకరిస్తారు, కానీ జాబితా చేసిన రూపంలో G, L లకు 0, 1 లలో ఏ కేటాయింపు వేసినా జాబితా ద్విసంఖ్యలను వాటి సాధారణ క్రమంలో చేయదని ఆయన చూపుతారు. ఆయన వివరణలో పింగళుని నియమాలు స్పష్టమైన ద్విసంఖ్యలను వాడవు, స్థాన విలువ సంఖ్యా చిహ్నాలు, సున్నా చిహ్నం 600 నుంచి 700 ఏళ్ల దూరంలో ఉన్నాయి, భారతదేశంలో ఆధారం ఎప్పుడూ పది.

ద్విసంఖ్యల వైపు స్పష్టమైన అడుగు షా పఠనంలో తరువాత వస్తుంది. షా పట్టిక సుమారు క్రీ.శ. 850గా నిర్ణయించిన మహావీరుడు, పింగళుని నియమాన్ని అక్షరాల పైన 2 ఘాతాలను రాసి, ప్రతి L పై విలువల మొత్తానికి ఒకటి కలిపి స్థానంగా ఉంచే నియమంతో భర్తీ చేశాడు. దీన్ని “ద్విసంఖ్యలను కనుగొనడానికి భారతీయ గణితజ్ఞులు అత్యంత దగ్గరగా వచ్చిన సందర్భం” అని షా అంటారు, క్రీ.పూ. రెండో శతాబ్దం నుంచి క్రీ.శ. మొదటి శతాబ్దం మధ్య గ్రంథమైన భరతుని నాట్యశాస్త్రం తన 121వ శ్లోకంలో అదే పద్ధతిని వివరిస్తున్నట్టు కనిపిస్తుందని జోడిస్తారు.

64 వరకు లెక్కపెట్టకుండా అరవై నాలుగు అమరికలు

పరే పూర్ణమ్ (“తరువాత, నిండినది”) ప్రతి అదనపు అక్షరం అమరికల సంఖ్యను రెట్టింపు చేస్తుందని చెబుతుంది. షా పఠనంలో ముగింపు సూత్రాల జత పునరావృత నియమం, అంటే ప్రతి లెక్కను దాని ముందరి లెక్క నుంచి నిర్వచించే నియమం: n ప్లస్ 1 అక్షరాల లెక్క n లెక్కకు రెట్టింపు.

మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి వేగవంతమైన మార్గాన్ని, సంఖ్య నియమాన్ని, పింగళుడు ఇస్తాడు. అక్షరాల సంఖ్యను సగం చేయగలిగితే, సగానికి జవాబు కనుగొని దాన్ని వర్గం చేయండి. చేయలేకపోతే, ఒకటి తీసివేసి, జవాబు కనుగొని, రెట్టింపు చేయండి. ఆరు అక్షరాలను షా ఇలా చేస్తారు: 6 సగం చేస్తే 3, 3 అవుతుంది 2, 2 సగం చేస్తే 1, 1 అవుతుంది 0. తిరిగి పైకి పనిచేస్తే 2, తరువాత వర్గంతో 4, తరువాత రెట్టింపుతో 8, తరువాత వర్గంతో 64. నియమంలోని బేసి సందర్భాన్ని శూన్యం, అంటే “ఖాళీ” అనే పదం సూచిస్తుంది, దివాకరన్ దాన్ని సున్నా సంఖ్యగా తొలి కనిపించడంగా చదువుతారు. కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్తలు ఈ పద్ధతిని విభజించి జయించు అంటారని షా గమనిస్తారు.

దగ్గర నియమం రెట్టింపు శ్రేణి మొత్తాన్ని ఇస్తుంది: n అక్షరాల లెక్కకు రెట్టింపు మైనస్ 2, 1 నుంచి n పొడవుల లెక్కల మొత్తానికి సమానం. మూడు అక్షరాలు 2 ప్లస్ 4 ప్లస్ 8, అంటే 14 ఇస్తాయి, అది 16 మైనస్ 2. తరువాతి భారతీయ గణితజ్ఞులు ఈ సగం చేసి వర్గం చేసే పదబంధాన్ని గుణశ్రేణుల కోసం మళ్లీ వాడారని, నారాయణ పండితుడు 1356 నాటి గణితకౌముదిలో దాదాపు అక్షరాలా పునరావృతం చేస్తాడని షా నివేదిస్తారు.

