१६ जानेवारी १९१३ च्या एका मद्रासी कारकुनाच्या पत्रात जी. एच. हार्डी यांना हरवणारी सूत्रे होती, आणि रामानुजन यांचे १९२० चे शेवटचे पत्र ते स्पष्ट करणाऱ्या सिद्धांतासाठी ८२ वर्षे थांबून राहिले

श्रीनिवास रामानुजन हे मद्रास पोर्ट ट्रस्टच्या लेखा विभागात कारकून होते, जेव्हा त्यांनी १६ जानेवारी १९१३ रोजी केंब्रिजच्या ट्रिनिटी कॉलेजच्या जी. एच. हार्डी यांना पत्र लिहिले. त्यांनी आपला पगार वर्षाला £२० आणि वय सुमारे २३ असे दिले. हार्डी यांनी नंतर छापलेल्या जन्मतारखेनुसार, २२ डिसेंबर १८८७, ते २५ वर्षांचे होते.

सात वर्षांनी ते ३२ व्या वर्षी मरण पावले. त्या दरम्यान ते रॉयल सोसायटीवर आणि ट्रिनिटीच्या फेलोशिपवर निवडले गेले होते, त्यांनी हार्डी यांच्यासोबत पूर्ण संख्येच्या विभाजनांच्या संख्येचे एक सूत्र लिहिले होते, आणि एक शेवटचे पत्र पाठवले होते ज्यातील फलनांची योग्य व्याख्या २००२ पर्यंत नव्हती. पुढचा बहुतेक मजकूर हार्डी यांच्या स्वतःच्या लेखनातून, रॉयल सोसायटी आणि ट्रिनिटी कॉलेजकडून आलेला आहे. जिथे स्रोत एकमेकांशी जुळत नाहीत, तिथे मजकूर तसे सांगतो.

मद्रासहून आलेले पाकीट

रामानुजन यांचे सोबतचे पत्र हार्डी यांच्या १९२१ च्या श्रद्धांजली लेखात पूर्ण छापले आहे, जो १९२७ च्या कलेक्टेड पेपर्स मध्ये पुन्हा छापला गेला. त्याची सुरुवात त्यांच्या ओळखपत्रांनी होते: “मला विद्यापीठीय शिक्षण मिळालेले नाही, पण मी सर्वसामान्य शालेय अभ्यासक्रम पार केला आहे.” थोडे पुढे ते लिहितात, “मी स्वतःसाठी एक नवी वाट काढत आहे”, आणि शेवट एका विनंतीने होतो: “मी गरीब असल्याने, जर तुम्हाला खात्री पटली की यात काही मोल आहे, तर माझी प्रमेये प्रकाशित व्हावीत अशी माझी इच्छा आहे.”

ही वाट १९०३ मध्ये कुंभकोणम येथील सरकारी महाविद्यालयात सुरू झाली होती, जेव्हा एका मित्राने त्यांच्यासाठी ग्रंथालयातून कार यांचे सिनॉप्सिस ऑफ प्युअर मॅथेमॅटिक्स घेतले. त्यांचे भारतीय चरित्रात्मक टिपण लिहिणारे मद्रासचे मित्र पी. व्ही. शेषु अय्यर आणि आर. रामचंद्र राव म्हणतात, “याच पुस्तकाने त्यांची प्रतिभा जागवली”. हार्डी जोडतात की रामानुजन फर्स्ट एक्झामिनेशन इन आर्ट्स या विद्यापीठ परीक्षेत नापास झाले आणि पुन्हा कधी बसले नाहीत.

त्यांनी किती पाठवले हे मोजणाऱ्यावर अवलंबून आहे. मद्रासचे टिपण म्हणते की सोबतच्या कागदांत शंभर किंवा अधिक प्रमेये होती. हार्डी यांनी नंतर रामानुजन यांच्या आरंभीच्या पत्रांमध्ये मिळून सुमारे १२० प्रमेयांबद्दल लिहिले. सी. पी. स्नो यांनी, हार्डी यांच्या ए मॅथेमॅटिशियन्स अपॉलॉजी च्या प्रस्तावनेत ही कथा पुन्हा सांगताना, पहिले पाकीट सूत्रांच्या नऊ पानांचे असल्याचे म्हटले.

