बक्षाली हस्तलिखिताच्या ७० भूर्जपत्रांवर शेकडो बिंदुरूप शून्ये आहेत, आणि ऑक्सफर्डच्या ताज्या कालनिर्णयाने पाच पानांची साल इसवी सन ७७३ ते १०३२ दरम्यानची ठरवली आहे

बक्षाली हस्तलिखित म्हणजे भूर्जपत्राची ७० पाने, ज्यांवर संस्कृत नियम आणि सोडवलेली अंकगणिताची उदाहरणे आहेत, आणि त्यांत शून्यासाठी बिंदू शेकडो वेळा लिहिला आहे. ते जपणारी ऑक्सफर्डची किरणोत्सारी कार्बन प्रयोगशाळा आणि बॉडलियन ग्रंथालये त्यांच्या २०२४ च्या अहवालात त्याला “दक्षिण आशियाई गणितीय कृतीचा जवळजवळ निश्चितपणे सर्वात जुना हयात साक्षीदार” म्हणतात. त्या अहवालात त्यातील पाच पानांची साल इसवी सन ७७३ ते १०३२ दरम्यानची ठरवली आहे.

तारीख एकदा आधीच बदलली आहे. सप्टेंबर २०१७ मध्ये याच संस्थांनी जाहीर केले की एक पान तिसऱ्या किंवा चौथ्या शतकाइतके जुने आहे, आणि द गार्डियन व इतर माध्यमांनी ते प्रसिद्ध केले. तो आकडा आता का टिकत नाही, हे २०२४ चा अहवाल सांगतो. मजकूर आणि त्यातील शून्ये तशीच आहेत; फक्त सालीचे मोजलेले वय हलले.

एक मजूर, एक भग्नावशेष आणि पेशावरजवळचे एक गाव

ही पाने मे १८८१ मध्ये आजच्या पाकिस्तानातील पेशावरच्या सुमारे ८० किलोमीटर ईशान्येकडील बक्षाली गावात सापडली. ऑक्सफर्डचा अहवाल सांगतो की एका शेतमजुराने ती एकतर शेतातून किंवा एका भग्नावशेषातून मिळवली, आणि शोधाचे वृत्तांत नेमके नाहीत.

तेव्हाचे भारताचे शासकीय लिपिशास्त्रज्ञ, जर्मन विद्वान ए. एफ. आर. हॉर्नले यांचा १८८२ चा अहवाल सांगतो की हस्तलिखित एका पडक्या आवारात दगड खोदणाऱ्या माणसाला सापडले. शोधणाऱ्याने ते उचलले तेव्हा त्यातील बहुतांश नष्ट झाले, असे हॉर्नले जोडतात. त्यांनी उरलेल्या तुकड्यांचा अभ्यास केला आणि १९०२ मध्ये ते ऑक्सफर्डच्या बॉडलियन ग्रंथालयाला दिले, जिथे ते MS. Sansk. d. 14 या क्रमांकाखाली जपलेले आहेत.

विद्वानांना मजकुराबद्दल जे काही माहीत आहे, त्यातील बहुतेक आजही छायाचित्रांवरून येते. जी. आर. के यांनी १९२७ मध्ये आपल्या आवृत्तीसोबत ती प्रसिद्ध केली. ब्रिटिश कोलंबिया विद्यापीठाचे गणितज्ञ बिल कॅसलमन यांच्या म्हणण्यानुसार त्यानंतर तुकडे अभ्रकाच्या पत्र्यांत बंद करण्यात आले. साल अभ्रकाला चिकटली आणि शेकडो लहान तुकड्यांत फुटली, आणि काळवंडली. कॅसलमन नमूद करतात की अभ्रकातूनही पानांचे चांगले छायाचित्र घेता येते, असे दिसते.

