सुमारे इसवीसनपूर्व ८०० मधील बौधायन शुल्बसूत्र आयताच्या कर्णाचा दोरीचा नियम सांगते आणि २ चे वर्गमूळ पाच दशांश स्थळांपर्यंत अचूक देते

यज्ञवेदी बांधण्याचे मार्गदर्शक असलेले बौधायन शुल्बसूत्र, ज्याची तारीख इतिहासकार सुमारे इसवीसनपूर्व ८०० मानतात, शब्दांत सांगते की आयताच्या कर्णावर ताणलेली दोरी त्याच्या दोन बाजूंवरील चौरसांची बेरीज करते. ते बाजूंच्या लांबीच्या सहा जोड्यांची यादी देते, ज्यांवर हे पूर्ण संख्यांनी तपासता येते, ३ आणि ४ पासून १५ आणि ३६ पर्यंत. त्याच मजकुरात चौरसाचा कर्ण १ अधिक त्याचा तृतीयांश अधिक त्या तृतीयांशाचा चतुर्थांश वजा त्या चतुर्थांशाचा चौतिसावा भाग असा दिला आहे. त्याचे उत्तर ५७७/४०८ येते, म्हणजे १.४१४२१५७, जे २ च्या वर्गमुळाशी पाचव्या दशांश स्थळापर्यंत जुळते.

दोरी आणि खांबांचे मार्गदर्शक

शुल्बसूत्र या शब्दाचा अर्थ संस्कृतज्ञ जॉर्ज थिबॉ, जे तेव्हा बनारस महाविद्यालयात प्राध्यापक होते, यांनी १८७५ मध्ये छापलेल्या भाषांतरात “दोरीची सूत्रे” असा दिला आहे. सूत्र म्हणजे लहान नियम (पाणिनीचे संस्कृत व्याकरण, ज्याबद्दल दुसऱ्या लेखात आहे, हेही लहान नियमांचे पुस्तक आहे), आणि शुल्बसूत्रे म्हणजे वैदिक कर्मकांडाच्या ग्रंथांतील ते भाग जे यज्ञभूमी आणि वेद्या कशा मोजाव्यात व बांधाव्यात हे सांगतात. थिबॉ यांनी लिहिले की हे ग्रंथ सिद्ध करतात की भारतीयांतील सर्वात आधीचे भूमितीज्ञान यज्ञाच्या गरजांतून निर्माण झाले, आणि इतरांपेक्षा अधिक स्पष्ट आणि पूर्ण मांडणीमुळे त्यांनी बौधायनाला त्यांत पहिले स्थान दिले.

सेंट अँड्र्यूज विद्यापीठातील गणिताचा इतिहास मांडणारे मॅकट्यूटर बौधायनाचा ग्रंथ सुमारे इसवीसनपूर्व ८००, मानवाचा सुमारे इसवीसनपूर्व ७५०, आपस्तंबाचा सुमारे इसवीसनपूर्व ६०० आणि कात्यायनाचा सुमारे इसवीसनपूर्व २०० असा ठरवते. बौधायनाचे शुल्बसूत्र आपल्याकडे असलेले सर्वात जुने आहे, असे ते म्हणते, जरी लेखकांची फक्त नावे आणि ढोबळ कालखंड ज्ञात आहेत. “त्याच्या आयुष्यकालाचा अंदाज बांधता येईल इतक्या अचूकपणे आपल्याला त्याच्या तारखा माहीत नाहीत,” असे त्याचे बौधायन चरित्र म्हणते, आणि त्याच संकेतस्थळावरील इयान पीअर्स यांचे एक प्रकरण संपूर्ण गटाला इसवीसनपूर्व ८०० ते २०० दरम्यान ठेवते.

आयताचा नियम, आणि बाजूंच्या सहा जोड्या

थिबॉ यांच्या आवृत्तीत बौधायनाचे दोन नियम काही श्लोकांच्या अंतराने छापले आहेत. एक सांगतो की चौरसाच्या कर्णावरील दोरी त्या चौरसाच्या दुप्पट क्षेत्रफळ तयार करते. दुसरा सांगतो की आयताच्या, म्हणजे दीर्घचौरसाच्या, कर्णावरील दोरी त्याची लांब बाजू आणि आखूड बाजू स्वतंत्रपणे जी क्षेत्रफळे तयार करतात ती दोन्ही मिळून तयार करते.

