تسرد تشاندهشاسترا بينغالا، المؤرخة بنحو القرن الثاني قبل الميلاد، كل نمط من المقاطع القصيرة والطويلة، وترقّمها بترتيب يطابق العد الثنائي، وتعدّها بالمضاعفة

التشاندهشاسترا، دليل سنسكريتي في الأوزان الشعرية منسوب إلى بينغالا، تنتهي بسلسلة من القواعد القصيرة تسرد كل نمط ممكن من المقاطع القصيرة والطويلة، وتجد أي نمط من موضعه في القائمة، وتعدّ الأنماط. ثلاثة مقاطع تعطي ثمانية أنماط وستة تعطي 64. ويكتب جاينت شاه من جامعة نورث إيسترن أن التقليد الهندي في التوافقيات، أي رياضيات عدّ الترتيبات، بدأ بهذه النظرية الشكلية للأوزان، التي يؤرخها إلى القرن الثاني قبل الميلاد.

وترقيم الأنماط يطابق أيضا العد بالنظام الثنائي، إذا قُرئ المقطع القصير 1، وعُكست الخانات، وبدأ العد من واحد. والباحثون المذكورون هنا متفقون على هذه الحسبة. ويختلفون في هل تدل على أن بينغالا كانت لديه فكرة الأعداد الثنائية، وهذا المقال يفصل بين الأمرين. وصياغات السوترا (القاعدة الموجزة) أدناه كما اقتبسها وترجمها شاه وأمبا كولكارني من جامعة حيدر آباد.

دليل للأوزان ينتهي بالرياضيات

تسمي كولكارني التشاندهشاسترا أقدم رسالة عُثر عليها في الأوزان السنسكريتية الفيدية. ويعطي شاه وورقة عام 2026 لنوح آيدن وزملائه القرن الثاني قبل الميلاد، ويقول ديفاكاران القرن الثالث إلى الثاني قبل الميلاد، وتكتب كولكارني 200 ق.م. ويدافع سوبهاش كاك عن القرن الخامس قبل الميلاد، إن صح التقليد القديم بأن بينغالا كان أخا أصغر للنحوي بانيني، وهو تقليد يرده كاك وبارماناند سينغ كلاهما إلى الشارح سادغوروشيشيا. وبانيني ونظامه في القواعد مشمولان في مقالنا عن الأشتاديايي.

كل مقطع سنسكريتي إما لاغهو، أي خفيف أو قصير، يساوي ماترا واحدة (وحدة زمن)، أو غورو، أي ثقيل أو طويل، يساوي اثنتين. ويستعمل ترميز بينغالا الحرفين G وL، والسطر من n مقطعا سلسلة من n حرفا من هذه. ولم يستعمل الشعراء إلا بضع سلاسل من الممكنة. ويلاحظ شاه أن النظرية الختامية لا نفع عمليا لها في العروض، وأنها «رياضيات لأجل الرياضيات فيما يبدو».

وفي طبعة كولكارني للفصل الثامن 35 سوترا، والـ16 الأخيرة منها (من 8.20 إلى 8.35) تعالج العدّ.

ثمانية أنماط من ثلاثة مقاطع

تبني القواعد الأولى القائمة، التي يسميها علماء العروض السنسكريت البراستارا، أي «الانبساط». السوترا 8.20، dvikau glau، تعطي الوزن ذا المقطع الواحد شكلين، G وL، وتكرر السوترا 8.21 (misrau ca، أي «ومختلطا») و8.22 الخطوة. وفي رواية شاه، ينسخ الإجراء القائمة للطول الأقصر مرتين، ويضيف G إلى نهاية كل مدخل في نسخة وL إلى كل مدخل في الأخرى، ويضم النسختين.

مقطع واحد يعطي G وL. ومقطعان يعطيان GG وLG وGL وLL. وثلاثة تعطي GGG وLGG وGLG وLLG وGGL وLGL وGLL وLLL. وتنص السوترا 8.23، vasavastrikah، على أن الثلاثيات ثمانية (vasu). ويعطي بينغالا كلا من الثمانية رمزا قصيرا، m وy وr وs وt وj وbh وn، بالترتيب المذكور للتو. وتشير كولكارني إلى أن الخطوة نفسها يُفهم أنها تتكرر للأوزان الأطول، فأربع قواعد تكفي لإنتاج كل قائمة.

