சுமார் கி.மு. 2ஆம் நூற்றாண்டுக்குக் காலம் குறிக்கப்படும் பிங்கலரின் சந்தஃசாஸ்திரம், குறில் நெடில் அசைகளின் ஒவ்வொரு அமைப்பையும் பட்டியலிட்டு, இருமமுறை எண்ணிக்கையுடன் பொருந்தும் வரிசையில் எண்ணிட்டு, இரட்டிப்பால் அவற்றைக் கணக்கிடுகிறது

பிங்கலருக்குரியதாகக் கூறப்படும், செய்யுள் சந்தம் பற்றிய சமஸ்கிருத வழிகாட்டியான சந்தஃசாஸ்திரம், குறில் நெடில் அசைகளின் சாத்தியமான ஒவ்வொரு அமைப்பையும் பட்டியலிடவும், பட்டியலில் அதன் இடத்திலிருந்து எந்த அமைப்பையும் கண்டறியவும், அமைப்புகளைக் கணக்கிடவும் உதவும் சில குறுகிய விதிகளின் தொடருடன் முடிகிறது. மூன்று அசைகள் எட்டு அமைப்புகளையும், ஆறு அசைகள் 64 அமைப்புகளையும் தருகின்றன. அமைப்புகளை அடுக்குவதைக் கணக்கிடும் கணிதமான சேர்மானவியலின் இந்திய மரபு, சந்தங்கள் பற்றிய இந்த முறையான கோட்பாட்டுடன் தொடங்கியது என்று நார்த்ஈஸ்டர்ன் பல்கலைக்கழகத்தின் ஜயந்த் ஷா எழுதுகிறார்; அதை அவர் கி.மு. 2ஆம் நூற்றாண்டுக்குக் காலம் குறிக்கிறார்.

குறிலை 1 ஆகவும் இலக்கங்களைத் தலைகீழாகவும் படித்து, எண்ணிக்கையை ஒன்றிலிருந்து தொடங்கினால், அமைப்புகளின் எண்ணிடலும் இருமம் (பைனரி) எண்ணுவதுடன் பொருந்துகிறது. அந்தக் கணக்கீட்டில் இங்கு மேற்கோள் காட்டப்படும் அறிஞர்கள் உடன்படுகின்றனர். பிங்கலருக்கு இருமம் எண்களின் கருத்து இருந்தது என்பதை அது காட்டுகிறதா என்பதில் அவர்கள் வேறுபடுகின்றனர்; இந்தக் கட்டுரை அவ்விரண்டையும் தனித்தனியாக வைக்கிறது. கீழே உள்ள சூத்திர (மொழிதல்) வாசகங்கள், ஷாவும் ஹைதராபாத் பல்கலைக்கழகத்தின் அம்பா குல்கர்ணியும் மேற்கோள் காட்டி மொழிபெயர்த்தபடி உள்ளன.

கணிதத்தில் முடியும் ஒரு சந்த வழிகாட்டி

வேதச் சமஸ்கிருத சந்தங்கள் பற்றிக் கிடைத்துள்ள மிகப் பழைய ஆய்வு நூல் சந்தஃசாஸ்திரம் என்று குல்கர்ணி அழைக்கிறார். ஷாவும் நூஹ் அய்டின் உள்ளிட்டோரின் 2026 கட்டுரையும் கி.மு. 2ஆம் நூற்றாண்டைத் தருகின்றன; திவாகரன் கி.மு. 3ஆம் முதல் 2ஆம் நூற்றாண்டு என்கிறார்; குல்கர்ணி கி.மு. 200 என்று எழுதுகிறார். பிங்கலர் இலக்கணவாதி பாணினியின் இளைய சகோதரர் என்ற பழைய மரபு சரியென்றால் கி.மு. 5ஆம் நூற்றாண்டு என்று சுபாஷ் காக் வாதிடுகிறார்; காக், பர்மானந்த் சிங் இருவரும் இந்த மரபை உரையாசிரியர் சத்குருசிஷ்யரிடம் தேடிச் செல்கின்றனர். பாணினியும் அவரது விதித்தொகுப்பும் அஷ்டாத்யாயி பற்றிய எங்கள் கட்டுரையில் உள்ளன.

