约公元前800年的《鲍达亚那绳法经》陈述了矩形对角线的绳法规则，并给出精确到小数点后五位的2的平方根

《鲍达亚那绳法经》是一部火坛营造手册，史家把它定在公元前800年前后。书中用文字陈述：沿矩形对角线拉紧的绳子，所作出的面积等于两条边上的两个正方形之和。书中列出六组边长，可以用整数验证，从3和4到15和36。同一部文本还说，正方形的对角线是1，加上它的三分之一，再加上这三分之一的四分之一，再减去这四分之一的三十四分之一。算出来是577/408，即1.4142157，与2的平方根在小数点后第五位之前都相符。

一部关于绳子和木桩的手册

“绳法经”（Sulbasutra）一词的意思是“绳的经文”，这是梵文学者乔治·蒂博（George Thibaut）1875年刊印的译法，他当时是贝拿勒斯学院的教授。经（sutra）是简短的规则（波你尼的梵语语法，见另一篇文章，同样是一部简短规则之书），而绳法经是吠陀仪轨手册中讲解如何丈量和修建祭场与祭坛的部分。蒂博写道，这些文本证明印度人最早的几何学产生于祭祀的需要，并把鲍达亚那排在这些文本的首位，因为他的论述比其他几家更清楚、更完整。

圣安德鲁斯大学的MacTutor数学史网站把鲍达亚那的文本定在约公元前800年，摩那婆（Manava）的约公元前750年，阿帕斯坦巴（Apastamba）的约公元前600年，迦提亚那（Katyayana）的约公元前200年。它说，鲍达亚那的是我们所拥有的最古老的绳法经，不过这些作者只知道名字和大致年代。该网站的鲍达亚那传记写道：“我们对他的年代了解得还不够准确，甚至无法猜测他的寿命”；同一网站上伊恩·皮尔斯（Ian Pearce）的一章则把整个这一组定在公元前800年至前200年之间。

矩形的规则，以及六组边长

蒂博的校订本刊印了鲍达亚那相隔几节的两条规则。一条说，沿正方形对角线拉的绳所作的面积，是该正方形的两倍。另一条说，沿长方形（oblong，即矩形）对角线拉的绳，同时作出其长边和短边各自所作的两块面积。

后面的一条规则，按蒂博的译文，说这一点可以在边长为三和四、十二和五、十五和八、七和二十四、十二和三十五、十五和三十六的长方形中看到。蒂博指出，文本没有说出对角线，它们是5、13、17、25、37和39。他补充说，最后一组是第二组的三倍，所以这张表里只有五种不同的形状。达塔（Datta）在他1932年为加尔各答大学写的研究中，把这些编为第一章的第45、48和49节。

记录里有一处细节需要说明。MacTutor关于绳法经的页面对鲍达亚那只引了正方形的情形，而把一般的矩形陈述归给几个世纪之后的迦提亚那。蒂博和达塔都把矩形规则印在鲍达亚那的名下，而这六组边长就依赖于它。

绳子在地面上做什么

这些三元数组是实用的工具。在蒂博刊印的阿帕斯坦巴的规则里，绳子用来为大型苏摩祭划定场地。那块场地的西边长30个单位，称为pada，中央东西线长36，东边长24。工匠把一根54个单位的绳子系在36个单位那条线两端的木桩上，绳上从西端起12和15个单位处作有标记。

取绳上15处的标记，向南拉紧，就确定了一个角，因为这时绳子构成一个边长为15、36和39的三角形。这个三角形在15和36相接处是直角，而15的平方加36的平方等于1,521，即39的平方。据蒂博说，整个过程的依据是知道边长如此的三角形是直角三角形。一根有标记的绳子和几根木桩，就给了祭司一个直角。

七个半平方普鲁沙

火坛本身，即agni，是几何学真正变得苛刻的地方。蒂博数出砖共五层，每层200块，总共1,000块，砌法要求没有一块砖压在与它大小形状相同的砖上面。基本的祭坛大致模仿一只猎鹰的轮廓，由方砖砌成。经文给出它的面积是七个半平方普鲁沙（purusha），普鲁沙指一个人举起双臂站立时的高度。

