1913 ஜனவரி 16 அன்று ஒரு மெட்ராஸ் எழுத்தரின் கடிதத்தில் இருந்த சூத்திரங்கள் ஜி. எச். ஹார்டியைத் தோற்கடித்தன, 1920 இல் ராமானுஜனின் கடைசிக் கடிதம் அதை விளக்கும் ஒரு கோட்பாட்டுக்காக 82 ஆண்டுகள் காத்திருந்தது

ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன் 1913 ஜனவரி 16 அன்று கேம்பிரிட்ஜ் டிரினிட்டி கல்லூரியின் ஜி. எச். ஹார்டிக்கு எழுதியபோது மெட்ராஸ் துறைமுக அறக்கட்டளையின் கணக்குத் துறையில் ஓர் எழுத்தராக இருந்தார். தன் சம்பளத்தை ஆண்டுக்கு £20 என்றும் வயதை சுமார் 23 என்றும் குறிப்பிட்டார். ஹார்டி பின்னர் அச்சிட்ட பிறந்த தேதியின்படி, 1887 டிசம்பர் 22, அவருக்கு வயது 25.

ஏழு ஆண்டுகள் கழித்து அவர் 32 வயதில் இறந்தார். இடைப்பட்ட காலத்தில் அவர் ராயல் சொசைட்டிக்கும் டிரினிட்டி ஃபெலோஷிப்புக்கும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார், ஹார்டியுடன் சேர்ந்து ஒரு முழு எண்ணின் பிரிப்புகளின் (பார்ட்டிஷன்) எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரத்தை எழுதினார், 2002 வரை சரியான வரையறை இல்லாத சார்புகளைக் கொண்ட ஒரு கடைசிக் கடிதத்தை அனுப்பினார். கீழே உள்ளவற்றில் பெரும்பாலானவை ஹார்டியின் சொந்த எழுத்துகள், ராயல் சொசைட்டி, டிரினிட்டி கல்லூரி ஆகியவற்றிலிருந்து வருகின்றன. ஆதாரங்கள் முரண்படும் இடங்களில் அதை உரை சொல்கிறது.

மெட்ராஸிலிருந்து வந்த உறை

ராமானுஜனின் முகப்புக் கடிதம் 1921 இல் ஹார்டி எழுதிய இரங்கல் குறிப்பில் முழுமையாக அச்சிடப்பட்டுள்ளது, அது 1927 இன் Collected Papers இல் மறுபதிப்பாகியுள்ளது. அது அவரது தகுதிகளுடன் தொடங்குகிறது: “எனக்குப் பல்கலைக்கழகக் கல்வி இல்லை, ஆனால் சாதாரணப் பள்ளிப் படிப்பை முடித்துள்ளேன்.” சற்றுக் கீழே “எனக்கென ஒரு புதிய பாதையை நான் வகுத்துக்கொண்டிருக்கிறேன்” என்று எழுதுகிறார், ஒரு வேண்டுகோளுடன் முடிக்கிறார்: “ஏழையாக இருப்பதால், எனது தேற்றங்களில் மதிப்புள்ள எதுவும் இருக்கிறது என்று உங்களுக்கு உறுதியானால், அவை வெளியிடப்பட வேண்டும் என்று விரும்புகிறேன்.”

அந்தப் பாதை 1903 இல் கும்பகோணம் அரசுக் கல்லூரியில் தொடங்கியது; ஒரு நண்பர் அவருக்காக நூலகத்திலிருந்து கார் எழுதிய Synopsis of Pure Mathematics நூலை இரவலாக எடுத்தார். அவரது இந்திய வாழ்க்கைக் குறிப்பை எழுதிய மெட்ராஸ் நண்பர்களான பி. வி. சேஷு ஐயரும் ஆர். ராமச்சந்திர ராவும், “அவரது மேதமையை எழுப்பியது இந்த நூல்தான்” என்கிறார்கள். ராமானுஜன் பல்கலைக்கழகத் தேர்வான முதல் கலைத் தேர்வில் தோல்வியடைந்து மீண்டும் முயலவே இல்லை என்று ஹார்டி சேர்க்கிறார்.