हार्डी हे त्यांचे पहिले प्रयत्न नव्हते. सेंट अँड्र्यूज विद्यापीठातील गणितीय चरित्र संग्रह मॅकट्यूटर म्हणतो की रामानुजन यांनी ई. डब्ल्यू. हॉब्सन आणि एच. एफ. बेकर यांनाही लिहिले होते, आणि कोणीही उत्तर दिले नाही.

हार्डी यांना हरवणारी सूत्रे

हार्डी यांनी १९३६ मध्ये हार्वर्डमधील एका व्याख्यानात आपल्या पहिल्या वाचनाचे वर्णन केले, जे त्यांच्या १९४० च्या पुस्तकात छापले आहे. काही सूत्रे त्यांनी ओळखली: एक लाप्लास यांचा निष्कर्ष होता जो याकोबी यांनी प्रथम नीट सिद्ध केला, आणि दुसरे एल. जे. रॉजर्स यांच्या १९०७ च्या शोधनिबंधात आले होते. समाकलने त्यांना स्वतः सिद्ध करता आली, “जरी मला अपेक्षित होता त्यापेक्षा बराच जास्त त्रास झाला”.

सतत अपूर्णांकांबद्दलची तीन सूत्रे वेगळी होती, ज्या अपूर्णांकांच्या छेदांत अनंतपणे आणखी अपूर्णांक असतात. हार्डी म्हणाले की त्यांनी “मला पूर्णपणे हरवले”. ते पुढे म्हणतात: “ती खरी असली पाहिजेत, कारण जर ती खरी नसती, तर ती शोधून काढण्याइतकी कल्पनाशक्ती कोणातच नसती.” डॉन झागियर, २००७ मध्ये लिहिताना, म्हणतात की हार्डी यांनी ते पत्र एखाद्या प्रतिभावंताकडून आले आहे, फसवणूक करणाऱ्याकडून नाही, याची खात्री पटवून घेण्यात जे. ई. लिटलवुड यांच्यासोबत रात्र घालवली. मॅकट्यूटर नोंदवतो की हार्डी यांनी ८ फेब्रुवारी १९१३ रोजी उत्तर दिले, आपण “अत्यंत उत्सुक” असल्याचे सांगून आणि सिद्धता मागून.

काही दावे चुकीचे होते. हार्डी यांनी १९२१ मध्ये लिहिले की रामानुजन यांचे मूळ संख्यांवरील भारतातील काम “निश्चितपणे चुकीचे होते”, कारण त्यांच्या पद्धतींनी अशा बेरजांवर सम्मिश्र संख्या काय परिणाम करतात याकडे दुर्लक्ष केले. घात श्रेणीतील गुणांकांच्या आकाराबद्दलच्या दुसऱ्या चुकीच्या विधानाला हार्डी यांनी रामानुजन यांनी केलेल्या सर्वात फलदायी विधानांपैकी एक म्हटले, “कारण त्याने शेवटी आम्हाला विभाजनांवरील आमच्या सर्व संयुक्त कामाकडे नेले”. हार्डी यांनी १९४० मध्ये छापलेल्या पंधरा सूत्रांपैकी, ते म्हणतात की बाकी सर्व कोणी ना कोणी पडताळली आहेत, आणि त्यांना हरवणारी तीन सूत्रे रॉजर्स आणि जी. एन. वॉटसन यांनी सिद्ध केली.

बोटीवर बसवायला एक वर्ष

मद्रास केंब्रिजपेक्षा जलद चालले. पोर्ट ट्रस्टचे अध्यक्ष सर फ्रान्सिस स्प्रिंग यांनी रामानुजन यांचे काम जी. टी. वॉकर यांना दाखवले, जे तेव्हा भारतातील हवामान खात्याचे प्रमुख आणि ट्रिनिटीचे माजी फेलो होते. वॉकर यांच्या २६ फेब्रुवारी १९१३ च्या मद्रास विद्यापीठाला लिहिलेल्या पत्रामुळे दोन वर्षांसाठी दरमहा ७५ रुपयांची संशोधन शिष्यवृत्ती मिळाली. मद्रासचे टिपण म्हणते की रामानुजन यांनी १ मे १९१३ रोजी पोर्ट ट्रस्टचे कार्यालय सोडले आणि “आयुष्यभर व्यावसायिक गणितज्ञ राहिले”.