पाने काय शिकवतात

हा मजकूर नियम आणि नमुना उदाहरणांचा संग्रह आहे, पद्यात लिहिलेला आणि गद्य भाष्यासह. ऑक्सफर्डचा अहवाल त्याचे वर्णन वायव्येकडील प्रादेशिक भाषांचा प्रभाव असलेल्या संस्कृतमधील “पद्यातील क्रियाविधी आणि नमुना प्रश्न” असे करतो. लिपी शारदेचा एक प्रकार आहे, आणि वुर्झबुर्ग इंडोस्क्रिप्ट डेटाबेसने त्यात नोंदवलेल्या पानाला उत्तर-आद्य शारदा म्हटले आहे. कॅसलमन वर्णन करतात त्या रचनेत प्रत्येक नियमानंतर उदाहरणे आणि मग उत्तराची पडताळणी येते.

प्रश्न रोजच्या व्यवहारातले आहेत. पान १६ आणि १७ वरील एक मिश्रणाचा प्रश्न वेगवेगळ्या शुद्धतेच्या सोन्याच्या मिश्रधातूंबद्दल आहे. मॅकट्यूटरच्या नोंदीनुसार इतर प्रश्नांत त्रैराशिकाचा नियम (त्याचे उदाहरण ५० गुणिले १२ भागिले ८ चे उत्तर ७५ दिनार काढते), दोन मुलांचे रोजचे वेतन आणि कर्ज ज्यामुळे ३० दिवसांनी ते बरोबरीला येतात, आणि घोड्यांच्या किमतीबद्दलचा अनिर्णीत प्रश्न आहे. ऑक्सफर्डचे गणितज्ञ मार्कस डु सॉटॉय यांनी २०१७ मध्ये त्याचा नूर “एखाद्याने हे विकत घेतले आणि हे विकले तर त्याच्याकडे किती उरले?” अशा प्रश्नांचा असल्याचे सांगितले.

वर्गमुळे हा या ग्रंथाचा परमोच्च बिंदू आहे. मॅकट्यूटर पूर्ण वर्ग नसलेल्या संख्यांसाठी हस्तलिखिताची पद्धत मांडतो आणि ४१ च्या वर्गमुळाचे मूल्य ६.४०३१३८५२८ देतो, तर खरे मूल्य ६.४०३१२४२३७ आहे, म्हणजे चार दशांश स्थळांपर्यंत अचूक. ३३९,००९ साठी ते अकरा दशांश स्थळे बरोबर काढते. कॅसलमन म्हणतात की त्यातील अतिशय मोठ्या संख्यांसारखे काही इतर संस्कृतींत खूप नंतरपर्यंत त्यांना माहीत नाही, आणि दशांश अपूर्णांक अरब गणितज्ञांनी या प्रकारच्या कामानंतरच शोधले, असेही ते नमूद करतात.

शेवटची कर्त्याची नोंद, म्हणजे लेखकाने शेवटी लिहिलेली टीप, वासिहाचा मुलगा हासिका आणि त्याच्या वंशजांसाठी हे काम लिहिणाऱ्या छजकाच्या पुत्राच्या रूपात वर्णन केलेल्या एका ब्राह्मणाचे नाव सांगते, आणि ते ठिकाण दक्षिण आशियाच्या वायव्येकडील गांधार प्रदेशात होते. ताकाओ हायाशी यांनी १९९५ मध्ये मजकुराचे संपादन आणि भाषांतर केले, आणि खाली चर्चिलेले २०१७ चे उत्तर, ज्याचे ते सहलेखक आहेत, त्या आवृत्तीला निर्णायक अभ्यास म्हणते. त्यांनी भाष्याची तात्पुरती तारीख सातवे शतक आणि हयात हस्तलिखिताची आठव्या ते बाराव्या शतकादरम्यानची कधीतरी ठरवली.

