1913 జనవరి 16 నాటి ఒక మద్రాసు గుమాస్తా లేఖలో జి. హెచ్. హార్డీని ఓడించిన సూత్రాలు ఉన్నాయి, 1920లో రామానుజన్ రాసిన చివరి లేఖను వివరించే సిద్ధాంతం కోసం 82 ఏళ్లు ఆగాల్సి వచ్చింది

శ్రీనివాస రామానుజన్ 1913 జనవరి 16న కేంబ్రిడ్జ్ ట్రినిటీ కాలేజీకి చెందిన జి. హెచ్. హార్డీకి లేఖ రాసినప్పుడు మద్రాసు పోర్ట్ ట్రస్ట్ ఖాతాల శాఖలో గుమాస్తా. తన జీతం ఏడాదికి £20 అని, వయసు సుమారు 23 అని రాశారు. హార్డీ తర్వాత ముద్రించిన పుట్టిన తేదీ, 1887 డిసెంబర్ 22 ప్రకారం, ఆయన వయసు 25.

ఏడేళ్ల తర్వాత 32 ఏళ్లకే ఆయన మరణించారు. ఆ మధ్యకాలంలో ఆయన రాయల్ సొసైటీకి, ట్రినిటీ ఫెలోషిప్‌కు ఎన్నికయ్యారు, హార్డీతో కలిసి ఒక పూర్ణ సంఖ్య విభజనల సంఖ్యకు సూత్రం రాశారు, 2002 వరకు సరైన నిర్వచనం లేని ఫంక్షన్లతో ఒక చివరి లేఖ పంపారు. కింది విషయాల్లో చాలావరకు హార్డీ సొంత రచనల నుంచి, రాయల్ సొసైటీ, ట్రినిటీ కాలేజీ నుంచి వచ్చాయి. మూలాలు విభేదించిన చోట, కథనం అదే చెబుతుంది.

మద్రాసు నుంచి వచ్చిన కవరు

రామానుజన్ కవరింగ్ లేఖ పూర్తిగా హార్డీ 1921 సంస్మరణ నోటులో ముద్రితమైంది, అది 1927 కలెక్టెడ్ పేపర్స్లో పునర్ముద్రణ పొందింది. అది ఆయన అర్హతలతో మొదలవుతుంది: “నాకు విశ్వవిద్యాలయ విద్య లేదు కానీ సాధారణ పాఠశాల చదువు చదివాను.” కొంచెం కిందికి “నా కోసం నేను ఒక కొత్త దారి వేసుకుంటున్నాను” అని రాశారు, ఒక అభ్యర్థనతో ముగిస్తారు: “పేదవాడిని కాబట్టి, విలువైనదేదైనా ఉందని మీరు నమ్మితే, నా సిద్ధాంతాలు ప్రచురితం కావాలని కోరుకుంటాను.”

ఆ దారి 1903లో కుంభకోణం ప్రభుత్వ కళాశాలలో మొదలైంది, అక్కడ ఒక స్నేహితుడు గ్రంథాలయం నుంచి కార్ రాసిన సినాప్సిస్ ఆఫ్ ప్యూర్ మ్యాథమెటిక్స్ ఆయనకు అరువు తెచ్చాడు. ఆయన భారతీయ జీవిత సంస్మరణ నోటు రాసిన మద్రాసు మిత్రులు పి. వి. శేషు అయ్యర్, ఆర్. రామచంద్రరావు “ఈ పుస్తకమే ఆయన మేధను మేల్కొలిపింది” అంటారు. రామానుజన్ ఫస్ట్ ఎగ్జామినేషన్ ఇన్ ఆర్ట్స్ అనే విశ్వవిద్యాలయ పరీక్షలో తప్పి మళ్లీ ప్రయత్నించలేదని హార్డీ జోడిస్తారు.