थिबॉ यांच्या भाषांतरातील एका नंतरच्या नियमानुसार हे ज्या दीर्घचौरसांत दिसते त्यांच्या बाजू तीन आणि चार, बारा आणि पाच, पंधरा आणि आठ, सात आणि चोवीस, बारा आणि पस्तीस, आणि पंधरा आणि छत्तीस आहेत. मजकूर कर्ण सांगत नाही, ते ५, १३, १७, २५, ३७ आणि ३९ आहेत, असे थिबॉ दाखवतात. शेवटची जोडी दुसऱ्या जोडीच्या तिप्पट आहे, म्हणून यादीत पाच वेगवेगळे आकार आहेत, असेही ते जोडतात. दत्त यांनी कोलकाता विद्यापीठासाठी १९३२ च्या अभ्यासात हे पहिल्या अध्यायातील ४५, ४८ आणि ४९ क्रमांकाचे श्लोक म्हणून क्रमांकित केले आहेत.

नोंदीतील एका तपशिलाकडे लक्ष वेधणे गरजेचे आहे. मॅकट्यूटरचे शुल्बसूत्रांवरील पान बौधायनासाठी फक्त चौरसाचे रूप उद्धृत करते आणि आयताचे सामान्य विधान शतकांनंतरच्या कात्यायनाच्या नावावर टाकते. थिबॉ आणि दत्त दोघेही आयताचा नियम बौधायनाच्या नावाखाली छापतात, आणि बाजूंच्या सहा जोड्या त्यावर अवलंबून आहेत.

जमिनीवर दोरी काय करत असे

त्रिकूट ही कामाची साधने होती. थिबॉ छापतात त्या आपस्तंबाच्या नियमांत दोरी मोठ्या सोमयज्ञांसाठी जमीन आखते. त्या आवाराची पश्चिम बाजू पद नावाच्या ३० एककांची, पूर्व-पश्चिम मध्यरेषा ३६ ची आणि पूर्व बाजू २४ ची होती. बांधकाम करणारा ५४ एककांची दोरी ३६ एककांच्या रेषेच्या दोन्ही टोकांच्या खांबांना बांधत असे, आणि दोरीवर पश्चिम टोकापासून १२ आणि १५ एककांवर खुणा असत.

१५ वरील खुणेवर दोरी घेऊन ती दक्षिणेकडे ताणली की कोपरा निश्चित होतो, कारण तेव्हा दोरी १५, ३६ आणि ३९ बाजूंचा त्रिकोण तयार करते. त्या त्रिकोणात १५ आणि ३६ जिथे मिळतात तिथे काटकोन आहे, आणि १५ चा वर्ग अधिक ३६ चा वर्ग १,५२१ होतो, जो ३९ चा वर्ग आहे. थिबॉ यांच्या मते, संपूर्ण प्रक्रिया अशा बाजू असलेला त्रिकोण काटकोन असतो या ज्ञानावर आधारलेली आहे. खुणा केलेली दोरी आणि काही खांब यांनी पुरोहिताला काटकोनाचा कोपरा मिळे.

साडेसात चौरस पुरुष

वेदी, म्हणजे अग्नी, येथे भूमिती कठीण बनते. थिबॉ विटांचे पाच थर मोजतात, प्रत्येक थरात २०० विटा, म्हणजे एकूण १,००० विटा, अशा रचलेल्या की समान आकाराची आणि रूपाची कोणतीही वीट दुसऱ्या विटेवर येत नाही. मूळ वेदी बाह्यरेषेत ढोबळमानाने ससाण्याची नक्कल करते आणि चौरस विटांनी बांधली जाते. सूत्रे तिचे क्षेत्रफळ साडेसात चौरस पुरुष सांगतात, जिथे पुरुष म्हणजे हात वर करून उभ्या माणसाची उंची.

त्यांपैकी चार चौरस पक्ष्याचे शरीर बनतात. आणखी तीन दोन पंख आणि शेपटी बनतात, आणि पंख व शेपटी पक्ष्यासारखी दिसावी म्हणून थोडी लांबवली जातात, पुरुषाच्या पाचव्या आणि दहाव्या भागाने. कर्मकांडाचे ग्रंथ इतर आकारही सांगतात: वक्र पंख आणि पसरलेली शेपटी असलेला ससाणा, बगळा, त्रिकोण, सोळा आरे असलेले रथचक्र, द्रोण, कासव. प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ साध्या ससाण्याइतकेच असावे लागे, म्हणून बांधणाऱ्यांना आयताचा चौरस, चौरसाचा त्रिकोण आणि चौरसाचे वर्तुळ करावे लागे.

