16 जनवरी 1913 की एक मद्रास क्लर्क की चिट्ठी में ऐसे सूत्र थे जिन्होंने जी. एच. हार्डी को हरा दिया, और 1920 की रामानुजन की आख़िरी चिट्ठी को समझाने वाले सिद्धांत के लिए 82 साल इंतज़ार करना पड़ा

श्रीनिवास रामानुजन मद्रास पोर्ट ट्रस्ट के लेखा विभाग में क्लर्क थे जब उन्होंने 16 जनवरी 1913 को कैम्ब्रिज के ट्रिनिटी कॉलेज के जी. एच. हार्डी को चिट्ठी लिखी। उन्होंने अपनी तनख़्वाह 20 पाउंड सालाना और उम्र क़रीब 23 बताई। हार्डी ने बाद में जो जन्मतिथि छापी, 22 दिसंबर 1887, उसके हिसाब से वे 25 के थे।

सात साल बाद वे 32 की उम्र में नहीं रहे। इस बीच वे रॉयल सोसाइटी और ट्रिनिटी की फ़ेलोशिप के लिए चुने गए, हार्डी के साथ मिलकर किसी पूर्ण संख्या के विभाजनों की गिनती का एक सूत्र लिख चुके थे, और एक आख़िरी चिट्ठी भेज चुके थे जिसके फलनों की ठीक-ठीक परिभाषा 2002 तक नहीं बनी। आगे का ज़्यादातर हिस्सा हार्डी के अपने लेखन, रॉयल सोसाइटी और ट्रिनिटी कॉलेज से आता है। जहाँ स्रोत असहमत हैं, पाठ में यह कहा गया है।

मद्रास से आया लिफ़ाफ़ा

रामानुजन की आवरण-चिट्ठी हार्डी के 1921 के श्रद्धांजलि-लेख में पूरी छपी है, जो 1927 के Collected Papers में दोबारा छपा। वह उनकी योग्यता से शुरू होती है: “मुझे विश्वविद्यालय की शिक्षा नहीं मिली, पर मैंने सामान्य स्कूली पाठ्यक्रम पूरा किया है।” आगे वे लिखते हैं “मैं अपने लिए एक नया रास्ता बना रहा हूँ”, और अंत एक निवेदन से करते हैं: “मैं ग़रीब हूँ, इसलिए अगर आपको यक़ीन हो कि इसमें कुछ मूल्यवान है, तो मैं चाहूँगा कि मेरे प्रमेय छपें।”

यह रास्ता 1903 में कुंभकोणम के गवर्नमेंट कॉलेज में शुरू हुआ था, जब एक दोस्त ने उनके लिए पुस्तकालय से कार की Synopsis of Pure Mathematics उधार ली। पी.वी. शेषु अय्यर और आर. रामचंद्र राव, मद्रास के वे दोस्त जिन्होंने उनका भारतीय जीवन-परिचय लिखा, कहते हैं “इसी किताब ने उनकी प्रतिभा को जगाया”। हार्डी जोड़ते हैं कि रामानुजन फ़र्स्ट एग्ज़ामिनेशन इन आर्ट्स, एक विश्वविद्यालयी परीक्षा, में फ़ेल हुए और दोबारा कभी नहीं बैठे।

उन्होंने कितना भेजा, यह इस पर निर्भर है कि कौन गिन रहा है। मद्रास का परिचय कहता है कि साथ के काग़ज़ों में सौ या उससे ज़्यादा प्रमेय थे। हार्डी ने बाद में रामानुजन की शुरुआती चिट्ठियों को मिलाकर क़रीब 120 प्रमेयों की बात लिखी। सी.पी. स्नो ने, हार्डी की A Mathematician’s Apology की भूमिका में कहानी दोहराते हुए, पहले पुलिंदे को सूत्रों के नौ पन्ने बताया।

हार्डी उनकी पहली कोशिश नहीं थे। सेंट एंड्रयूज़ विश्वविद्यालय का गणितीय जीवनी संग्रह मैकट्यूटर कहता है कि रामानुजन ने ई.डब्ल्यू. हॉब्सन और एच.एफ़. बेकर को भी लिखा था, और दोनों ने जवाब नहीं दिया।

वे सूत्र जिन्होंने हार्डी को हराया

हार्डी ने अपने पहले पढ़ने का वर्णन 1936 में हार्वर्ड के एक व्याख्यान में किया, जो उनकी 1940 की किताब में छपा। कुछ सूत्र उन्होंने पहचान लिए: एक लाप्लास का परिणाम था जिसे पहली बार ठीक से याकोबी ने सिद्ध किया, और दूसरा 1907 में एल.जे. रोजर्स के एक शोधपत्र में आया था। समाकल वे ख़ुद सिद्ध कर सके, “हालाँकि जितनी उम्मीद थी, उससे कहीं ज़्यादा मशक़्क़त से”।