ఆయన ఎంత పంపారనేది లెక్కించేవారిని బట్టి ఉంటుంది. జతచేసిన పత్రాల్లో వంద లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సిద్ధాంతాలు ఉన్నాయని మద్రాసు నోటు చెబుతుంది. రామానుజన్ తొలి లేఖలన్నింటినీ కలిపి సుమారు 120 సిద్ధాంతాల గురించి హార్డీ తర్వాత రాశారు. హార్డీ ఎ మ్యాథమెటీషియన్స్ అపాలజీకి రాసిన ముందుమాటలో కథను తిరిగి చెబుతూ సి. పి. స్నో మొదటి కట్టను తొమ్మిది పేజీల సూత్రాలుగా చెప్పారు.

హార్డీ ఆయన మొదటి ప్రయత్నం కాదు. రామానుజన్ ఇ. డబ్ల్యూ. హాబ్సన్‌కు, హెచ్. ఎఫ్. బేకర్‌కు కూడా రాశారని, ఇద్దరూ జవాబివ్వలేదని సెయింట్ ఆండ్రూస్ విశ్వవిద్యాలయపు గణిత జీవిత చరిత్రల ఆర్కైవ్ మాక్‌ట్యూటర్ చెబుతుంది.

హార్డీని ఓడించిన సూత్రాలు

హార్డీ తన తొలి పఠనాన్ని 1936లో హార్వర్డ్‌లో ఇచ్చిన ఉపన్యాసంలో వర్ణించారు, అది ఆయన 1940 పుస్తకంలో ముద్రితమైంది. కొన్ని సూత్రాలను ఆయన గుర్తుపట్టారు: ఒకటి లాప్లాస్ ఫలితం, దాన్ని జాకోబీ మొదట సరిగ్గా నిరూపించారు, మరొకటి 1907లో ఎల్. జె. రోజర్స్ పత్రంలో కనిపించింది. సమాకలనాలను ఆయన స్వయంగా నిరూపించగలిగారు, “నేను ఊహించిన దానికంటే చాలా ఎక్కువ శ్రమతో.”

కంటిన్యూడ్ ఫ్రాక్షన్ల గురించి మూడు సూత్రాలు, అంటే హారంలో అంతులేకుండా మరిన్ని భిన్నాలు ఉండే భిన్నాలు, భిన్నంగా ఉన్నాయి. అవి “నన్ను పూర్తిగా ఓడించాయి” అని హార్డీ అన్నారు. ఆయన ఇలా కొనసాగించారు: “అవి నిజమై ఉండాలి, ఎందుకంటే నిజం కాకపోతే వాటిని కల్పించే ఊహాశక్తి ఎవరికీ ఉండేది కాదు.” ఆ లేఖ మోసగాడి నుంచి కాక మేధావి నుంచి వచ్చిందని తనను తాను నమ్మించుకోవడానికి హార్డీ రాత్రంతా జె. ఇ. లిటిల్‌వుడ్‌తో గడిపారని 2007లో రాస్తూ డాన్ జాగియర్ అంటారు. హార్డీ 1913 ఫిబ్రవరి 8న జవాబిచ్చారని, తాను “అమితంగా ఆసక్తి చూపుతున్నానని” చెబుతూ రుజువులు అడిగారని మాక్‌ట్యూటర్ నివేదిస్తుంది.

కొన్ని వాదనలు తప్పు. రామానుజన్ ప్రధాన సంఖ్యలపై భారత్‌లో చేసిన పని “ఖచ్చితంగా తప్పు” అని హార్డీ 1921లో రాశారు, ఎందుకంటే అలాంటి మొత్తాలపై సంకీర్ణ సంఖ్యల ప్రభావాన్ని ఆయన పద్ధతులు విస్మరించాయి. ఒక పవర్ సిరీస్‌లోని గుణకాల పరిమాణం గురించిన రెండో తప్పు వాక్యాన్ని, “అది చివరకు విభజనలపై మా ఉమ్మడి పనంతటికీ దారి తీసింది కాబట్టి” రామానుజన్ చేసిన అత్యంత ఫలవంతమైన వాటిలో ఒకటిగా హార్డీ పిలిచారు. 1940లో హార్డీ ముద్రించిన పదిహేను సూత్రాల్లో మిగిలినవన్నీ ఆ తర్వాత ఎవరో ఒకరు ధ్రువీకరించారని, తనను ఓడించిన మూడింటినీ రోజర్స్, జి. ఎన్. వాట్సన్ నిరూపించారని ఆయన చెబుతారు.