ஒவ்வொரு சமஸ்கிருத அசையும் லகு, அதாவது இலகுவான அல்லது குறிலான, ஒரு மாத்திரை (காலத்தின் ஓர் அலகு) மதிப்புடையது; அல்லது குரு, அதாவது கனமான அல்லது நெடிலான, இரண்டு மதிப்புடையது. பிங்கலரின் குறியீடு G, L ஐப் பயன்படுத்துகிறது; n அசைகள் கொண்ட வரி, அத்தகைய n எழுத்துகள் கொண்ட சரம். கவிஞர்கள் சாத்தியமான சரங்களில் சிலவற்றையே பயன்படுத்தினர். இறுதிக் கோட்பாட்டுக்கு சந்தியல் அறிவில் நடைமுறைப் பயன் இல்லை என்றும், அது “வெளிப்படையாக கணிதத்துக்காகவே கணிதம்” என்றும் ஷா கூறுகிறார்.

குல்கர்ணியின் பதிப்பில் எட்டாம் அத்தியாயத்தில் 35 சூத்திரங்கள் உள்ளன; கடைசி 16 (8.20 முதல் 8.35 வரை) எண்ணிக்கையைப் பற்றியவை.

மூன்று அசைகளிலிருந்து எட்டு அமைப்புகள்

முதல் விதிகள் பட்டியலை உருவாக்குகின்றன; சமஸ்கிருதச் சந்தியலாளர் அதை “விரிப்பு” எனப் பொருள்படும் பிரஸ்தாரம் என்கின்றனர். ஓரசைச் சந்தத்துக்கு G, L என்ற இரண்டு வடிவங்களை சூத்திரம் 8.20, த்விகௌ க்லௌ, தருகிறது; சூத்திரங்கள் 8.21 (மிஸ்ரௌ ச, “கலந்தவையும்”), 8.22 அந்தப் படியை மீண்டும் செய்கின்றன. ஷாவின் விவரிப்பில், குறைந்த நீளத்துக்கான பட்டியலின் இரண்டு படிகளை உருவாக்கி, ஒரு படியின் ஒவ்வொரு உள்ளீட்டின் முடிவிலும் G ஐயும் மற்றதில் L ஐயும் சேர்த்து, படிகளை இணைப்பதே செயல்முறை.

ஓரசை G, L ஐத் தருகிறது. ஈரசை GG, LG, GL, LL ஐத் தருகிறது. மூவசை GGG, LGG, GLG, LLG, GGL, LGL, GLL, LLL ஐத் தருகிறது. எட்டு (வசு) மும்மைகள் உள்ளன என்று சூத்திரம் 8.23, வசவஸ்த்ரிகஹ், கூறுகிறது. எட்டில் ஒவ்வொன்றுக்கும் பிங்கலர் இப்போது பட்டியலிட்ட வரிசையில் m, y, r, s, t, j, bh, n என்ற குறுகிய குறியீட்டைத் தருகிறார். நீளமான சந்தங்களுக்கும் அதே படி திரும்பச் செய்யப்படுகிறது என்று புரிந்துகொள்ளப்படுகிறது என்றும், ஆகவே நான்கு விதிகளே ஒவ்வொரு பட்டியலையும் உருவாக்கப் போதும் என்றும் குல்கர்ணி சுட்டிக்காட்டுகிறார்.

எட்டுக் குறியீடுகளுக்கான ஒரு நினைவுச் சரத்தை, யமதராஜபானசலகம் என்பதை, காக் பதிவு செய்கிறார்; அதை ஒரு வளையமாகப் படித்தால் மூவசை அமைப்புகள் எட்டையும் ஒவ்வொரு முறை கடந்து செல்கிறது. அதன் பழைமை திறந்த கேள்வி: அது நம்பத்தக்க வகையில் பழையது என்றும், ஆனால் அது நிரூபணம் அல்ல என்றும் காக் கூறுகிறார்.