दोन कामे करणारा बिंदू

हस्तलिखितातील शून्य म्हणजे एक बिंदू. १०१ मधील ० प्रमाणे तो संख्येतील रिकामी जागा दाखवतो, आणि २०१७ च्या ऑक्सफर्ड घोषणेनुसार नंतर त्याला पोकळ मध्य आला आणि तो आधुनिक चिन्ह बनला. २०१७ च्या उत्तराचे लेखक जोडतात की हस्तलिखित बिंदूचा वापर अज्ञात राशीसाठीही करते, बीजगणितातील चलासारख्या पद्धतीने.

नियमांतून शून्यावर प्रत्यक्ष क्रिया होतानाही दिसते. पान २२ वरील एका प्रश्नात अज्ञातासाठीचा बिंदू १ ने बदलला जातो, आणि मजकूर म्हणतो की हे पाऊल “शून्यात एकक मिळवून” केले आहे. पान ४७ वर नमुना प्रश्न १०८६२५/६५६०० आणि ५९४२५/४९२०० हे अपूर्णांक गुणतो आणि ६४५५०४०६२५/३२२७५२०००० उत्तर देतो; संख्यांतील शून्यांवर क्रिया केल्याशिवाय हे गणित कल्पिणे कठीण आहे, असे पाचही लेखक म्हणतात. ऑक्सफर्डच्या २०१७ च्या प्रकाशनाने बक्षाली बिंदूला स्थानधारक म्हटले आणि इसवी सन ६२८ मधील ब्रह्मगुप्ताचा ब्रह्मस्फुटसिद्धांत हा शून्याला संख्या म्हणून चर्चिणारा पहिला दस्तऐवज असल्याचे सांगितले. ब्रह्मगुप्ताने घालून दिलेले नियम स्वतंत्र लेखात मांडले आहेत.

या चिन्हाचा व्यापक इतिहास भारताने जगाला शून्य दिले येथे आहे. बक्षाली पाने त्यातील एक पुरावा आहेत, आणि २०१७ चे उत्तर इतर पुरावेही सांगते: शून्य (रिक्त) हा संस्कृत शब्द छंदांच्या गणनेत काही संकेतलेखनासाठी वापरला जात होता, सुमारे इसवी सन ५५० मधील एक ग्रंथ स्थिरांकाची व्याख्या “साठ वजा शून्य” अशी करतो, आणि अनेक प्राचीन ग्रंथ काठ्यांवर स्थानमूल्य मोजणीचे वर्णन करतात.

सप्टेंबर २०१७: तीन पाने, तीन शतके

बॉडलियन ग्रंथालयाने पान १६, १७ आणि ३३ मधून शाईपासून दूर सालीचे तीन लहान नमुने घेतले. डॉ. डेव्हिड चिव्हाल यांच्यासोबत काम करणाऱ्या ऑक्सफर्ड किरणोत्सारी कार्बन प्रवेगक विभागाने त्यांची मोजणी केली. बॉडलियनचे जॉन क्ले संस्कृत ग्रंथपाल कामिलो फोर्मिगात्ती यांनी १४ सप्टेंबर २०१७ रोजी विद्वानांच्या मेलिंग लिस्टवर कालमर्यादा टाकल्या, प्रत्येक ९५.४ टक्के विश्वासार्हतेने: पान १६ साठी इसवी सन २२४ ते ३८३, पान १७ साठी इसवी सन ६८० ते ७७९ (दुसऱ्या लहान अंतराळासह, ७९० ते ८६८), आणि पान ३३ साठी इसवी सन ८८५ ते ९९३. तिघांमधील इतका मोठा फरक अपेक्षित नव्हता, असे त्यांनी लिहिले.

