El Chandahshastra de Pingala, fechado hacia el siglo II a. C., enumera todos los patrones de sílabas breves y largas, los numera en un orden que coincide con el conteo binario y los cuenta por duplicación

El Chandahshastra, un manual sánscrito de métrica poética atribuido a Pingala, termina con una serie de reglas breves que enumeran todos los patrones posibles de sílabas breves y largas, hallan cualquier patrón a partir de su posición en la lista y cuentan los patrones. Tres sílabas dan ocho patrones y seis dan 64. Jayant Shah, de la Northeastern University, escribe que la tradición india de la combinatoria, la matemática de contar disposiciones, empezó con esta teoría formal de los metros, que él fecha en el siglo II a. C.

La numeración de los patrones coincide también con el conteo en binario, si la sílaba breve se lee como 1, las cifras se invierten y la cuenta empieza en uno. Los estudiosos citados aquí coinciden en esa aritmética. Discrepan sobre si demuestra que Pingala tenía la idea de los números binarios, y este artículo mantiene separadas las dos cuestiones. Las formulaciones de los sutras (aforismos) que siguen son las citadas y traducidas por Shah y por Amba Kulkarni, de la Universidad de Hyderabad.

Un manual de metros que termina en matemáticas

Kulkarni llama al Chandahshastra el tratado más antiguo hallado sobre los metros del sánscrito védico. Shah y un artículo de 2026 de Nuh Aydin y colegas dan el siglo II a. C., Divakaran dice del siglo III al II a. C. y Kulkarni escribe 200 a. C. Subhash Kak defiende el siglo V a. C., si es cierta la vieja tradición de que Pingala era hermano menor del gramático Panini, una tradición que Kak y Parmanand Singh atribuyen ambos al comentarista Sadgurushishya. Panini y su sistema de reglas se tratan en nuestro artículo sobre el Ashtadhyayi.

Toda sílaba sánscrita es laghu, ligera o breve, que vale una matra (unidad de tiempo), o guru, pesada o larga, que vale dos. La notación de Pingala usa G y L, y un verso de n sílabas es una cadena de n de esas letras. Los poetas usaban solo unas pocas de las cadenas posibles. Shah observa que la teoría final no tiene uso práctico en la prosodia y es «aparentemente matemática por la matemática misma».

En la edición de Kulkarni, el capítulo octavo tiene 35 sutras, y los últimos 16 (del 8.20 al 8.35) tratan del conteo.

Ocho patrones con tres sílabas

Las primeras reglas construyen la lista, que los prosodistas sánscritos llaman prastara, el «despliegue». El sutra 8.20, dvikau glau, da al metro de una sílaba dos formas, G y L, y los sutras 8.21 (misrau ca, «y mezclados») y 8.22 repiten el paso. En la exposición de Shah, el procedimiento hace dos copias de la lista para la longitud menor, añade G al final de cada entrada de una copia y L a cada entrada de la otra, y une las copias.

Una sílaba da G, L. Dos dan GG, LG, GL, LL. Tres dan GGG, LGG, GLG, LLG, GGL, LGL, GLL, LLL. El sutra 8.23, vasavastrikah, establece que hay ocho (vasu) tríadas. Pingala da a cada una de las ocho un código breve, m, y, r, s, t, j, bh y n, en el orden recién enumerado. Kulkarni señala que se entiende que el mismo paso se repite para los metros más largos, de modo que cuatro reglas bastan para producir cualquier lista.

Kak recoge una cadena mnemotécnica para los ocho códigos, yamatarajabhanasalagam, que leída en anillo recorre una vez cada uno de los ocho patrones de tres sílabas. Su antigüedad está abierta: Kak la llama plausiblemente antigua y dice que eso no es una prueba.

Hallar el sexto patrón sin escribir la lista

Dos reglas permiten a un lector saltar a cualquier entrada. La regla nashta («la fila perdida»), en los sutras 8.24 y 8.25, convierte una posición en un patrón. Se escribe L si el número es par y se divide por la mitad, o se escribe G si es impar y se divide por la mitad el número tras sumarle uno. Se repite hasta que el patrón tenga suficientes sílabas. El ejemplo de Shah es la posición 6, que da L, luego G, luego L. La entrada 6 resulta LGL para tres sílabas, LGLG para cuatro y LGLGG para cinco.