ఆయన్ను ఓడ ఎక్కించడానికి ఒక సంవత్సరం

కేంబ్రిడ్జ్ కంటే మద్రాసు వేగంగా కదిలింది. పోర్ట్ ట్రస్ట్ అధ్యక్షుడు సర్ ఫ్రాన్సిస్ స్ప్రింగ్ రామానుజన్ పనిని, అప్పటి భారత వాతావరణ శాఖ అధిపతి, ట్రినిటీ మాజీ ఫెలో జి. టి. వాకర్‌కు చూపించారు. 1913 ఫిబ్రవరి 26న వాకర్ మద్రాసు విశ్వవిద్యాలయానికి రాసిన లేఖ రెండేళ్లపాటు నెలకు రూ. 75 పరిశోధన స్కాలర్‌షిప్‌కు దారి తీసింది. రామానుజన్ 1913 మే 1న పోర్ట్ ట్రస్ట్ కార్యాలయాన్ని వీడారని, “జీవితాంతం వృత్తిరీత్యా గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిగా మిగిలారని” మద్రాసు నోటు చెబుతుంది.

హార్డీ ఆయన కేంబ్రిడ్జ్‌లో ఉండాలని కోరుకున్నారు. మద్రాసు నోటు ప్రకారం, రామానుజన్ మొదట కుల నిష్ఠల కారణంగా నిరాకరించారు. హార్డీ రాస్తూనే ఉన్నారు, 1914 ఆరంభంలో మద్రాసులో ఉపన్యసిస్తున్న ట్రినిటీ ఫెలో ఇ. హెచ్. నెవిల్‌ను ఒత్తిడి చేయమని కోరారు. 1914 జనవరి 28 నాటి నెవిల్ మెమోరాండం రామానుజన్ మేధను కనుగొనడాన్ని “గణిత ప్రపంచంలో మన కాలపు అత్యంత ఆసక్తికరమైన సంఘటన” అని పిలిచింది. చివరి అడ్డంకి ఆయన తల్లి అని, నామగిరి దేవి తన కొడుకు దారికి అడ్డు నిలవవద్దని చెప్పినట్లు వచ్చిన కల తర్వాత ఆమె అంగీకరించారని ఆ నోటు జోడిస్తుంది. ఆ వివరం మద్రాసు మిత్రుల కథనం, వారి మాటపైనే ఆధారపడింది.

రామానుజన్ 1914 మార్చి 17న ఓడ ఎక్కారు, నెవిల్ తోడుగా ఏప్రిల్‌లో కేంబ్రిడ్జ్ చేరారని హార్డీ చెబుతారు. మద్రాసు నుంచి ఏడాదికి £250 వచ్చేది, వాటిలో £50 ఆయన కుటుంబానికి వెళ్లేవి, ట్రినిటీ నుంచి £60 ఎగ్జిబిషన్ వచ్చింది. ఇంగ్లండ్‌లో అక్కడి భారతీయుల్లో “అత్యంత అసాధారణమైన కఠినత”తో తన కులపు మత నియమాలను ఆయన పాటించారని హార్డీ రాశారు.

