पिंगल का छंदःशास्त्र, जिसका काल लगभग दूसरी सदी ई.पू. माना जाता है, लघु और गुरु अक्षरों के हर प्रारूप की सूची बनाता है, उन्हें द्विआधारी गिनती से मेल खाते क्रम में गिनता है और दुगुना करके उनकी संख्या निकालता है

पिंगल के नाम से जुड़ी काव्य-छंद की संस्कृत नियमावली छंदःशास्त्र, छोटे नियमों की एक शृंखला पर समाप्त होता है, जो लघु और गुरु अक्षरों के हर संभव प्रारूप की सूची बनाते हैं, सूची में किसी प्रारूप की स्थिति से उसे खोजते हैं, और प्रारूपों की गिनती करते हैं। तीन अक्षर आठ प्रारूप देते हैं और छह अक्षर 64। नॉर्थईस्टर्न विश्वविद्यालय के जयंत शाह लिखते हैं कि भारत में संचय-गणित, यानी व्यवस्थाओं को गिनने का गणित, की परंपरा छंदों के इसी औपचारिक सिद्धांत से शुरू हुई, जिसका समय वे दूसरी सदी ई.पू. बताते हैं।

प्रारूपों की क्रम-संख्या द्विआधारी गिनती से भी मेल खाती है, बशर्ते लघु को 1 पढ़ा जाए, अंकों को उलटा जाए और गिनती एक से शुरू हो। यहाँ उद्धृत विद्वान इस अंकगणित पर एकमत हैं। वे इस पर अलग राय रखते हैं कि क्या इससे सिद्ध होता है कि पिंगल के पास द्विआधारी संख्याओं का विचार था, और यह लेख दोनों को अलग रखता है। नीचे के सूत्र (सूक्ति) के शब्द वैसे ही हैं जैसे शाह और हैदराबाद विश्वविद्यालय की अंबा कुलकर्णी ने उन्हें उद्धृत और अनूदित किया है।

छंदों की नियमावली जो गणित पर ख़त्म होती है

कुलकर्णी छंदःशास्त्र को वैदिक संस्कृत छंदों पर मिला सबसे पहला ग्रंथ कहती हैं। शाह और नूह आयदीन व सहयोगियों का 2026 का एक शोधपत्र दूसरी सदी ई.पू. देते हैं, दिवाकरन तीसरी से दूसरी सदी ई.पू. कहते हैं और कुलकर्णी 200 ई.पू. लिखती हैं। सुभाष काक पाँचवीं सदी ई.पू. का तर्क देते हैं, अगर वह पुरानी परंपरा सही है कि पिंगल वैयाकरण पाणिनि के छोटे भाई थे, जिस परंपरा को काक और परमानंद सिंह दोनों टीकाकार सद्गुरुशिष्य तक ले जाते हैं। पाणिनि और उनकी नियम-प्रणाली की चर्चा अष्टाध्यायी पर हमारे लेख में है।

हर संस्कृत अक्षर या तो लघु होता है, हल्का या ह्रस्व, एक मात्रा (समय की इकाई) का, या गुरु, भारी या दीर्घ, दो मात्राओं का। पिंगल का संकेतन G और L का उपयोग करता है, और n अक्षरों की एक पंक्ति ऐसे n अक्षरों की एक लड़ी है। कवियों ने संभव लड़ियों में से कुछ ही का उपयोग किया। शाह देखते हैं कि अंतिम सिद्धांत का छंदशास्त्र में कोई व्यावहारिक उपयोग नहीं है और वह “प्रकट रूप से गणित है, गणित के ही लिए”।

कुलकर्णी के संस्करण में आठवें अध्याय में 35 सूत्र हैं, और अंतिम 16 (8.20 से 8.35) गिनती से जुड़े हैं।