हार्डी यांना ते केंब्रिजमध्ये हवे होते. मद्रासच्या टिपणानुसार, रामानुजन यांनी आधी जातीच्या संकोचांमुळे नकार दिला. हार्डी लिहीत राहिले, आणि १९१४ च्या सुरुवातीला त्यांनी मद्रासमध्ये व्याख्याने देणाऱ्या ट्रिनिटीच्या फेलो ई. एच. नेव्हिल यांना हा मुद्दा रेटण्यास सांगितले. नेव्हिल यांच्या २८ जानेवारी १९१४ च्या निवेदनाने रामानुजन यांच्या प्रतिभेच्या शोधाला “गणिताच्या जगातील आपल्या काळातील सर्वात मनोरंजक घटना” म्हटले. टिपण जोडते की शेवटचा अडथळा त्यांची आई होती, जिने एका स्वप्नानंतर संमती दिली, ज्यात, तिच्या म्हणण्यानुसार, नामगिरी देवीने तिला त्यांच्या मार्गात उभे राहू नकोस असे सांगितले. हा तपशील मद्रासच्या मित्रांचा वृत्तांत आहे आणि त्यांच्या शब्दावर आधारलेला आहे.

रामानुजन १७ मार्च १९१४ रोजी निघाले आणि एप्रिलमध्ये नेव्हिल यांच्या सोबतीने केंब्रिजला पोहोचले, असे हार्डी म्हणतात. त्यांना मद्रासकडून वर्षाला £२५० मिळत होते, त्यापैकी £५० कुटुंबाला जात, आणि ट्रिनिटीकडून £६० ची एक एक्झिबिशन. हार्डी यांनी लिहिले की त्यांनी इंग्लंडमध्ये आपल्या जातीचे धार्मिक आचार तिथल्या भारतीयांमध्ये “अत्यंत असामान्य कठोरतेने” पाळले.

कोशीचे प्रमेय न ऐकलेल्या माणसाला शिकवणे

हार्डी यांना एका समस्येला सामोरे जावे लागले जिचे त्यांनी १९२१ मध्ये साधेपणाने वर्णन केले. येथे असा एक माणूस होता ज्याने झीटा फलनाचे फलनात्मक समीकरण स्वतः शोधले होते, आणि ज्याची सतत अपूर्णांकांची हाताळणी, औपचारिक बाजूने, हार्डी यांना जगातील कोणत्याही गणितज्ञाच्या पलीकडची वाटली, तरीही त्याने “द्विआवर्ती फलनाबद्दल किंवा कोशीच्या प्रमेयाबद्दल, जे सम्मिश्र संख्यांसाठीचे एक मूलभूत साधन आहे, कधी ऐकले नव्हते”. सिद्धतेचा अतिआग्रह रामानुजन यांचा आत्मविश्वास मोडेल अशी हार्डी यांना भीती वाटली. तरी त्यांनी प्रयत्न केला, आणि लिहिले की “स्पष्टच आहे की मी त्यांच्याकडून जेवढे शिकलो तेवढे ते माझ्याकडून शिकले नाहीत”.

पहिल्या महायुद्धाने लिटलवुड यांना दूर नेले, त्यामुळे हार्डी शिक्षकच राहिले. के. श्रीनिवास राव यांच्या मोजणीनुसार रामानुजन यांनी इंग्लंडमध्ये २१ शोधनिबंध प्रकाशित केले, त्यांपैकी पाच हार्डी यांच्यासोबत. हार्डी यांची स्वतःची यादी दोन संयुक्त टिपणे जोडते. त्यातील एक, १४ डिसेंबर १९१६ रोजी लंडन मॅथेमॅटिकल सोसायटीत वाचले गेले, त्याने सिद्ध केले की जवळजवळ प्रत्येक संख्या n ला सुमारे log log n मूळ अवयव असतात. अपॉलॉजी मध्ये हार्डी यांनी लिहिले की “त्यांच्याशी माझा संबंध”, म्हणजे लिटलवुड आणि रामानुजन, “माझ्या आयुष्यातील निर्णायक घटना होती”.

