প্রায় খ্রিস্টপূর্ব ৮০০ সালের বৌধায়ন শুল্বসূত্র আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দড়ির নিয়মটি বলেছে আর ২-এর বর্গমূলের মান দিয়েছে পাঁচ দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ভুল

বৌধায়ন শুল্বসূত্র, যজ্ঞবেদি নির্মাণের একটি নির্দেশিকা যা ইতিহাসবিদেরা রাখেন প্রায় খ্রিস্টপূর্ব ৮০০ সালের কাছে, কথায় বলেছে যে আয়তক্ষেত্রের কর্ণ বরাবর টানা দড়ি তার দুই বাহুর উপর বর্গ দুটি যোগ করলে যা হয় তা তৈরি করে। এটি পূর্ণসংখ্যা দিয়ে যাচাই করা যায় এমন ছয় জোড়া বাহুর মাপ তালিকাভুক্ত করেছে, ৩ আর ৪ থেকে ১৫ আর ৩৬ পর্যন্ত। একই পাঠ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ দিয়েছে ১, যোগ তার এক-তৃতীয়াংশ, যোগ সেই তৃতীয়াংশের এক-চতুর্থাংশ, বিয়োগ সেই চতুর্থাংশের এক-চৌত্রিশাংশ বলে। এর হিসাব দাঁড়ায় ৫৭৭/৪০৮, বা ১.৪১৪২১৫৭, যা ২-এর বর্গমূলের সঙ্গে পঞ্চম দশমিক স্থান পর্যন্ত মেলে।

দড়ি আর খুঁটির এক নির্দেশিকা

শুল্বসূত্র শব্দটির অর্থ “দড়ির সূত্র”, সংস্কৃতজ্ঞ জর্জ থিবোর ১৮৭৫ সালে ছাপা অনুবাদে, যিনি তখন বেনারস কলেজের অধ্যাপক। সূত্র একটি ছোট নিয়ম (পাণিনির সংস্কৃত ব্যাকরণও, যা আরেকটি লেখায় আছে, ছোট নিয়মের একটি বই), আর শুল্বসূত্রগুলো বৈদিক ক্রিয়াকাণ্ডের নির্দেশিকার সেই অংশ যা বলে যজ্ঞভূমি আর বেদি কীভাবে মাপতে ও বানাতে হয়। থিবো লিখেছিলেন এই পাঠগুলো প্রমাণ করে ভারতীয়দের মধ্যে জ্যামিতির প্রথম সূচনা হয়েছিল যজ্ঞের প্রয়োজন থেকে, আর তিনি এগুলোর মধ্যে প্রথম স্থান দিয়েছিলেন বৌধায়নকে, অন্যদের চেয়ে স্পষ্ট ও পূর্ণাঙ্গ আলোচনার জন্য।

সেন্ট অ্যান্ড্রুজ বিশ্ববিদ্যালয়ের ম্যাকটিউটর গণিতের ইতিহাস বৌধায়নের পাঠের কাল ধরেছে প্রায় খ্রিস্টপূর্ব ৮০০, মানবের প্রায় খ্রিস্টপূর্ব ৭৫০, আপস্তম্বের প্রায় খ্রিস্টপূর্ব ৬০০ আর কাত্যায়নের প্রায় খ্রিস্টপূর্ব ২০০। বৌধায়নেরটি, তাদের কথায়, আমাদের হাতে থাকা প্রাচীনতম শুল্বসূত্র, যদিও লেখকদের জানা যায় শুধু নাম আর মোটামুটি যুগ দিয়ে। “তাঁর জীবনকালের আন্দাজ করার মতো যথেষ্ট নির্ভুল তারিখও আমাদের জানা নেই,” বলে তাদের বৌধায়ন জীবনী, আর একই সাইটে ইয়ান পিয়ার্সের একটি অধ্যায় পুরো গোষ্ঠীর কাল ধরেছে খ্রিস্টপূর্ব ৮০০ থেকে ২০০।

আয়তক্ষেত্রের নিয়ম, আর ছয় জোড়া বাহু

থিবোর সংস্করণে বৌধায়নের দুটি নিয়ম ছাপা আছে, কয়েকটি শ্লোকের ব্যবধানে। একটি বলে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বরাবর দড়ি এমন ক্ষেত্রফল তৈরি করে যা বর্গটির দ্বিগুণ। অন্যটি বলে, দীর্ঘচতুরস্রের, অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রের, কর্ণ বরাবর দড়ি সেই দুটি ক্ষেত্রফলই তৈরি করে যা তার দীর্ঘ বাহু আর হ্রস্ব বাহু আলাদাভাবে তৈরি করে।