तीन अक्षरों से आठ प्रारूप

पहले नियम सूची बनाते हैं, जिसे संस्कृत के छंदशास्त्री प्रस्तार, यानी “फैलाव”, कहते हैं। सूत्र 8.20, dvikau glau, एक-अक्षर के छंद को दो रूप देता है, G और L, और सूत्र 8.21 (misrau ca, “और मिश्रित”) तथा 8.22 वही क़दम दोहराते हैं। शाह के वर्णन में, प्रक्रिया छोटी लंबाई की सूची की दो प्रतियाँ बनाती है, एक प्रति की हर प्रविष्टि के अंत में G और दूसरी की हर प्रविष्टि में L जोड़ती है, और प्रतियों को जोड़ देती है।

एक अक्षर G, L देता है। दो अक्षर GG, LG, GL, LL देते हैं। तीन अक्षर GGG, LGG, GLG, LLG, GGL, LGL, GLL, LLL देते हैं। सूत्र 8.23, vasavastrikah, कहता है कि तीन-अक्षरों के आठ (वसु) प्रारूप हैं। पिंगल आठों को एक छोटा कूट देते हैं, m, y, r, s, t, j, bh और n, ठीक इसी क्रम में जो अभी गिनाया गया। कुलकर्णी ध्यान दिलाती हैं कि लंबे छंदों के लिए वही क़दम दोहराया जाना समझा जाता है, इसलिए हर सूची बनाने के लिए चार नियम काफ़ी हैं।

काक आठों कूटों के लिए एक स्मरण-लड़ी दर्ज करते हैं, yamatarajabhanasalagam, जिसे एक वलय की तरह पढ़ें तो वह तीन-अक्षर वाले आठों प्रारूपों से एक-एक बार गुज़रती है। उसकी उम्र खुली है: काक उसे संभवतः प्राचीन कहते हैं और जोड़ते हैं कि यह प्रमाण नहीं है।

सूची लिखे बिना छठा प्रारूप खोजना

दो नियम पाठक को किसी भी प्रविष्टि तक सीधे पहुँचने देते हैं। नष्ट नियम (“खोई पंक्ति”), सूत्र 8.24 और 8.25 में, स्थिति को प्रारूप में बदलता है। अगर संख्या सम हो तो L लिखें और उसे आधा करें, या अगर विषम हो तो G लिखें और एक जोड़कर संख्या को आधा करें। यह तब तक दोहराएँ जब तक प्रारूप में पर्याप्त अक्षर न हो जाएँ। शाह का उदाहरण स्थिति 6 है, जो L, फिर G, फिर L देती है। प्रविष्टि 6 तीन अक्षरों के लिए LGL निकलती है, चार के लिए LGLG और पाँच के लिए LGLGG।

उद्दिष्ट नियम (“इंगित पंक्ति”), सूत्र 8.26 और 8.27 में, प्रक्रिया को उलटा चलाता है। 1 से शुरू करें और प्रारूप को दाईं ओर से देखें, सबसे दूर के सिरे पर के किसी G को छोड़ते हुए। पहले L पर संख्या को दुगुना करें। उसके बाद हर L पर दुगुना करें, और हर G पर दुगुना करके एक घटाएँ। LGLG लें: सबसे दाहिना L 2 देता है, उसके बाईं ओर का G 2 गुना 2 घटा 1 देता है, यानी 3, और पहला L 6 देता है।

कुलकर्णी और काक इसे द्विआधारी अंकगणित के रूप में पढ़ते हैं। L को 1 और G को 0 लिखें, स्थिति से एक घटाएँ, और परिणाम को द्विआधारी में सबसे कम महत्व के अंक को पहले रखकर लिखें। चार-अक्षर वाली सूची की प्रविष्टि 6, LGLG, 1010 है, जो उलटने पर 0101 होता है, यानी 5, और 5 है 6 घटा 1। कुलकर्णी आधुनिक चलन से दो अंतर बताती हैं: ऊँचे स्थानीय मान दाईं ओर हैं, और गिनती 1 से शुरू होती है। काक निष्कर्ष निकालते हैं कि पिंगल द्विआधारी पद्धति को पूरी तरह समझते थे।