ऑक्सफर्ड विद्यापीठाने त्याच दिवशी बातमी प्रसिद्ध केली आणि द गार्डियनने ती विशेष वृत्त म्हणून छापली. प्रसिद्धिपत्रकात म्हटले होते की हस्तलिखित तिसऱ्या किंवा चौथ्या शतकाइतके जुने आहे, विद्वानांच्या समजुतीपेक्षा सुमारे पाच शतके आधीचे, आणि मध्य प्रदेशातील ग्वाल्हेर येथे मंदिराच्या भिंतीवरील नवव्या शतकातील शून्यापेक्षा जुने, जे तोपर्यंत नोंदलेले सर्वात जुने भारतीय स्थानधारक शून्य होते. पाने किमान तीन वेगवेगळ्या कालखंडांतील असल्याचेही त्यात सांगितले होते. आधीचा प्रमुख शैक्षणिक अंदाज म्हणून प्रसिद्धिपत्रकाने हायाशी यांची आठव्या ते बाराव्या शतकाची मर्यादा नमूद केली.

विद्वानांचे उत्तर

२०१७ मध्ये भारतीय गणिताच्या पाच इतिहासकारांनी (किम प्लॉफ्कर, आगाथ केलर, ताकाओ हायाशी, क्लेमन्सी मॉन्टेल आणि दोमिनिक वुजास्टिक) History of Science in South Asia या समीक्षित नियतकालिकात प्रतिसाद प्रसिद्ध केला. त्यांनी म्हटले की किरणोत्सारी आकड्यांना ते तांत्रिक कारणांवर आव्हान देऊ शकत नाहीत, आणि त्यांनी हस्तलिखितावरूनच युक्तिवाद केला. हस्ताक्षर आणि मांडणी सर्व पानांवर एकसारखी दिसते, जी त्यांच्या मते शतकांच्या अंतराने लिहिलेल्या पानांशी जुळत नाही. पान १६ ची मागची बाजू आणि पान १७ ची पुढची बाजू सोन्याचे मिश्रधातू मिसळण्याचा एकच सलग प्रश्न धरतात, आणि हायाशी यांना वेगळ्या लेखकाची कोणतीही खूण दिसली नाही. काम एकाच तुकड्याप्रमाणे लिहून काढले असेल, तर शून्यांची तारीख ही सर्वात तरुण पानाची तारीख असते, असे त्यांनी लिहिले.

त्यांचे निष्कर्ष चाचणीचेही श्रेय देतात. त्यांनी किरणोत्सारी विश्लेषणाला संभाव्यतः अतिशय मौल्यवान म्हटले आणि प्रत्येक पानाचा एकाहून अधिक नमुना आणि शक्य असल्यास शाईच्या अक्षरांवरही चाचण्या मागितल्या. निकाल समीक्षेपूर्वी प्रसारमाध्यमांकडे आणि चित्रफितीकडे गेल्याबद्दल त्यांनी खंत व्यक्त केली.

दुसऱ्या दिवशी मेलिंग लिस्टवर वाल्टर स्लाये यांनी लिहिले की शून्याचा भारतातील प्राचीन वापर भारतविद्यावंतांना फार पूर्वीपासून माहीत होता, आणि कोणाचाही सल्ला का घेतला गेला नाही असे विचारले. आंद्रेआ अक्री यांनी नोंदवले की हस्तलिखित एकच मजकूर असेल, तर त्याच्या नकलेची तारीख नवव्या किंवा दहाव्या शतकात येईल, आणि ग्रंथालयाशिवाय आपण प्रसारमाध्यमांच्या वृत्तावरून काम करत असल्याचे ते म्हणाले.

ऑक्सफर्डचा २०२४ चा अहवाल

१४ ऑक्टोबर २०२४ रोजी ऑक्सफर्ड किरणोत्सारी कार्बन प्रवेगक विभाग आणि बॉडलियनने डेव्हिड चिव्हाल, व्हर्जिनिया लाडो-बुईसान, डेव्हिड हॉवेल आणि गिलियन एव्हिसन यांचा अधिक सविस्तर अहवाल जमा केला. त्यात म्हटले आहे की पान १६ आणि १७ वरील २०१७ च्या मोजणीने अनपेक्षित वय दिले, म्हणून चमूने २०१८ मध्ये पान २३ आणि ५५, पान १५ आणि पान १६ मधील दुसऱ्या नमुन्यावर नव्या चाचण्या केल्या. पान १६ चा दुसरा निकाल पहिला चुकीचा होता हे दाखवतो, असे अहवाल सांगतो. पान १७ ची मोजणी बाकीच्यांच्या तुलनेत विसंगत होती आणि वगळण्यात आली. पान ३३ चा निकाल नव्या निकालांशी सुसंगत होता आणि तो ठेवला गेला.