रामानुजन यांचा १९१५ चा सर्वात लांब शोधनिबंध त्यांचा एकट्याचा होता. अत्यंत संयुक्त संख्या म्हणजे ज्यांना कोणत्याही लहान संख्येपेक्षा जास्त भाजक असतात. बाराला सहा भाजक आहेत आणि साठला बारा, आणि दोन्ही त्यात बसतात. राव म्हणतात की हा शोधनिबंध ६२ पानांचा आहे आणि त्याच्या बळावर रामानुजन यांना मार्च १९१६ मध्ये संशोधनाद्वारे केंब्रिजची बीए पदवी मिळाली. हार्डी यांना ते “गणिताच्या एका आडबाजूचे” काम वाटले, पण असमानतांच्या हाताळणीची त्यांनी प्रशंसा केली. त्यांच्या मॉड्युलर समीकरणे आणि π च्या सन्निकटनांवरील १९१४ च्या शोधनिबंधाने बीजगणितीय सन्निकटने दिली, त्यांपैकी दोन हार्डी यांनी नऊ आणि आठ दशांश स्थळांपर्यंत अचूक म्हणून उद्धृत केली. केरळ शाळेने π साठी अनंत श्रेणी शतकांपूर्वीच शोधल्या होत्या.

चार हजारांशाने चुकलेले विभाजन सूत्र

पूर्ण संख्येचे विभाजन म्हणजे तिला लहान पूर्ण संख्यांची बेरीज म्हणून लिहिण्याचा एक मार्ग, क्रम दुर्लक्षित करून. ४ ची पाच आहेत: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 आणि 1+1+1+1. त्यांची मोजणी झपाट्याने कठीण होते. मेजर पी. ए. मॅकमोहन यांनी p(n) असे लिहिलेली संख्या २०० पर्यंतच्या प्रत्येक n साठी सारणीबद्ध केली होती.

हार्डी आणि रामानुजन यांनी आपले सूत्र २ जानेवारी १९१७ च्या तारखेच्या फ्रेंच कॉम्प्त रँदु मधील एका टिपणात जाहीर केले आणि पूर्ण आवृत्ती १९१८ मध्ये प्रोसिडिंग्ज ऑफ द लंडन मॅथेमॅटिकल सोसायटी मध्ये छापली. त्यांच्या शोधनिबंधाने श्रेणीच्या पहिल्या सहा पदांची तुलना मॅकमोहन यांच्या अचूक मूल्यांशी केली. n = १०० साठी सहा पदांनी १९०,५६९,२९१.९९६ दिले, अचूक p(१००) १९०,५६९,२९२ च्या विरुद्ध. n = २०० साठी त्यांनी ३,९७२,९९९,०२९,३८८.००४ दिले, अचूक ३,९७२,९९९,०२९,३८८ च्या विरुद्ध. दोन्हीतील त्रुटी चार हजारांश होती.

लेखकांनी एक तफावत मान्य केली. श्रेणीची बेरीज p(n) इतकीच येते हे, ते लिहितात, “किंवा ती अभिसारी आहे हेही” ते कधी सिद्ध करू शकले नव्हते. १९३७ मध्ये डी. एच. लेहमर यांनी दाखवले की त्यांची अनंत श्रेणी अपसारी आहे, आणि हान्स रेडमाखर यांनी प्रोसिडिंग्ज ऑफ द नॅशनल अकॅडमी ऑफ सायन्सेस मध्ये एक बदललेली श्रेणी प्रकाशित केली जी p(n) शी अचूकपणे अभिसरते. हार्डी यांनी रेडमाखर यांच्या बदलाला “अतिशय सुदैवी” म्हटले. मॅकमोहन यांच्या सारणीचा अभ्यास करताना रामानुजन यांच्या लक्षात आले की p(५n+४) नेहमी ५ चा, p(७n+५) ७ चा आणि p(११n+६) ११ चा गुणाकार दिसतो.

तीसाव्या वर्षी रॉयल सोसायटीचे फेलो, आणि आजारी

रामानुजन यांचे रॉयल सोसायटीसाठीचे प्रमाणपत्र १८ डिसेंबर १९१७ रोजी सादर झाले, असे राव म्हणतात. हार्डी यांनी त्यांचे नाव सुचवले आणि मॅकमोहन यांनी अनुमोदन दिले. सह्या करणाऱ्यांमध्ये हॉब्सन आणि बेकर होते, ज्या दोन गणितज्ञांनी, मॅकट्यूटरच्या वृत्तांतानुसार, १९१३ मध्ये त्यांच्या पत्रांना उत्तर दिले नव्हते.