दिवाकरन उन्हीं तथ्यों को अधिक सावधानी से पढ़ते हैं। अपने एफ़पीएसएसी व्याख्यान में वे मानते हैं कि i-वीं प्रविष्टि i घटा 1 के द्विआधारी रूप से मेल खाती है, बशर्ते अंकों को पीछे की ओर पढ़ा जाए और L को 1 माना जाए, पर वे बताते हैं कि, जैसी सूची दी गई है, G और L को 0 और 1 देने के दोनों तरीक़ों में से कोई भी सूची को उनके सामान्य क्रम में द्विआधारी संख्याओं में नहीं बदलता। उनके वर्णन में पिंगल के नियम किसी स्पष्ट द्विआधारी संख्या का उपयोग नहीं करते, स्थानीय-मान अंक और शून्य का चिह्न 600 से 700 साल दूर थे, और भारत में आधार सदा दस रहा।

द्विआधारी संख्याओं की ओर सबसे साफ़ क़दम बाद में आता है, शाह की व्याख्या में। महावीर, जिन्हें शाह की तालिका लगभग 850 ई. का बताती है, ने पिंगल का नियम बदलकर ऐसा नियम रखा जो अक्षरों के ऊपर 2 की घातें लिखता है और स्थिति को हर L के ऊपर के मानों के योग में एक जोड़कर बनाता है। शाह इसे “वह सबसे नज़दीकी बिंदु जहाँ भारतीय गणितज्ञ द्विआधारी संख्याओं के आविष्कार तक पहुँचे” कहते हैं, और जोड़ते हैं कि भरत का नाट्यशास्त्र, दूसरी सदी ई.पू. से पहली सदी ई. का ग्रंथ, अपने श्लोक 121 में वही विधि रेखांकित करता प्रतीत होता है।

64 तक गिने बिना चौसठ प्रारूप

Pare purnam (“आगे, पूर्ण”) कहता है कि हर जोड़ा गया अक्षर प्रारूपों की संख्या को दुगुना करता है। शाह के पाठ में अंतिम सूत्रों की जोड़ी एक पुनरावृत्ति है, यानी ऐसा नियम जो हर गिनती को उसके पिछली गिनती से परिभाषित करता है: n जमा 1 अक्षरों की गिनती n की गिनती की दुगुनी है।

पिंगल कुल संख्या निकालने का एक तेज़ तरीक़ा भी देते हैं, संख्या नियम। अगर अक्षरों की संख्या को आधा किया जा सके, तो आधे का उत्तर निकालें और उसका वर्ग करें। अगर नहीं, तो एक घटाएँ, उत्तर निकालें और उसे दुगुना करें। शाह छह अक्षरों को पूरा हल करते हैं: 6 आधा होकर 3, 3 होता है 2, 2 आधा होकर 1, और 1 होता है 0। वापस ऊपर काम करते हुए 2 मिलता है, फिर वर्ग करने से 4, फिर दुगुना करने से 8, फिर वर्ग करने से 64। शब्द शून्य, “रिक्त”, नियम में विषम स्थिति को नामित करता है, और दिवाकरन उसे संख्या के रूप में शून्य के एक आरंभिक प्रकटन के रूप में पढ़ते हैं। कंप्यूटर वैज्ञानिक इस विधि को बाँटो और जीतो कहते हैं, जैसा शाह नोट करते हैं।

एक पड़ोसी नियम दुगुनी होती शृंखला का योग निकालता है: n अक्षरों की गिनती का दुगुना, घटा 2, लंबाई 1 से n तक की गिनतियों के योग के बराबर है। तीन अक्षर 2 जमा 4 जमा 8 देते हैं, जो 14 है, जो 16 घटा 2 है। शाह बताते हैं कि बाद के भारतीय गणितज्ञों ने आधा-करो-और-वर्ग-करो वाले इस शब्दांकन का गुणोत्तर शृंखलाओं के लिए पुनः उपयोग किया, और नारायण पंडित इसे 1356 की गणितकौमुदी में लगभग शब्दशः दोहराते हैं।