ويسجل كاك سلسلة حفظ للرموز الثمانية، yamatarajabhanasalagam، تمر، إذا قُرئت حلقة، بكل أنماط المقاطع الثلاثة الثمانية مرة واحدة. وعمرها مفتوح: يقول كاك إنها قديمة على الأرجح وإن هذا ليس برهانا.

إيجاد النمط السادس دون كتابة القائمة

تتيح قاعدتان للقارئ القفز إلى أي مدخل. قاعدة ناشتا («الصف المفقود»)، في السوترتين 8.24 و8.25، تحوّل موضعا إلى نمط. اكتب L إن كان العدد زوجيا وانصفه، أو اكتب G إن كان فرديا وانصف العدد بعد إضافة واحد. كرر حتى يصير للنمط ما يكفي من المقاطع. ومثال شاه الموضع 6، الذي يعطي L ثم G ثم L. فيخرج المدخل 6 LGL لثلاثة مقاطع وLGLG لأربعة وLGLGG لخمسة.

وقاعدة أودديشتا («الصف المشار إليه»)، في السوترتين 8.26 و8.27، تشغّل العملية بالعكس. ابدأ من 1 وامسح النمط من اليمين، متخطيا أي G في الطرف الأقصى. عند أول L ضاعف العدد. وبعد ذلك ضاعف عند كل L، وعند كل G ضاعف ثم اطرح واحدا. خذ LGLG: يعطي L الأيمن 2، ويعطي G عن يساره 2 ضرب 2 ناقص 1، أي 3، ويعطي L الأول 6.

ويقرأ كولكارني وكاك هذا على أنه حساب ثنائي. اكتب L بـ1 وG بـ0، واطرح واحدا من الموضع، واكتب الناتج بالثنائي بالخانة الأقل أهمية أولا. فالمدخل 6 من قائمة الأربعة مقاطع، LGLG، هو 1010، ومعكوسه 0101، أي 5، و5 هو 6 ناقص 1. وتسمي كولكارني فرقين عن الممارسة الحديثة: قيم المنازل الأعلى على اليمين، والعد يبدأ من 1. ويخلص كاك إلى أن بينغالا فهم النظام الثنائي فهما تاما.

ويقرأ ديفاكاران الوقائع نفسها بحذر أكبر. ففي محاضرته في FPSAC يقر بأن المدخل ذا الرقم i يقابل الصيغة الثنائية للعدد i ناقص 1 متى قُرئت الخانات بالعكس وL تساوي 1، لكنه يشير إلى أن أيا من تعيينَي 0 و1 على G وL، كما هي مدرجة، لا يحوّل القائمة إلى أعداد ثنائية بترتيبها المعتاد. وفي روايته لا تستعمل قواعد بينغالا أي أعداد ثنائية صريحة، وكانت الأرقام ذات قيم المنازل ورمز الصفر بعيدة بـ600 إلى 700 سنة، وكان الأساس في الهند عشرة دائما.

وأوضح خطوة نحو الأعداد الثنائية تأتي لاحقا، في قراءة شاه. فمهافيرا، الذي يؤرخه جدول شاه بنحو 850 للميلاد، استبدل بقاعدة بينغالا قاعدة تكتب قوى العدد 2 فوق المقاطع وتجعل الموضع واحدا زائد مجموع القيم عند كل L. ويسمي شاه هذا «أقرب ما بلغه الرياضيون الهنود من اختراع الأعداد الثنائية»، ويضيف أن ناتياشاسترا بهاراتا، وهو نص يعود إلى القرن الثاني قبل الميلاد حتى القرن الأول للميلاد، يبدو أنه يرسم الطريقة نفسها في بيته 121.

أربعة وستون نمطا دون العدّ إلى 64

تقول pare purnam («التالي، تام») إن كل مقطع مضاف يضاعف عدد الأنماط. وفي قراءة شاه فإن زوج السوترتين الختاميتين عودية، أي قاعدة تعرّف كل عدد من الذي قبله: عدد n زائد 1 من المقاطع ضعف عدد n.