La regla uddishta («la fila señalada»), en los sutras 8.26 y 8.27, recorre el proceso al revés. Se parte de 1 y se examina el patrón desde la derecha, saltando cualquier G del extremo. En la primera L se duplica el número. Después se duplica en cada L, y en cada G se duplica y luego se resta uno. Tomemos LGLG: la L de más a la derecha da 2, la G a su izquierda da 2 por 2 menos 1, que es 3, y la primera L da 6.

Kulkarni y Kak leen esto como aritmética binaria. Se escribe L como 1 y G como 0, se resta uno a la posición y se escribe el resultado en binario con la cifra menos significativa primero. La entrada 6 de la lista de cuatro sílabas, LGLG, es 1010, que invertido es 0101, o 5, y 5 es 6 menos 1. Kulkarni nombra dos diferencias con la práctica moderna: los valores posicionales mayores quedan a la derecha y la cuenta empieza en 1. Kak concluye que Pingala entendía perfectamente el sistema binario.

Divakaran lee los mismos hechos con más cautela. En su charla de FPSAC concede que la entrada i corresponde a la forma binaria de i menos 1 una vez que las cifras se leen al revés con L como 1, pero señala que, tal como está listada, ninguna asignación de 0 y 1 a G y L convierte la lista en números binarios en su orden habitual. En su exposición, las reglas de Pingala no usan números binarios explícitos, los numerales de valor posicional y un símbolo del cero quedaban a 600 o 700 años, y diez fue siempre la base en la India.

El paso más claro hacia los números binarios llega más tarde, en la lectura de Shah. Mahavira, a quien la tabla de Shah fecha hacia el 850 d. C., sustituyó la regla de Pingala por otra que escribe las potencias de 2 sobre las sílabas y fija la posición en uno más la suma de los valores sobre cada L. Shah llama a esto «lo más cerca que llegaron los matemáticos indios de inventar los números binarios», y añade que el Natyashastra de Bharata, un texto del siglo II a. C. al siglo I d. C., parece esbozar el mismo método en su verso 121.

Sesenta y cuatro patrones sin contar hasta 64

Pare purnam («luego, completo») dice que cada sílaba añadida duplica el número de patrones. En la lectura de Shah, el par de sutras finales es una recursión, una regla que define cada cuenta a partir de la anterior: la cuenta para n más 1 sílabas es el doble de la cuenta para n.

Pingala da también una manera más rápida de hallar el total, la regla sankhya. Si el número de sílabas puede dividirse por la mitad, se halla la respuesta para la mitad y se eleva al cuadrado. Si no puede, se resta uno, se halla la respuesta y se duplica. Shah desarrolla seis sílabas: 6 se divide en 3, 3 pasa a 2, 2 se divide en 1 y 1 pasa a 0. Volviendo hacia arriba se obtiene 2, luego 4 al elevar al cuadrado, luego 8 al duplicar, luego 64 al elevar al cuadrado. La palabra shunya, «vacío», rotula el caso impar en la regla, y Divakaran la lee como una aparición temprana del cero como número. Los informáticos llaman al método divide y vencerás, como señala Shah.

Una regla vecina suma la serie de duplicaciones: el doble de la cuenta para n sílabas, menos 2, es igual a las cuentas de las longitudes de 1 a n sumadas. Tres sílabas dan 2 más 4 más 8, que es 14, que es 16 menos 2. Matemáticos indios posteriores reutilizaron esta formulación de dividir y elevar al cuadrado para las series geométricas, informa Shah, y Narayana Pandita la repite casi al pie de la letra en el Ganitakaumudi de 1356.

La regla de dividir y elevar al cuadrado se ha reivindicado como descubrimiento de la exponenciación binaria, el método de elevar al cuadrado y multiplicar que se usa en la criptografía moderna. Aydin y sus coautores dicen que The Art of Computer Programming de Donald Knuth atribuye a Pingala una aparición temprana del método, antes del 400 d. C., y que blogs y otras fuentes secundarias repiten el crédito sin comprobar el texto primario. En su lectura, el uso de Pingala se inscribe en el conteo de metros y no está enunciado como regla general para ninguna base. Encuentran la primera regla general explícita en la obra de al-Kashi de 1427 y concluyen que el método apareció varias veces de forma independiente.

El último de los seis procedimientos, adhvayoga, mide cuánto espacio necesita la lista. Janashraya, un autor que Shah fecha hacia el 600 d. C., fijó cada línea en el ancho de un dedo y halló que la lista de 24 sílabas necesita 33.554.431 anchos de dedo, un número igual al doble de 2 elevado a 24, menos uno. Shah lo convierte en unas 265 millas.