পরের একটি নিয়ম, থিবোর অনুবাদে, বলে এটি দেখা যায় সেই দীর্ঘচতুরস্রে যার বাহু তিন আর চার, বারো আর পাঁচ, পনেরো আর আট, সাত আর চব্বিশ, বারো আর পঁয়ত্রিশ, এবং পনেরো আর ছত্রিশ। থিবো দেখিয়েছেন, পাঠ কর্ণগুলো উল্লেখ করেনি, যেগুলো ৫, ১৩, ১৭, ২৫, ৩৭ ও ৩৯। শেষ জোড়াটি, তিনি যোগ করেন, দ্বিতীয়টির তিনগুণ, তাই তালিকায় আছে পাঁচটি আলাদা আকার। কলকাতা বিশ্ববিদ্যালয়ের জন্য ১৯৩২ সালের গবেষণায় দত্ত এগুলোকে প্রথম অধ্যায়ের ৪৫, ৪৮ ও ৪৯ নম্বর শ্লোক বলে চিহ্নিত করেছেন।

নথির একটি খুঁটিনাটি জানিয়ে রাখা দরকার। ম্যাকটিউটরের শুল্বসূত্র পাতা বৌধায়নের নামে শুধু বর্গের রূপটি উদ্ধৃত করে এবং আয়তক্ষেত্রের সাধারণ বিবৃতির কৃতিত্ব দেয় কয়েক শতক পরের কাত্যায়নকে। থিবো ও দত্ত দুজনেই আয়তক্ষেত্রের নিয়মটি ছেপেছেন বৌধায়নের নামে, আর ছয় জোড়া বাহু নির্ভর করে তারই ওপর।

দড়ি মাটিতে যা করত

ত্রিভুজের এই সংখ্যাত্রয়গুলো ছিল কাজের যন্ত্র। থিবো যে আপস্তম্বের নিয়মগুলো ছেপেছেন সেগুলোতে দড়ি বড় সোম যজ্ঞের জন্য জমি চিহ্নিত করে। সেই ঘেরের পশ্চিম দিক ছিল ৩০ একক, যাদের বলা হত পদ, মাঝের পূর্ব-পশ্চিম রেখা ৩৬ আর পূর্ব দিক ২৪। নির্মাতা ৩৬ এককের রেখার দুই প্রান্তে খুঁটিতে বাঁধতেন ৫৪ এককের একটি দড়ি, যার গায়ে পশ্চিম প্রান্ত থেকে ১২ আর ১৫ এককে দাগ দেওয়া থাকত।

দড়িটিকে ১৫ নম্বর দাগে ধরে দক্ষিণ দিকে টান করলে একটি কোণ স্থির হয়, কারণ তখন দড়িটি ১৫, ৩৬ আর ৩৯ বাহুর একটি ত্রিভুজ গড়ে। সেই ত্রিভুজের সমকোণ হয় যেখানে ১৫ আর ৩৬ মেলে, আর ১৫-এর বর্গ যোগ ৩৬-এর বর্গ ১,৫২১, যা ৩৯-এর বর্গ। থিবোর মতে, পুরো প্রক্রিয়া দাঁড়িয়ে আছে এই জ্ঞানের ওপর যে ওই বাহুর ত্রিভুজ সমকোণী। একটি দাগ দেওয়া দড়ি আর কয়েকটি খুঁটি একজন যাজককে দিত একটি সমকোণ।

সাড়ে সাত বর্গ পুরুষ

বেদিটি নিজে, অগ্নি, সেখানে জ্যামিতি হয়ে ওঠে কঠিন। থিবো গুনেছেন ইটের পাঁচটি স্তর, প্রতি স্তরে ২০০টি ইট, মোট ১,০০০, এমনভাবে বসানো যে একই আকার ও গড়নের একটি ইটের ওপর আরেকটি পড়ে না। মূল বেদিটি রূপরেখায় মোটামুটি একটি বাজপাখির অনুকরণ, বর্গাকার ইটে তৈরি। সূত্রগুলো এর ক্ষেত্রফল দিয়েছে সাড়ে সাত বর্গ পুরুষ, যেখানে পুরুষ হল হাত তুলে দাঁড়ানো মানুষের উচ্চতা।

এর চারটি বর্গ পাখির শরীর গড়ে। আরও তিনটি দুই ডানা আর লেজ বানায়, আর ডানা ও লেজ খানিকটা বাড়ানো হয়, এক পুরুষের পঞ্চমাংশ আর দশমাংশ, যাতে সেগুলো আরও পাখির মতো দেখায়। ক্রিয়াকাণ্ডের পাঠে অন্য আকারের তালিকা আছে: বাঁকা ডানা আর ছড়ানো লেজের বাজপাখি, বক, ত্রিভুজ, ষোলো অরের রথচক্র, একটি গামলা, একটি কচ্ছপ। প্রতিটির ক্ষেত্রফল সাধারণ বাজপাখির সমান হতে হত, তাই নির্মাতাদের আয়তক্ষেত্রকে বর্গে, বর্গকে ত্রিভুজে আর বর্গকে বৃত্তে রূপান্তর করতে হত।