அவர் எவ்வளவு அனுப்பினார் என்பது யார் எண்ணுகிறார்கள் என்பதைப் பொறுத்தது. இணைக்கப்பட்ட தாள்களில் நூறு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தேற்றங்கள் இருந்தன என்று மெட்ராஸ் குறிப்பு சொல்கிறது. ராமானுஜனின் ஆரம்பக் கடிதங்களை ஒன்றாக எடுத்தால் சுமார் 120 தேற்றங்கள் என்று ஹார்டி பின்னர் எழுதினார். ஹார்டியின் A Mathematician’s Apology நூலின் முன்னுரையில் கதையை மீண்டும் சொல்லும் சி. பி. ஸ்னோ, முதல் கட்டில் ஒன்பது பக்க சூத்திரங்கள் இருந்தன என்று வைத்தார்.

ஹார்டி அவரது முதல் முயற்சி அல்ல. ராமானுஜன் இ. டபிள்யூ. ஹாப்சனுக்கும் ஹெச். எஃப். பேக்கருக்கும் கூட எழுதினார், இருவரும் பதிலளிக்கவில்லை என்று செயின்ட் ஆண்ட்ரூஸ் பல்கலைக்கழகத்தின் கணித வாழ்க்கை வரலாற்றுக் காப்பகமான மேக்டூட்டர் சொல்கிறது.

ஹார்டியைத் தோற்கடித்த சூத்திரங்கள்

தன் முதல் வாசிப்பை 1936 இல் ஹார்வர்டில் ஆற்றிய, 1940 நூலில் அச்சிடப்பட்ட ஒரு உரையில் ஹார்டி விவரித்தார். சில சூத்திரங்களை அவர் அடையாளம் கண்டார்: ஒன்று லாப்லாஸின் ஒரு முடிவு, அதை முறையாக முதலில் நிரூபித்தவர் ஜாகோபி; இன்னொன்று 1907 இல் எல். ஜே. ரோஜர்ஸின் ஒரு கட்டுரையில் வந்தது. தொகையீடுகளை அவரே நிரூபிக்க முடிந்தது, “நான் எதிர்பார்த்ததை விட மிக அதிகச் சிரமத்துடன் என்றாலும்.”

தொடர் பின்னங்கள், அதாவது முடிவில்லாமல் மேலும் பின்னங்களைத் தம் கீழ்ப்பகுதியில் கொண்ட பின்னங்கள், பற்றிய மூன்று சூத்திரங்கள் வேறுபட்டிருந்தன. அவை தன்னை “முற்றிலும் தோற்கடித்தன” என்றார் ஹார்டி. அவர் தொடர்ந்தார்: “அவை உண்மையாக இருந்தாக வேண்டும், ஏனெனில் உண்மையாக இல்லாவிட்டால் அவற்றைக் கற்பனை செய்யும் ஆற்றல் யாருக்கும் இருந்திருக்காது.” கடிதம் ஒரு மோசடிக்காரரிடமிருந்து அல்ல, ஒரு மேதையிடமிருந்து வந்தது என்று தன்னை நம்ப வைக்க ஹார்டி ஜே. இ. லிட்டில்வுட்டுடன் இரவைக் கழித்தார் என்று 2007 இல் எழுதும் டான் ஜாகியர் சொல்கிறார். ஹார்டி 1913 பிப்ரவரி 8 அன்று பதிலளித்தார், தான் “மிகவும் ஆர்வமாக” இருப்பதாகச் சொல்லி நிரூபணங்களைக் கேட்டார் என்று மேக்டூட்டர் தெரிவிக்கிறது.

சில கூற்றுகள் தவறாக இருந்தன. பகா எண்கள் பற்றிய ராமானுஜனின் இந்தியப் பணி “திட்டவட்டமாகத் தவறு” என்று ஹார்டி 1921 இல் எழுதினார், ஏனெனில் அவரது முறைகள் அத்தகைய கூட்டுத்தொகைகள் மீது கலப்பெண்கள் ஏற்படுத்தும் விளைவைப் புறக்கணித்தன. ஒரு அடுக்குத் தொடரின் கெழுக்களின் அளவு பற்றிய இரண்டாவது தவறான கூற்றை, ராமானுஜன் செய்த மிகவும் பலனளித்த கூற்றுகளில் ஒன்று என்று ஹார்டி அழைத்தார், “ஏனெனில் அது பிரிப்புகள் பற்றிய எங்கள் கூட்டுப் பணி அனைத்துக்கும் எங்களை இட்டுச் சென்றது.” 1940 இல் ஹார்டி அச்சிட்ட பதினைந்து சூத்திரங்களில், மற்ற அனைத்தும் அதன் பிறகு யாரோ ஒருவரால் சரிபார்க்கப்பட்டன என்கிறார், தன்னைத் தோற்கடித்த மூன்றையும் ரோஜர்ஸும் ஜி. என். வாட்சனும் நிரூபித்தனர்.