ويعطي بينغالا أيضا طريقة أسرع لإيجاد المجموع، هي قاعدة سانخيا. إن أمكن تنصيف عدد المقاطع فجد الجواب للنصف ثم ربّعه. وإن لم يمكن فاطرح واحدا وجد الجواب وضاعفه. ويعالج شاه حالة ستة مقاطع: 6 تنصف إلى 3، و3 تصير 2، و2 تنصف إلى 1، و1 تصير 0. وبالصعود يعطي 2، ثم 4 بالتربيع، ثم 8 بالمضاعفة، ثم 64 بالتربيع. وكلمة shunya، «الفراغ»، تسمّي الحالة الفردية في القاعدة، ويقرؤها ديفاكاران على أنها ظهور مبكر للصفر عددا. ويسمي علماء الحاسوب الطريقة «فرّق تسد»، كما يلاحظ شاه.

وقاعدة مجاورة تجمع متتالية المضاعفة: ضعف عدد n من المقاطع، ناقص 2، يساوي مجموع الأعداد للأطوال من 1 إلى n. فثلاثة مقاطع تعطي 2 زائد 4 زائد 8، أي 14، وهو 16 ناقص 2. وأعاد رياضيو الهند اللاحقون استعمال صياغة التنصيف والتربيع هذه للمتتاليات الهندسية، كما يفيد شاه، ويكررها نارايانا باندتا تقريبا بحروفها في غانيتاكاومودي عام 1356.

وقد زُعم أن قاعدة التنصيف والتربيع اكتشاف للأسّ الثنائي، طريقة التربيع والضرب المستعملة في التشفير الحديث. ويقول آيدن ومؤلفوه المشاركون إن كتاب دونالد كنوث «فن برمجة الحاسوب» ينسب إلى بينغالا ظهورا مبكرا للطريقة، قبل 400 للميلاد، وإن مدونات ومصادر ثانوية أخرى تكرر النسبة دون تحقق من النص الأصلي. وفي قراءتهم يقع استعمال بينغالا داخل عدّ الأوزان وليس منصوصا عليه قاعدة عامة لأي أساس. ويجدون أول قاعدة عامة صريحة في عمل الكاشي عام 1427، ويخلصون إلى أن الطريقة ظهرت عدة مرات باستقلال.

وآخر الإجراءات الستة، أدفايوغا، يقيس المساحة التي تحتاجها القائمة. فقد جعل جاناشرايا، وهو كاتب يؤرخه شاه بنحو 600 للميلاد، كل سطر بعرض إصبع واحد ووجد أن قائمة الـ24 مقطعا تحتاج 33,554,431 عرض إصبع، وهو عدد يساوي ضعف 2 أس 24، ناقص واحد. ويحوّل شاه ذلك إلى نحو 265 ميلا.

كم نمطا فيه مقطعان قصيران بالضبط

السؤال الخامس الذي يجيب عنه النص هو كم من الأنماط فيها عدد معين من المقاطع القصيرة، وهو المعامل ذو الحدين في الجبر الحديث. ومن الأنماط الـ64 ذات الستة مقاطع، في 15 منها L اثنان بالضبط.

والجواب المعياري هو المثلث الذي تسميه أوروبا مثلث باسكال، ويعرف بالسنسكريتية ميرو برستارا، أي «انبساط الجبل». وقد كتب الشارح هالايودها طريقة بنائه: خلية واحدة في الأعلى، واثنتان تحتها، ثم ثلاث، كل خلية مجموع الخليتين فوقها. وصيغة شاه لستة مقاطع صفها الأسفل 1 و6 و15 و20 و15 و6 و1، وهي أعداد الأنماط التي فيها صفر وواحد واثنان وصولا إلى ستة مقاطع قصيرة، ومجموع الصف 64.