பட்டியலை எழுதாமல் ஆறாவது அமைப்பைக் கண்டறிதல்

எந்த உள்ளீட்டுக்கும் வாசகர் தாவிச் செல்ல இரண்டு விதிகள் உதவுகின்றன. சூத்திரங்கள் 8.24, 8.25 இல் உள்ள நஷ்ட விதி (“தொலைந்த வரிசை”) ஒரு நிலையை அமைப்பாக மாற்றுகிறது. எண் இரட்டை என்றால் L ஐ எழுதி அதை இரண்டால் வகுக்கவும்; ஒற்றை என்றால் G ஐ எழுதி, ஒன்றைக் கூட்டிய பின் எண்ணை இரண்டால் வகுக்கவும். அமைப்புக்குப் போதுமான அசைகள் வரும் வரை இதைத் திரும்பச் செய்யவும். ஷாவின் எடுத்துக்காட்டு நிலை 6; அது L, பின்னர் G, பின்னர் L ஐத் தருகிறது. உள்ளீடு 6, மூன்று அசைகளுக்கு LGL ஆகவும், நான்குக்கு LGLG ஆகவும், ஐந்துக்கு LGLGG ஆகவும் வருகிறது.

சூத்திரங்கள் 8.26, 8.27 இல் உள்ள உத்திஷ்ட விதி (“சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வரிசை”) செயல்முறையைப் பின்னோக்கி ஓட்டுகிறது. 1 இல் தொடங்கி, அமைப்பை வலப்புறமிருந்து வருடவும்; தொலைவிலுள்ள முனையில் இருக்கும் G ஐத் தவிர்க்கவும். முதல் L இல் எண்ணை இரட்டிப்பாக்கவும். அதற்குப் பின் ஒவ்வொரு L இலும் இரட்டிப்பாக்கவும்; ஒவ்வொரு G இலும் இரட்டிப்பாக்கிப் பின் ஒன்றைக் கழிக்கவும். LGLG ஐ எடுத்துக்கொள்ளுங்கள்: வலமுனை L 2 ஐத் தருகிறது, அதன் இடப்பக்க G 2 ஐ 2 ஆல் பெருக்கி 1 ஐக் கழித்தால் 3, முதல் L 6 ஐத் தருகிறது.

இதை இருமம் கணிதமாக குல்கர்ணியும் காக்கும் படிக்கின்றனர். L ஐ 1 ஆகவும் G ஐ 0 ஆகவும் எழுதி, நிலையிலிருந்து ஒன்றைக் கழித்து, முடிவை இருமத்தில் குறைந்த மதிப்பு இலக்கம் முதலாக எழுதவும். நான்கசைப் பட்டியலின் உள்ளீடு 6, LGLG, என்பது 1010; தலைகீழாக 0101, அதாவது 5, 5 என்பது 6 இலிருந்து 1 கழித்தது. நவீன நடைமுறையிலிருந்து இரண்டு வேறுபாடுகளை குல்கர்ணி பெயரிடுகிறார்: உயர் இட மதிப்புகள் வலப்புறம் இருக்கின்றன, எண்ணிக்கை 1 இலிருந்து தொடங்குகிறது. இருமம் முறையை பிங்கலர் முழுமையாகப் புரிந்திருந்தார் என்று காக் முடிக்கிறார்.