सर्वात अवघड नियम पुनर्बांधणीबरोबर येई. थिबॉ यांच्या मते, यजमानाने बांधलेल्या दुसऱ्या वेदीत एक चौरस पुरुष क्षेत्रफळ वाढवले जाई आणि तिसऱ्यात आणखी दोन, आणि एकूण आकार बदलू देत नसत, असे दत्त लिहितात. दत्त कर्णाच्या प्रमेयाला वेदी-भूमितीसाठी अपरिहार्य म्हणतात, तसेच दोन चौरसांच्या बेरजेइतका चौरस करण्यासारख्या रचनांनाही. दिलेल्या आयताइतका चौरस करण्याची बौधायनाची रचनाही मॅकट्यूटरवर आहे, आयत कापून आणि हलवून केलेली आणि एका बिंदूभोवती फिरवलेल्या दोरीने पूर्ण केलेली.

५७७/४०८, चौरसाचा कर्ण

२ च्या वर्गमुळाचा नियम थिबॉ ज्या शब्दांत मांडतात तेवढ्या शब्दांत देता येईल इतका लहान आहे: मापाला त्याच्या तृतीयांशाने वाढवा, आणि या तृतीयांशाला त्याच्याच चतुर्थांशाने, त्या चतुर्थांशाचा चौतिसावा भाग कमी करून. थिबॉ म्हणतात की आपस्तंब हा नियम त्याच शब्दांत देतो आणि कात्यायनही देतो. नियमात तो चौरसाच्या कर्णाबद्दल आहे असे कुठेही म्हटलेले नाही. माप ही बाजू आणि वाढवलेले माप कर्ण आहे याबद्दल भाष्ये संशय ठेवत नाहीत, असे थिबॉ सांगतात, आणि खऱ्या मूल्याशी असलेले साम्य ते अतिशय जवळचे म्हणतात. मॅकट्यूटरच्या चरित्रानुसार बौधायनाच्या पहिल्या अध्यायातील ६१ वा श्लोक हा नियम धरतो.

लिहून पाहिले तर १ अधिक १/३ अधिक १/१२ म्हणजे १७/१२, म्हणजे १.४१६६७, जे थोडे जास्त आहे. त्यातून १/४०८ वजा केले की ५७७/४०८ उरते. २ च्या वर्गमुळाचे खरे मूल्य १.४१४२१३६ आहे, म्हणून त्रुटी सुमारे दहा लाखात दोन भाग आहे.

लेखक दुरुस्तीपर्यंत कसे पोहोचले ही आधुनिक पुनर्रचना आहे, मजकूर तसे सांगत नाही. थिबॉ यांनी १८७५ मध्ये मांडले आणि दत्त यांनी १९३२ मध्ये उचलले की त्यांनी १२ बाजूच्या चौरसापासून सुरुवात केली, ज्याचा कर्णाचा वर्ग २८८ लहान चौरस येतो. १७ बाजू २८९ देते, एक जास्त. १७ एककांच्या चौरसाच्या दोन कडांवरून एका एककाच्या चौतिसाव्या भागाची रुंदीची पट्टी कापली की तो एक चौरस जातो, आणि कोपऱ्यातील लहानशा अधिव्यापनातून शेवटची दुरुस्ती उरते. वेद्यांना इतकी अचूकता लागत नसताना बौधायनाला ती का हवी होती, हा प्रश्न मॅकट्यूटरचे चरित्र विचारते आणि अनुत्तरित ठेवते.

