El Sulbasutra de Baudhayana, hacia el 800 a. C., enuncia la regla de la cuerda para la diagonal de un rectángulo y da la raíz cuadrada de 2 correcta hasta cinco decimales

El Sulbasutra de Baudhayana, un manual para construir altares de fuego que los historiadores sitúan hacia el 800 a. C., enuncia con palabras que la cuerda tendida a lo largo de la diagonal de un rectángulo produce los dos cuadrados de sus lados sumados. Enumera seis pares de longitudes de lados en los que esto puede comprobarse con números enteros, desde 3 y 4 hasta 15 y 36. El mismo texto da la diagonal de un cuadrado como 1, más un tercio, más la cuarta parte de ese tercio, menos la trigésima cuarta parte de esa cuarta parte. Eso equivale a 577/408, o 1,4142157, que coincide con la raíz cuadrada de 2 hasta el quinto decimal.

Un manual de cuerdas y postes

La palabra Sulbasutra significa “sutras de la cuerda”, en la traducción impresa en 1875 por el sanscritista George Thibaut, entonces profesor en el Benares College. Un sutra es una regla breve (la gramática sánscrita de Panini, tratada en otro artículo, es también un libro de reglas breves), y los Sulbasutras son las secciones de los manuales rituales védicos que explican cómo medir y construir los terrenos y altares sacrificiales. Thibaut escribió que estos textos demuestran que la geometría más antigua entre los indios surgió de las necesidades del sacrificio, y dio el primer lugar entre ellos a Baudhayana por un tratamiento más claro y más completo que el de los demás.

La historia de las matemáticas de MacTutor, de la Universidad de St Andrews, fecha el texto de Baudhayana hacia el 800 a. C., el de Manava hacia el 750 a. C., el de Apastamba hacia el 600 a. C. y el de Katyayana hacia el 200 a. C. El de Baudhayana, dice, es el Sulbasutra más antiguo que poseemos, aunque de los autores solo se conocen el nombre y la época aproximada. “No conocemos sus fechas con la precisión suficiente ni para adivinar la duración de su vida”, dice su biografía de Baudhayana, y un capítulo de Ian Pearce en el mismo sitio fecha todo el grupo entre 800 y 200 a. C.

La regla del rectángulo y seis pares de lados

La edición de Thibaut imprime dos reglas de Baudhayana separadas por unos pocos versos. Una dice que la cuerda a lo largo de la diagonal de un cuadrado produce un área doble que la del cuadrado. La otra dice que la cuerda a lo largo de la diagonal de un oblongo, es decir, un rectángulo, produce las dos áreas que su lado largo y su lado corto producen por separado.

Una regla posterior, en la traducción de Thibaut, dice que esto se ve en oblongos cuyos lados son tres y cuatro, doce y cinco, quince y ocho, siete y veinticuatro, doce y treinta y cinco, y quince y treinta y seis. El texto no enuncia las diagonales, que son 5, 13, 17, 25, 37 y 39, como señala Thibaut. El último par, añade, es el segundo multiplicado por tres, de modo que la lista contiene cinco formas distintas. Datta, en su estudio de 1932 para la Universidad de Calcuta, las numera como los versos 45, 48 y 49 del primer capítulo.

Hay un detalle del registro que conviene señalar. La página de MacTutor sobre los Sulbasutras cita solo la forma del cuadrado para Baudhayana y atribuye a Katyayana, siglos después, el enunciado general del rectángulo. Thibaut y Datta imprimen ambos la regla del rectángulo bajo el nombre de Baudhayana, y los seis pares de lados dependen de ella.

Qué hacía la cuerda sobre el terreno

Las ternas eran herramientas de trabajo. En reglas de Apastamba que imprime Thibaut, la cuerda marca el terreno para los grandes sacrificios del soma. Ese recinto tenía un lado oeste de 30 unidades llamadas padas, una línea central este-oeste de 36 y un lado este de 24. Un constructor ataba una cuerda de 54 unidades a postes en ambos extremos de la línea de 36 unidades, con marcas en la cuerda a 12 y 15 unidades del extremo occidental.

Tomar la cuerda por la marca de 15 y tensarla hacia el sur fija una esquina, porque entonces la cuerda forma un triángulo de lados 15, 36 y 39. Ese triángulo tiene un ángulo recto donde se unen el 15 y el 36, y 15 al cuadrado más 36 al cuadrado es 1521, el cuadrado de 39. Según Thibaut, todo el proceso descansa en saber que un triángulo con esos lados es rectángulo. Una cuerda marcada y unos pocos postes daban a un sacerdote una esquina en ángulo recto.

Siete y medio purushas cuadrados

El altar mismo, el agni, es donde la geometría se vuelve exigente. Thibaut cuenta cinco capas de ladrillos, cada capa de 200 ladrillos, es decir, 1000 en total, colocados de modo que ningún ladrillo quede sobre otro del mismo tamaño y forma. El altar básico imita a grandes rasgos un halcón en su contorno y se construye con ladrillos cuadrados. Los sutras dan su área como siete y medio purushas cuadrados, donde un purusha es la altura de un hombre de pie con los brazos alzados.