కోషీ సిద్ధాంతం వినని వ్యక్తికి నేర్పడం

హార్డీ ఎదుర్కొన్న సమస్యను 1921లో ఆయన సూటిగా వర్ణించారు. జీటా ఫంక్షన్ ఫంక్షనల్ సమీకరణాన్ని స్వయంగా కనుగొన్న వ్యక్తి, కంటిన్యూడ్ ఫ్రాక్షన్లను ఆయన నిర్వహించే తీరు, రూప పరంగా, ప్రపంచంలోని ఏ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిదానికంటే గొప్పదని హార్డీ భావించిన వ్యక్తి, “ద్విఆవర్తన ఫంక్షన్ గురించి గానీ కోషీ సిద్ధాంతం గురించి గానీ, సంకీర్ణ సంఖ్యలకు ప్రాథమిక సాధనం, ఎప్పుడూ వినలేదు.” రుజువుపై అతిగా పట్టుబడితే రామానుజన్ ఆత్మవిశ్వాసం విరిగిపోతుందని హార్డీ భయపడ్డారు. అయినా ప్రయత్నించారు, “స్పష్టంగా నేను ఆయన నుంచి నేర్చుకున్నదే ఆయన నా నుంచి నేర్చుకున్న దానికంటే చాలా ఎక్కువ” అని రాశారు.

మొదటి ప్రపంచ యుద్ధం లిటిల్‌వుడ్‌ను దూరం చేసింది, కాబట్టి హార్డీ ఉపాధ్యాయుడిగానే నిలిచారు. కె. శ్రీనివాస రావు లెక్క ప్రకారం రామానుజన్ ఇంగ్లండ్‌లో 21 పత్రాలు ప్రచురించారు, వాటిలో ఐదు హార్డీతో. హార్డీ సొంత జాబితా రెండు ఉమ్మడి నోట్లను జోడిస్తుంది. వాటిలో ఒకటి, 1916 డిసెంబర్ 14న లండన్ మ్యాథమెటికల్ సొసైటీలో చదివింది, దాదాపు ప్రతి సంఖ్య n కు సుమారు log log n ప్రధాన కారణాంకాలు ఉంటాయని నిరూపించింది. అపాలజీలో లిటిల్‌వుడ్, రామానుజన్‌లతో “నా అనుబంధం నా జీవితంలో నిర్ణయాత్మక సంఘటన” అని హార్డీ రాశారు.

రామానుజన్ అత్యంత పొడవైన పత్రం 1915 నాటిది, అది ఆయన ఒక్కరిదే. అత్యంత సమ్మిశ్ర సంఖ్యలు అంటే ఏ చిన్న సంఖ్యకంటే ఎక్కువ భాజకాలు ఉన్నవి. పన్నెండుకు ఆరు భాజకాలు, అరవైకి పన్నెండు, రెండూ అర్హత పొందుతాయి. ఆ పత్రం 62 పేజీలు ఉంటుందని, దాని బలంపై 1916 మార్చిలో రామానుజన్‌కు పరిశోధన ద్వారా కేంబ్రిడ్జ్ BA వచ్చిందని రావు చెబుతారు. అది “గణితంలోని ఒక మూలనున్న నిశ్చల జలం”లో జరిగిన పని అని హార్డీ భావించారు కానీ అసమానతల నిర్వహణను మెచ్చారు. మాడ్యులర్ సమీకరణాలు, π సన్నిహిత విలువలపై ఆయన 1914 పత్రం బీజగణిత సన్నిహిత విలువలను ఇచ్చింది, వాటిలో రెండు తొమ్మిది, ఎనిమిది దశాంశ స్థానాల వరకు సరైనవని హార్డీ ఉటంకిస్తారు. π కోసం అనంత శ్రేణులను కేరళ పాఠశాల శతాబ్దాల ముందే కనుగొంది.

వెయ్యిలో నాలుగు భాగాల తేడాతో తప్పిన విభజన సూత్రం

ఒక పూర్ణ సంఖ్య విభజన అంటే క్రమాన్ని పట్టించుకోకుండా దాన్ని చిన్న పూర్ణ సంఖ్యల మొత్తంగా రాసే ఒక పద్ధతి. 4కు ఐదు ఉన్నాయి: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1. వాటిని లెక్కించడం త్వరగా కష్టమవుతుంది. మేజర్ పి. ఎ. మాక్‌మాహన్ p(n) అని రాసే ఆ లెక్కను 200 వరకు ప్రతి n కు పట్టికగా తయారుచేశారు.