सतत भिन्नों के तीन सूत्र, यानी वे भिन्न जिनके हर में अनंत तक और भिन्न चलते जाते हैं, अलग थे। हार्डी ने कहा कि उन्होंने “मुझे पूरी तरह हरा दिया”। वे आगे कहते हैं: “वे सच होने ही चाहिए, क्योंकि अगर वे सच न होते, तो किसी में उन्हें गढ़ने की कल्पना न होती।” डॉन ज़ागिएर, 2007 में लिखते हुए, कहते हैं कि हार्डी ने जे.ई. लिटलवुड के साथ रात बिताकर ख़ुद को यक़ीन दिलाया कि चिट्ठी किसी प्रतिभावान की है, धोखेबाज़ की नहीं। मैकट्यूटर के अनुसार हार्डी ने 8 फ़रवरी 1913 को जवाब दिया, यह कहते हुए कि वे “बेहद दिलचस्पी” ले रहे हैं और प्रमाण माँगते हुए।

कुछ दावे ग़लत थे। हार्डी ने 1921 में लिखा कि रामानुजन का अभाज्य संख्याओं पर भारतीय काम “निश्चित रूप से ग़लत” था, क्योंकि उनके तरीक़ों ने यह अनदेखा किया कि सम्मिश्र संख्याएँ ऐसे योगों पर क्या असर डालती हैं। एक श्रेणी के गुणांकों के आकार के बारे में एक दूसरे ग़लत कथन को हार्डी ने रामानुजन की अब तक की सबसे फलदायी भूलों में गिना, “क्योंकि अंत में उसी ने हमें विभाजनों पर हमारे सारे साझा काम तक पहुँचाया”। 1940 में हार्डी ने जो पंद्रह सूत्र छापे, उनमें वे कहते हैं कि बाक़ी सबको कोई न कोई सत्यापित कर चुका है, और जिन तीन ने उन्हें हराया था उन्हें रोजर्स और जी.एन. वॉटसन ने सिद्ध किया।

उन्हें जहाज़ पर चढ़ाने में एक साल

मद्रास कैम्ब्रिज से तेज़ निकला। पोर्ट ट्रस्ट के अध्यक्ष सर फ़्रांसिस स्प्रिंग ने रामानुजन का काम जी.टी. वॉकर को दिखाया, जो तब भारत में मौसम विभाग के प्रमुख और ट्रिनिटी के पूर्व फ़ेलो थे। वॉकर की 26 फ़रवरी 1913 की मद्रास विश्वविद्यालय को लिखी चिट्ठी से दो साल के लिए 75 रुपये महीने की शोध छात्रवृत्ति मिली। मद्रास का परिचय कहता है कि रामानुजन ने 1 मई 1913 को पोर्ट ट्रस्ट का दफ़्तर छोड़ा और “बाक़ी ज़िंदगी पेशेवर गणितज्ञ बने रहे”।

हार्डी उन्हें कैम्ब्रिज में चाहते थे। मद्रास के परिचय के अनुसार रामानुजन ने पहले जाति की हिचक के कारण मना कर दिया। हार्डी लिखते रहे, और 1914 की शुरुआत में उन्होंने ई.एच. नेविल से, जो मद्रास में व्याख्यान दे रहे ट्रिनिटी के एक फ़ेलो थे, इस बात को आगे बढ़ाने को कहा। नेविल के 28 जनवरी 1914 के ज्ञापन ने रामानुजन की प्रतिभा की खोज को “गणित की दुनिया में हमारे समय की सबसे दिलचस्प घटना” कहा। परिचय जोड़ता है कि आख़िरी बाधा उनकी माँ थीं, जो एक सपने के बाद मान गईं, जिसमें, उनके कहने के अनुसार, देवी नामगिरि ने उनसे बेटे के रास्ते में न आने को कहा। यह ब्योरा मद्रास के दोस्तों का बयान है और उनके कहे पर टिका है।

रामानुजन 17 मार्च 1914 को जहाज़ से रवाना हुए और अप्रैल में नेविल के साथ कैम्ब्रिज पहुँचे, हार्डी कहते हैं। उन्हें मद्रास से 250 पाउंड सालाना मिलते थे, जिनमें से 50 पाउंड परिवार को जाते थे, और ट्रिनिटी से 60 पाउंड की एक एग्ज़िबिशन छात्रवृत्ति। हार्डी ने लिखा कि इंग्लैंड में उन्होंने अपनी जाति के धार्मिक नियम “ऐसी कठोरता से जो भारतीयों के बीच बहुत ही असामान्य” थी, निभाए।

