La carta de un empleado de Madras del 16 de enero de 1913 traía fórmulas que derrotaron a G. H. Hardy, y la última carta de Ramanujan, de 1920, esperó 82 años a que una teoría la explicara

Srinivasa Ramanujan era empleado del departamento de contabilidad del Madras Port Trust cuando escribió a G. H. Hardy, del Trinity College de Cambridge, el 16 de enero de 1913. Dio su sueldo como 20 libras al año y su edad como unos 23 años. Según la fecha de nacimiento que Hardy imprimió más tarde, el 22 de diciembre de 1887, tenía 25.

Siete años después estaba muerto, a los 32. Entre medias había sido elegido para la Royal Society y para una beca del Trinity, había escrito con Hardy una fórmula para el número de particiones de un número entero y había enviado una última carta cuyas funciones no tuvieron una definición adecuada hasta 2002. La mayor parte de lo que sigue procede de los propios escritos de Hardy, de la Royal Society y del Trinity College. Donde las fuentes discrepan, el texto lo dice.

El sobre de Madras

La carta de presentación de Ramanujan está impresa completa en la nota necrológica de Hardy de 1921, reimpresa en los Collected Papers de 1927. Empieza con sus credenciales: “No he tenido educación universitaria, pero he cursado la escuela ordinaria.” Más adelante escribe “Estoy abriendo para mí un camino nuevo”, y termina con una petición: “Siendo pobre, si usted se convence de que hay algo de valor, me gustaría que mis teoremas se publicaran.”

El camino había empezado en 1903 en el Government College de Kumbakonam, cuando un amigo sacó de la biblioteca para él la Synopsis of Pure Mathematics de Carr. P. V. Seshu Aiyar y R. Ramachandra Rao, los amigos de Madras que escribieron su nota biográfica india, dicen: “fue este libro el que despertó su genio”. Hardy añade que Ramanujan suspendió el First Examination in Arts, un examen universitario, y no volvió a intentarlo.

Cuánto envió depende de quién cuente. La nota de Madras dice que los artículos adjuntos contenían cien teoremas o más. Hardy escribió más tarde de unos 120 teoremas en las primeras cartas de Ramanujan tomadas en conjunto. C. P. Snow, al recontar la historia en su prólogo a A Mathematician’s Apology de Hardy, puso el primer paquete en nueve páginas de fórmulas.

Hardy no fue su primer intento. MacTutor, el archivo de biografías matemáticas de la Universidad de St Andrews, dice que Ramanujan había escrito también a E. W. Hobson y a H. F. Baker, y ninguno respondió.

Las fórmulas que vencieron a Hardy

Hardy describió su primera lectura en una conferencia en Harvard en 1936, impresa en su libro de 1940. Algunas fórmulas las reconoció: una era un resultado de Laplace demostrado correctamente por primera vez por Jacobi, y otra aparecía en un artículo de L. J. Rogers de 1907. Las integrales pudo demostrarlas él mismo, “aunque con bastante más trabajo del que esperaba”.

Tres fórmulas sobre fracciones continuas, que son fracciones cuyos denominadores contienen más fracciones sin fin, eran distintas. Hardy dijo que lo “derrotaron por completo”. Siguió: “Tienen que ser verdaderas porque, si no lo fueran, nadie habría tenido la imaginación para inventarlas.” Don Zagier, escribiendo en 2007, dice que Hardy pasó la noche con J. E. Littlewood convenciéndose de que la carta venía de un genio y no de un fraude. Hardy respondió el 8 de febrero de 1913, informa MacTutor, diciendo que estaba “sumamente interesado” y pidiendo demostraciones.

Algunas de las afirmaciones eran erróneas. Hardy escribió en 1921 que el trabajo indio de Ramanujan sobre los números primos “era definitivamente erróneo”, porque sus métodos ignoraban lo que los números complejos hacen a esas sumas. Una segunda afirmación falsa, sobre el tamaño de los coeficientes de una serie de potencias, Hardy la llamó una de las más fecundas que Ramanujan hizo jamás, “puesto que terminó llevándonos a todo nuestro trabajo conjunto sobre particiones”. De las quince fórmulas que Hardy imprimió en 1940, dice que todas las demás habían sido verificadas desde entonces por alguien, y que Rogers y G. N. Watson demostraron las tres que lo vencieron.

Un año para subirlo al barco

Madras se movió más rápido que Cambridge. Sir Francis Spring, presidente del Port Trust, enseñó el trabajo de Ramanujan a G. T. Walker, entonces jefe del Departamento Meteorológico de India y antiguo miembro del Trinity. La carta de Walker del 26 de febrero de 1913 a la Universidad de Madras llevó a una beca de investigación de 75 rupias al mes durante dos años. La nota de Madras dice que Ramanujan dejó la oficina del Port Trust el 1 de mayo de 1913 y “siguió siendo, el resto de su vida, un matemático profesional”.