आधा-करो-और-वर्ग-करो नियम को द्विआधारी घातांक की खोज बताया गया है, यानी वर्ग-और-गुणा की वह विधि जो आधुनिक क्रिप्टोग्राफ़ी में प्रयुक्त होती है। आयदीन और उनके सह-लेखक कहते हैं कि डोनाल्ड नुथ की द आर्ट ऑफ़ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग विधि के एक आरंभिक प्रकटन का, 400 ई. से पहले, श्रेय पिंगल को देती है, और ब्लॉग तथा अन्य द्वितीयक स्रोत मूल पाठ को जाँचे बिना यह श्रेय दोहराते हैं। उनके पाठ में पिंगल का उपयोग छंदों की गिनती के भीतर बैठा है और किसी भी आधार के लिए सामान्य नियम के रूप में कहा नहीं गया है। वे पहला स्पष्ट सामान्य नियम अल-काशी के 1427 के काम में पाते हैं और निष्कर्ष निकालते हैं कि विधि कई बार स्वतंत्र रूप से प्रकट हुई।

छह प्रक्रियाओं में से अंतिम, अध्वयोग, मापती है कि सूची को कितनी जगह चाहिए। जनाश्रय, जिन्हें शाह लगभग 600 ई. का मानते हैं, ने हर पंक्ति को एक उँगली की चौड़ाई पर रखा और पाया कि 24-अक्षर की सूची को 33,554,431 उँगली-चौड़ाई चाहिए, एक संख्या जो 2 की 24वीं घात के दुगुने के बराबर है, घटा एक। शाह उसे लगभग 265 मील में बदलते हैं।

कितने प्रारूपों में ठीक दो लघु अक्षर हैं

पाठ जो पाँचवाँ प्रश्न हल करता है, वह यह कि कितने प्रारूपों में लघु अक्षरों की एक दी हुई संख्या है, जो आधुनिक बीजगणित का द्विपद गुणांक है। छह-अक्षर वाले 64 प्रारूपों में से 15 में ठीक दो L हैं।

मानक उत्तर वह त्रिकोण है जिसे यूरोप पास्कल का कहता है, संस्कृत में मेरु प्रस्तार, “पर्वत का फैलाव”। टीकाकार हलायुध ने निर्माण लिख डाला: ऊपर एक ख़ाना, उसके नीचे दो, फिर तीन, हर ख़ाना ऊपर के दो का योग। छह अक्षरों के लिए शाह के रूप की सबसे नीचे की पंक्ति 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 है, यानी शून्य, एक, दो और छह तक लघु अक्षरों वाले प्रारूपों की संख्याएँ, और पंक्ति का योग 64 है।

हलायुध ने निर्माण को पिंगल के अंतिम दो सूत्रों से जोड़ा। शाह ने हलायुध से पहले लिखने वाले छंदशास्त्रियों के कामों से इसे परखा और इसे स्वीकार नहीं करते। जैसे लिखे हैं, दोनों सूत्र दो बार “आगे, पूर्ण” कहते हैं और दुगुना करने का नियम दोहराते हैं। इस पर शाह जर्मन विद्वान आल्ब्रेख्ट वेबर के साथ हैं, जिन्होंने हलायुध के पाठ पर आपत्ति की, और संस्कृत के सीधे अर्थ के साथ। फिर भी वे द्विपद गणना को पिंगल तक ले जाते हैं, एक और सूत्र के ज़रिए जिसे वेबर पाठ के यजुर्वेदीय रूप से उद्धृत करते हैं, ekottarakramashah purvaprkta lasankhya। वे उसे 1, 2 से n तक के आंशिक योग बार-बार बनाने के निर्देश के रूप में पढ़ते हैं, और दिखाते हैं कि नाट्यशास्त्र के श्लोक 124 से 127 उसी क़दम का अधिक शब्दों में वर्णन करते हैं। जो संख्याएँ निकलती हैं वे उसी त्रिकोण का घुमाया हुआ रूप बनाती हैं।