其中四个方块构成鸟身。另外三个方块构成两翼和尾，翼和尾再略微加长，分别加长一个普鲁沙的五分之一和十分之一，使它更像一只鸟。仪轨文本列出了其他形状：翼弯尾展的猎鹰、鹭、三角形、十六根辐条的车轮、盆、龟。每一种的面积都必须与那只普通猎鹰相同，所以工匠要把矩形变成正方形，把正方形变成三角形，把正方形变成圆。

最难的规则出现在重建时。据蒂博说，祭祀者修建的第二座祭坛要在面积上增加一个平方普鲁沙，第三座再增加两个，而达塔写道，整体的形状不许改变。达塔称对角线定理对祭坛几何是不可缺少的，此外还有作一个等于另外两个正方形之和的正方形这类作图。鲍达亚那作一个与给定矩形等积的正方形的方法，MacTutor上也有，它靠切割和移动矩形来完成，最后用一根绕定点旋转的绳子收尾。

577/408，正方形的对角线

求2的平方根的规则很短，可以照蒂博的译法给出：把量度加上它的三分之一，再把这三分之一加上它自己的四分之一，减去这四分之一的三十四分之一。蒂博说，阿帕斯坦巴用同样的词句给出了这条规则，迦提亚那也给出了。规则里没有任何一处说它讲的是正方形的对角线。蒂博解释说，注疏对此毫无疑问：那个量度是边，增加后的量度是对角线，他称它与真值的吻合非常接近。据MacTutor的传记，这条规则在鲍达亚那第一章的第61节。

写出来，1加1/3加1/12是17/12，即1.41667，略微偏大。减去1/408，得577/408。2的平方根的真值是1.4142136，所以误差约为百万分之二。

作者们如何得到这个修正，是现代人的重构，不是文本自己说的。蒂博1875年提出，达塔1932年接着发挥：他们从边长为12的正方形出发，其对角线的平方是288个小方格。边长为17时是289，多了一格。从17个单位的正方形的两条边各削去三十四分之一单位宽的一条，就去掉了这一格，角上一小块重叠则留下最后的修正。鲍达亚那为什么要这样的精度，而祭坛并不需要，是MacTutor的传记提出而未作回答的问题。

圆，以及较弱的圆周率

同一部文本在圆上显得没有那么精确。MacTutor给出绳法经化圆为方的标准方法，是作一个边长为直径13/15的正方形，这意味着圆周率为676/225，即3.004。鲍达亚那的其他作图意味着900/289（3.114）和1156/361（3.202）。MacTutor说，这些数值都不特别准确，但用在祭坛上不会产生明显的误差。大约十三个世纪之后，公元499年，阿耶波多在《阿耶波多历算书》中把圆周率定为3.1416，桑加马格拉马的马达瓦（Madhava，约1340年至1425年）所代表的喀拉拉学派后来发现了圆周率的无穷级数，喀拉拉数学的叙述对此有说明。

更古老的泥板，以及绳法经没有说的

巴比伦的泥板更古老。收藏于哥伦比亚大学的普林顿322号（Plimpton 322），MacTutor把它定在公元前1800年至前1650年之间，不列颠哥伦比亚大学数学系定在约公元前1800年。它的各列似乎列出了勾股数组。耶鲁巴比伦藏品中的一块泥板YBC 7289，画着一个标出对角线的正方形，并给出2的平方根的六十进制值1;24,51,10，约为1.41421296。这比印度的数值更接近真值：其误差约为千万分之六，而印度的是百万分之二。纽约大学古代世界研究所把这块泥板定在公元前19世纪至前17世纪，并说它表明巴比伦的书吏知道这条定理。

学者们对这些证据的解读各不相同。MacTutor的绳法经页面说，有些史家认为印度作者抄用了巴比伦人已有的一个近似值。加利福尼亚大学的数学家亚伯拉罕·赛登伯格（Abraham Seidenberg）得出的结论是，巴比伦、希腊和印度的几何学源自一个共同的起源，其中祭坛营造与这条定理占有核心地位，这是MacTutor转载的讣告所说。达塔在早期印度文献中没有找到直接或间接提到这条定理的证明，而MacTutor明确指出绳法经不含证明。

蒂博1875年的论文说，是A. C. 伯内尔（A. C. Burnell）在他的梵文写本目录中最早提请人们注意这些文本，并引用他的话：婆罗门中几何学的最初萌芽，必须到仪轨手册的Sulva部分去寻找。蒂博补充说，他已经开始在贝拿勒斯学院的刊物《学者》（The Pandit）上发表鲍达亚那的绳法经及其注释和译文。