Hardy lo quería en Cambridge. Según la nota de Madras, Ramanujan primero declinó por escrúpulos de casta. Hardy siguió escribiendo, y a principios de 1914 pidió a E. H. Neville, miembro del Trinity que daba clases en Madras, que insistiera en el asunto. El memorándum de Neville del 28 de enero de 1914 llamó al descubrimiento del genio de Ramanujan “el acontecimiento más interesante de nuestro tiempo en el mundo matemático”. La nota añade que el último obstáculo era su madre, que accedió tras un sueño en el que, dijo, la diosa Namagiri le dijo que no se interpusiera en su camino. Ese detalle es el relato de los amigos de Madras y descansa en su palabra.

Ramanujan zarpó el 17 de marzo de 1914 y llegó a Cambridge en abril, en compañía de Neville, dice Hardy. Tenía 250 libras al año de Madras, de las cuales 50 iban a su familia, y una beca de 60 libras del Trinity. Hardy escribió que mantuvo en Inglaterra las observancias religiosas de su casta “con una severidad muy poco común” entre los indios de allí.

Enseñar a un hombre que no había oído hablar del teorema de Cauchy

Hardy se enfrentó a un problema que describió con claridad en 1921. Allí había un hombre que había hallado por sí mismo la ecuación funcional de la función zeta, y cuyo manejo de las fracciones continuas, en el aspecto formal, Hardy consideraba superior al de cualquier matemático del mundo, y que sin embargo “nunca había oído hablar de una función doblemente periódica ni del teorema de Cauchy”, una herramienta básica para los números complejos. Hardy temía que insistir demasiado en la demostración quebrara la confianza de Ramanujan. Lo intentó de todos modos, y escribió que “obviamente aprendí de él mucho más de lo que él aprendió de mí”.

La Primera Guerra Mundial se llevó a Littlewood, así que Hardy siguió siendo el maestro. Según la cuenta de K. Srinivasa Rao, Ramanujan publicó 21 artículos en Inglaterra, cinco de ellos con Hardy. La lista del propio Hardy añade dos notas conjuntas. Una, leída ante la London Mathematical Society el 14 de diciembre de 1916, demostró que casi todo número n tiene alrededor de log log n factores primos. En la Apology Hardy escribió que “mi asociación con ellos”, refiriéndose a Littlewood y a Ramanujan, “fue el acontecimiento decisivo de mi vida”.

El artículo más largo de Ramanujan, de 1915, fue solo suyo. Los números altamente compuestos son los que tienen más divisores que cualquier número menor. El doce tiene seis divisores y el sesenta tiene doce, y ambos cumplen. Rao dice que el artículo tiene 62 páginas y que Ramanujan recibió un BA de Cambridge por investigación en marzo de 1916 gracias a él. Hardy lo consideró un trabajo “en un remanso de las matemáticas”, pero admiró el manejo de las desigualdades. Su artículo de 1914 sobre ecuaciones modulares y aproximaciones a π dio aproximaciones algebraicas, dos de las cuales Hardy cita como correctas hasta nueve y ocho decimales. La escuela de Kerala había hallado series infinitas para π siglos antes.

Una fórmula de particiones que falló por cuatro milésimas

Una partición de un número entero es una manera de escribirlo como suma de enteros menores, sin tener en cuenta el orden. El número 4 tiene cinco: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1. Contarlas se vuelve difícil enseguida. El mayor P. A. MacMahon había tabulado la cuenta, escrita p(n), para todo n hasta 200.

Hardy y Ramanujan anunciaron su fórmula en una nota a los Comptes Rendus franceses fechada el 2 de enero de 1917 e imprimieron la versión completa en las Proceedings of the London Mathematical Society en 1918. Su artículo comparaba los seis primeros términos de la serie con los valores exactos de MacMahon. Para n = 100 los seis términos daban 190.569.291,996 frente a un p(100) exacto de 190.569.292. Para n = 200 daban 3.972.999.029.388,004 frente a 3.972.999.029.388. El error en ambos casos fue de cuatro milésimas.

Los autores admitieron una laguna. Nunca habían podido demostrar, escribieron, que la serie suma exactamente p(n), “ni siquiera que sea convergente”. En 1937 D. H. Lehmer mostró que su serie infinita diverge, y Hans Rademacher publicó, en las Proceedings of the National Academy of Sciences, una serie modificada que converge exactamente a p(n). Hardy llamó “muy afortunado” el cambio de Rademacher. Estudiando la tabla de MacMahon, Ramanujan notó que p(5n+4) parecía ser siempre múltiplo de 5, p(7n+5) de 7 y p(11n+6) de 11.

Miembro de la Royal Society a los 30 años, y enfermo

El certificado de la Royal Society para Ramanujan fue entregado el 18 de diciembre de 1917, según Rao. Hardy lo propuso y MacMahon lo secundó. Entre los firmantes estaban Hobson y Baker, los dos matemáticos que, según MacTutor, no habían contestado sus cartas en 1913.