وقد ربط هالايودها هذا البناء بآخر سوترتين لبينغالا. واختبر شاه ذلك على أعمال علماء العروض الذين كتبوا قبل هالايودها ولا يقبله. فالسوترتان، كما كُتبتا، تقولان «التالي، تام» مرتين وتكرران قاعدة المضاعفة. وفي هذا ينحاز شاه إلى العالم الألماني ألبرخت فيبر، الذي اعترض على قراءة هالايودها، وإلى المعنى الظاهر للسنسكريتية. ومع ذلك يتتبع العدّ ذا الحدين إلى بينغالا، عبر سوترا أخرى ينقلها فيبر من الصيغة اليجورية للنص، ekottarakramashah purvaprkta lasankhya. ويقرؤها تعليمة لتكوين مجاميع جزئية من 1 و2 حتى n مرة بعد مرة، ويبين أن أبيات الناتياشاسترا من 124 إلى 127 تصف الخطوة نفسها بكلمات أوفى. والأعداد الناتجة تشكل صيغة مدارة من المثلث نفسه.

وأول ظهور للبناء الذي يصفه هالايودها هو في فريتاجاتيسامّوتشايا لفيراهانكا، التي يؤرخها شاه إلى القرن السابع. ويعطي فيراهانكا بنائين، سوتشي برستارا («انبساط الإبرة»)، المبني من مجاميع جزئية، وميرو برستارا. ويكتب ديفاكاران التكرار على أنه عدد n مقطعا فيها k قصيرة يساوي عدد n ناقص 1 وk ناقص 1، زائد عدد n ناقص 1 وk.

عدّ ثان يعطي أعداد فيبوناتشي

إذا حُسب المقطع القصير نبضة واحدة والطويل نبضتين، تغير السؤال إلى كم نمطا طوله الكلي n نبضة. والأجوبة لواحدة إلى ست نبضات هي 1 و2 و3 و5 و8 و13، كما يعرضها سينغ في ورقة عام 1985 في Historia Mathematica. وكل منها مجموع السابقين، ويعطي شاه التكرار على أنه امتداد فيراهانكا لطريقة بينغالا إلى الأوزان المعدودة بالنبضات.

ويؤرخ سينغ فيراهانكا بين 600 و800 للميلاد، وغوبالا قبل 1135، وهيماتشاندرا بنحو 1150، وكلهم قبل فيبوناتشي نحو 1202. وقائمة بينغالا نفسها لأقدام الأربع نبضات، التي ينقلها شاه، فيها المداخل الخمسة المتوقعة: GG وLLG وLGL وGLL وLLLL. ويعتمد سينغ على الشارح يادافا من القرن العاشر، الذي يقرأ قاعدة misrau ca على أنها تشمل الأوزان المعدودة بالنبضات أيضا، فالصلة ببينغالا نفسه تمر عبر شرح.

تواريخ لا تتفق عليها المصادر

يضع شاه وديفاكاران وسينغ الشارح هالايودها في القرن العاشر، بينما تكتب كولكارني القرن الثالث عشر. ولفريتاراتناكارا لكيدارا، وهو دليل لاحق يعدّ بطريقة مختلفة، تقول كولكارني نحو 800 م وجدول شاه نحو 1100 للميلاد. وتاريخ بينغالا نفسه، كما عُرض أعلاه، يتوقف على قبول تقليد الأسرة عن بانيني أو لا.

إلى أين ذهبت الطريقة

يتتبع شاه خوارزميات بينغالا عبر نحو خمسة عشر قرنا من الأعمال الهندية. ويضيف ديفاكاران أن متسلسلة الجيب لمادهافا، من نحو 1400 للميلاد، تقوم على مجاميع من المجاميع تخضع لتكرار بينغالا، وهي صلة لا تنص عليها النصوص أبدا؛ ومدرسة كيرالا موضوع مقالنا عن التفاضل والتكامل في كيرالا. وجاءت الأرقام ذات قيم المنازل ورمز الصفر المكتوبة بعد بينغالا بقرون في رواية ديفاكاران، وتلك القصة في الهند أعطت العالم الصفر. وقد وسّع سارنغاديفا في سانغيتاراتناكارا، نحو 1225 للميلاد، الطريقة إلى إيقاعات بأربعة أنواع من النبضات، دروتا ولاغهو وغورو وبلوتا، تدوم 1 و2 و4 و6 وحدات.