அவரைக் கப்பலில் ஏற்ற ஒரு வருடம்

கேம்பிரிட்ஜை விட மெட்ராஸ் வேகமாகச் செயல்பட்டது. துறைமுக அறக்கட்டளைத் தலைவரான சர் ஃபிரான்சிஸ் ஸ்பிரிங், ராமானுஜனின் பணியை அப்போது இந்திய வானிலைத் துறையின் தலைவராகவும் முன்னாள் டிரினிட்டி ஃபெலோவாகவும் இருந்த ஜி. டி. வாக்கரிடம் காட்டினார். மெட்ராஸ் பல்கலைக்கழகத்துக்கு வாக்கர் 1913 பிப்ரவரி 26 அன்று எழுதிய கடிதம், இரண்டு ஆண்டுகளுக்கு மாதம் ரூ 75 ஆராய்ச்சி உதவித்தொகைக்கு வழிவகுத்தது. ராமானுஜன் 1913 மே 1 அன்று துறைமுக அறக்கட்டளை அலுவலகத்தை விட்டு வெளியேறினார் என்றும் “வாழ்நாள் முழுவதும் ஒரு தொழில்முறைக் கணிதவியலாளராகவே இருந்தார்” என்றும் மெட்ராஸ் குறிப்பு சொல்கிறது.

ஹார்டி அவரை கேம்பிரிட்ஜில் வேண்டினார். மெட்ராஸ் குறிப்பின்படி, சாதிக் கட்டுப்பாடுகள் காரணமாக ராமானுஜன் முதலில் மறுத்தார். ஹார்டி தொடர்ந்து எழுதினார், 1914 தொடக்கத்தில், மெட்ராஸில் விரிவுரை ஆற்றிக்கொண்டிருந்த டிரினிட்டி ஃபெலோ இ. ஹெச். நெவிலை வலியுறுத்தச் சொன்னார். 1914 ஜனவரி 28 தேதியிட்ட நெவிலின் குறிப்பாணை, ராமானுஜனின் மேதமையின் கண்டுபிடிப்பை “கணித உலகில் நம் காலத்தின் மிகவும் சுவாரசியமான நிகழ்வு” என்று அழைத்தது. கடைசித் தடை அவரது தாய், அவர் ஒரு கனவுக்குப் பிறகு ஒப்புக்கொண்டார், அந்தக் கனவில் நாமகிரித் தேவி தன் மகனின் வழியில் நிற்க வேண்டாம் என்று சொன்னதாக அவர் கூறினார் என்று அந்தக் குறிப்பு சேர்க்கிறது. அந்த விவரம் மெட்ராஸ் நண்பர்களின் விவரிப்பு, அவர்கள் சொல்லின் மேல் நிற்கிறது.

ராமானுஜன் 1914 மார்ச் 17 அன்று கப்பலேறி ஏப்ரலில் நெவிலின் துணையுடன் கேம்பிரிட்ஜை அடைந்தார் என்று ஹார்டி சொல்கிறார். மெட்ராஸிலிருந்து ஆண்டுக்கு £250 அவருக்குக் கிடைத்தது, அதில் £50 அவரது குடும்பத்துக்குச் சென்றது, டிரினிட்டியிலிருந்து £60 உதவித்தொகையும் கிடைத்தது. இங்கிலாந்தில் தன் சாதியின் மதச் சடங்குகளை அங்குள்ள இந்தியர்களிடையே “மிக அசாதாரணக் கடுமையுடன்” அவர் கடைப்பிடித்தார் என்று ஹார்டி எழுதினார்.