पाच जुळवलेल्या कालमर्यादा, ९५.४ टक्क्यांवर, अशा आहेत: पान १५ साठी इसवी सन ७७३ ते ९८६, पान १६ साठी ९०१ ते १०३२, पान २३ साठी ८९० ते १०१४, पान ३३ साठी ८८५ ते ९९५ आणि पान ५५ साठी ७७४ ते ९९१. वुर्झबुर्ग इंडोस्क्रिप्ट डेटाबेस पान १६ ला किरणोत्सारी कालनिर्णयाच्या आधारे इसवी सन ९०१ ते १०३२ दाखवतो, जे नव्या निकालाशी जुळते. अहवालाच्या सांख्यिकी चाचण्यांना आढळले की पाचही पाने समान वयाची आहेत असे गृहीत धरता येत नाही, परंतु पान १६ वगळता चार पाने धरता येतात, आणि त्यांचे उत्तर इसवी सन ८८९ ते ९७९ येते. पानांचे एकमेकांशी नाते कसे आहे याबद्दल कोणतेही गृहीतक न मांडणारे प्रतिमान हस्तलिखित तयार होण्याची सुरुवात इसवी सन ७९९ ते ८९२ मध्ये आणि शेवट ९०० ते ११०२ मध्ये ठेवते.

या आकड्यांनी नेमकी कशाची तारीख ठरते याबाबत अहवाल काळजी घेतो. किरणोत्सारी कार्बन साल कधी तयार झाली ते मोजतो, आणि त्याआधी हस्तलिखित लिहिले जाऊ शकत नाही, त्यामुळे तारखा त्याच्या निर्मितीसाठी सर्वात आधीची संभाव्य वेळ ठरवतात.

जे टिकते

त्याच अहवालात म्हटले आहे की हस्तलिखितासाठी सुचवलेल्या तारखा सुमारे इसवी सन २०० ते ११०० दरम्यान राहिल्या आहेत, आणि ते जवळजवळ निश्चितपणे दक्षिण आशियाई गणितीय कृतीचा हयात असलेला सर्वात जुना साक्षीदार आहे. कॅसलमन त्याला हयात असलेले सर्वात जुने गणिताचे हस्तलिखित म्हणतात आणि दमट हवामानात भूर्जपत्र फार काळ टिकत नाही असे सांगतात.

ऑक्सफर्डच्या २०१७ च्या प्रकाशनाने सर्वात जुने भारतीय स्थानधारक शून्य म्हटलेला ग्वाल्हेरचा शिलालेख नवव्या शतकातील आहे, आणि नव्या सालीच्या कालमर्यादा त्या शतकाला छेदतात. भाष्यासाठी हायाशी यांची सातव्या शतकाची तारीख हस्ताक्षर, भाषा आणि संस्कृत अंकगणित ग्रंथांच्या इतिहासावरून येते, आणि २०१७ च्या उत्तरातील शून्यांचे संख्या म्हणून केलेले वाचन मजकुराच्या स्वतःच्या पद्धतींवर आधारित आहे. दोन्हींपैकी एकही सालीचे मोजमाप नाही.

७० पानांपैकी सहा पानांचे नमुने घेतले गेले आहेत (पान १५, १६, १७, २३, ३३ आणि ५५). प्रत्येक चाचणीत सालीचा एक लहान नमुना संपतो, म्हणून आणखी कालनिर्णयाची ऑक्सफर्डच्या अहवालाला अपेक्षा नाही.