जिसने कॉशी का प्रमेय नहीं सुना था, उसे पढ़ाना

हार्डी के सामने एक समस्या थी जिसे उन्होंने 1921 में सीधे शब्दों में बयान किया। एक आदमी, जिसने ज़ेटा फलन का फलनात्मक समीकरण ख़ुद खोज निकाला था, और जिसके सतत भिन्नों के औपचारिक पक्ष के बर्ताव को हार्डी दुनिया के किसी भी गणितज्ञ से ऊपर मानते थे, फिर भी “दोहरे आवर्ती फलन या कॉशी के प्रमेय के बारे में कभी सुन ही नहीं पाया था”, जो सम्मिश्र संख्याओं का एक बुनियादी औज़ार है। हार्डी को डर था कि प्रमाण पर ज़्यादा ज़ोर रामानुजन का आत्मविश्वास तोड़ देगा। उन्होंने फिर भी कोशिश की, और लिखा कि “ज़ाहिर है मैंने उनसे उससे कहीं ज़्यादा सीखा जितना उन्होंने मुझसे सीखा”।

पहले विश्व युद्ध ने लिटलवुड को दूर कर दिया, इसलिए हार्डी शिक्षक बने रहे। के. श्रीनिवास राव की गिनती में रामानुजन ने इंग्लैंड में 21 शोधपत्र छपवाए, पाँच हार्डी के साथ। हार्डी की अपनी सूची दो साझा टिप्पणियाँ और जोड़ती है। उनमें से एक, जो 14 दिसंबर 1916 को लंदन मैथमैटिकल सोसाइटी में पढ़ी गई, ने सिद्ध किया कि लगभग हर संख्या n के क़रीब log log n अभाज्य गुणनखंड होते हैं। Apology में हार्डी ने लिखा कि “उनके साथ मेरा जुड़ाव”, यानी लिटलवुड और रामानुजन के साथ, “मेरे जीवन की निर्णायक घटना थी”।

रामानुजन का सबसे लंबा शोधपत्र, 1915 का, अकेले उनका था। उच्च संयुक्त संख्याएँ वे हैं जिनके भाजक किसी भी छोटी संख्या से ज़्यादा हों। बारह के छह भाजक हैं और साठ के बारह, और दोनों इसमें आती हैं। राव कहते हैं कि शोधपत्र 62 पन्नों का है और इसी के आधार पर रामानुजन को मार्च 1916 में कैम्ब्रिज की शोध द्वारा बी.ए. डिग्री मिली। हार्डी इसे “गणित के एक पिछवाड़े” का काम मानते थे पर असमिकाओं को सँभालने की उनकी प्रशंसा करते थे। मॉड्यूलर समीकरणों और π के सन्निकटनों पर उनके 1914 के शोधपत्र ने बीजगणितीय सन्निकटन दिए, जिनमें से दो को हार्डी नौ और आठ दशमलव स्थान तक सही बताकर उद्धृत करते हैं। केरल की परंपरा ने π के अनंत श्रेणी सूत्र सदियों पहले खोज लिए थे।

एक विभाजन सूत्र जो चार हज़ारवें हिस्से से चूका

किसी पूर्ण संख्या का विभाजन उसे छोटी पूर्ण संख्याओं के योग के रूप में लिखने का एक तरीक़ा है, क्रम की परवाह किए बिना। संख्या 4 के पाँच हैं: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 और 1+1+1+1। उन्हें गिनना जल्दी ही कठिन हो जाता है। मेजर पी.ए. मैकमोहन ने गिनती, जिसे p(n) लिखा जाता है, 200 तक की हर n के लिए सारणीबद्ध कर दी थी।

हार्डी और रामानुजन ने अपने सूत्र की घोषणा 2 जनवरी 1917 की तारीख़ के फ़्रेंच Comptes Rendus के एक नोट में की और पूरा रूप 1918 में Proceedings of the London Mathematical Society में छापा। उनके शोधपत्र ने श्रेणी के पहले छह पदों की तुलना मैकमोहन के सटीक मानों से की। n = 100 के लिए छह पदों ने 190,569,291.996 दिया, जबकि सटीक p(100) 190,569,292 है। n = 200 के लिए उन्होंने 3,972,999,029,388.004 दिया, जबकि सटीक मान 3,972,999,029,388 है। दोनों में त्रुटि चार हज़ारवें हिस्से की थी।