वर्तुळे, आणि पायचे कमी अचूक मूल्य

त्याच मजकुरात वर्तुळांबाबत कमी अचूकता दिसते. वर्तुळाचा चौरस करण्याची शुल्बसूत्रांची मानक पद्धत मॅकट्यूटर व्यासाच्या १३/१५ बाजू असलेला चौरस अशी देतो, ज्यातून पायचे ६७६/२२५, म्हणजे ३.००४ हे मूल्य निघते. बौधायनातील इतर रचनांतून ९००/२८९ (३.११४) आणि ११५६/३६१ (३.२०२) निघतात. यांपैकी कोणतेही विशेष अचूक नाही, असे मॅकट्यूटर म्हणतो, पण वेदीवर त्यांनी दिसण्याजोग्या त्रुटी निर्माण झाल्या नसत्या. सुमारे तेरा शतकांनी, इसवी सन ४९९ मध्ये, आर्यभटाने आर्यभटीयात पाय ३.१४१६ ठरवला, आणि केरळच्या गणिताच्या वृत्तांतात सांगितल्याप्रमाणे संगमग्रामाच्या माधवाच्या (सुमारे १३४० ते १४२५) केरळ शाळेने नंतर पायसाठी अनंत श्रेणी शोधल्या.

जुन्या मृत्पट्टिका, आणि शुल्बसूत्रे काय सांगत नाहीत

बॅबिलोनियन मातीच्या पट्ट्या अधिक जुन्या आहेत. कोलंबिया विद्यापीठात असलेली प्लिम्प्टन ३२२ मॅकट्यूटरच्या मते इसवीसनपूर्व १८०० ते १६५० दरम्यानची आहे, आणि ब्रिटिश कोलंबिया विद्यापीठाचा गणित विभाग तिला इसवीसनपूर्व सुमारे १८०० मानतो. तिचे स्तंभ पायथागोरियन त्रिकूट मांडताना दिसतात. येल बॅबिलोनियन संग्रहातील YBC 7289 ही पट्टी कर्ण दाखवलेला चौरस आणि २ च्या वर्गमुळासाठी ६० आधारातील १;२४,५१,१० हे मूल्य दाखवते, जे सुमारे १.४१४२१२९६ आहे. ते भारतीय आकड्यापेक्षा सत्याच्या अधिक जवळ आहे: त्याची त्रुटी सुमारे एक कोटीत सहा भाग आहे, तर भारतीय आकड्याची दहा लाखात दोन भाग. न्यूयॉर्क विद्यापीठाची प्राचीन जगाच्या अभ्यासाची संस्था त्या पट्टीची तारीख इसवीसनपूर्व १९ व्या ते १७ व्या शतकातील ठरवते आणि बॅबिलोनियन लेखकांना प्रमेय माहीत होते असे सांगते.

विद्वान हा पुरावा वेगवेगळ्या प्रकारे वाचतात. मॅकट्यूटरचे शुल्बसूत्र पान म्हणते की काही इतिहासकारांचा युक्तिवाद आहे की भारतीय लेखकांनी बॅबिलोनियनांकडे आधीच असलेल्या अंदाजाची नक्कल केली. कॅलिफोर्निया विद्यापीठाचे गणितज्ञ अब्राहम सायडेनबर्ग यांनी, मॅकट्यूटरवर पुनर्मुद्रित केलेल्या त्यांच्या मृत्युलेखानुसार, असा निष्कर्ष काढला की बॅबिलोनियन, ग्रीक आणि भारतीय भूमिती एकाच समान उगमातून आलेल्या आहेत, ज्यात वेदीची बांधणी आणि प्रमेय यांची मध्यवर्ती भूमिका होती. दत्त यांना प्राचीन भारतीय साहित्यात प्रमेयाच्या सिद्धतेचा प्रत्यक्ष किंवा अप्रत्यक्ष उल्लेख सापडला नाही, आणि मॅकट्यूटर सांगते की शुल्बसूत्रांत सिद्धता नाहीत.

थिबॉ यांचा १८७५ चा शोधनिबंध ए. सी. बर्नेल यांना, त्यांच्या संस्कृत हस्तलिखितांच्या सूचीत, या ग्रंथांकडे प्रथम लक्ष वेधल्याचे श्रेय देतो, आणि ब्राह्मणांतील भूमितीची सर्वात आधीची सुरुवात कर्मकांडाच्या ग्रंथांच्या शुल्ब भागांत शोधली पाहिजे हे त्यांचे वाक्य उद्धृत करतो. बनारस महाविद्यालयाच्या द पंडित नियतकालिकात आपण बौधायनाचे शुल्बसूत्र भाष्य आणि भाषांतरासह प्रकाशित करण्यास सुरुवात केली होती, असेही थिबॉ जोडतात.