رسالة كاتب في مدراس بتاريخ 16 يناير 1913 حملت معادلات هزمت ج. هـ. هاردي، ورسالة رامانوجان الأخيرة عام 1920 انتظرت 82 سنة نظرية تفسّرها

كان سرينيفاسا رامانوجان كاتبا في قسم الحسابات بمؤسسة ميناء مدراس حين كتب إلى ج. هـ. هاردي من كلية ترينيتي بكامبريدج في 16 يناير 1913. وذكر راتبه 20 جنيها إسترلينيا في السنة وعمره نحو 23. وبتاريخ الميلاد الذي طبعه هاردي لاحقا، 22 ديسمبر 1887، كان عمره 25.

وبعد سبع سنوات مات عن 32 عاما. وفي ما بين ذلك انتُخب للجمعية الملكية ولزمالة في ترينيتي، وكتب مع هاردي معادلة لعدد تجزئات العدد الصحيح، وأرسل رسالة أخيرة لم يكن لدوالّها تعريف سليم حتى عام 2002. ومعظم ما يلي مأخوذ من كتابات هاردي نفسه ومن الجمعية الملكية وكلية ترينيتي. وحيثما تختلف المصادر، يقول النص ذلك.

الظرف القادم من مدراس

رسالة رامانوجان المرافقة مطبوعة كاملة في نعي هاردي لعام 1921، المعاد طبعه في الأوراق المجمعة لعام 1927. وتبدأ بأوراق اعتماده: “لم أنل تعليما جامعيا لكنني اجتزت المقرر المدرسي العادي”. وفي موضع تالٍ يكتب “أشق لنفسي طريقا جديدا”، وينهي بطلب: “ولما كنت فقيرا، فإن اقتنعتم بأن في نظرياتي شيئا ذا قيمة، فأود أن تُنشر.”

وكان الطريق قد بدأ عام 1903 في الكلية الحكومية بكومباكونام، حين استعار له صديق من المكتبة كتاب كار موجز الرياضيات البحتة. ويقول ب. ف. شيشو أيير ور. رامتشاندرا راو، صديقاه في مدراس اللذان كتبا نعيه الهندي: “كان هذا الكتاب هو الذي أيقظ عبقريته”. ويضيف هاردي أن رامانوجان رسب في امتحان الفنون الأول، وهو امتحان جامعي، ولم يحاول ثانية.

وكم أرسل يتوقف على من يعدّ. فتقول مذكرة مدراس إن الأوراق المرفقة ضمت مئة نظرية أو أكثر. وكتب هاردي لاحقا عن نحو 120 نظرية في رسائل رامانوجان المبكرة مجتمعةً. أما سي. ب. سنو، وهو يعيد رواية القصة في تقديمه لكتاب هاردي اعتذار رياضي، فجعل الرزمة الأولى تسع صفحات من المعادلات.

ولم يكن هاردي محاولته الأولى. فتقول MacTutor، أرشيف السير الرياضية في جامعة سانت أندروز، إن رامانوجان كتب أيضا إلى إ. و. هوبسون وه. ف. بيكر، ولم يرد أي منهما.

المعادلات التي هزمت هاردي

وصف هاردي قراءته الأولى في محاضرة بهارفارد عام 1936، طُبعت في كتابه لعام 1940. وقد عرف بعض المعادلات: إحداها نتيجة للابلاس أثبتها ياكوبي بشكل سليم لأول مرة، وأخرى ظهرت في ورقة لـ ل. ج. روجرز عام 1907. أما التكاملات فاستطاع أن يبرهنها بنفسه، “وإن بمشقة تفوق ما توقعت بكثير”.

وكانت ثلاث معادلات في الكسور المستمرة، وهي كسور مقاماتها تحوي كسورا أخرى بلا نهاية، مختلفة. قال هاردي إنها “هزمتني تماما”. وتابع: “لا بد أنها صحيحة، لأنها لو لم تكن صحيحة لما كان لدى أحد من الخيال ما يكفي لاختراعها.” ويقول دون زاجير، في كتابة عام 2007، إن هاردي قضى الليل مع ج. إ. ليتلوود يقنع نفسه بأن الرسالة جاءت من عبقري لا من محتال. وردّ هاردي في 8 فبراير 1913، بحسب MacTutor، قائلا إنه “مهتم للغاية” وطالبا البراهين.