लेखकों ने एक कमी मानी। उन्होंने लिखा कि वे कभी यह सिद्ध नहीं कर पाए कि श्रेणी का योग ठीक p(n) है, “यहाँ तक कि यह भी नहीं कि वह अभिसारी है”। 1937 में डी.एच. लेहमर ने दिखाया कि उनकी अनंत श्रेणी अपसारी है, और हांस राडेमाखर ने एक बदली हुई श्रेणी छापी जो ठीक p(n) पर अभिसरित होती है, Proceedings of the National Academy of Sciences में। हार्डी ने राडेमाखर के बदलाव को “बहुत सौभाग्यपूर्ण” कहा। मैकमोहन की सारणी का अध्ययन करते हुए रामानुजन ने देखा कि p(5n+4) हमेशा 5 का, p(7n+5) 7 का और p(11n+6) 11 का गुणज दिखता है।

30 की उम्र में रॉयल सोसाइटी के फ़ेलो, और बीमार

राव के अनुसार रामानुजन का रॉयल सोसाइटी का प्रमाणपत्र 18 दिसंबर 1917 को जमा हुआ। हार्डी ने प्रस्ताव रखा और मैकमोहन ने समर्थन किया। हस्ताक्षर करने वालों में हॉब्सन और बेकर थे, वे दो गणितज्ञ जिन्होंने, मैकट्यूटर के बयान के अनुसार, 1913 में उनकी चिट्ठियों का जवाब नहीं दिया था।

चुने जाने की तारीख़ स्रोत के हिसाब से अलग है। मद्रास का परिचय और राव 28 फ़रवरी 1918 देते हैं, जबकि रॉयल सोसाइटी का अपना बयान कहता है कि उन्हें 2 मई 1918 को फ़ेलो बनाया गया। मद्रास का परिचय उन्हें चुने जाने वाला पहला भारतीय भी कहता है। सोसाइटी ख़ुद अर्दसीर कर्सेटजी को, जो 27 मई 1841 को चुने गए, अपना पहला भारतीय फ़ेलो बताती है। नोबेल फ़ाउंडेशन कहता है कि भौतिक विज्ञानी सी.वी. रमन 1924 में चुने गए।

ट्रिनिटी ने उन्हें अक्टूबर 1918 में छह साल की पुरस्कार फ़ेलोशिप के लिए चुना, जो मद्रास के परिचय के अनुसार बिना किसी ड्यूटी के क़रीब 250 पाउंड सालाना की थी। मद्रास विश्वविद्यालय को इसकी सूचना देते हुए हार्डी ने लिखा कि रामानुजन “वैज्ञानिक हैसियत और प्रतिष्ठा के साथ भारत लौटेंगे जो किसी भारतीय को पहले नहीं मिली”।

तब तक वे एक साल से बीमार थे। 1917 के वसंत से वे कैम्ब्रिज के एक नर्सिंग होम में थे और फिर वेल्स, मैटलॉक और लंदन के सैनिटोरियमों में, और हार्डी कहते हैं कि उनमें उल्लेखनीय सुधार शरद 1918 में ही आया। बीमारी क्या थी, यह तय नहीं है। डॉक्टरों ने दूसरी स्थितियों के साथ तपेदिक पर विचार किया, और मद्रास का परिचय तपेदिक की प्रवृत्ति की बात करता है। 1994 में डी.ए.बी. यंग ने Current Science में यकृत अमीबियासिस, यानी यकृत के एक परजीवी संक्रमण, की दलील दी, जैसा राव सार देते हैं।

पटनी की टैक्सी

अपने श्रद्धांजलि-लेख में और फिर 1940 के व्याख्यानों में हार्डी एक कहानी सुनाते हैं। वे लंदन के दक्षिण-पश्चिम में पटनी में बीमार पड़े रामानुजन से मिलने गए। रामानुजन की 11 जनवरी 1919 की मद्रास विश्वविद्यालय को लिखी अपनी चिट्ठी पर 2 कोलिनेट रोड, पटनी लिखा है। हार्डी ने लिखा कि वे “टैक्सी-कैब नंबर 1729 में सवार हुए थे” और टिप्पणी की कि यह संख्या उन्हें “काफ़ी नीरस” लगी। रामानुजन ने जवाब दिया: “नहीं, यह बहुत दिलचस्प संख्या है; यह सबसे छोटी संख्या है जिसे दो घनों के योग के रूप में दो अलग-अलग तरीक़ों से लिखा जा सकता है।”

