సుమారు క్రీ.పూ. 800 నాటి బౌధాయన శుల్బసూత్రం దీర్ఘచతురస్ర కర్ణానికి తాడు నియమాన్ని చెబుతుంది, 2 వర్గమూలాన్ని ఐదు దశాంశ స్థానాల వరకు సరిగ్గా ఇస్తుంది

సుమారు క్రీ.పూ. 800 నాటిదని చరిత్రకారులు భావించే, అగ్నివేదికలు నిర్మించడానికి రాసిన మార్గదర్శి బౌధాయన శుల్బసూత్రం, దీర్ఘచతురస్ర కర్ణం వెంట సాగదీసిన తాడు రెండు భుజాల చతురస్రాల మొత్తాన్ని చేస్తుందని మాటల్లో చెబుతుంది. ఇది పూర్ణ సంఖ్యలతో సరిచూడగలిగే ఆరు భుజాల జతలను, 3, 4 నుంచి 15, 36 వరకు, జాబితా చేస్తుంది. అదే పాఠం చతురస్ర కర్ణాన్ని 1, ప్లస్ ఒక మూడో వంతు, ప్లస్ ఆ మూడో వంతులో నాలుగో వంతు, మైనస్ ఆ నాలుగో వంతులో ముప్పై నాలుగో వంతు అని ఇస్తుంది. అది 577/408 లేదా 1.4142157 అవుతుంది, 2 వర్గమూలంతో ఐదో దశాంశ స్థానం వరకు సరిపోతుంది.

తాళ్లు, కర్రల మార్గదర్శి

శుల్బసూత్ర అంటే “తాడు సూత్రాలు” అని, 1875లో ముద్రించిన అనువాదంలో అప్పటి బెనారస్ కళాశాల ప్రొఫెసర్, సంస్కృత పండితుడు జార్జ్ థీబో రాశారు. సూత్రం అంటే చిన్న నియమం (పాణిని సంస్కృత వ్యాకరణం కూడా, మరో వ్యాసంలో ఉన్నది, చిన్న నియమాల గ్రంథమే), శుల్బసూత్రాలు యజ్ఞ భూములను, వేదికలను ఎలా కొలవాలో, నిర్మించాలో వివరించే వేద కర్మకాండ గ్రంథాల విభాగాలు. భారతీయుల్లో తొలి జ్యామితి యజ్ఞ అవసరాల నుంచి పుట్టిందని ఈ పాఠాలు రుజువు చేస్తాయని థీబో రాశారు, ఇతరుల కంటే స్పష్టమైన, సంపూర్ణమైన చర్చ కారణంగా వాటిలో మొదటి స్థానం బౌధాయనకు ఇచ్చారు.

సెయింట్ ఆండ్రూస్ విశ్వవిద్యాలయపు MacTutor గణిత చరిత్ర బౌధాయన పాఠాన్ని సుమారు క్రీ.పూ. 800కు, మానవ పాఠాన్ని సుమారు క్రీ.పూ. 750కు, ఆపస్తంబను సుమారు క్రీ.పూ. 600కు, కాత్యాయనను సుమారు క్రీ.పూ. 200కు చెందినవిగా నిర్ణయిస్తుంది. మనకు లభించిన శుల్బసూత్రాల్లో బౌధాయనదే పురాతనమని అది చెబుతుంది, రచయితలు పేర్లు, సుమారు కాలాల ద్వారానే తెలుసు. “ఆయన జీవిత కాలాన్ని ఊహించేంతగా కూడా మనకు ఆయన తేదీలు కచ్చితంగా తెలియవు” అని దాని బౌధాయన జీవిత చరిత్ర అంటుంది, అదే సైట్‌లో ఇయాన్ పియర్స్ రాసిన ఒక అధ్యాయం మొత్తం సమూహాన్ని క్రీ.పూ. 800 నుంచి 200 మధ్యకు చేరుస్తుంది.

దీర్ఘచతురస్ర నియమం, ఆరు భుజాల జతలు

థీబో సంచిక బౌధాయన రెండు నియమాలను కొన్ని శ్లోకాల తేడాతో ముద్రిస్తుంది. ఒకటి, చతురస్ర కర్ణం వెంట తాడు ఆ చతురస్రానికి రెట్టింపు వైశాల్యాన్ని చేస్తుందని చెబుతుంది. రెండోది, దీర్ఘచతురస్ర కర్ణం వెంట తాడు దాని పొడవైన భుజం, పొట్టి భుజం విడివిడిగా చేసే రెండు వైశాల్యాలను చేస్తుందని చెబుతుంది.