وكان بعض الادعاءات خاطئا. فكتب هاردي عام 1921 أن عمل رامانوجان الهندي في الأعداد الأولية “كان خاطئا بالتأكيد”، لأن أساليبه تجاهلت ما تفعله الأعداد المركبة بمجاميع كهذه. وعن بيان خاطئ ثان، في حجم معاملات متسلسلة قوى، وصفه هاردي بأنه من أخصب ما قاله رامانوجان، “إذ انتهى بنا إلى كل عملنا المشترك في التجزئات”. ومن بين المعادلات الخمس عشرة التي طبعها هاردي عام 1940، يقول إن بقيتها تحقق منها أحد منذئذ، وقد أثبت روجرز و ج. ن. واتسون الثلاث التي هزمته.

سنة لإركابه السفينة

كانت مدراس أسرع من كامبريدج. فقد عرض السير فرانسيس سبرينغ، رئيس مؤسسة الميناء، أعمال رامانوجان على ج. ت. ووكر، الذي كان حينها مدير إدارة الأرصاد في الهند وزميلا سابقا في ترينيتي. وأفضت رسالة ووكر في 26 فبراير 1913 إلى جامعة مدراس إلى منحة بحث قدرها 75 روبية في الشهر لمدة سنتين. وتقول مذكرة مدراس إن رامانوجان ترك مكتب مؤسسة الميناء في 1 مايو 1913 و”بقي حتى آخر حياته رياضيا محترفا”.

وأراد هاردي أن يراه في كامبريدج. وبحسب مذكرة مدراس، رفض رامانوجان أولا بسبب تحرجات الطائفة. وواصل هاردي الكتابة، وفي مطلع 1914 طلب من إ. هـ. نيفيل، زميل في ترينيتي يحاضر في مدراس، أن يلحّ في الأمر. وقد وصفت مذكرة نيفيل في 28 يناير 1914 اكتشاف عبقرية رامانوجان بأنه “أكثر الأحداث إثارة للاهتمام في زماننا في عالم الرياضيات”. وتضيف المذكرة أن آخر عقبة كانت أمه، التي وافقت بعد حلم قالت فيه إن الإلهة نامغيري أمرتها ألا تقف في طريقه. وهذه التفصيلة رواية أصدقاء مدراس وتقوم على كلمتهم.

أبحر رامانوجان في 17 مارس 1914 ووصل كامبريدج في أبريل، بصحبة نيفيل، يقول هاردي. وكان له 250 جنيها في السنة من مدراس، ذهب منها 50 إلى أسرته، ومنحة قدرها 60 جنيها من ترينيتي. وكتب هاردي أنه حافظ على الشعائر الدينية لطائفته في إنجلترا “بصرامة غير معتادة إطلاقا” بين الهنود هناك.

تعليم رجل لم يسمع بمبرهنة كوشي

واجه هاردي مشكلة وصفها بصراحة عام 1921. فهنا رجل اكتشف بنفسه المعادلة الدالية لدالة زيتا، وكان تعامله مع الكسور المستمرة، من الناحية الشكلية، في رأي هاردي فوق أي رياضي في العالم، لكنه “لم يسمع قط بدالة مزدوجة الدورية ولا بمبرهنة كوشي”، وهي أداة أساسية للأعداد المركبة. وخشي هاردي أن يكسر الإلحاح الشديد على البرهان ثقة رامانوجان. وحاول رغم ذلك، وكتب إنه “من الواضح أنني تعلمت منه أكثر بكثير مما تعلم مني”.

وأخذت الحرب العالمية الأولى ليتلوود، فبقي هاردي المعلّم. وبحسب عدّ ك. سرينيفاسا راو نشر رامانوجان 21 ورقة في إنجلترا، خمس منها مع هاردي. وتضيف قائمة هاردي نفسه مذكرتين مشتركتين. إحداهما، قُرئت أمام الجمعية الرياضية بلندن في 14 ديسمبر 1916، أثبتت أن كل عدد n تقريبا له نحو log log n عاملا أوليا. وكتب هاردي في الاعتذار أن “صلتي بهما”، يعني ليتلوود ورامانوجان، “كانت الحدث الحاسم في حياتي”.