காச்சியின் தேற்றத்தைக் கேள்விப்படாத ஒருவருக்குக் கற்பித்தல்

1921 இல் ஹார்டி எளிமையாக விவரித்த ஒரு பிரச்சினையை எதிர்கொண்டார். ஜீட்டா சார்பின் சார்புச் சமன்பாட்டைத் தானாகவே கண்டுபிடித்த, தொடர் பின்னங்களைக் கையாளும் திறன் முறைசார்ந்த பக்கத்தில் உலகின் எந்தக் கணிதவியலாளரையும் விட மேலானது என்று ஹார்டி நினைத்த ஒருவர், கலப்பெண்களுக்கான அடிப்படைக் கருவியான “இரட்டை-ஆவர்த்தனச் சார்பையோ காச்சியின் தேற்றத்தையோ கேள்விப்பட்டதே இல்லை.” நிரூபணத்தில் அதிகமாக வற்புறுத்தினால் ராமானுஜனின் தன்னம்பிக்கை உடைந்துவிடும் என்று ஹார்டி அஞ்சினார். அப்படியும் முயன்றார், “நான் அவரிடமிருந்து கற்றது அவர் என்னிடமிருந்து கற்றதை விட வெளிப்படையாக மிக அதிகம்” என்று எழுதினார்.

முதல் உலகப் போர் லிட்டில்வுட்டை அழைத்துச் சென்றது, அதனால் ஹார்டி ஆசிரியராகவே இருந்தார். கே. ஸ்ரீனிவாச ராவின் கணக்குப்படி ராமானுஜன் இங்கிலாந்தில் 21 கட்டுரைகளை வெளியிட்டார், அவற்றில் ஐந்து ஹார்டியுடன். ஹார்டியின் சொந்தப் பட்டியல் இரண்டு கூட்டுக் குறிப்புகளைச் சேர்க்கிறது. 1916 டிசம்பர் 14 அன்று லண்டன் கணிதச் சங்கத்தில் வாசிக்கப்பட்ட ஒன்று, கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு எண் n க்கும் சுமார் log log n பகா காரணிகள் உள்ளன என்று நிரூபித்தது. Apology இல் “அவர்களுடனான என் தொடர்பு”, அதாவது லிட்டில்வுட்டுடனும் ராமானுஜனுடனும், “என் வாழ்க்கையின் தீர்மானகரமான நிகழ்வு” என்று ஹார்டி எழுதினார்.

1915 இன் ராமானுஜனின் நீளமான கட்டுரை அவர் ஒருவருடையதே. மிகை-கூட்டு எண்கள் என்பவை தம்மை விடச் சிறிய எந்த எண்ணையும் விட அதிக வகுஎண்கள் கொண்டவை. பன்னிரண்டுக்கு ஆறு வகுஎண்களும் அறுபதுக்குப் பன்னிரண்டும் உள்ளன, இரண்டும் தகுதி பெறுகின்றன. அந்தக் கட்டுரை 62 பக்கங்கள் என்றும், அதன் பலத்தில் ராமானுஜன் 1916 மார்ச்சில் ஆராய்ச்சி மூலம் கேம்பிரிட்ஜ் BA பெற்றார் என்றும் ராவ் சொல்கிறார். அது “கணிதத்தின் ஒரு தேங்கிய பகுதியில்” ஆன பணி என்று ஹார்டி நினைத்தார், ஆனால் சமமின்மைகளைக் கையாண்ட விதத்தைப் பாராட்டினார். மட்டுச் சமன்பாடுகள், π இன் தோராயங்கள் பற்றிய அவரது 1914 கட்டுரை இயற்கணிதத் தோராயங்களைத் தந்தது, அவற்றில் இரண்டை ஒன்பது, எட்டு தசம இடங்கள் வரை சரி என்று ஹார்டி மேற்கோள் காட்டுகிறார். கேரளப் பள்ளி நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பே π க்கான முடிவிலாத் தொடர்களைக் கண்டுபிடித்திருந்தது.

ஆயிரத்தில் நான்கு பங்கு (0.004) அளவுக்குத் தவறிய ஒரு பிரிப்பு எண் சூத்திரம்

ஒரு முழு எண்ணின் பிரிப்பு என்பது வரிசையைப் புறக்கணித்து, அதைச் சிறிய முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதும் ஒரு வழி. எண் 4 க்கு ஐந்து உள்ளன: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1. அவற்றை எண்ணுவது வேகமாகக் கடினமாகிறது. மேஜர் பி. ஏ. மேக்மஹோன், p(n) என்று எழுதப்படும் அந்த எண்ணிக்கையை n = 200 வரை ஒவ்வொரு n க்கும் அட்டவணைப்படுத்தியிருந்தார்.