हलायुध जिस निर्माण का वर्णन करते हैं उसका पहला प्रकटन विरहांक के वृत्तजातिसमुच्चय में है, जिसे शाह सातवीं सदी का मानते हैं। विरहांक दो निर्माण देते हैं, सूची प्रस्तार (“सुई का फैलाव”), जो आंशिक योगों से बना है, और मेरु प्रस्तार। दिवाकरन पुनरावृत्ति को इस तरह लिखते हैं: k लघु अक्षरों वाले n अक्षरों की गिनती, n घटा 1 और k घटा 1 की गिनती जमा n घटा 1 और k की गिनती के बराबर है।

दूसरी गिनती जो फ़िबोनाची संख्याएँ देती है

अगर लघु अक्षर को एक मात्रा और गुरु को दो गिना जाए, तो प्रश्न बदल जाता है कि कितने प्रारूपों की कुल लंबाई n मात्राएँ है। एक से छह मात्राओं के उत्तर 1, 2, 3, 5, 8 और 13 हैं, जैसा सिंह ने हिस्टोरिया मैथेमैटिका में 1985 के एक शोधपत्र में रखा है। हर एक अपने से पहले दो का योग है, और शाह पुनरावृत्ति को विरहांक द्वारा पिंगल की विधि के मात्रा-गिने छंदों तक विस्तार के रूप में देते हैं।

सिंह विरहांक को 600 और 800 ई. के बीच, गोपाल को 1135 से पहले और हेमचंद्र को लगभग 1150 का मानते हैं, सब फ़िबोनाची के लगभग 1202 से पहले। पिंगल की चार-मात्रा वाले पादों की अपनी सूची, जिसे शाह उद्धृत करते हैं, में अपेक्षित पाँच प्रविष्टियाँ हैं: GG, LLG, LGL, GLL और LLLL। सिंह 10वीं सदी के टीकाकार यादव पर निर्भर करते हैं, जो misrau ca नियम को मात्रा-गिने छंदों पर भी लागू पढ़ते हैं, इसलिए स्वयं पिंगल से कड़ी एक टीका से होकर जाती है।

तारीख़ें जिन पर स्रोत एकमत नहीं

शाह, दिवाकरन और सिंह टीकाकार हलायुध को 10वीं सदी में रखते हैं, जबकि कुलकर्णी 13वीं लिखती हैं। केदार के वृत्तरत्नाकर के लिए, जो एक अलग विधि से गिनने वाली बाद की नियमावली है, कुलकर्णी लगभग 800 ई. कहती हैं और शाह की तालिका लगभग 1100 ई.। पिंगल की अपनी तारीख़, जैसा ऊपर रखा गया, इस पर निर्भर है कि पाणिनि के बारे में पारिवारिक परंपरा स्वीकार की जाए या नहीं।

विधि कहाँ गई

शाह पिंगल के कलन-विधियों को भारतीय कृतियों में लगभग पंद्रह सदियों तक खोजते हैं। दिवाकरन जोड़ते हैं कि माधव की ज्या श्रेणी, लगभग 1400 ई. से, योगों के योगों पर टिकी है जो पिंगल की पुनरावृत्ति का पालन करते हैं, एक कड़ी जो पाठ कभी नहीं कहते; केरल संप्रदाय केरल में कलन पर हमारे लेख का विषय है। दिवाकरन के वर्णन में लिखित स्थानीय-मान अंक और शून्य का चिह्न पिंगल के सदियों बाद आए, और वह कथा भारत ने दुनिया को शून्य दिया में कही गई है। शार्ङ्गदेव का संगीतरत्नाकर, लगभग 1225 ई. का, विधि को चार प्रकार की ताल वाली लय तक फैलाता है, द्रुत, लघु, गुरु और प्लुत, जो 1, 2, 4 और 6 इकाई तक चलती हैं।