تنص سولباسوترا بودهايانا، نحو 800 ق.م، على قاعدة الحبل لقطر المستطيل، وتعطي الجذر التربيعي للعدد 2 صحيحا إلى خمس منازل عشرية

تنص سولباسوترا بودهايانا، وهي دليل لبناء مذابح النار يضعه المؤرخون نحو 800 ق.م، بالكلمات على أن الحبل الممدود على قطر المستطيل يصنع مجموع المربعين المقامين على ضلعيه. وتسرد ستة أزواج من أطوال الأضلاع يمكن فيها التحقق من ذلك بأعداد صحيحة، من 3 و4 إلى 15 و36. ويعطي النص نفسه قطر المربع بأنه 1، زائد ثلثه، زائد ربع هذا الثلث، ناقص جزء من أربعة وثلاثين من هذا الربع. وهذا يساوي 577/408، أي 1.4142157، وهو يوافق الجذر التربيعي للعدد 2 حتى المنزلة العشرية الخامسة.

دليل للحبال والأوتاد

كلمة سولباسوترا تعني «سوترات الحبل»، في الترجمة التي طبعها عام 1875 عالم السنسكريتية جورج تيبو، وكان حينها أستاذا في كلية بنارس. والسوترا قاعدة قصيرة (وقواعد بانيني النحوية السنسكريتية، التي يتناولها مقال آخر، كتاب قواعد قصيرة أيضا)، والسولباسوترات هي أقسام من أدلة الطقوس الفيدية تشرح كيف تُقاس أراضي القرابين ومذابحها وتُبنى. وكتب تيبو أن هذه النصوص تثبت أن أقدم هندسة عند الهنود نشأت من حاجات القربان، وأعطى بودهايانا المكان الأول بينها لمعالجته الأوضح والأوفى من غيره.

ويؤرخ موقع MacTutor لتاريخ الرياضيات في جامعة سانت أندروز نص بودهايانا بنحو 800 ق.م، ونص مانافا بنحو 750 ق.م، وأباستامبا بنحو 600 ق.م، وكاتيايانا بنحو 200 ق.م. ويقول إن نص بودهايانا أقدم سولباسوترا لدينا، وإن كان المؤلفون لا يُعرفون إلا بالاسم والعصر التقريبي. وتقول سيرة بودهايانا على الموقع: «لا نعرف تواريخه بدقة تكفي حتى لتخمين مدة حياته»، ويؤرخ فصل كتبه إيان بيرس على الموقع نفسه المجموعة كلها بين 800 و200 ق.م.

قاعدة المستطيل وستة أزواج من الأضلاع

تطبع طبعة تيبو قاعدتين لبودهايانا تفصل بينهما أبيات قليلة. تقول الأولى إن الحبل على قطر المربع يصنع مساحة ضعف مساحة المربع. وتقول الثانية إن الحبل على قطر المستطيل يصنع المساحتين معا اللتين يصنعهما ضلعه الطويل وضلعه القصير كلا على حدة.

وتقول قاعدة لاحقة، في ترجمة تيبو، إن هذا يُرى في مستطيلات أضلاعها ثلاثة وأربعة، واثنا عشر وخمسة، وخمسة عشر وثمانية، وسبعة وأربعة وعشرون، واثنا عشر وخمسة وثلاثون، وخمسة عشر وستة وثلاثون. ولا يذكر النص الأقطار، وهي 5 و13 و17 و25 و37 و39، كما يشير تيبو. ويضيف أن الزوج الأخير هو الثاني مضروبا في ثلاثة، فتضم القائمة خمسة أشكال مختلفة. ويرقّم داتا في دراسته عام 1932 لجامعة كلكتا هذه الأبيات 45 و48 و49 من الفصل الأول.

وثمة تفصيل في السجل يحتاج إلى تنبيه. فصفحة MacTutor عن السولباسوترات تقتبس الصيغة المربعة وحدها لبودهايانا، وتنسب إلى كاتيايانا، بعده بقرون، العبارة العامة عن المستطيل. أما تيبو وداتا فكلاهما يطبع قاعدة المستطيل باسم بودهايانا، وأزواج الأضلاع الستة تعتمد عليها.