निवडीची तारीख स्रोतानुसार वेगळी आहे. मद्रासचे टिपण आणि राव २८ फेब्रुवारी १९१८ देतात, तर रॉयल सोसायटीचा स्वतःचा वृत्तांत म्हणतो की त्यांना २ मे १९१८ रोजी फेलो करण्यात आले. मद्रासचे टिपण त्यांना निवडले गेलेले पहिले भारतीय असेही म्हणते. सोसायटी स्वतः २७ मे १८४१ रोजी निवडले गेलेले अर्देशिर कर्सेटजी यांना आपले पहिले भारतीय फेलो म्हणून नाव देते. नोबेल फाउंडेशन म्हणते की भौतिकशास्त्रज्ञ सी. व्ही. रामन १९२४ मध्ये निवडले गेले.

ट्रिनिटीने त्यांना ऑक्टोबर १९१८ मध्ये सहा वर्षांच्या पारितोषिक फेलोशिपवर निवडले, ज्याची किंमत वर्षाला सुमारे £२५० होती आणि कोणतीही कर्तव्ये नव्हती, असे मद्रासचे टिपण म्हणते. मद्रास विद्यापीठाला ते कळवताना हार्डी यांनी लिहिले की रामानुजन “आजवर कोणत्याही भारतीयाला लाभली नसेल अशी वैज्ञानिक प्रतिष्ठा आणि कीर्ती घेऊन भारतात परततील”.

तोवर ते एक वर्ष आजारी होते. १९१७ च्या वसंतापासून ते केंब्रिजमधील एका नर्सिंग होममध्ये आणि मग वेल्स, मॅटलॉक आणि लंडन येथील सॅनेटोरियममध्ये होते, आणि हार्डी म्हणतात की १९१८ च्या शरद ऋतूतच त्यांना लक्षणीय बरे वाटले. नेमके काय बिघडले होते ते अनिर्णीत आहे. डॉक्टरांनी इतर स्थितींसह क्षयरोगाचा विचार केला, आणि मद्रासचे टिपण क्षयरोगाच्या प्रवृत्तीबद्दल बोलते. १९९४ मध्ये डी. ए. बी. यंग यांनी करंट सायन्स मध्ये यकृताच्या परजीवी संसर्गाचा, हेपॅटिक अमिबियासिसचा, युक्तिवाद केला, जसे राव सारांशित करतात.

पुटनी येथील टॅक्सी

आपल्या श्रद्धांजली लेखात आणि पुन्हा १९४० च्या व्याख्यानांत हार्डी एक गोष्ट सांगतात. ते नैऋत्य लंडनमधील पुटनी येथे आजारी असलेल्या रामानुजन यांना भेटायला गेले. रामानुजन यांचे मद्रास विद्यापीठाला ११ जानेवारी १९१९ चे स्वतःचे पत्र २ कॉलिनेट रोड, पुटनी या शीर्षकाचे आहे. हार्डी यांनी लिहिले की ते “टॅक्सी-कॅब क्रमांक १७२९ मधून आले होते” आणि हा आकडा त्यांना “बराच निरस” वाटल्याचे म्हणाले. रामानुजन यांनी उत्तर दिले: “हा एक अतिशय मनोरंजक आकडा आहे; दोन घनांची बेरीज दोन वेगवेगळ्या प्रकारांनी म्हणून मांडता येणारी ही सर्वात लहान संख्या आहे.”

ते दोन प्रकार 1³ + 12³ आणि 9³ + 10³ आहेत, आणि दोन्ही १७२९ होतात. हार्डी यांनी मग चौथ्या घातांसाठीच्या त्याच समस्येबद्दल विचारले. रामानुजन यांनी क्षणभर विचार केला, म्हणाले की त्यांना कोणतेही स्पष्ट उदाहरण माहीत नाही आणि अशी पहिली संख्या फार मोठी असावी असे त्यांना वाटते. हार्डी भेटीची कोणतीही तारीख देत नाहीत, आणि ही गोष्ट फक्त त्यांच्याकडून आलेली आहे.