அதே உண்மைகளை திவாகரன் மேலும் எச்சரிக்கையுடன் படிக்கிறார். i ஆவது உள்ளீடு, இலக்கங்களைப் பின்னோக்கிப் படித்து L ஐ 1 ஆகக் கொண்டால், i கழித்தல் 1 இன் இருமம் வடிவத்துக்குப் பொருந்துகிறது என்பதை தனது FPSAC உரையில் அவர் ஒப்புக்கொள்கிறார்; ஆனால் பட்டியலிடப்பட்டபடி, G, L க்கு 0, 1 ஐ ஒதுக்கும் எந்த முறையும் பட்டியலை வழக்கமான வரிசையிலான இருமம் எண்களாக மாற்றுவதில்லை என்று சுட்டிக்காட்டுகிறார். அவரது விவரிப்பில் பிங்கலரின் விதிகள் வெளிப்படையான இருமம் எண்களைப் பயன்படுத்துவதில்லை, இட மதிப்பு எண்குறிகளும் பூஜ்ஜியக் குறியும் 600 முதல் 700 ஆண்டுகள் தொலைவில் இருந்தன, இந்தியாவில் எப்போதும் பத்தே அடிப்படையாக இருந்தது.

இருமம் எண்களை நோக்கிய மிகத் தெளிவான படி, ஷாவின் வாசிப்பில், பிற்காலத்தில் வருகிறது. ஷாவின் அட்டவணை சுமார் கி.பி. 850 க்குக் காலம் குறிக்கும் மகாவீரர், பிங்கலரின் விதிக்குப் பதிலாக, அசைகளுக்கு மேல் 2 இன் அடுக்குகளை எழுதி, ஒவ்வொரு L இன் மேலுள்ள மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையுடன் ஒன்றைச் சேர்த்து நிலையை அமைக்கும் ஒன்றை வைத்தார். இதை “இருமம் எண்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு இந்தியக் கணிதவியலாளர்கள் மிக நெருக்கமாக வந்த இடம்” என்று ஷா அழைக்கிறார்; கி.மு. 2ஆம் நூற்றாண்டு முதல் கி.பி. 1ஆம் நூற்றாண்டு வரையிலான நூலான பரதரின் நாட்டிய சாஸ்திரம் தனது 121ஆம் செய்யுளில் அதே முறையை வெளிப்படுத்துவதாகத் தெரிகிறது என்றும் சேர்க்கிறார்.

64 வரை எண்ணாமல் அறுபத்துநான்கு அமைப்புகள்

பரே பூர்ணம் (“அடுத்து, முழுமை”) ஒவ்வொரு கூடுதல் அசையும் அமைப்புகளின் எண்ணிக்கையை இரட்டிப்பாக்குகிறது என்கிறது. ஷாவின் வாசிப்பில் இறுதிச் சூத்திர இணை ஒரு மீள்வரவு, அதாவது ஒவ்வொரு எண்ணிக்கையையும் முந்தையதிலிருந்து வரையறுக்கும் விதி: n கூட்டல் 1 அசைகளுக்கான எண்ணிக்கை n க்கான எண்ணிக்கையின் இரு மடங்கு.

மொத்தத்தைக் கண்டறிய ஒரு வேகமான வழியையும் பிங்கலர் தருகிறார், சங்க்யா விதி. அசைகளின் எண்ணிக்கையை இரண்டால் வகுக்க முடிந்தால், பாதிக்கான விடையைக் கண்டு அதன் வர்க்கத்தை எடுக்கவும். முடியாவிட்டால், ஒன்றைக் கழித்து, விடையைக் கண்டு, இரட்டிப்பாக்கவும். ஆறு அசைகளை ஷா வேலை செய்து காட்டுகிறார்: 6 இரண்டாக வகுபட்டு 3, 3 என்பது 2 ஆகிறது, 2 இரண்டாக வகுபட்டு 1, 1 என்பது 0 ஆகிறது. மேலே திரும்பி வேலை செய்தால் 2, பின்னர் வர்க்கத்தால் 4, பின்னர் இரட்டிப்பால் 8, பின்னர் வர்க்கத்தால் 64. சூன்யம், “வெற்றிடம்”, என்ற சொல் விதியில் ஒற்றை நிலையைக் குறிக்கிறது; அதை பூஜ்ஜியம் எண்ணாகத் தோன்றும் ஆரம்ப இடமாக திவாகரன் படிக்கிறார். இந்த முறையை கணினியியலாளர்கள் வகுத்து வெல்லும் முறை என்கின்றனர் என்று ஷா குறிப்பிடுகிறார்.