Cuántos patrones tienen exactamente dos sílabas breves

La quinta pregunta a la que responde el texto es cuántos de los patrones tienen un número dado de sílabas breves, que es el coeficiente binomial del álgebra moderna. De los 64 patrones de seis sílabas, 15 tienen exactamente dos L.

La respuesta estándar es el triángulo que Europa llama de Pascal, conocido en sánscrito como meru prastara, el «despliegue de la montaña». El comentarista Halayudha escribió la construcción: una celda arriba, dos debajo, luego tres, cada celda la suma de las dos de encima. La versión de Shah para seis sílabas tiene una fila inferior de 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, los números de patrones con ninguna, una, dos y hasta seis sílabas breves, y la fila suma 64.

Halayudha vinculó la construcción a los dos últimos sutras de Pingala. Shah contrastó esto con las obras de los prosodistas anteriores a Halayudha y no lo acepta. Tal como están escritos, los dos sutras dicen «luego, completo» dos veces y repiten la regla de duplicación. En esto Shah se pone del lado del erudito alemán Albrecht Weber, que objetó la lectura de Halayudha, y del sentido llano del sánscrito. Aun así remonta la cuenta binomial a Pingala, a través de otro sutra que Weber cita de la versión Yajur del texto, ekottarakramashah purvaprkta lasankhya. Lo lee como una instrucción de formar sumas parciales de 1, 2, hasta n, una y otra vez, y muestra que los versos 124 a 127 del Natyashastra describen el mismo paso con más palabras. Los números que resultan forman una versión girada del mismo triángulo.

La primera aparición de la construcción que describe Halayudha está en el Vrittajatisamuccaya de Virahanka, que Shah fecha en el siglo VII. Virahanka da dos construcciones, el suci prastara («despliegue de aguja»), construido con sumas parciales, y el meru prastara. Divakaran escribe la recurrencia así: la cuenta para n sílabas con k breves es igual a la cuenta para n menos 1 y k menos 1, más la cuenta para n menos 1 y k.

Un segundo conteo que da los números de Fibonacci

Si una sílaba breve cuenta un tiempo y una larga dos, la pregunta cambia a cuántos patrones tienen una longitud total de n tiempos. Las respuestas para uno a seis tiempos son 1, 2, 3, 5, 8 y 13, como expone Singh en un artículo de 1985 en Historia Mathematica. Cada una es la suma de las dos anteriores, y Shah da la recurrencia como la extensión de Virahanka del método de Pingala a los metros contados por tiempos.

Singh fecha a Virahanka entre el 600 y el 800 d. C., a Gopala antes de 1135 y a Hemachandra hacia 1150, todos antes del 1202 aproximado de Fibonacci. La propia lista de pies de cuatro tiempos de Pingala, que cita Shah, tiene las cinco entradas esperadas: GG, LLG, LGL, GLL y LLLL. Singh se apoya en el comentarista del siglo X Yadava, que lee la regla misrau ca como si abarcara también los metros contados por tiempos, de modo que el vínculo con el propio Pingala pasa por un comentario.

Fechas en las que las fuentes no coinciden

Shah, Divakaran y Singh sitúan al comentarista Halayudha en el siglo X, mientras que Kulkarni escribe el siglo XIII. Para el Vrittaratnakara de Kedara, un manual posterior que cuenta por un método distinto, Kulkarni dice hacia el 800 d. C. y la tabla de Shah dice hacia el 1100 d. C. La propia fecha de Pingala, como se expuso arriba, depende de que se acepte la tradición familiar sobre Panini.

Adónde fue el método

Shah sigue los algoritmos de Pingala a lo largo de unos quince siglos de obras indias. Divakaran añade que la serie del seno de Madhava, de hacia el 1400 d. C., descansa en sumas de sumas que obedecen la recurrencia de Pingala, un vínculo que los textos nunca enuncian; la escuela de Kerala es el tema de nuestro artículo sobre el cálculo en Kerala. Los numerales escritos de valor posicional y un símbolo para el cero llegaron siglos después de Pingala según Divakaran, y esa historia se cuenta en La India dio al mundo el cero. El Sangitaratnakara de Sarngadeva, de hacia el 1225 d. C., amplió el método a ritmos con cuatro tipos de tiempo, druta, laghu, guru y pluta, que duran 1, 2, 4 y 6 unidades.