ஹார்டியும் ராமானுஜனும் தங்கள் சூத்திரத்தை 1917 ஜனவரி 2 தேதியிட்ட பிரெஞ்சு Comptes Rendus க்கான ஒரு குறிப்பில் அறிவித்து, முழு வடிவத்தை 1918 இல் Proceedings of the London Mathematical Society இல் அச்சிட்டனர். அவர்களது கட்டுரை தொடரின் முதல் ஆறு உறுப்புகளை மேக்மஹோனின் துல்லிய மதிப்புகளுடன் ஒப்பிட்டது. n = 100 க்கு ஆறு உறுப்புகள் 190,569,291.996 தந்தன, துல்லியமான p(100) 190,569,292. n = 200 க்கு அவை 3,972,999,029,388.004 தந்தன, துல்லியமானது 3,972,999,029,388. இரண்டிலும் பிழை 0.004.

ஆசிரியர்கள் ஒரு இடைவெளியை ஒப்புக்கொண்டனர். தொடர் p(n) க்கே சரியாகக் கூடுகிறது என்பதை, “ஒருங்குவது என்பதைக் கூட”, தங்களால் ஒருபோதும் நிரூபிக்க முடியவில்லை என்று எழுதினர். 1937 இல் டி. ஹெச். லெஹ்மர் அவர்களது முடிவிலாத் தொடர் விரிகிறது என்று காட்டினார், ஹான்ஸ் ராடமாக்கர் p(n) க்குத் துல்லியமாக ஒருங்கும் மாற்றப்பட்ட தொடரை Proceedings of the National Academy of Sciences இல் வெளியிட்டார். ராடமாக்கரின் மாற்றத்தை “மிகவும் அதிர்ஷ்டமானது” என்று ஹார்டி அழைத்தார். மேக்மஹோனின் அட்டவணையை ஆராய்ந்தபோது, p(5n+4) எப்போதும் 5 இன் மடங்காகவும், p(7n+5) 7 இன் மடங்காகவும், p(11n+6) 11 இன் மடங்காகவும் தோன்றுவதை ராமானுஜன் கவனித்தார்.

30 வயதில் ராயல் சொசைட்டி உறுப்பினர், நோயுடன்

ராமானுஜனுக்கான ராயல் சொசைட்டிச் சான்றிதழ் 1917 டிசம்பர் 18 அன்று ஒப்படைக்கப்பட்டது என்று ராவ் சொல்கிறார். ஹார்டி முன்மொழிந்தார், மேக்மஹோன் வழிமொழிந்தார். கையொப்பமிட்டவர்களில் ஹாப்சனும் பேக்கரும் இருந்தனர், மேக்டூட்டர் கணக்குப்படி, 1913 இல் அவரது கடிதங்களுக்குப் பதிலளிக்காத அதே இரு கணிதவியலாளர்கள்.

தேர்வு தேதி ஆதாரத்துக்கு ஆதாரம் மாறுகிறது. மெட்ராஸ் குறிப்பும் ராவும் 1918 பிப்ரவரி 28 என்கிறார்கள், ராயல் சொசைட்டியின் சொந்த விவரிப்பு அவர் 1918 மே 2 அன்று உறுப்பினராக்கப்பட்டார் என்கிறது. அவரைத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட முதல் இந்தியர் என்றும் மெட்ராஸ் குறிப்பு அழைக்கிறது. சொசைட்டியே 1841 மே 27 அன்று தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஆர்தாசீர் கர்செட்ஜியை தன் முதல் இந்திய உறுப்பினராகப் பெயரிடுகிறது. இயற்பியலாளர் சி.வி. ராமன் 1924 இல் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார் என்று நோபல் அறக்கட்டளை சொல்கிறது.

டிரினிட்டி அவரை 1918 அக்டோபரில் ஆறு ஆண்டு பரிசு ஃபெலோஷிப்புக்குத் தேர்ந்தெடுத்தது, ஆண்டுக்குச் சுமார் £250 மதிப்பு, எந்தக் கடமையும் இல்லாமல் என்று மெட்ராஸ் குறிப்பு சொல்கிறது. அதை மெட்ராஸ் பல்கலைக்கழகத்துக்கு அறிவிக்கும்போது, ராமானுஜன் “எந்த இந்தியரும் இதுவரை அனுபவித்திராத அறிவியல் நிலையும் புகழுடனும் இந்தியா திரும்புவார்” என்று ஹார்டி எழுதினார்.