அருகிலுள்ள ஒரு விதி இரட்டிப்புத் தொடரைக் கூட்டுகிறது: n அசைகளுக்கான எண்ணிக்கையின் இரு மடங்கு கழித்தல் 2, நீளங்கள் 1 முதல் n வரையிலான எண்ணிக்கைகளைக் கூட்டியதற்குச் சமம். மூன்று அசைகள் 2 கூட்டல் 4 கூட்டல் 8 ஐத் தருகின்றன, அது 14, அது 16 கழித்தல் 2. இந்த வகுத்து வர்க்கமாக்கும் சொற்றொடரைப் பிற்கால இந்தியக் கணிதவியலாளர்கள் பெருக்குத் தொடர்களுக்கு மீண்டும் பயன்படுத்தினர் என்று ஷா தெரிவிக்கிறார்; 1356 இன் கணிதகௌமுதியில் நாராயண பண்டிதர் அதை ஏறக்குறைய அப்படியே திரும்பச் சொல்கிறார்.

வகுத்து வர்க்கமாக்கும் விதி, நவீன மறைக்குறியீட்டியலில் பயன்படும் வர்க்கமாக்கிப் பெருக்கும் முறையான இருமம் அடுக்கேற்றத்தின் கண்டுபிடிப்பாகக் கோரப்பட்டுள்ளது. டொனால்ட் நுத்தின் The Art of Computer Programming இந்த முறையின் ஆரம்பத் தோற்றத்தை, கி.பி. 400 க்கு முன், பிங்கலருக்குரியதாக்குகிறது என்றும், வலைப்பதிவுகளும் பிற இரண்டாம் நிலை ஆதாரங்களும் முதன்மை நூலைச் சரிபார்க்காமல் அந்த உரிமையை மீண்டும் கூறுகின்றன என்றும் அய்டினும் அவரது இணை ஆசிரியர்களும் கூறுகின்றனர். அவர்களின் வாசிப்பில் பிங்கலரின் பயன்பாடு சந்தங்களை எண்ணுவதற்குள் அமைகிறது; எந்த அடிப்படைக்கும் பொது விதியாகக் கூறப்படவில்லை. முதல் வெளிப்படையான பொது விதியை 1427 இன் அல்-காஷியின் பணியில் அவர்கள் காண்கின்றனர்; அந்த முறை பல முறை சுயாதீனமாகத் தோன்றியது என்று முடிக்கின்றனர்.

ஆறு செயல்முறைகளில் கடைசியான அத்வயோகம், பட்டியலுக்கு எவ்வளவு இடம் தேவை என்பதை அளக்கிறது. ஷா சுமார் கி.பி. 600 க்குக் காலம் குறிக்கும் எழுத்தாளர் ஜனாஸ்ரயர், ஒவ்வொரு வரியையும் ஒரு விரல் அகலமாக வைத்து, 24 அசைப் பட்டியலுக்கு 33,554,431 விரல் அகலங்கள் தேவை என்று கண்டார்; அந்த எண் 2 இன் 24ஆம் அடுக்கின் இரு மடங்கு கழித்தல் ஒன்றுக்குச் சமம். அதை ஏறக்குறைய 265 மைல்களாக ஷா மாற்றுகிறார்.

சரியாக இரண்டு குறில்கள் கொண்ட அமைப்புகள் எத்தனை

குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான குறில்கள் கொண்ட அமைப்புகள் எத்தனை என்பது நூல் பதிலளிக்கும் ஐந்தாவது கேள்வி; இது நவீன இயற்கணிதத்தின் ஈருறுப்புக் கெழு. ஆறசை அமைப்புகள் 64 இல், 15 இல் சரியாக இரண்டு L கள் உள்ளன.