ما فعله الحبل على الأرض

كانت الثلاثيات أدوات عمل. ففي قواعد من أباستامبا يطبعها تيبو يُعلّم الحبل الأرض لقرابين السوما الكبرى. وكان لذلك السياج ضلع غربي طوله 30 وحدة تسمى بادا، وخط أوسط من الشرق إلى الغرب طوله 36، وضلع شرقي 24. وكان البنّاء يربط حبلا طوله 54 وحدة بوتدين عند طرفي الخط ذي الـ36 وحدة، وعلى الحبل علامتان عند 12 و15 وحدة من الطرف الغربي.

وإمساك الحبل عند علامة الـ15 وشدّه نحو الجنوب يحدد ركنا، لأن الحبل يشكل حينئذ مثلثا أضلاعه 15 و36 و39. وفي هذا المثلث زاوية قائمة حيث يلتقي الضلعان 15 و36، ومجموع مربعي 15 و36 هو 1,521، وهو مربع 39. وبحسب تيبو، تقوم العملية كلها على معرفة أن المثلث بهذه الأضلاع قائم الزاوية. فحبل معلَّم وبضعة أوتاد أعطت الكاهن زاوية قائمة.

سبعة ونصف بوروشا مربعة

أما المذبح نفسه، أغني، فهو حيث تصير الهندسة مطلبا شاقا. فيعد تيبو خمس طبقات من الطوب، في كل طبقة 200 طوبة، أي 1,000 في المجموع، توضع بحيث لا تقع طوبة فوق أخرى من حجمها وشكلها. والمذبح الأساسي يحاكي تقريبا طائر صقر في محيطه، وهو مبني من طوب مربع. وتعطي السوترات مساحته بسبعة بوروشا مربعة ونصف، والبوروشا ارتفاع رجل واقف رافعا ذراعيه.

وتشكل أربعة من هذه المربعات جسم الطائر. وتشكل ثلاثة أخرى الجناحين والذيل، ثم يُطال الجناحان والذيل قليلا، بخُمس وعُشر بوروشا، ليبدوا أشبه بطائر. وتسرد نصوص الطقوس أشكالا أخرى: صقر بجناحين منحنيين وذيل منشور، ومالك الحزين، ومثلث، وعجلة عربة ذات ستة عشر شعاعا، وحوض، وسلحفاة. وكان على كل منها أن تساوي الصقر البسيط مساحة، فاضطر البنّاؤون إلى تحويل مستطيل إلى مربع، ومربع إلى مثلث، ومربع إلى دائرة.

وجاءت أصعب قاعدة مع إعادة البناء. فبحسب تيبو، كان المذبح الثاني الذي يبنيه المقدِّم للقربان يزيد مساحة بوروشا مربعة واحدة، والثالث يزيد اثنتين أخريين، ويكتب داتا أن الشكل العام لم يكن يُسمح بتغييره. ويصف داتا نظرية القطر بأنها لا غنى عنها لهندسة المذبح، إلى جانب إنشاءات مثل مربع يساوي مجموع مربعين آخرين. وإنشاء بودهايانا لمربع يساوي مستطيلا معلوما يرد في MacTutor أيضا، وهو مبني بقطع المستطيلات ونقلها ويُختم بحبل يُدار حول نقطة.

577/408، قطر المربع

قاعدة الجذر التربيعي للعدد 2 قصيرة بما يكفي لإيرادها كما يترجمها تيبو: زد القياس بثلثه، وهذا الثلث بربعه، ناقصا الجزء الرابع والثلاثين من ذلك الربع. ويقول تيبو إن أباستامبا يعطي القاعدة بالكلمات نفسها، وإن كاتيايانا يعطيها أيضا. ولا شيء في القاعدة يقول إنها تخص قطر مربع. أما الشروح، كما يوضح تيبو، فلا تترك شكا في أن القياس ضلع وأن القياس المزاد قطر، ويصف المطابقة مع القيمة الحقيقية بأنها قريبة جدا. والبيت 61 من الفصل الأول لبودهايانا هو الذي يحمل القاعدة، بحسب سيرته في MacTutor.

ومكتوبة بالأرقام: 1 زائد 1/3 زائد 1/12 يساوي 17/12، أي 1.41667، وهو أكبر قليلا من اللازم. وبطرح 1/408 يبقى 577/408. والقيمة الحقيقية للجذر التربيعي للعدد 2 هي 1.4142136، فالخطأ نحو جزأين في المليون.