সবচেয়ে কঠিন নিয়ম এসেছিল পুনর্নির্মাণের সময়। থিবোর মতে, যজমানের তৈরি দ্বিতীয় বেদি ক্ষেত্রফলে এক বর্গ পুরুষ যোগ করত আর তৃতীয়টি যোগ করত আরও দুই, আর দত্ত লিখেছেন সামগ্রিক আকার বদলানো অনুমোদিত ছিল না। দত্ত কর্ণের উপপাদ্যকে বেদির জ্যামিতির জন্য অপরিহার্য বলেছেন, দুটি বর্গের যোগফলের সমান একটি বর্গ বানানোর মতো অঙ্কনের সঙ্গে। একটি আয়তক্ষেত্রের সমান বর্গ বৌধায়নের অঙ্কনও ম্যাকটিউটরে আছে, আয়তক্ষেত্র কেটে সরিয়ে বানানো এবং একটি বিন্দুর চারদিকে ঘোরানো দড়ি দিয়ে শেষ করা।

৫৭৭/৪০৮, বর্গের কর্ণ

২-এর বর্গমূলের নিয়মটি এত ছোট যে থিবো যেমন অনুবাদ করেছেন সেভাবেই দেওয়া যায়: মাপটিকে তার তৃতীয় অংশ দিয়ে বাড়াও, আর এই তৃতীয়াংশকে তার নিজের চতুর্থাংশ দিয়ে, সেই চতুর্থাংশের চৌত্রিশ ভাগের এক ভাগ কম করে। থিবো বলেন আপস্তম্ব নিয়মটি একই কথায় দিয়েছেন আর কাত্যায়নও দিয়েছেন। নিয়মে কোথাও বলা নেই এটি বর্গের কর্ণ সম্পর্কে। থিবো ব্যাখ্যা করেন, ভাষ্যগুলো সন্দেহ রাখে না যে মাপটি বাহু আর বাড়ানো মাপটি কর্ণ, এবং আসল মানের সঙ্গে মিলকে তিনি অত্যন্ত ঘনিষ্ঠ বলেছেন। ম্যাকটিউটরের জীবনী অনুযায়ী নিয়মটি আছে বৌধায়নের প্রথম অধ্যায়ের ৬১ নম্বর শ্লোকে।

লিখে দেখালে, ১ যোগ ১/৩ যোগ ১/১২ হয় ১৭/১২, যা ১.৪১৬৬৭ আর একটু বেশি। ১/৪০৮ বাদ দিলে থাকে ৫৭৭/৪০৮। ২-এর বর্গমূলের প্রকৃত মান ১.৪১৪২১৩৬, তাই ত্রুটি প্রায় দশ লক্ষে দুই ভাগ।

লেখকেরা সংশোধনটিতে কীভাবে পৌঁছেছিলেন তা আধুনিক পুনর্গঠন, পাঠে যা বলা আছে তা নয়। থিবো ১৮৭৫ সালে প্রস্তাব করেন, আর দত্ত ১৯৩২ সালে তা গ্রহণ করেন, যে তাঁরা শুরু করেছিলেন ১২ বাহুর একটি বর্গ দিয়ে, যার কর্ণের বর্গ ২৮৮ ছোট বর্গ। ১৭ বাহুতে হয় ২৮৯, একটি বেশি। ১৭ এককের বর্গের দুই ধার থেকে এক এককের চৌত্রিশ ভাগের এক ভাগ চওড়া একটি ফালি চেঁছে নিলে সেই এক বর্গ বাদ যায়, আর কোণে একটি ক্ষুদ্র অধিক্রমণ শেষ সংশোধনটি রেখে যায়। বেদির যখন এত নির্ভুলতার দরকার ছিল না, তখন বৌধায়ন কেন তা চেয়েছিলেন, ম্যাকটিউটরের জীবনী এই প্রশ্নটি তুলে খোলা রেখেছে।