அப்போது அவர் ஓராண்டாக நோயுற்றிருந்தார். 1917 வசந்தத்திலிருந்து அவர் கேம்பிரிட்ஜில் ஒரு சிகிச்சை இல்லத்திலும், பின்னர் வெல்ஸ், மாட்லாக், லண்டனில் உள்ள சானடோரியங்களிலும் இருந்தார், 1918 இலையுதிர்காலத்தில்தான் அவர் குறிப்பிடத்தக்க அளவு முன்னேறினார் என்று ஹார்டி சொல்கிறார். என்ன நோய் என்பது தீர்மானமாகவில்லை. மற்ற நிலைமைகளுடன் காசநோயையும் மருத்துவர்கள் பரிசீலித்தனர், மெட்ராஸ் குறிப்பு காசநோய்ப் போக்கைப் பற்றிப் பேசுகிறது. 1994 இல் டி. ஏ. பி. யங், ராவ் சுருக்குவது போல், Current Science இல் கல்லீரலின் ஒட்டுண்ணித் தொற்றான கல்லீரல் அமீபியாசிஸ் என்று வாதிட்டார்.

புட்னியில் டாக்சி

தன் இரங்கல் குறிப்பிலும் மீண்டும் 1940 உரைகளிலும் ஹார்டி ஒரு கதையைச் சொல்கிறார். தென்மேற்கு லண்டனில் உள்ள புட்னியில் நோயுற்றிருந்த ராமானுஜனை அவர் சந்திக்கச் சென்றார். 1919 ஜனவரி 11 அன்று மெட்ராஸ் பல்கலைக்கழகத்துக்கு ராமானுஜனின் சொந்தக் கடிதத்தின் தலைப்பு 2 கொலினெட் சாலை, புட்னி. தான் “டாக்சி எண் 1729 இல் வந்தேன்” என்றும், அந்த எண் தனக்கு “ஒரு மந்தமான எண்ணாகத்” தோன்றியது என்றும் ஹார்டி எழுதினார். ராமானுஜன் பதிலளித்தார்: “அது மிகச் சுவாரசியமான எண்; இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் இரண்டு கனங்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதக்கூடிய மிகச் சிறிய எண் அது.”

இரண்டு வழிகள் 1³ + 12³ மற்றும் 9³ + 10³, இரண்டும் 1729. அதே சிக்கலை நான்காம் அடுக்குகளுக்கு ஹார்டி கேட்டார். ராமானுஜன் ஒரு கணம் யோசித்து, தனக்கு வெளிப்படையான எடுத்துக்காட்டு தெரியாது என்றும், அத்தகைய முதல் எண் மிகப் பெரியதாக இருக்க வேண்டும் என்று கருதுவதாகவும் சொன்னார். அந்தச் சந்திப்புக்கு ஹார்டி தேதி தரவில்லை, கதை அவரிடமிருந்து மட்டுமே வருகிறது.

மறுபடியும் சொல்லப்படுவதில் கதை வளர்ந்துள்ளது. ஸ்னோவின் முன்னுரை ஹார்டிக்கு ஒரு திடீர்த் தொடக்க வரியையும் ராமானுஜனுக்கு இரட்டிப்பான “இல்லை, ஹார்டி!” என்பதையும் தருகிறது, ஜான் பேஸ் அதை மேற்கோள் காட்டுவது போல். ராமானுஜன் அந்த இடத்தில் சமாளிக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை என்று கென் ஓனோவும் சாரா ட்ரெபாட்-லீடரும் சுட்டிக்காட்டுகிறார்கள். இந்தியாவை விட்டுப் புறப்படுவதற்கு முன் எழுதப்பட்ட அவரது இரண்டாவது நோட்டுப்புத்தகம், 1729 ஐ இரண்டு கனங்களின் கூட்டுத்தொகையாக இரண்டு வழிகளில் ஏற்கெனவே பட்டியலிடுகிறது. 1729 போன்ற ஒரு எண்ணை எழுதுவதே, இந்தியா உலகுக்கு சுழியத்தைத் தந்தது கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்ட இட மதிப்பு எண்ணுமுறையையும் சுழியத்தையும் சார்ந்தது.