థీబో అనువాదంలో తర్వాతి నియమం, ఇది మూడు-నాలుగు, పన్నెండు-ఐదు, పదిహేను-ఎనిమిది, ఏడు-ఇరవై నాలుగు, పన్నెండు-ముప్పై ఐదు, పదిహేను-ముప్పై ఆరు భుజాలున్న దీర్ఘచతురస్రాల్లో కనిపిస్తుందని చెబుతుంది. కర్ణాలు 5, 13, 17, 25, 37, 39, వాటిని పాఠం చెప్పదని థీబో గమనిస్తారు. చివరి జత రెండో జతకు మూడు రెట్లు, కాబట్టి జాబితాలో ఐదు విభిన్న ఆకారాలు ఉన్నాయని ఆయన జోడిస్తారు. కలకత్తా విశ్వవిద్యాలయానికి 1932లో చేసిన అధ్యయనంలో దత్తా వీటిని మొదటి అధ్యాయంలోని 45, 48, 49 శ్లోకాలుగా లెక్కిస్తారు.

రికార్డులోని ఒక వివరాన్ని గుర్తు చేయాలి. MacTutor శుల్బసూత్రాల పేజీ బౌధాయనకు చతురస్ర రూపాన్ని మాత్రమే ఉటంకిస్తుంది, సాధారణ దీర్ఘచతురస్ర ప్రకటనను శతాబ్దాల తర్వాతి కాత్యాయనకు ఇస్తుంది. థీబో, దత్తా ఇద్దరూ దీర్ఘచతురస్ర నియమాన్ని బౌధాయన పేరుతో ముద్రిస్తారు, ఆరు భుజాల జతలు దానిపై ఆధారపడి ఉన్నాయి.

తాడు నేలపై ఏం చేసింది

ఈ త్రిపదులు పనిముట్లు. థీబో ముద్రించిన ఆపస్తంబ నియమాల్లో, తాడు గొప్ప సోమ యజ్ఞాల కోసం నేలను గుర్తిస్తుంది. ఆ ఆవరణలో పాదాలు అనే 30 యూనిట్ల పశ్చిమ వైపు, 36 యూనిట్ల మధ్య తూర్పు-పడమర రేఖ, 24 యూనిట్ల తూర్పు వైపు ఉండేవి. నిర్మాత 36 యూనిట్ల రేఖ రెండు చివరల కర్రలకు 54 యూనిట్ల తాడు కట్టేవాడు, తాడుపై పశ్చిమ చివర నుంచి 12, 15 యూనిట్ల వద్ద గుర్తులు ఉండేవి.

15 వద్ద గుర్తు ఉన్న తాడును బిగించి దక్షిణం వైపు లాగితే ఒక మూల స్థిరమవుతుంది, ఎందుకంటే అప్పుడు తాడు 15, 36, 39 భుజాల త్రిభుజం అవుతుంది. ఆ త్రిభుజానికి 15, 36 కలిసే చోట లంబకోణం ఉంది, 15 వర్గం ప్లస్ 36 వర్గం 1,521, అది 39 వర్గం. థీబో ప్రకారం ఈ ప్రక్రియ అంతా ఆ భుజాలున్న త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజమనే జ్ఞానంపై ఆధారపడి ఉంది. గుర్తులున్న ఒక తాడు, కొన్ని కర్రలు పూజారికి లంబ మూల ఇచ్చాయి.

ఏడున్నర చదరపు పురుషులు

వేదిక, అగ్ని, ఇక్కడే జ్యామితి కష్టంగా మారుతుంది. థీబో ఐదు ఇటుక పొరలను లెక్కిస్తారు, ప్రతి పొరలో 200 ఇటుకలు, అంటే మొత్తం 1,000, ఒకే పరిమాణం, రూపం గల ఇటుక మరో ఇటుకపై ఉండకుండా పేర్చాలి. మౌలిక వేదిక రూపురేఖల్లో డేగను సుమారుగా అనుకరిస్తుంది, చదరపు ఇటుకలతో కట్టాలి. సూత్రాలు దాని వైశాల్యాన్ని ఏడున్నర చదరపు పురుషులుగా ఇస్తాయి, పురుషుడు అంటే చేతులు పైకెత్తి నిలబడిన మనిషి ఎత్తు.

ఆ చతురస్రాల్లో నాలుగు పక్షి దేహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. మరో మూడు రెండు రెక్కలను, తోకను ఏర్పరుస్తాయి, రెక్కలను, తోకను పక్షి మాదిరి చేయడానికి ఒక పురుషుడిలో ఐదో వంతు, పదో వంతు చొప్పున కొద్దిగా పొడిగిస్తారు. కర్మకాండ పాఠాలు ఇతర ఆకారాలను జాబితా చేస్తాయి: వంపు రెక్కలు, విస్తరించిన తోక ఉన్న డేగ, కొంగ, త్రిభుజం, పదహారు చువ్వల రథ చక్రం, తొట్టి, తాబేలు. ప్రతిదీ సాధారణ డేగ వైశాల్యమే ఉండాలి, కాబట్టి నిర్మాతలు దీర్ఘచతురస్రాన్ని చతురస్రంగా, చతురస్రాన్ని త్రిభుజంగా, చతురస్రాన్ని వృత్తంగా మార్చాల్సి వచ్చేది.

