1913年1月16日一名马德拉斯职员的来信里，有难倒了G·H·哈代的公式；拉马努金1920年的最后一封信，则等了82年才有一套理论来解释它

斯里尼瓦萨·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）1913年1月16日写信给剑桥三一学院的G·H·哈代时，是马德拉斯港务局会计部门的一名职员。他写明自己的年薪是20英镑，年龄约23岁。按哈代后来印出的出生日期1887年12月22日，他当时25岁。

七年后，他去世了，终年32岁。其间他当选了皇家学会院士和三一学院研究员，与哈代合写了一个整数分拆数的公式，并寄出了最后一封信，信中的函数直到2002年才有了像样的定义。下文大部分内容来自哈代自己的著述、皇家学会和三一学院。各来源说法不一时，正文会说明。

来自马德拉斯的信封

拉马努金的附信全文印在哈代1921年的讣告里，1927年的《论文集》（Collected Papers）重印了它。信从他的资历写起：“我没有受过大学教育，但上过普通的学校课程。”再往下，他写道“我正在为自己开辟一条新路”，信的结尾是一个请求：“因为贫穷，如果您确信我的定理有任何价值，我希望它们得以发表。”

这条路始于1903年，在库姆巴科南的政府学院，一位朋友替他从图书馆借来了卡尔（Carr）的《纯粹数学概要》（Synopsis of Pure Mathematics）。为他撰写印度传记讣告的两位马德拉斯朋友，P. V. Seshu Aiyar和R. Ramachandra Rao，说“正是这本书唤醒了他的天才”。哈代补充说，拉马努金没有通过大学的文科第一考试，此后再没有尝试。

他寄了多少，取决于谁在数。马德拉斯的讣告说，随信附上的论文里有一百条或更多定理。哈代后来写到，拉马努金早期几封信合在一起，大约有120条定理。C·P·斯诺在为哈代《一个数学家的辩白》（A Mathematician’s Apology）写的序言里重述这个故事时，说第一个包裹是九页公式。

哈代不是他的第一次尝试。圣安德鲁斯大学的数学传记档案MacTutor说，拉马努金还写信给E·W·霍布森和H·F·贝克，两人都没有回信。

难倒哈代的公式

哈代在1936年哈佛的一次讲座中描述了他第一次读信的情形，讲稿印在他1940年的书里。有些公式他认得：一个是拉普拉斯的结果，由雅可比首次严格证明；另一个出现在L·J·罗杰斯1907年的一篇论文里。积分他自己能证明，“尽管比我预想的费事得多”。

有三个关于连分数的公式不一样，连分数是分母里还含有无穷无尽的分数的分数。哈代说它们“完全难倒了我”。他接着说：“它们一定是真的，因为如果不是真的，没有人会有想象力去编造它们。”Don Zagier在2007年写道，哈代与J·E·利特尔伍德整夜都在说服自己，这封信出自天才而非骗子之手。MacTutor报告说，哈代1913年2月8日回信，说自己“极感兴趣”，并要求提供证明。

有些论断是错的。哈代1921年写道，拉马努金在印度时关于素数的工作“肯定是错的”，因为他的方法忽略了复数对这类和式的影响。第二个错误的论断，关于幂级数系数的大小，哈代称之为拉马努金做出的最富成果的论断之一，“因为它最终把我们引向了我们关于分拆数的全部合作”。哈代1940年印出的十五个公式中，他说其余的此后都已有人验证，那三个难倒他的公式则由罗杰斯和G·N·沃森证明。

花了一年才把他送上船

马德拉斯比剑桥动作更快。港务局主席弗朗西斯·斯普林爵士（Sir Francis Spring）把拉马努金的工作给了G·T·沃克（G. T. Walker）看，沃克当时是印度气象部门的负责人，也是三一学院的前研究员。沃克1913年2月26日写给马德拉斯大学的信，促成了一笔为期两年、每月75卢比的研究奖学金。马德拉斯的讣告说，拉马努金于1913年5月1日离开港务局办公室，“此后终生都是职业数学家”。