दो तरीक़े 1³ + 12³ और 9³ + 10³ हैं, और दोनों 1729 बनते हैं। हार्डी ने फिर चौथी घातों के लिए यही सवाल पूछा। रामानुजन ने पल भर सोचा, बोले कि उन्हें कोई सीधा उदाहरण नहीं सूझता और माना कि पहली ऐसी संख्या बहुत बड़ी होगी। हार्डी मुलाक़ात की कोई तारीख़ नहीं देते, और कहानी सिर्फ़ उनसे आती है।

दोहराए जाने में कहानी बढ़ती गई है। स्नो की भूमिका हार्डी को एक रूखी शुरुआती पंक्ति देती है और रामानुजन को दोहराया हुआ “नहीं, हार्डी!”, जैसा जॉन बाएज़ उद्धृत करते हैं। केन ओनो और सारा ट्रेबैट-लेडर ध्यान दिलाते हैं कि रामानुजन को मौक़े पर गढ़ने की ज़रूरत नहीं थी। उनकी दूसरी नोटबुक, जो भारत छोड़ने से पहले लिखी गई, पहले ही 1729 को दो घनों के योग के रूप में दो तरीक़ों से सूचीबद्ध करती है। 1729 जैसी संख्या लिखना भी उसी स्थानीय-मान गिनती और शून्य पर टिका है जिसका वर्णन भारत ने दुनिया को शून्य दिया में है।

मद्रास लौटना, और आख़िरी चिट्ठी

मद्रास के परिचय के अनुसार रामानुजन 27 फ़रवरी 1919 को इंग्लैंड से रवाना हुए और 27 मार्च को बंबई पहुँचे। वे दुबले और पीले थे। उन्होंने कुछ समय मद्रास, कोडुमुडी और कुंभकोणम में बिताया, फिर जनवरी 1920 में इलाज के लिए मद्रास लौटे। 26 अप्रैल 1920 को उनकी मृत्यु हुई। हार्डी का श्रद्धांजलि-लेख उनकी मृत्यु कुंभकोणम में बताता है, जबकि शेषु अय्यर और रामचंद्र राव उसे चेटपेट में रखते हैं, जो मद्रास का एक उपनगर है।

आख़िरी चिट्ठी 12 जनवरी 1920 की है, मद्रास विश्वविद्यालय से। रामानुजन ने हार्डी को बताया कि उन्हें ऐसे फलन मिले हैं जिन्हें उन्होंने “मॉक” थीटा फलन कहा, और बिना प्रमाण या परिभाषा के 17 उदाहरण गिनाए। ज़ागिएर गिनते हैं: कोटि 3 के चार, कोटि 5 के दस और कोटि 7 के तीन। हार्डी कहते हैं कि चिट्ठी उन्हें फ़रवरी 1920 में मिली और वे “उनकी मृत्यु की ख़बर के लिए बिल्कुल तैयार नहीं थे”।

वॉटसन ने 1935 के एक व्याख्यान में कोटि 3 के फलनों के लिए रामानुजन के कथन सिद्ध किए। किसी के पास इसकी परिभाषा नहीं थी कि ये फलन असल में हैं क्या। 1976 के वसंत में जॉर्ज एंड्रयूज़ ने ट्रिनिटी के रेन पुस्तकालय में काग़ज़ों का एक बक्सा खोला, जो वॉटसन की विरासत से वहाँ भेजा गया था, और मॉक थीटा फलनों पर रामानुजन के अपने पन्ने पाए, जैसा रॉबर्ट श्नाइडर के साक्षात्कार बताते हैं। यूट्रेख़्त में सांडर ज़्वेगर्स की 2002 की डॉक्टरेट थीसिस ने, जिसे ज़ागिएर और आर.डब्ल्यू. ब्रुगमैन ने निर्देशित किया, दिखाया कि रामानुजन के उदाहरण तीन परिवारों में आते हैं। हर एक में एक ख़ास संशोधन पद जोड़ने से ऐसा फलन मिलता है जिसमें मॉड्यूलर रूप की सममितियाँ हैं, वह वर्ग जिसके लिए रामानुजन का शब्द “थीटा फलन” था।

ट्रिनिटी कॉलेज कहता है कि रामानुजन ने अपनी नोटबुकों में क़रीब 3,900 परिणाम संकलित किए, ज़्यादातर सर्वसमिकाएँ और समीकरण, और ज़्यादातर सही निकले हैं। भारत सरकार ने दिसंबर 2011 में उनके जन्मदिन, 22 दिसंबर, को राष्ट्रीय गणित दिवस घोषित किया।