పునర్నిర్మాణంతో కష్టమైన నియమం వచ్చింది. థీబో ప్రకారం యజమాని కట్టే రెండో వేదికకు ఒక చదరపు పురుషుడు, మూడో వేదికకు మరో రెండు చేర్చాలి, మొత్తం ఆకారం మారకూడదని దత్తా రాస్తారు. కర్ణ సిద్ధాంతాన్ని, రెండు చతురస్రాల మొత్తానికి సమానమైన చతురస్రం వంటి నిర్మాణాలతో పాటు, వేదిక జ్యామితికి తప్పనిసరి అని దత్తా అంటారు. ఇచ్చిన దీర్ఘచతురస్రానికి సమానమైన చతురస్రాన్ని నిర్మించే బౌధాయన పద్ధతి కూడా MacTutorలో ఉంది, దీర్ఘచతురస్రాలను కోసి జరిపి, ఒక బిందువు చుట్టూ తిప్పిన తాడుతో ముగిస్తారు.

577/408, చతురస్ర కర్ణం

2 వర్గమూలం నియమం థీబో అనువదించినట్లు ఇవ్వడానికి సరిపడా చిన్నది: కొలతను దాని మూడో భాగంతో పెంచండి, ఈ మూడో భాగాన్ని దాని నాలుగో భాగంతో, ఆ నాలుగో భాగంలో ముప్పై నాలుగో భాగం తగ్గించి. ఆపస్తంబ అదే మాటల్లో నియమాన్ని ఇస్తారని, కాత్యాయన కూడా ఇస్తారని థీబో అంటారు. ఇది చతురస్ర కర్ణానికి సంబంధించినదని నియమంలో ఏమీ చెప్పలేదు. కొలత భుజమని, పెంచిన కొలత కర్ణమని వ్యాఖ్యానాలు సందేహం లేకుండా చూపుతాయని థీబో వివరిస్తారు, నిజమైన విలువతో సరిపోలిక చాలా దగ్గరగా ఉందని అంటారు. MacTutor జీవిత చరిత్ర ప్రకారం, బౌధాయన మొదటి అధ్యాయంలోని 61వ శ్లోకంలో ఈ నియమం ఉంది.

రాసి చూస్తే, 1 ప్లస్ 1/3 ప్లస్ 1/12 అంటే 17/12, అది 1.41667, కొంచెం ఎక్కువ. 1/408 తీసేస్తే 577/408 మిగులుతుంది. 2 వర్గమూలం నిజమైన విలువ 1.4142136, కాబట్టి దోషం పది లక్షలకు సుమారు రెండు భాగాలు.

రచయితలు ఆ దిద్దుబాటుకు ఎలా వచ్చారన్నది ఆధునిక పునర్నిర్మాణం, పాఠం చెప్పేది కాదు. వారు 12 భుజం గల చతురస్రంతో మొదలుపెట్టారని, దాని కర్ణ వర్గం 288 చిన్న చతురస్రాలని థీబో 1875లో ప్రతిపాదించారు, దత్తా 1932లో స్వీకరించారు. 17 భుజం 289 ఇస్తుంది, ఒకటి ఎక్కువ. 17 యూనిట్ల చతురస్రం రెండు అంచుల నుంచి యూనిట్‌లో ముప్పై నాలుగో వంతు వెడల్పు గల పట్టీని తొలగిస్తే ఆ ఒక్క చతురస్రం పోతుంది, మూలలో చిన్న అతివ్యాప్తి చివరి దిద్దుబాటును మిగులుస్తుంది. వేదికలకు అంత కచ్చితత్వం అవసరం లేనప్పుడు బౌధాయన ఎందుకు కోరాడు అనేది MacTutor జీవిత చరిత్ర అడిగి తేల్చకుండా వదిలేసిన ప్రశ్న.