సగం చేసి వర్గం చేసే నియమాన్ని ద్విఘాత ఘాతీకరణ ఆవిష్కరణగా, అంటే ఆధునిక గుప్తలేఖనంలో వాడే వర్గం చేసి గుణించే పద్ధతిగా చెప్పుకున్నారు. డొనాల్డ్ నుత్ రాసిన ది ఆర్ట్ ఆఫ్ కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామింగ్ క్రీ.శ. 400 కంటే ముందు ఆ పద్ధతి తొలి ప్రత్యక్షతను పింగళునికి ఆపాదిస్తుందని, బ్లాగులు, ఇతర ద్వితీయ మూలాలు ప్రాథమిక పాఠాన్ని సరిచూడకుండా ఆ ఆపాదింపును పునరావృతం చేస్తాయని అయ్డిన్, సహ రచయితలు అంటారు. వారి పఠనంలో పింగళుని వాడకం ఛందస్సుల లెక్కింపు లోపల ఉంది, ఏ ఆధారానికైనా సాధారణ నియమంగా చెప్పలేదు. తొలి స్పష్టమైన సాధారణ నియమం అల్-కాషీ 1427 నాటి రచనలో ఉందని వారు కనుగొని, ఆ పద్ధతి స్వతంత్రంగా అనేకసార్లు తలెత్తిందని నిర్ధారిస్తారు.

ఆరు పద్ధతుల్లో చివరిది అధ్వయోగం, జాబితాకు ఎంత స్థలం కావాలో కొలుస్తుంది. షా సుమారు క్రీ.శ. 600గా నిర్ణయించిన జనాశ్రయుడు, ప్రతి పాదాన్ని ఒక వేలు వెడల్పుగా ఉంచి, 24 అక్షరాల జాబితాకు 33,554,431 వేలు వెడల్పులు కావాలని కనుగొన్నాడు; ఆ సంఖ్య 2 యొక్క 24వ ఘాతానికి రెట్టింపు మైనస్ ఒకటికి సమానం. షా దాన్ని సుమారు 265 మైళ్లకు మారుస్తారు.

సరిగ్గా రెండు హ్రస్వాక్షరాలున్న అమరికలు ఎన్ని

గ్రంథం జవాబిచ్చే ఐదో ప్రశ్న, ఇచ్చిన సంఖ్యలో హ్రస్వాక్షరాలున్న అమరికలు ఎన్ని అనేది; ఇది ఆధునిక బీజగణితంలోని ద్విపద గుణకం. ఆరు అక్షరాల 64 అమరికల్లో, సరిగ్గా రెండు L లున్నవి 15.

ప్రామాణిక జవాబు యూరప్ పాస్కల్ త్రిభుజం అనే త్రిభుజం; సంస్కృతంలో మేరు ప్రస్తారం, అంటే “పర్వత విస్తరణ” అంటారు. వ్యాఖ్యాత హలాయుధుడు నిర్మాణాన్ని రాశాడు: పైన ఒక గడి, కింద రెండు, తరువాత మూడు, ప్రతి గడి పైన ఉన్న రెండింటి మొత్తం. ఆరు అక్షరాలకు షా రూపంలో అడుగు వరుస 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1; అవి సున్నా, ఒకటి, రెండు నుంచి ఆరు వరకు హ్రస్వాక్షరాలున్న అమరికల సంఖ్యలు, వరుస మొత్తం 64.

నిర్మాణాన్ని పింగళుని చివరి రెండు సూత్రాలకు హలాయుధుడు జోడించాడు. హలాయుధునికి ముందు రాసిన ఛందశ్శాస్త్రజ్ఞుల రచనలతో దీన్ని షా పరీక్షించి అంగీకరించరు. రాసినట్టుగా ఆ రెండు సూత్రాలు “తరువాత, నిండినది” అని రెండుసార్లు చెప్పి రెట్టింపు నియమాన్ని పునరావృతం చేస్తాయి. దీనిపై హలాయుధుని పఠనాన్ని వ్యతిరేకించిన జర్మన్ పండితుడు ఆల్బ్రెక్ట్ వెబర్ పక్షాన, సంస్కృతపు సాదా అర్థం పక్షాన షా నిలుస్తారు. అయినా ద్విపద లెక్కను పింగళుని వరకు ఆయన గుర్తిస్తారు, పాఠపు యజుర్ రూపం నుంచి వెబర్ ఉటంకించిన మరొక సూత్రం ద్వారా, ఏకోత్తరక్రమశః పూర్వప్రాక్తా లసంఖ్య. దాన్ని 1, 2 నుంచి n వరకు పాక్షిక మొత్తాలను మళ్లీ మళ్లీ ఏర్పరచే సూచనగా ఆయన చదువుతారు, నాట్యశాస్త్రంలోని 124 నుంచి 127 శ్లోకాలు అదే అడుగును సంపూర్ణ మాటల్లో వర్ణిస్తాయని చూపుతారు. ఫలితంగా వచ్చే సంఖ్యలు అదే త్రిభుజపు తిప్పిన రూపం.