哈代想让他来剑桥。据马德拉斯的讣告，拉马努金起初因种姓上的顾虑而婉拒。哈代不断去信，1914年初他请当时在马德拉斯讲学的三一学院研究员E·H·内维尔出面力劝。内维尔1914年1月28日的备忘录称，发现拉马努金的天才是“我们这个时代数学界最有趣的事件”。讣告补充说，最后一道障碍是他的母亲，她在一场梦之后同意了，据她说，梦中纳玛吉里女神（Namagiri）告诉她不要拦着儿子的路。这个细节是马德拉斯友人的说法，仅凭他们的一面之词。

哈代说，拉马努金1914年3月17日启航，4月抵达剑桥，内维尔与他同行。他从马德拉斯每年得250英镑，其中50英镑给了家人，另有三一学院60英镑的助学金（exhibition）。哈代写道，他在英国恪守本种姓的宗教规矩，其“严格程度极不寻常”，在当地的印度人中尤其如此。

教一个没听说过柯西定理的人

哈代面对的难题，他在1921年说得很直白。这是一个独自发现了zeta函数函数方程的人，在形式一面处理连分数的能力，哈代认为世界上没有哪位数学家能及，却“从未听说过双周期函数或柯西定理”，后者是处理复数的基本工具。哈代担心，过分强调证明会挫伤拉马努金的信心。他还是尝试了，并写道：“显然，我从他那里学到的，远比他从我这里学到的多。”

第一次世界大战让利特尔伍德离开了，所以哈代仍是老师。按K. Srinivasa Rao的统计，拉马努金在英国发表了21篇论文，其中五篇与哈代合写。哈代自己的清单又加上两篇合写的短札。其中一篇于1916年12月14日在伦敦数学会宣读，证明了几乎每个数n都有大约log log n个素因子。在《辩白》里，哈代写道，“我与他们的交往”，指与利特尔伍德和拉马努金，“是我一生中的决定性事件”。

拉马努金1915年最长的一篇论文是他独自完成的。高度合成数是约数比任何更小的数都多的数。12有六个约数，60有十二个，两者都符合。拉奥说这篇论文长达62页，拉马努金凭它在1916年3月获得剑桥以研究方式授予的文学士学位。哈代认为这是“数学偏僻角落里”的工作，但欣赏其中对不等式的处理。他1914年关于模方程与π的近似的论文给出了代数近似，哈代引用其中两个，分别精确到小数点后九位和八位。喀拉拉学派在数世纪前就已找到π的无穷级数。

一个偏差千分之四的分拆数公式

整数的一个分拆，是把它写成若干更小整数之和的方式，不计顺序。4有五种：4、3+1、2+2、2+1+1和1+1+1+1。数起来很快就变得困难。P·A·麦克马洪少校（Major P. A. MacMahon）已经把每个不超过200的n的计数，记作p(n)，列成了表。

哈代和拉马努金在一份日期为1917年1月2日、寄往法国《法国科学院通报》（Comptes Rendus）的短札中宣布了他们的公式，并于1918年在《伦敦数学会会刊》上印出完整版本。他们的论文把级数的前六项与麦克马洪的精确值作了比较。n = 100时，六项给出190,569,291.996，而p(100)的精确值为190,569,292。n = 200时，给出3,972,999,029,388.004，精确值为3,972,999,029,388。两处的误差都是千分之四。

作者承认存在一个缺口。他们写道，他们始终未能证明这个级数恰好等于p(n)，“甚至无法证明它收敛”。1937年，D·H·莱默证明他们的无穷级数发散，汉斯·拉德马赫（Hans Rademacher）则在《美国国家科学院院刊》上发表了一个经过改动、恰好收敛到p(n)的级数。哈代称拉德马赫的改动“非常幸运”。研究麦克马洪的表时，拉马努金注意到，p(5n+4)似乎总是5的倍数，p(7n+5)是7的倍数，p(11n+6)是11的倍数。

三十岁的皇家学会院士，以及疾病

据Rao，拉马努金的皇家学会推荐书于1917年12月18日递交。哈代提名，麦克马洪附议。署名者中有霍布森和贝克，按MacTutor的说法，就是1913年没有回他信的那两位数学家。