వృత్తాలు, పై యొక్క బలహీన విలువలు

వృత్తాలతో అదే పాఠం తక్కువ కచ్చితత్వాన్ని చూపుతుంది. వృత్తాన్ని చతురస్రం చేయడానికి సాధారణ శుల్బసూత్ర పద్ధతిని, వ్యాసంలో 13/15 భుజం గల చతురస్రంగా MacTutor ఇస్తుంది; దాని అర్థం పై విలువ 676/225, అంటే 3.004. బౌధాయనలోని ఇతర నిర్మాణాలు 900/289 (3.114), 1156/361 (3.202) సూచిస్తాయి. వీటిలో ఏదీ ప్రత్యేకంగా కచ్చితమైనది కాదని MacTutor అంటుంది, కానీ అవి వేదికపై గమనించదగిన దోషాలను చేయవు. సుమారు పదమూడు శతాబ్దాల తర్వాత, క్రీ.శ. 499లో, ఆర్యభట ఆర్యభటీయంలో పైను 3.1416గా నిర్ణయించారు, కేరళ గణితంపై కథనం వివరించినట్లు, సంగమగ్రామ మాధవుడి (సుమారు 1340 నుంచి 1425) కేరళ పాఠశాల తర్వాత పైకి అనంత శ్రేణులను కనుగొంది.

పాత మట్టి పలకలు, శుల్బసూత్రాలు చెప్పనివి

బాబిలోనియన్ మట్టి పలకలు పాతవి. కొలంబియా విశ్వవిద్యాలయంలో ఉన్న ప్లింప్టన్ 322ను MacTutor క్రీ.పూ. 1800 నుంచి 1650 మధ్యదిగా, బ్రిటిష్ కొలంబియా విశ్వవిద్యాలయ గణిత విభాగం సుమారు క్రీ.పూ. 1800 నాటిదిగా నిర్ణయిస్తాయి. దాని కాలమ్‌లు పైథాగరస్ త్రిపదులను జాబితా చేసినట్లు కనిపిస్తాయి. యేల్ బాబిలోనియన్ కలెక్షన్‌లో YBC 7289 పలక కర్ణాలు గుర్తించిన చతురస్రాన్ని, 2 వర్గమూలానికి 60 ఆధార విలువ 1;24,51,10 (సుమారు 1.41421296)ను చూపుతుంది. ఇది భారతీయ అంకె కంటే సత్యానికి దగ్గరగా ఉంది: దాని దోషం కోటికి సుమారు ఆరు భాగాలు, భారతీయ దానిది పది లక్షలకు రెండు. న్యూయార్క్ విశ్వవిద్యాలయపు ఇన్‌స్టిట్యూట్ ఫర్ ది స్టడీ ఆఫ్ ది ఏన్షియంట్ వరల్డ్ ఆ పలకను క్రీ.పూ. 19 నుంచి 17వ శతాబ్దాలకు చెందినదిగా నిర్ణయిస్తుంది, బాబిలోనియన్ లేఖకులకు సిద్ధాంతం తెలుసని అది చూపుతుందని అంటుంది.

పండితులు ఈ సాక్ష్యాన్ని వేర్వేరుగా చదువుతారు. భారతీయ రచయితలు బాబిలోనియన్లకు అప్పటికే ఉన్న ఉజ్జాయింపును అనుకరించారని కొందరు చరిత్రకారులు వాదిస్తారని MacTutor శుల్బసూత్ర పేజీ అంటుంది. కాలిఫోర్నియా విశ్వవిద్యాలయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అబ్రహం సీడెన్‌బర్గ్, MacTutorలో పునర్ముద్రించిన సంస్మరణ ప్రకారం, బాబిలోనియన్, గ్రీకు, భారతీయ జ్యామితి వేదిక నిర్మాణం, సిద్ధాంతం కేంద్ర పాత్ర పోషించిన ఒక ఉమ్మడి మూలం నుంచి వచ్చాయని నిర్ధారించారు. ప్రాచీన భారతీయ సాహిత్యంలో సిద్ధాంతానికి రుజువు గురించి ప్రత్యక్ష లేదా పరోక్ష ప్రస్తావన దత్తాకు కనిపించలేదు, శుల్బసూత్రాల్లో రుజువులు లేవని MacTutor చెబుతుంది.

ఈ పాఠాలపై మొదట దృష్టి సారించింది ఎ. సి. బర్నెల్ అని, సంస్కృత మాన్యుస్క్రిప్టుల కేటలాగ్‌లో, బ్రాహ్మణుల్లో జ్యామితి తొలి ఆరంభాలను కర్మకాండ గ్రంథాల శుల్బ భాగాల్లో వెతకాలన్న ఆయన వ్యాఖ్యను ఉటంకిస్తూ, థీబో 1875 పత్రం గుర్తిస్తుంది. బెనారస్ కళాశాల పత్రిక ది పండిట్‌లో బౌధాయన శుల్బసూత్రాన్ని వ్యాఖ్యానం, అనువాదంతో ప్రచురించడం ప్రారంభించానని థీబో జోడిస్తారు.