وكيف وصل المؤلفون إلى التصحيح هو إعادة بناء حديثة لا شيء يقوله النص. فقد اقترح تيبو عام 1875، وأخذ به داتا عام 1932، أنهم بدأوا بمربع ضلعه 12، ومربع قطره يساوي 288 مربعا صغيرا. وضلع طوله 17 يعطي 289، أي واحدا زائدا. وكشط شريط عرضه جزء من أربعة وثلاثين من الوحدة من حافتين من المربع ذي الـ17 وحدة يزيل ذلك المربع الواحد، وتداخل صغير جدا عند الركن يترك التصحيح الأخير. ولماذا أراد بودهايانا هذه الدقة والمذابح لا تحتاج إليها سؤال تطرحه سيرته في MacTutor وتتركه مفتوحا.

الدوائر، والقيم الأضعف لـπ

يُظهر النص نفسه دقة أقل مع الدوائر. فيورد MacTutor الطريقة المعتادة في السولباسوترات لتربيع الدائرة بمربع طول ضلعه 13/15 من القطر، وهذا يعني قيمة لـπ هي 676/225، أي 3.004. وتقتضي إنشاءات أخرى عند بودهايانا 900/289 (3.114) و1156/361 (3.202). وليس أي منها دقيقا بوجه خاص، كما يقول MacTutor، لكنها لا تنتج أخطاء ملحوظة على مذبح. وبعد نحو ثلاثة عشر قرنا، في 499 م، وضع آريابهاتا قيمة π عند 3.1416 في «الآريابهاتيا»، ثم وجدت مدرسة كيرالا بقيادة مادهافا السانغاماغرامي (نحو 1340 إلى 1425) متسلسلات لانهائية لـπ، كما يشرح الحديث عن رياضيات كيرالا.

ألواح أقدم، وما لا تقوله السولباسوترات

الألواح الطينية البابلية أقدم. فلوح بليمبتون 322، المحفوظ في جامعة كولومبيا، يؤرخه MacTutor بين 1800 و1650 ق.م، ويؤرخه قسم الرياضيات في جامعة كولومبيا البريطانية بنحو 1800 ق.م. ويبدو أن أعمدته تسرد ثلاثيات فيثاغورية. ولوح في مجموعة ييل البابلية، YBC 7289، يُظهر مربعا مع قطريه معلَّمين وقيمة بالنظام الستيني هي 1;24,51,10 للجذر التربيعي للعدد 2، أي نحو 1.41421296. وهذا أقرب إلى الحقيقة من الرقم الهندي: خطؤه نحو ستة أجزاء في عشرة ملايين، مقابل اثنين في المليون. ويؤرخ معهد دراسة العالم القديم بجامعة نيويورك اللوح بالقرون من التاسع عشر إلى السابع عشر قبل الميلاد، ويقول إنه يبين أن الكتبة البابليين عرفوا النظرية.

ويقرأ الباحثون هذه الأدلة بطرق مختلفة. فصفحة MacTutor عن السولباسوترات تقول إن بعض المؤرخين يرون أن المؤلفين الهنود نقلوا تقريبا كان البابليون يملكونه من قبل. وانتهى أبراهام سيدنبرغ، عالم الرياضيات في جامعة كاليفورنيا، إلى أن الهندسة البابلية والإغريقية والهندية تعود إلى أصل مشترك كان لبناء المذابح والنظرية فيه دور مركزي، بحسب النعي المنشور في MacTutor. ولم يجد داتا ذكرا، مباشرا أو غير مباشر، لبرهان النظرية في الأدب الهندي المبكر، ويقول MacTutor إن السولباسوترات لا تحوي براهين.

وتنسب ورقة تيبو لعام 1875 إلى أ. ك. بورنل، في فهرسه للمخطوطات السنسكريتية، أنه أول من لفت الانتباه إلى هذه النصوص، مقتبسة ملاحظته أن أولى بدايات الهندسة عند البراهمة يجب البحث عنها في أجزاء السولفا من أدلة الطقوس. ويضيف تيبو أنه بدأ نشر سولباسوترا بودهايانا مع شرح وترجمة في «ذا بانديت»، مجلة كلية بنارس.