पुनर्कथनांमध्ये भर पडली आहे. स्नो यांची प्रस्तावना हार्डी यांना एक तुटक सुरुवातीची ओळ देते आणि रामानुजन यांना दुहेरी “नाही, हार्डी!”, जसे जॉन बेझ उद्धृत करतात. केन ओनो आणि सारा ट्रेबात-लेडर निदर्शनास आणतात की रामानुजन यांना ऐनवेळी रचण्याची गरज नव्हती. भारत सोडण्यापूर्वी लिहिलेल्या त्यांच्या दुसऱ्या वहीत १७२९ दोन घनांची बेरीज दोन प्रकारे म्हणून आधीच नोंदलेला आहे. १७२९ सारखी संख्या लिहिणेच भारताने जगाला शून्य दिले या लेखात वर्णन केलेल्या स्थानमूल्य मोजणीवर आणि शून्यावर अवलंबून आहे.

मद्रासला परत, आणि शेवटचे पत्र

रामानुजन २७ फेब्रुवारी १९१९ रोजी इंग्लंड सोडून निघाले आणि २७ मार्च रोजी मुंबईला पोहोचले, असे मद्रासचे टिपण म्हणते. ते बारीक आणि फिकट होते. जानेवारी १९२० मध्ये उपचारांसाठी मद्रासला परतण्यापूर्वी त्यांनी मद्रास, कोडुमुडी आणि कुंभकोणम येथे वेळ घालवला. २६ एप्रिल १९२० रोजी ते मरण पावले. हार्डी यांचे टिपण त्यांचा मृत्यू कुंभकोणम येथे असल्याचे म्हणते, तर शेषु अय्यर आणि रामचंद्र राव तो मद्रासचे उपनगर चेटपूट येथे झाल्याचे सांगतात.

शेवटचे पत्र मद्रास विद्यापीठातून १२ जानेवारी १९२० रोजीचे आहे. रामानुजन यांनी हार्डी यांना सांगितले की त्यांना “मॉक” थीटा फलने म्हणून संबोधलेली फलने सापडली आहेत, आणि सिद्धतांशिवाय किंवा व्याख्येशिवाय १७ उदाहरणे दिली. झागियर मोजतात: क्रम ३ ची चार, क्रम ५ ची दहा आणि क्रम ७ ची तीन. हार्डी म्हणतात की पत्र त्यांना फेब्रुवारी १९२० मध्ये पोहोचले आणि ते त्यांच्या मृत्यूच्या वार्तेसाठी “पूर्णपणे अप्रस्तुत” होते.

वॉटसन यांनी १९३५ च्या एका व्याख्यानात क्रम ३ च्या फलनांसाठी रामानुजन यांची विधाने सिद्ध केली. ही फलने नेमकी काय आहेत याची कोणाकडेही व्याख्या नव्हती. १९७६ च्या वसंतात जॉर्ज अँड्र्यूज यांनी ट्रिनिटीच्या रेन ग्रंथालयात, वॉटसन यांच्या वस्तूंतून तिथे पाठवलेली कागदांची पेटी उघडली आणि मॉक थीटा फलनांवरील रामानुजन यांची स्वतःची पाने शोधली, जसे रॉबर्ट श्नायडर यांच्या मुलाखती सांगतात. सँडर झ्वेगर्स यांच्या २००२ च्या उट्रेख्त येथील डॉक्टरेट प्रबंधाने, ज्याचे मार्गदर्शक झागियर आणि आर. डब्ल्यू. ब्रुगमन होते, दाखवले की रामानुजन यांची उदाहरणे तीन कुळांत बसतात. प्रत्येकाला एक विशिष्ट सुधारणा पद जोडल्याने मॉड्युलर फॉर्मच्या सममिती असलेले फलन मिळते, असा वर्ग ज्यासाठी रामानुजन यांचा शब्द “थीटा फलन” होता.

ट्रिनिटी कॉलेज म्हणते की रामानुजन यांनी आपल्या वह्यांत जवळजवळ ३,९०० निष्कर्ष संकलित केले, बहुतेक सर्वसमिका आणि समीकरणे, आणि त्यांपैकी बहुतेक बरोबर ठरले आहेत. भारत सरकारने डिसेंबर २०११ मध्ये त्यांचा जन्मदिवस, २२ डिसेंबर, राष्ट्रीय गणित दिवस म्हणून घोषित केला.