நிலையான விடை, ஐரோப்பா பாஸ்கலுடையது என்று அழைக்கும் முக்கோணம்; சமஸ்கிருதத்தில் அது “மலை விரிப்பு” எனப்படும் மேரு பிரஸ்தாரம். உரையாசிரியர் ஹலாயுதர் அதன் கட்டமைப்பை எழுதிக் காட்டினார்: மேலே ஒரு கூடு, கீழே இரண்டு, பின்னர் மூன்று; ஒவ்வொரு கூடும் மேலுள்ள இரண்டின் கூட்டுத்தொகை. ஆறு அசைகளுக்கான ஷாவின் வடிவத்தின் கீழ் வரிசை 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1; அவை குறில் இல்லாத, ஒன்று, இரண்டு, ஆறு வரை குறில்கள் கொண்ட அமைப்புகளின் எண்ணிக்கைகள்; வரிசையின் கூட்டுத்தொகை 64.

ஹலாயுதர் அந்தக் கட்டமைப்பைப் பிங்கலரின் கடைசி இரண்டு சூத்திரங்களுடன் இணைத்தார். ஹலாயுதருக்கு முன் எழுதிய சந்தியலாளர்களின் நூல்களுடன் ஷா இதைச் சோதித்து, ஏற்கவில்லை. எழுதப்பட்டபடி, இரண்டு சூத்திரங்களும் “அடுத்து, முழுமை” என்று இரண்டு முறை சொல்லி இரட்டிப்பு விதியைத் திரும்பச் சொல்கின்றன. இதில் ஹலாயுதரின் வாசிப்பை எதிர்த்த ஜெர்மன் அறிஞர் ஆல்பிரெக்ட் வெபருடனும், சமஸ்கிருதத்தின் எளிய பொருளுடனும் ஷா நிற்கிறார். ஆயினும் ஈருறுப்பு எண்ணிக்கையை பிங்கலரிடம் அவர் தேடிச் செல்கிறார்: நூலின் யஜுர் வடிவத்திலிருந்து வெபர் மேற்கோள் காட்டும் மற்றொரு சூத்திரமான ஏகோத்தரக்ரமஷஹ் பூர்வப்ருக்தா லசங்க்யா வழியாக. அதை 1, 2 முதல் n வரையிலான பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகளை மீண்டும் மீண்டும் உருவாக்குவதற்கான அறிவுறுத்தலாக அவர் படிக்கிறார்; நாட்டிய சாஸ்திரத்தின் செய்யுள்கள் 124 முதல் 127 வரை அதே படியை விரிவான சொற்களில் விவரிக்கின்றன என்று காட்டுகிறார். விளையும் எண்கள் அதே முக்கோணத்தின் சுழற்றிய வடிவத்தை உருவாக்குகின்றன.

ஹலாயுதர் விவரிக்கும் கட்டமைப்பின் முதல் தோற்றம், ஷா ஏழாம் நூற்றாண்டுக்குக் காலம் குறிக்கும் விரஹாங்கரின் வ்ருத்தஜாதிசமுச்சயத்தில் உள்ளது. இரண்டு கட்டமைப்புகளை விரஹாங்கர் தருகிறார்: பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகளிலிருந்து உருவாகும் சூசி பிரஸ்தாரம் (“ஊசி விரிப்பு”), மற்றும் மேரு பிரஸ்தாரம். n அசைகளும் k குறில்களும் கொண்ட எண்ணிக்கை, n கழித்தல் 1, k கழித்தல் 1 க்கான எண்ணிக்கையும், n கழித்தல் 1, k க்கான எண்ணிக்கையும் கூடியதற்குச் சமம் என்று மீள்வரவை திவாகரன் எழுதுகிறார்.