హార్డీ, రామానుజన్ తమ సూత్రాన్ని ఫ్రెంచ్ కాంప్త్ రెండ్యూకు 1917 జనవరి 2 నాటి నోట్‌లో ప్రకటించారు, పూర్తి రూపాన్ని 1918లో ప్రొసీడింగ్స్ ఆఫ్ ది లండన్ మ్యాథమెటికల్ సొసైటీలో ముద్రించారు. వారి పత్రం శ్రేణిలోని మొదటి ఆరు పదాలను మాక్‌మాహన్ ఖచ్చితమైన విలువలతో పోల్చింది. n = 100కు ఆరు పదాలు 190,569,291.996 ఇచ్చాయి, ఖచ్చితమైన p(100) 190,569,292. n = 200కు 3,972,999,029,388.004 ఇచ్చాయి, ఖచ్చితమైనది 3,972,999,029,388. రెండింటిలోనూ లోపం వెయ్యిలో నాలుగు భాగాలు.

రచయితలు ఒక లోటును ఒప్పుకున్నారు. శ్రేణి మొత్తం ఖచ్చితంగా p(n) అవుతుందని, “అది అభిసరిస్తుందని కూడా” తాము ఎప్పుడూ నిరూపించలేకపోయామని వారు రాశారు. 1937లో డి. హెచ్. లెహ్మర్ వారి అనంత శ్రేణి అపసరిస్తుందని చూపారు, హాన్స్ రాడెమాకర్ p(n)కి ఖచ్చితంగా అభిసరించే మార్చిన శ్రేణిని ప్రొసీడింగ్స్ ఆఫ్ ది నేషనల్ అకాడమీ ఆఫ్ సైన్సెస్లో ప్రచురించారు. రాడెమాకర్ మార్పును హార్డీ “చాలా అదృష్టకరం” అన్నారు. మాక్‌మాహన్ పట్టికను అధ్యయనం చేస్తుండగా p(5n+4) ఎప్పుడూ 5 గుణిజంగా, p(7n+5) 7 గుణిజంగా, p(11n+6) 11 గుణిజంగా కనిపిస్తున్నాయని రామానుజన్ గమనించారు.

30 ఏళ్లకే రాయల్ సొసైటీ ఫెలో, అనారోగ్యం

రామానుజన్ రాయల్ సొసైటీ సర్టిఫికెట్ 1917 డిసెంబర్ 18న అందజేశారని రావు చెబుతారు. హార్డీ ప్రతిపాదించారు, మాక్‌మాహన్ బలపరిచారు. సంతకం చేసినవారిలో హాబ్సన్, బేకర్ ఉన్నారు, మాక్‌ట్యూటర్ కథనం ప్రకారం ఈ ఇద్దరు గణిత శాస్త్రజ్ఞులే 1913లో ఆయన లేఖలకు జవాబివ్వలేదు.

ఎన్నికైన తేదీ మూలాన్ని బట్టి మారుతుంది. మద్రాసు నోటు, రావు 1918 ఫిబ్రవరి 28ని ఇస్తారు, రాయల్ సొసైటీ సొంత కథనం ఆయన 1918 మే 2న ఫెలోగా అయ్యారని చెబుతుంది. ఎన్నికైన మొదటి భారతీయుడిగా మద్రాసు నోటు ఆయన్ను పిలుస్తుంది కూడా. సొసైటీ మాత్రం 1841 మే 27న ఎన్నికైన అర్దాసీర్ కర్సెట్జీని తన మొదటి భారతీయ ఫెలోగా పేర్కొంటుంది. భౌతిక శాస్త్రవేత్త సి.వి. రామన్ 1924లో ఎన్నికయ్యారని నోబెల్ ఫౌండేషన్ చెబుతుంది.

ట్రినిటీ ఆయన్ను 1918 అక్టోబర్‌లో ఆరేళ్ల ప్రైజ్ ఫెలోషిప్‌కు ఎన్నుకుంది, ఏ బాధ్యతలూ లేకుండా ఏడాదికి సుమారు £250 విలువైనదని మద్రాసు నోటు చెబుతుంది. మద్రాసు విశ్వవిద్యాలయానికి దాన్ని ప్రకటిస్తూ, రామానుజన్ “ఇంతవరకు ఏ భారతీయుడూ అనుభవించని శాస్త్రీయ స్థాయితో, ప్రతిష్ఠతో భారత్‌కు తిరిగి వెళ్తారు” అని హార్డీ రాశారు.