وأطول أوراق رامانوجان، من 1915، كانت له وحده. الأعداد شديدة التركيب هي التي لها قواسم أكثر من أي عدد أصغر منها. وللعدد اثني عشر ستة قواسم وللعدد ستين اثنا عشر، وكلاهما مؤهل. ويقول راو إن الورقة تبلغ 62 صفحة وإن رامانوجان نال بكالوريوس كامبريدج بالبحث في مارس 1916 بفضلها. ورأى هاردي أنها عمل “في ركن منعزل من الرياضيات” لكنه أعجب بتعامله مع المتباينات. أما ورقته لعام 1914 عن المعادلات المعيارية والتقريبات للعدد π فقد أعطت تقريبات جبرية، اثنان منها يذكر هاردي أنهما صحيحان إلى تسع وثماني خانات عشرية. وكانت مدرسة كيرالا قد وجدت متسلسلات لانهائية للعدد π قبل ذلك بقرون.

معادلة تجزئات أخطأت بأربعة من الألف

تجزئة العدد الصحيح هي طريقة لكتابته مجموعا لأعداد صحيحة أصغر، دون اعتبار للترتيب. وللعدد 4 خمس منها: 4 و3+1 و2+2 و2+1+1 و1+1+1+1. والعدّ يصعب سريعا. وقد وضع الرائد ب. أ. ماكماهون جدولا للعدد، المكتوب p(n)، لكل n حتى 200.

أعلن هاردي ورامانوجان معادلتهما في مذكرة إلى Comptes Rendus الفرنسية مؤرخة في 2 يناير 1917 وطبعا النسخة الكاملة في وقائع الجمعية الرياضية بلندن عام 1918. وقارنت ورقتهما الحدود الستة الأولى من المتسلسلة بقيم ماكماهون الدقيقة. فعند n = 100 أعطت الحدود الستة 190,569,291.996 مقابل p(100) الدقيقة 190,569,292. وعند n = 200 أعطت 3,972,999,029,388.004 مقابل 3,972,999,029,388. وكان الخطأ في الحالتين أربعة من الألف.

وأقرّ المؤلفان بثغرة. فقد كتبا إنهما لم يستطيعا قط أن يثبتا أن المتسلسلة تجمع p(n) بدقة، “ولا حتى أنها متقاربة”. وفي 1937 بيّن د. هـ. ليمر أن متسلسلتهما اللانهائية متباعدة، ونشر هانس رادماخر متسلسلة معدَّلة تتقارب إلى p(n) بدقة، في وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم. ووصف هاردي تعديل رادماخر بأنه “موفق جدا”. وبدراسة جدول ماكماهون لاحظ رامانوجان أن p(5n+4) تبدو دائما من مضاعفات 5، وp(7n+5) من مضاعفات 7، وp(11n+6) من مضاعفات 11.

زميلا في الجمعية الملكية في الثلاثين، ومريضا

سُلّمت شهادة الجمعية الملكية لرامانوجان في 18 ديسمبر 1917، بحسب راو. اقترحه هاردي وثنّى ماكماهون. ومن الموقّعين هوبسون وبيكر، الرياضيان اللذان لم يردّا على رسائله عام 1913، بحسب MacTutor.

وتاريخ الانتخاب يختلف بحسب المصدر. فمذكرة مدراس وراو يعطيان 28 فبراير 1918، بينما يقول سجل الجمعية الملكية نفسها إنه صار زميلا في 2 مايو 1918. وتسميه مذكرة مدراس أيضا أول هندي ينتخب. أما الجمعية نفسها فتسمي أردشير كرسيتجي، المنتخب في 27 مايو 1841، أول زميل هندي. وتقول مؤسسة نوبل إن الفيزيائي سي. في. رامان انتُخب عام 1924.

وانتخبته ترينيتي لزمالة جائزة مدتها ست سنوات في أكتوبر 1918، قيمتها نحو 250 جنيها في السنة دون واجبات، تقول مذكرة مدراس. وكتب هاردي إلى جامعة مدراس معلنا ذلك: إن رامانوجان “سيعود إلى الهند بمكانة علمية وسمعة لم يحظَ بمثلهما هندي من قبل”.

وكان مريضا منذ سنة. فمنذ ربيع 1917 كان في دار رعاية بكامبريدج ثم في مصحات في ويلز (Wells) وماتلوك ولندن، ويقول هاردي إنه لم يتحسن بشكل ملحوظ إلا في خريف 1918. وطبيعة المرض غير محسومة. فقد نظر الأطباء في السل ضمن حالات أخرى، وتتحدث مذكرة مدراس عن ميل إلى السل. وفي 1994 دافع د. أ. ب. يونغ في Current Science عن داء الأميبا الكبدي، وهو عدوى طفيلية في الكبد، كما يلخصه راو.