హలాయుధుడు వర్ణించే నిర్మాణం తొలిసారి కనిపించేది విరహాంకుని వృత్తజాతిసముచ్చయంలో; దాన్ని షా ఏడో శతాబ్దానికి చెందినదిగా నిర్ణయిస్తారు. విరహాంకుడు రెండు నిర్మాణాలు ఇస్తాడు: పాక్షిక మొత్తాలతో నిర్మించిన సూచీ ప్రస్తారం (“సూది విస్తరణ”), మేరు ప్రస్తారం. పునరావృతాన్ని దివాకరన్ ఇలా రాస్తారు: k హ్రస్వాలున్న n అక్షరాల లెక్క, n మైనస్ 1, k మైనస్ 1 లెక్కకు, ప్లస్ n మైనస్ 1, k లెక్కకు సమానం.

ఫిబొనాచి సంఖ్యలను ఇచ్చే రెండో లెక్క

హ్రస్వాక్షరాన్ని ఒక మాత్రగా, దీర్ఘాక్షరాన్ని రెండుగా లెక్కిస్తే, ప్రశ్న n మాత్రల మొత్తం పొడవున్న అమరికలు ఎన్ని అని మారుతుంది. ఒకటి నుంచి ఆరు మాత్రలకు జవాబులు 1, 2, 3, 5, 8, 13 అని సింగ్ హిస్టోరియా మ్యాథమాటికా 1985 పత్రంలో వివరించారు. ప్రతిదీ ముందరి రెండింటి మొత్తం; మాత్రల లెక్క ఛందస్సులకు పింగళుని పద్ధతికి విరహాంకుని విస్తరణగా పునరావృతాన్ని షా ఇస్తారు.

విరహాంకుని క్రీ.శ. 600, 800 మధ్య, గోపాలుని 1135 కంటే ముందు, హేమచంద్రుని సుమారు 1150గా సింగ్ నిర్ణయిస్తారు; అన్నీ ఫిబొనాచి సుమారు 1202 కంటే ముందు. షా ఉటంకించే పింగళుని స్వంత నాలుగు మాత్రల పాదాల జాబితాలో ఆశించిన ఐదు ఎంట్రీలు ఉన్నాయి: GG, LLG, LGL, GLL, LLLL. మిశ్రౌ చ నియమం మాత్రల లెక్క ఛందస్సులను కూడా కలుపుతుందని చదివే పదో శతాబ్దపు వ్యాఖ్యాత యాదవునిపై సింగ్ ఆధారపడతారు, కాబట్టి పింగళునితో సంబంధం వ్యాఖ్యానం ద్వారా నడుస్తుంది.

మూలాలు ఏకీభవించని తేదీలు

వ్యాఖ్యాత హలాయుధుని పదో శతాబ్దంలో షా, దివాకరన్, సింగ్ ఉంచుతారు, కులకర్ణి పదమూడో శతాబ్దం అని రాస్తారు. కేదారుని వృత్తరత్నాకరానికి, వేరే పద్ధతిలో లెక్కించే తరువాతి గ్రంథం, కులకర్ణి సుమారు క్రీ.శ. 800 అంటారు, షా పట్టిక సుమారు క్రీ.శ. 1100 అంటుంది. పింగళుని స్వంత తేదీ, పైన చెప్పినట్టు, పాణిని గురించిన కుటుంబ సంప్రదాయాన్ని అంగీకరిస్తారా అన్నదానిపై ఆధారపడుతుంది.

ఈ పద్ధతి ఎటు వెళ్లింది

పింగళుని అల్గారిథమ్‌లను సుమారు పదిహేను శతాబ్దాల భారతీయ రచనల ద్వారా షా గుర్తిస్తారు. సుమారు క్రీ.శ. 1400 నాటి మాధవుని సైన్ శ్రేణి, పింగళుని పునరావృతాన్ని పాటించే మొత్తాల మొత్తాలపై ఆధారపడుతుందని, పాఠాలు ఎప్పుడూ చెప్పని సంబంధమని దివాకరన్ జోడిస్తారు; కేరళ పాఠశాల కేరళలో కలన గణితం వ్యాసపు అంశం. స్థాన విలువ లిఖిత సంఖ్యలు, సున్నా చిహ్నం దివాకరన్ వివరణలో పింగళుని తరువాత శతాబ్దాలకు వచ్చాయి, ఆ కథ భారతదేశం ప్రపంచానికి సున్నా ఇచ్చింది వ్యాసంలో ఉంది. సుమారు క్రీ.శ. 1225 నాటి శార్ఙ్గదేవుని సంగీతరత్నాకరం, ద్రుత, లఘు, గురు, ప్లుత అనే 1, 2, 4, 6 యూనిట్లు నిలిచే నాలుగు రకాల తాళాలున్న లయలకు ఈ పద్ధతిని విస్తరించింది.