ஃபிபனாச்சி எண்களைத் தரும் இரண்டாவது கணக்கு

ஒரு குறில் ஒரு மாத்திரையாகவும் நெடில் இரண்டாகவும் எண்ணப்பட்டால், மொத்த நீளம் n மாத்திரைகள் கொண்ட அமைப்புகள் எத்தனை என்று கேள்வி மாறுகிறது. ஒன்று முதல் ஆறு மாத்திரைகளுக்கான விடைகள் 1, 2, 3, 5, 8, 13, சிங் Historia Mathematica இதழில் 1985 கட்டுரையில் விவரித்தபடி. ஒவ்வொன்றும் அதற்கு முந்தைய இரண்டின் கூட்டுத்தொகை; பிங்கலரின் முறையை மாத்திரை எண்ணும் சந்தங்களுக்கு விரஹாங்கர் நீட்டியது என்று மீள்வரவை ஷா தருகிறார்.

விரஹாங்கரை 600 முதல் 800 வரை, கோபாலரை 1135 க்கு முன், ஹேமசந்திரரை சுமார் 1150 க்குக் காலம் குறிக்கிறார் சிங்; அனைவரும் ஃபிபனாச்சியின் சுமார் 1202 க்கு முன். ஷா மேற்கோள் காட்டும் பிங்கலரின் நான்கு மாத்திரை அடிகளின் சொந்தப் பட்டியலில் எதிர்பார்த்த ஐந்து உள்ளீடுகள் உள்ளன: GG, LLG, LGL, GLL, LLLL. 10ஆம் நூற்றாண்டு உரையாசிரியர் யாதவரை சிங் நம்புகிறார்; அவர் மிஸ்ரௌ ச விதியை மாத்திரை எண்ணும் சந்தங்களையும் உள்ளடக்குவதாகப் படிக்கிறார்; ஆகவே பிங்கலருடனான இணைப்பு ஓர் உரை வழியாகச் செல்கிறது.

ஆதாரங்கள் உடன்படாத காலங்கள்

உரையாசிரியர் ஹலாயுதரை 10ஆம் நூற்றாண்டில் ஷா, திவாகரன், சிங் ஆகியோர் வைக்கின்றனர்; குல்கர்ணி 13ஆம் நூற்றாண்டு என்று எழுதுகிறார். வேறு முறையில் எண்ணும் பிற்கால வழிகாட்டியான கேதாரரின் வ்ருத்தரத்னாகரத்துக்கு, குல்கர்ணி சுமார் கி.பி. 800 என்கிறார், ஷாவின் அட்டவணை சுமார் கி.பி. 1100 என்கிறது. பிங்கலரின் சொந்தக் காலம், மேலே விவரித்தபடி, பாணினி பற்றிய குடும்ப மரபு ஏற்கப்படுகிறதா என்பதைப் பொறுத்தது.

இந்த முறை சென்ற இடம்

இந்திய நூல்களில் சுமார் பதினைந்து நூற்றாண்டுகளுக்கு பிங்கலரின் படிமுறைகளை ஷா தடம் காண்கிறார். மாதவரின் சைன் தொடர், சுமார் கி.பி. 1400 இலிருந்து, பிங்கலரின் மீள்வரவுக்குக் கட்டுப்படும் தொகைகளின் தொகைகளின் மேல் நிற்கிறது என்று திவாகரன் சேர்க்கிறார்; நூல்கள் அந்த இணைப்பைக் கூறவில்லை. கேரளப் பள்ளி கேரளத்தில் கால்குலஸ் பற்றிய எங்கள் கட்டுரையின் பொருள். எழுத்து வடிவ இட மதிப்பு எண்குறிகளும் பூஜ்ஜியத்துக்கான குறியும் திவாகரனின் விவரிப்பில் பிங்கலருக்குப் பல நூற்றாண்டுகள் பின் வந்தன; அந்தக் கதை இந்தியா உலகுக்குப் பூஜ்ஜியத்தைத் தந்தது கட்டுரையில் சொல்லப்படுகிறது. சுமார் கி.பி. 1225 இன் சார்ங்கதேவரின் சங்கீதரத்னாகரம், துருதம், லகு, குரு, ப்லுதம் என்ற நான்கு வகை மாத்திரைகள் கொண்ட தாளங்களுக்கு, முறையே 1, 2, 4, 6 அலகுகள் நீடிப்பவற்றுக்கு, இந்த முறையை விரிவாக்கியது.