La fecha de la elección difiere según la fuente. La nota de Madras y Rao dan el 28 de febrero de 1918, mientras que el propio relato de la Royal Society dice que fue nombrado Fellow el 2 de mayo de 1918. La nota de Madras lo llama también el primer indio elegido. La propia Sociedad nombra a Ardaseer Cursetjee, elegido el 27 de mayo de 1841, como su primer Fellow indio. La Fundación Nobel dice que el físico CV Raman fue elegido en 1924.

El Trinity lo eligió para una beca de premio de seis años en octubre de 1918, valorada en unas 250 libras al año y sin obligaciones, dice la nota de Madras. Al anunciarlo a la Universidad de Madras, Hardy escribió que Ramanujan “volverá a India con una posición científica y una reputación como ningún indio ha gozado antes”.

Para entonces llevaba un año enfermo. Desde la primavera de 1917 estuvo en una clínica de reposo en Cambridge y luego en sanatorios de Wells, Matlock y Londres, y Hardy dice que solo mejoró de forma notable en el otoño de 1918. Qué le pasaba es algo no resuelto. Los médicos consideraron la tuberculosis entre otras afecciones, y la nota de Madras habla de una tendencia tuberculosa. En 1994 D. A. B. Young defendió en Current Science la amebiasis hepática, una infección parasitaria del hígado, según la resume Rao.

El taxi en Putney

En su nota necrológica y de nuevo en las conferencias de 1940, Hardy cuenta una historia. Visitó a Ramanujan, que estaba enfermo en Putney, en el suroeste de Londres. La propia carta de Ramanujan del 11 de enero de 1919 a la Universidad de Madras lleva por encabezado 2 Colinette Road, Putney. Hardy escribió que “había viajado en el taxi número 1729” y comentó que el número le parecía “bastante soso”. Ramanujan respondió: “es un número muy interesante; es el menor número expresable como suma de dos cubos de dos maneras distintas.”

Las dos maneras son 1³ + 12³ y 9³ + 10³, y ambas dan 1729. Hardy preguntó entonces por el mismo problema con cuartas potencias. Ramanujan pensó un momento, dijo que no conocía ningún ejemplo evidente y supuso que el primer número así debía de ser muy grande. Hardy no da fecha de la visita, y la historia viene solo de él.

Las versiones posteriores han crecido. El prólogo de Snow da a Hardy una frase de apertura abrupta y a Ramanujan un “¡No, Hardy!” duplicado, como lo cita John Baez. Ken Ono y Sarah Trebat-Leder señalan que Ramanujan no necesitó improvisar. Su segundo cuaderno, escrito antes de salir de India, ya enumera 1729 como suma de dos cubos de dos maneras. Escribir siquiera un número como 1729 se apoya en el conteo posicional y el cero descritos en India dio al mundo el cero.

De vuelta a Madras, y la última carta

Ramanujan salió de Inglaterra el 27 de febrero de 1919 y llegó a Bombay el 27 de marzo, dice la nota de Madras. Estaba delgado y pálido. Pasó tiempo en Madras, en Kodumudi y en Kumbakonam antes de volver a Madras para tratarse en enero de 1920. Murió el 26 de abril de 1920. La nota de Hardy sitúa su muerte en Kumbakonam, mientras que Seshu Aiyar y Ramachandra Rao la sitúan en Chetput, un suburbio de Madras.

La última carta está fechada el 12 de enero de 1920, desde la Universidad de Madras. Ramanujan dijo a Hardy que había encontrado funciones a las que llamó funciones theta “falsas” (mock), y enumeró 17 ejemplos sin demostraciones ni definición. Zagier cuenta cuatro de orden 3, diez de orden 5 y tres de orden 7. Hardy dice que la carta le llegó en febrero de 1920 y que estaba “del todo desprevenido para la noticia de su muerte”.

Watson demostró las afirmaciones de Ramanujan para las funciones de orden 3 en una conferencia de 1935. Nadie tenía una definición de qué eran las funciones. En la primavera de 1976 George Andrews abrió una caja de papeles en la Wren Library del Trinity, enviada allí desde los efectos de Watson, y encontró las propias páginas de Ramanujan sobre las funciones theta falsas, como relatan las entrevistas de Robert Schneider. La tesis doctoral de Sander Zwegers de 2002 en Utrecht, dirigida por Zagier y R. W. Bruggeman, mostró que los ejemplos de Ramanujan se agrupan en tres familias. Sumando a cada una un término de corrección específico se obtiene una función con las simetrías de una forma modular, una clase para la cual la palabra de Ramanujan era “función theta”.

El Trinity College dice que Ramanujan recopiló casi 3.900 resultados en sus cuadernos, sobre todo identidades y ecuaciones, y que la mayoría han resultado correctos. El Gobierno de India declaró su cumpleaños, el 22 de diciembre, Día Nacional de las Matemáticas en diciembre de 2011.