سيارة الأجرة في بوتني

في نعيه وفي محاضرات 1940 مرة أخرى، يروي هاردي قصة واحدة. زار رامانوجان، الذي كان مريضا في بوتني جنوب غرب لندن. ورسالة رامانوجان نفسه في 11 يناير 1919 إلى جامعة مدراس عنوانها 2 كولينيت رود، بوتني. وكتب هاردي إنه “ركب سيارة أجرة رقم 1729” وعلّق بأن الرقم بدا له “مملا إلى حد ما”. فرد رامانوجان: “بل هو عدد مثير جدا للاهتمام، إنه أصغر عدد يمكن التعبير عنه مجموعا لمكعبين بطريقتين مختلفتين.”

والطريقتان هما 1³ + 12³ و9³ + 10³، وكلاهما يساوي 1729. ثم سأله هاردي عن المسألة نفسها للقوى الرابعة. فكر رامانوجان لحظة، وقال إنه لا يعرف مثالا واضحا وإنه يظن أن أول عدد كهذا لا بد أن يكون كبيرا جدا. ولا يعطي هاردي تاريخا للزيارة، والقصة تأتي منه وحده.

وقد تضخمت الروايات المعاد سردها. فتعطي مقدمة سنو لهاردي جملة افتتاحية فظّة ولرامانوجان “لا، يا هاردي!” مضاعفة، كما يقتبسها جون بايز. ويشير كين أونو وسارة تريبات-ليدر إلى أن رامانوجان لم يكن بحاجة إلى الارتجال. فدفتره الثاني، المكتوب قبل مغادرته الهند، يدرج 1729 فعلا مجموع مكعبين بطريقتين. وكتابة عدد مثل 1729 أصلا تعتمد على العدّ بالقيمة المكانية والصفر الموصوفين في الهند أعطت العالم الصفر.

العودة إلى مدراس، والرسالة الأخيرة

غادر رامانوجان إنجلترا في 27 فبراير 1919 ووصل بومباي في 27 مارس، تقول مذكرة مدراس. وكان نحيلا شاحبا. وقضى وقتا في مدراس وفي كودومودي وفي كومباكونام قبل أن يعود إلى مدراس للعلاج في يناير 1920. وتوفي في 26 أبريل 1920. وتجعل مذكرة هاردي وفاته في كومباكونام، بينما يضعها شيشو أيير ورامتشاندرا راو في تشيتبوت، ضاحية من مدراس.

والرسالة الأخيرة مؤرخة في 12 يناير 1920، من جامعة مدراس. أخبر رامانوجان هاردي أنه وجد دوالّ سماها دوال ثيتا “زائفة”، وعدّد 17 مثالا دون براهين ولا تعريف. ويحصي زاجير أربعا من الرتبة 3 وعشرا من الرتبة 5 وثلاثا من الرتبة 7. ويقول هاردي إن الرسالة وصلته في فبراير 1920 وإنه كان “غير مهيأ تماما لنبأ وفاته”.

وأثبت واتسون عبارات رامانوجان للدوال من الرتبة 3 في محاضرة عام 1935. ولم يكن لدى أحد تعريف لما هذه الدوال. وفي ربيع 1976 فتح جورج أندروز صندوق أوراق في مكتبة رين بترينيتي، أُرسل إليها من تركة واتسون، ووجد صفحات رامانوجان نفسه عن دوال الثيتا الزائفة، كما تروي مقابلات روبرت شنايدر. وبيّنت أطروحة ساندر زويغرز للدكتوراه عام 2002 في أوتريخت، بإشراف زاجير و ر. و. برغمان، أن أمثلة رامانوجان تقع في ثلاث عائلات. وبإضافة حد تصحيح محدد إلى كل منها تنتج دالة لها تناظرات الشكل المعياري، وهو صنف كانت كلمة رامانوجان له “دالة ثيتا”.

وتقول كلية ترينيتي إن رامانوجان دوّن في دفاتره نحو 3,900 نتيجة، معظمها متطابقات ومعادلات، وإن معظمها ثبتت صحته. وأعلنت حكومة الهند يوم ميلاده، 22 ديسمبر، اليوم الوطني للرياضيات في ديسمبر 2011.