Cuatro de esos cuadrados forman el cuerpo del ave. Otros tres hacen las dos alas y la cola, y las alas y la cola se alargan luego un poco, en un quinto y un décimo de purusha, para que se parezcan más a un ave. Los textos rituales enumeran otras formas: un halcón de alas curvas y cola extendida, una garza, un triángulo, una rueda de carro de dieciséis radios, una tina, una tortuga. Cada una debía tener la misma área que el halcón simple, así que los constructores tenían que convertir un rectángulo en un cuadrado, un cuadrado en un triángulo y un cuadrado en un círculo.

La regla más difícil llegaba con la reconstrucción. Según Thibaut, el segundo altar que levantaba un oferente añadía un purusha cuadrado al área y el tercero añadía dos más, y Datta escribe que la forma general no podía cambiar. Datta llama indispensable el teorema de la diagonal para la geometría de los altares, junto con construcciones como la de un cuadrado igual a la suma de otros dos. La construcción de Baudhayana de un cuadrado igual a un rectángulo dado aparece también en MacTutor, hecha cortando y moviendo rectángulos y rematada con una cuerda que gira en torno a un punto.

577/408, la diagonal de un cuadrado

La regla de la raíz cuadrada de 2 es lo bastante corta como para darla como la vierte Thibaut: aumenta la medida en su tercera parte, y este tercio en su propia cuarta parte, menos la trigésima cuarta parte de esa cuarta. Thibaut dice que Apastamba da la regla con las mismas palabras y que Katyayana también la da. Nada en la regla dice que se refiera a la diagonal de un cuadrado. Los comentarios, explica Thibaut, no dejan duda de que la medida es un lado y la medida aumentada la diagonal, y él califica de muy cercana la coincidencia con el valor verdadero. El verso 61 del primer capítulo de Baudhayana contiene la regla, según la biografía de MacTutor.

Escrito por extenso, 1 más 1/3 más 1/12 es 17/12, que es 1,41667 y un poco excesivo. Quitar 1/408 deja 577/408. El valor verdadero de la raíz cuadrada de 2 es 1,4142136, así que el error es de unas dos partes por millón.

Cómo llegaron los autores a la corrección es una reconstrucción moderna, no algo que diga el texto. Thibaut propuso en 1875, y Datta retomó en 1932, que partieron de un cuadrado de lado 12, cuya diagonal al cuadrado son 288 cuadraditos. Un lado de 17 da 289, uno de más. Recortar una tira de una trigésima cuarta parte de unidad de ancho en dos bordes del cuadrado de 17 unidades quita ese cuadrado sobrante, y un diminuto solapamiento en la esquina deja la última corrección. Por qué Baudhayana quería tanta precisión, cuando los altares no la necesitaban, es una pregunta que plantea la biografía de MacTutor y deja abierta.

Círculos y los valores más débiles de pi

El mismo texto muestra menos exactitud con los círculos. MacTutor da el método habitual del Sulbasutra para cuadrar el círculo como un cuadrado cuyo lado es 13/15 del diámetro, lo que implica un pi de 676/225, o 3,004. Otras construcciones en Baudhayana implican 900/289 (3,114) y 1156/361 (3,202). Ninguna de estas es especialmente exacta, dice MacTutor, pero no producirían errores apreciables en un altar. Unos trece siglos después, en 499 d. C., Aryabhata fijó pi en 3,1416 en el Aryabhatiya, y la escuela de Kerala de Madhava de Sangamagrama (hacia 1340 a 1425) halló más tarde series infinitas para pi, como explica el relato de las matemáticas de Kerala.

Tablillas más antiguas, y lo que los Sulbasutras no dicen

Las tablillas de arcilla babilónicas son más antiguas. Plimpton 322, conservada en la Universidad de Columbia, la fecha MacTutor entre 1800 y 1650 a. C. y el departamento de matemáticas de la Universidad de la Columbia Británica hacia 1800 a. C. Sus columnas parecen enumerar ternas pitagóricas. Una tablilla de la Colección Babilónica de Yale, YBC 7289, muestra un cuadrado con sus diagonales marcadas y un valor en base 60 de 1;24,51,10 para la raíz cuadrada de 2, unos 1,41421296. Eso se acerca más a la verdad que la cifra india: su error es de unas seis partes en diez millones, frente a dos en un millón. El Instituto para el Estudio del Mundo Antiguo de la Universidad de Nueva York fecha la tablilla entre los siglos XIX y XVII a. C. y dice que muestra que los escribas babilonios conocían el teorema.

Los estudiosos leen esta evidencia de maneras distintas. La página de MacTutor sobre los Sulbasutras dice que algunos historiadores sostienen que los autores indios copiaron una aproximación que los babilonios ya tenían. Abraham Seidenberg, matemático de la Universidad de California, concluyó que la geometría babilónica, griega e india derivan de un origen común en el que la construcción de altares y el teorema desempeñaron un papel central, según el obituario reproducido en MacTutor. Datta no halló mención, directa ni indirecta, de una demostración del teorema en la literatura india antigua, y MacTutor afirma que los Sulbasutras no contienen demostraciones.

El artículo de Thibaut de 1875 reconoce a A. C. Burnell, en su catálogo de manuscritos sánscritos, el mérito de haber llamado primero la atención sobre estos textos, y cita su observación de que los primeros comienzos de la geometría entre los brahmanes deben buscarse en las partes Sulva de los manuales rituales. Thibaut añade que había empezado a publicar el Sulbasutra de Baudhayana con comentario y traducción en The Pandit, la revista del Benares College.