选举日期因来源而异。马德拉斯的讣告和Rao给出的是1918年2月28日，而皇家学会自己的说明是他于1918年5月2日成为院士。马德拉斯的讣告还称他是第一位当选的印度人。学会本身则指名阿尔达西尔·库尔塞特吉（Ardaseer Cursetjee，1841年5月27日当选）为第一位印度籍院士。诺贝尔基金会说，物理学家C·V·拉曼于1924年当选。

据马德拉斯的讣告，三一学院于1918年10月选他为六年期的奖学金研究员（prize fellowship），年值约250英镑，没有任何职责。哈代在向马德拉斯大学宣布此事时写道，拉马努金“回到印度时，将拥有此前没有任何印度人享有过的科学地位和声望”。

到那时他已经病了一年。1917年春天起，他先住在剑桥的一家疗养院，随后辗转于韦尔斯、马特洛克和伦敦的疗养所，哈代说他到1918年秋天才明显好转。病因至今没有定论。医生们考虑过肺结核等多种病况，马德拉斯的讣告提到肺结核倾向。1994年，D. A. B. Young在《当代科学》（Current Science）上提出是肝阿米巴病，一种肝脏寄生虫感染，这是Rao的概括。

帕特尼的出租车

在讣告和1940年的讲座里，哈代都讲了同一个故事。他去探望病中的拉马努金，后者住在伦敦西南的帕特尼。拉马努金1919年1月11日写给马德拉斯大学的信，抬头地址是帕特尼科利内特路2号（2 Colinette Road）。哈代写道，他“乘的是1729号出租车”，并说这个数在他看来“相当乏味”。拉马努金回答：“这是个很有意思的数；它是能以两种不同方式表示为两个立方数之和的最小的数。”

这两种方式是1³ + 12³和9³ + 10³，结果都是1729。哈代随后问，四次幂的同一问题是什么情形。拉马努金想了一会儿，说他不知道有什么明显的例子，并推测第一个这样的数一定非常大。哈代没有给出这次探访的日期，这个故事只出自他一人。

后来的转述越传越多。如John Baez所引，斯诺的序言给了哈代一句唐突的开场白，给了拉马努金一个重复两遍的“不，哈代！”。Ken Ono和Sarah Trebat-Leder指出，拉马努金不需要临场发挥。他离开印度前写的第二本笔记本里，已经把1729列为两种方式的两个立方数之和。要写下1729这样的数，靠的是印度把零给了世界一文中讲到的位值计数和零。

回到马德拉斯，以及最后一封信

据马德拉斯的讣告，拉马努金1919年2月27日离开英国，3月27日抵达孟买。他又瘦又苍白。他先后在马德拉斯、科杜穆迪和库姆巴科南待过，1920年1月回马德拉斯治疗。他于1920年4月26日去世。哈代的讣告说他死于库姆巴科南，而Seshu Aiyar和Ramachandra Rao则说是在切特普特（Chetput），马德拉斯的一处郊区。

最后一封信的日期是1920年1月12日，发自马德拉斯大学。拉马努金告诉哈代，他发现了一些他称为“仿”theta函数的函数（mock theta functions），并列出17个例子，没有证明，也没有定义。Zagier数出3阶的四个、5阶的十个、7阶的三个。哈代说信于1920年2月到他手里，他对死讯“毫无准备”。

沃森在1935年的一次讲座中证明了拉马努金关于3阶函数的论断。当时没有人有这些函数究竟是什么的定义。1976年春天，乔治·安德鲁斯（George Andrews）打开了三一学院雷恩图书馆（Wren Library）里的一箱文件，它们是从沃森遗物里送来的，他在其中找到了拉马努金自己关于仿theta函数的手稿页，如Robert Schneider的访谈所述。Sander Zwegers 2002年在乌得勒支大学的博士论文，由Zagier和R. W. Bruggeman指导，表明拉马努金的例子分成三个家族。给每一个加上一个特定的修正项，就得到一个具有模形式对称性的函数，而对于这一类函数，拉马努金用的词是“theta函数”。

三一学院说，拉马努金在笔记本里汇集了近3,900条结果，大多是恒等式和方程，且大多已被证明正确。印度政府于2011年12月宣布他的生日12月22日为全国数学日。