అప్పటికే ఆయన ఏడాదిగా అనారోగ్యంతో ఉన్నారు. 1917 వసంతం నుంచి ఆయన కేంబ్రిడ్జ్‌లోని ఒక నర్సింగ్ హోమ్‌లో, ఆపై వెల్స్, మ్యాట్లాక్, లండన్‌లలోని శానిటోరియాల్లో ఉన్నారు, 1918 శరదృతువులోనే ఆయన గమనించదగినంత మెరుగుపడ్డారని హార్డీ చెబుతారు. అసలు రోగం ఏమిటనేది తేలలేదు. వైద్యులు ఇతర పరిస్థితులతో పాటు క్షయను పరిగణించారు, మద్రాసు నోటు క్షయ ధోరణి గురించి మాట్లాడుతుంది. 1994లో డి. ఎ. బి. యంగ్ కరెంట్ సైన్స్లో హెపాటిక్ అమీబియాసిస్‌ను, అంటే కాలేయానికి సోకే పరాన్నజీవి ఇన్ఫెక్షన్‌ను, వాదించారని రావు సంక్షిప్తంగా చెబుతారు.

పుట్నీలో టాక్సీ

తన సంస్మరణ నోటులో, 1940 ఉపన్యాసాల్లో మళ్లీ, హార్డీ ఒక కథ చెబుతారు. లండన్ నైరుతిలోని పుట్నీలో అనారోగ్యంతో ఉన్న రామానుజన్‌ను ఆయన చూడటానికి వెళ్లారు. 1919 జనవరి 11న మద్రాసు విశ్వవిద్యాలయానికి రామానుజన్ రాసిన లేఖపై 2 కొలినెట్ రోడ్, పుట్నీ అని ఉంది. తాను “టాక్సీ-క్యాబ్ నంబర్ 1729లో వచ్చాను” అని, ఆ సంఖ్య తనకు “చాలా నీరసంగా అనిపించింది” అని హార్డీ రాశారు. రామానుజన్ జవాబిచ్చారు: “అది చాలా ఆసక్తికరమైన సంఖ్య; రెండు వేర్వేరు విధాలుగా రెండు ఘనాల మొత్తంగా రాయగల అతి చిన్న సంఖ్య.”

ఆ రెండు విధాలు 1³ + 12³, 9³ + 10³, రెండూ 1729 అవుతాయి. తర్వాత హార్డీ నాలుగో ఘాతాల కోసం అదే సమస్యను అడిగారు. రామానుజన్ ఒక్క క్షణం ఆలోచించి, స్పష్టమైన ఉదాహరణ తనకు తెలియదని, అలాంటి మొదటి సంఖ్య చాలా పెద్దది అయి ఉంటుందని అనుకుంటున్నానని చెప్పారు. హార్డీ ఆ సందర్శన తేదీని ఇవ్వరు, కథ ఆయన నుంచి మాత్రమే వస్తుంది.

తిరిగి చెప్పడంలో కథ పెరిగింది. జాన్ బేజ్ ఉటంకించినట్లు, స్నో ముందుమాట హార్డీకి ఒక దురుసు ప్రారంభ వాక్యాన్ని, రామానుజన్‌కు రెట్టింపు “లేదు, హార్డీ!”ని ఇస్తుంది. రామానుజన్ అప్పటికప్పుడు కల్పించాల్సిన అవసరం లేదని కెన్ ఓనో, సారా ట్రెబాట్-లెడర్ గమనిస్తారు. భారత్ విడిచి వెళ్లే ముందు రాసిన ఆయన రెండో నోట్‌బుక్ ఇప్పటికే 1729ని రెండు విధాలుగా రెండు ఘనాల మొత్తంగా జాబితా చేసింది. 1729 వంటి సంఖ్యను రాయడమే భారత్ ప్రపంచానికి సున్నా ఇచ్చింది వర్ణించిన స్థాన విలువ లెక్కింపు, సున్నాపై ఆధారపడుతుంది.