மெட்ராஸுக்கு வீடு திரும்புதலும் கடைசிக் கடிதமும்

ராமானுஜன் 1919 பிப்ரவரி 27 அன்று இங்கிலாந்தை விட்டுப் புறப்பட்டு மார்ச் 27 அன்று பம்பாயை அடைந்தார் என்று மெட்ராஸ் குறிப்பு சொல்கிறது. அவர் மெலிந்தும் வெளிறியும் இருந்தார். 1920 ஜனவரியில் சிகிச்சைக்காக மெட்ராஸுக்குத் திரும்பிச் செல்வதற்கு முன் மெட்ராஸ், கொடுமுடி, கும்பகோணத்தில் நேரம் செலவிட்டார். 1920 ஏப்ரல் 26 அன்று இறந்தார். ஹார்டியின் குறிப்பு அவரது மரணத்தைக் கும்பகோணத்தில் வைக்கிறது, சேஷு ஐயரும் ராமச்சந்திர ராவும் அதை மெட்ராஸின் ஒரு புறநகரான சேத்துப்பட்டில் வைக்கிறார்கள்.

கடைசிக் கடிதம் 1920 ஜனவரி 12 தேதியிட்டது, மெட்ராஸ் பல்கலைக்கழகத்திலிருந்து. தான் “போலி” தீட்டா சார்புகள் என்று அழைத்த சார்புகளைக் கண்டுபிடித்ததாக ராமானுஜன் ஹார்டிக்குச் சொன்னார், நிரூபணங்களோ வரையறையோ இல்லாமல் 17 எடுத்துக்காட்டுகளைப் பட்டியலிட்டார். ஜாகியர் மூன்றாம் வரிசையில் நான்கையும், ஐந்தாம் வரிசையில் பத்தையும், ஏழாம் வரிசையில் மூன்றையும் எண்ணுகிறார். கடிதம் 1920 பிப்ரவரியில் தன்னை வந்தடைந்தது என்றும், அவரது மரணச் செய்திக்கு தான் “முற்றிலும் தயாராக இல்லை” என்றும் ஹார்டி சொல்கிறார்.

மூன்றாம் வரிசைச் சார்புகளுக்கான ராமானுஜனின் கூற்றுகளை வாட்சன் 1935 இல் ஒரு உரையில் நிரூபித்தார். அந்தச் சார்புகள் என்ன என்பதற்கு யாரிடமும் வரையறை இல்லை. 1976 வசந்தத்தில் ஜார்ஜ் ஆண்ட்ரூஸ் டிரினிட்டியின் ரென் நூலகத்தில், வாட்சனின் உடைமைகளிலிருந்து அங்கு அனுப்பப்பட்ட ஒரு தாள் பெட்டியைத் திறந்து, போலி தீட்டா சார்புகள் பற்றிய ராமானுஜனின் சொந்தப் பக்கங்களைக் கண்டார் என்று ராபர்ட் ஷ்னைடரின் நேர்காணல்கள் விவரிக்கின்றன. ஜாகியர், ஆர். டபிள்யூ. புரூக்மன் மேற்பார்வையில் உட்ரெக்டில் சாண்டர் ஸ்வெகர்ஸ் 2002 இல் எழுதிய முனைவர் ஆய்வேடு, ராமானுஜனின் எடுத்துக்காட்டுகள் மூன்று குடும்பங்களில் அடங்குகின்றன என்று காட்டியது. ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு குறிப்பிட்ட திருத்தப் பகுதியைச் சேர்த்தால், ஒரு மட்டுப் படிவத்தின் சமச்சீர்கள் கொண்ட ஒரு சார்பு கிடைக்கிறது; அந்த வகுப்புக்கு ராமானுஜனின் சொல் “தீட்டா சார்பு”.

ராமானுஜன் தன் நோட்டுப்புத்தகங்களில் கிட்டத்தட்ட 3,900 முடிவுகளைத் தொகுத்தார் என்றும், அவை பெரும்பாலும் சர்வசமன்பாடுகளும் சமன்பாடுகளும் என்றும், அவற்றில் பெரும்பாலானவை சரியானவை என்று நிரூபணமாகியுள்ளன என்றும் டிரினிட்டி கல்லூரி சொல்கிறது. அவரது பிறந்தநாளான டிசம்பர் 22 ஐ 2011 டிசம்பரில் இந்திய அரசு தேசிய கணித நாளாக அறிவித்தது.