বৃত্ত, আর পাইয়ের দুর্বলতর মান

একই পাঠ বৃত্তের ক্ষেত্রে কম নির্ভুলতা দেখায়। ম্যাকটিউটর বৃত্তকে বর্গ করার প্রামাণ্য শুল্বসূত্র পদ্ধতি দিয়েছে এমন এক বর্গ বলে যার বাহু ব্যাসের ১৩/১৫, যা থেকে আসে পাই ৬৭৬/২২৫ বা ৩.০০৪। বৌধায়নের অন্য অঙ্কনগুলো থেকে আসে ৯০০/২৮৯ (৩.১১৪) আর ১১৫৬/৩৬১ (৩.২০২)। এর কোনোটিই বিশেষ নির্ভুল নয়, বলে ম্যাকটিউটর, কিন্তু বেদিতে লক্ষ করার মতো ত্রুটি ঘটাত না। প্রায় তেরো শতক পরে, ৪৯৯ খ্রিস্টাব্দে, আর্যভট্ট আর্যভট্টীয়তে পাইকে ধরেন ৩.১৪১৬, আর সঙ্গমগ্রামের মাধবের (প্রায় ১৩৪০ থেকে ১৪২৫) কেরালা ধারা পরে পাইয়ের জন্য অসীম ধারা খুঁজে পায়, যেমন কেরালার গণিতের বিবরণ ব্যাখ্যা করেছে।

পুরনো ফলক, আর শুল্বসূত্র যা বলে না

ব্যাবিলনীয় মাটির ফলক আরও পুরনো। কলম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ে রাখা প্লিম্পটন ৩২২-এর কাল ম্যাকটিউটর ধরেছে খ্রিস্টপূর্ব ১৮০০ থেকে ১৬৫০-এর মধ্যে, আর ব্রিটিশ কলম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিত বিভাগ ধরেছে প্রায় খ্রিস্টপূর্ব ১৮০০। এর স্তম্ভগুলো পিথাগোরীয় ত্রয়ী তালিকাভুক্ত করেছে বলে মনে হয়। ইয়েল ব্যাবিলনীয় সংগ্রহের একটি ফলক, YBC 7289, দেখায় কর্ণ চিহ্নিত একটি বর্গ এবং ২-এর বর্গমূলের ষাট-ভিত্তিক মান ১;২৪,৫১,১০, প্রায় ১.৪১৪২১২৯৬। সেটি ভারতীয় সংখ্যাটির চেয়ে সত্যের কাছাকাছি: এর ত্রুটি প্রায় এক কোটিতে ছয় ভাগ, আর ভারতীয়টির দশ লক্ষে দুই। নিউ ইয়র্ক বিশ্ববিদ্যালয়ের প্রাচীন বিশ্ব অধ্যয়ন ইনস্টিটিউট ফলকটির কাল ধরেছে খ্রিস্টপূর্ব ১৯ থেকে ১৭ শতক এবং বলেছে এতে দেখা যায় ব্যাবিলনীয় লিপিকরেরা উপপাদ্যটি জানতেন।

পণ্ডিতেরা প্রমাণগুলো পড়েন নানাভাবে। ম্যাকটিউটরের শুল্বসূত্র পাতা বলে, কিছু ইতিহাসবিদ যুক্তি দেন ভারতীয় লেখকেরা ব্যাবিলনীয়দের হাতে থাকা একটি আন্দাজ নকল করেছিলেন। ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতবিদ আব্রাহাম সাইডেনবার্গ, ম্যাকটিউটরে পুনর্মুদ্রিত শোকবার্তা অনুযায়ী, সিদ্ধান্ত করেছিলেন যে ব্যাবিলনীয়, গ্রিক ও ভারতীয় জ্যামিতির উৎস এক সাধারণ মূল, যেখানে বেদি নির্মাণ আর উপপাদ্যটির কেন্দ্রীয় ভূমিকা ছিল। দত্ত আদি ভারতীয় সাহিত্যে উপপাদ্যটির প্রমাণের কোনো প্রত্যক্ষ বা পরোক্ষ উল্লেখ পাননি, আর ম্যাকটিউটর বলে শুল্বসূত্রে কোনো প্রমাণ নেই।

থিবোর ১৮৭৫ সালের প্রবন্ধ এই পাঠগুলোর দিকে প্রথম দৃষ্টি আকর্ষণের কৃতিত্ব দিয়েছে এ. সি. বার্নেলকে, তাঁর সংস্কৃত পাণ্ডুলিপির তালিকায়, তাঁর সেই মন্তব্য উদ্ধৃত করে যে ব্রাহ্মণদের মধ্যে জ্যামিতির আদিতম সূচনা খুঁজতে হবে ক্রিয়াকাণ্ডের নির্দেশিকার শুল্ব অংশে। থিবো যোগ করেন, তিনি বৌধায়নের শুল্বসূত্র ভাষ্য ও অনুবাদসহ বেনারস কলেজের পত্রিকা দ্য পণ্ডিত-এ প্রকাশ করতে শুরু করেছিলেন।