మద్రాసుకు తిరిగి, చివరి లేఖ

రామానుజన్ 1919 ఫిబ్రవరి 27న ఇంగ్లండ్ విడిచారు, మార్చి 27న బొంబాయి చేరారని మద్రాసు నోటు చెబుతుంది. ఆయన సన్నగా, పాలిపోయి ఉన్నారు. 1920 జనవరిలో చికిత్స కోసం మద్రాసుకు తిరిగి వెళ్లే ముందు మద్రాసులో, కోడుముడిలో, కుంభకోణంలో కాలం గడిపారు. ఆయన 1920 ఏప్రిల్ 26న మరణించారు. హార్డీ నోటు ఆయన మరణాన్ని కుంభకోణంలో అని చెబుతుంది, శేషు అయ్యర్, రామచంద్రరావు దాన్ని మద్రాసు శివారైన చేట్‌పుట్‌లో అని పేర్కొంటారు.

చివరి లేఖ 1920 జనవరి 12 తేదీ, మద్రాసు విశ్వవిద్యాలయం నుంచి. తాను “మాక్” తీటా ఫంక్షన్లు అని పిలిచే ఫంక్షన్లను కనుగొన్నానని రామానుజన్ హార్డీకి చెప్పారు, రుజువులు గానీ నిర్వచనం గానీ లేకుండా 17 ఉదాహరణలు జాబితా చేశారు. జాగియర్ లెక్క ప్రకారం 3వ క్రమంలో నాలుగు, 5వ క్రమంలో పది, 7వ క్రమంలో మూడు ఉన్నాయి. ఆ లేఖ తనకు 1920 ఫిబ్రవరిలో చేరిందని, ఆయన మరణ వార్తకు తాను “పూర్తిగా సిద్ధంగా లేనని” హార్డీ చెబుతారు.

3వ క్రమ ఫంక్షన్ల గురించి రామానుజన్ వాక్యాలను వాట్సన్ 1935 ఉపన్యాసంలో నిరూపించారు. ఆ ఫంక్షన్లు ఏమిటో నిర్వచనం ఎవరి దగ్గరా లేదు. రాబర్ట్ ష్నైడర్ ఇంటర్వ్యూలు చెప్పినట్లు, 1976 వసంతంలో జార్జ్ ఆండ్రూస్ ట్రినిటీలోని రెన్ లైబ్రరీలో వాట్సన్ వస్తువుల నుంచి అక్కడికి పంపిన పత్రాల పెట్టెను తెరిచి, మాక్ తీటా ఫంక్షన్లపై రామానుజన్ సొంత పేజీలను కనుగొన్నారు. జాగియర్, ఆర్. డబ్ల్యూ. బ్రగ్గెమాన్ పర్యవేక్షణలో ఉట్రెక్ట్‌లో సాండర్ జ్వెగర్స్ 2002 డాక్టరేట్ థీసిస్ రామానుజన్ ఉదాహరణలు మూడు కుటుంబాలుగా వస్తాయని చూపింది. ప్రతిదానికి ఒక నిర్దిష్ట సవరణ పదాన్ని కలిపితే మాడ్యులర్ రూపం సౌష్ఠవాలున్న ఫంక్షన్ వస్తుంది, ఆ వర్గానికి రామానుజన్ వాడిన మాట “తీటా ఫంక్షన్”.

రామానుజన్ తన నోట్‌బుక్‌ల్లో దాదాపు 3,900 ఫలితాలను సంకలనం చేశారని, వాటిలో ఎక్కువ సర్వసమానతలు, సమీకరణాలని, చాలా వరకు సరైనవని తేలాయని ట్రినిటీ కాలేజీ చెబుతుంది. ఆయన పుట్టినరోజు డిసెంబర్ 22ను భారత ప్రభుత్వం 2011 డిసెంబర్‌లో జాతీయ గణిత దినోత్సవంగా ప్రకటించింది.