लगभग 800 ईसा पूर्व का बौधायन शुल्बसूत्र आयत के विकर्ण के लिए रस्सी का नियम बताता है और 2 का वर्गमूल पाँच दशमलव स्थानों तक सही देता है

अग्निवेदी बनाने की पुस्तिका बौधायन शुल्बसूत्र, जिसे इतिहासकार लगभग 800 ईसा पूर्व के आसपास रखते हैं, शब्दों में कहता है कि आयत के विकर्ण पर तानी गई रस्सी उसकी दोनों भुजाओं के वर्गों का जोड़ बनाती है। वह भुजाओं की लंबाई के छह ऐसे युग्म गिनाता है जहाँ इसे पूर्ण संख्याओं से जाँचा जा सकता है, 3 और 4 से लेकर 15 और 36 तक। यही ग्रंथ वर्ग का विकर्ण इस तरह देता है: 1, जमा उसका एक तिहाई, जमा उस तिहाई का एक चौथाई, घटा उस चौथाई का चौंतीसवाँ भाग। यह 577/408, यानी 1.4142157 निकलता है, जो 2 के वर्गमूल से पाँचवें दशमलव स्थान तक मेल खाता है।

रस्सियों और बाँसों की पुस्तिका

शुल्बसूत्र शब्द का अर्थ 1875 में संस्कृतविद जॉर्ज थीबो के छपे अनुवाद में, जो तब बनारस कॉलेज में प्राध्यापक थे, “रस्सी के सूत्र” है। सूत्र एक छोटा नियम है (पाणिनि का संस्कृत व्याकरण, जिसकी चर्चा एक अन्य लेख में है, भी छोटे नियमों की ही पुस्तक है), और शुल्बसूत्र वैदिक कर्मकांड-ग्रंथों के वे भाग हैं जो यज्ञभूमि और वेदियों को नापने और बनाने की विधि समझाते हैं। थीबो ने लिखा कि ये ग्रंथ सिद्ध करते हैं कि भारतीयों में प्राचीनतम ज्यामिति यज्ञ की ज़रूरतों से उपजी, और उन्होंने इनमें पहला स्थान बौधायन को दिया, क्योंकि उनका विवेचन औरों से अधिक स्पष्ट और पूर्ण है।

सेंट एंड्रयूज़ विश्वविद्यालय की मैकट्यूटर गणित-इतिहास साइट बौधायन के पाठ को लगभग 800 ईसा पूर्व, मानव को लगभग 750 ईसा पूर्व, आपस्तंब को लगभग 600 ईसा पूर्व और कात्यायन को लगभग 200 ईसा पूर्व का बताती है। उसके अनुसार बौधायन का शुल्बसूत्र हमारे पास मौजूद सबसे पुराना है, हालाँकि लेखक केवल नाम और मोटे काल से जाने जाते हैं। उसकी बौधायन की जीवनी कहती है, “हम उनकी तिथियाँ इतनी सटीक नहीं जानते कि उनके जीवनकाल का अंदाज़ा भी लगा सकें”, और उसी साइट पर इयान पियर्स का एक अध्याय पूरे समूह को 800 से 200 ईसा पूर्व के बीच रखता है।

आयत का नियम, और भुजाओं के छह युग्म

थीबो का संस्करण बौधायन के दो नियम कुछ श्लोकों के अंतर पर छापता है। एक कहता है कि वर्ग के विकर्ण पर रस्सी वर्ग से दुगुना क्षेत्रफल बनाती है। दूसरा कहता है कि आयत, यानी चौड़ी आकृति, के विकर्ण पर रस्सी वह दोनों क्षेत्रफल बनाती है जो उसकी लंबी और छोटी भुजा अलग-अलग बनाती हैं।

थीबो के अनुवाद में एक बाद का नियम कहता है कि यह उन आयतों में देखा जाता है जिनकी भुजाएँ तीन और चार, बारह और पाँच, पंद्रह और आठ, सात और चौबीस, बारह और पैंतीस, तथा पंद्रह और छत्तीस हैं। पाठ विकर्ण नहीं बताता, जो 5, 13, 17, 25, 37 और 39 हैं, जैसा थीबो ध्यान दिलाते हैं। वे जोड़ते हैं कि आख़िरी युग्म दूसरे का तिगुना है, इसलिए सूची में पाँच अलग आकार हैं। दत्त ने कलकत्ता विश्वविद्यालय के लिए अपने 1932 के अध्ययन में इन्हें पहले अध्याय के श्लोक 45, 48 और 49 के रूप में क्रमांकित किया है।

रिकॉर्ड के बारे में एक बात बतानी ज़रूरी है। मैकट्यूटर का शुल्बसूत्र वाला पन्ना बौधायन के लिए केवल वर्ग वाला रूप उद्धृत करता है और आयत का सामान्य कथन सदियों बाद के कात्यायन के नाम करता है। थीबो और दत्त दोनों आयत का नियम बौधायन के नाम से छापते हैं, और छह भुजा-युग्म उसी पर टिके हैं।

रस्सी ने ज़मीन पर क्या किया

ये त्रिक काम के औज़ार थे। आपस्तंब के जो नियम थीबो छापते हैं, उनमें रस्सी बड़े सोम यज्ञों की भूमि नापती है। उस घेरे की पश्चिमी भुजा 30 इकाई की थी, जिन्हें पद कहा जाता, बीच की पूर्व-पश्चिम रेखा 36 की और पूर्वी भुजा 24 की। निर्माता 36 इकाई की रेखा के दोनों सिरों पर बाँसों से 54 इकाई की एक रस्सी बाँधता, जिस पर पश्चिमी सिरे से 12 और 15 इकाई पर निशान होते।

रस्सी को 15 के निशान पर पकड़कर दक्षिण की ओर तान देने से एक कोना तय होता है, क्योंकि रस्सी तब 15, 36 और 39 भुजाओं वाला त्रिभुज बनाती है। उस त्रिभुज में समकोण वहाँ है जहाँ 15 और 36 मिलते हैं, और 15 का वर्ग जमा 36 का वर्ग 1,521 है, जो 39 का वर्ग है। थीबो के अनुसार पूरी प्रक्रिया इसी ज्ञान पर टिकी है कि इन भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण होता है। निशान लगी एक रस्सी और कुछ बाँसों से पुरोहित को समकोण वाला कोना मिल जाता था।

साढ़े सात वर्ग पुरुष

वेदी, यानी अग्नि, वहाँ है जहाँ ज्यामिति कठिन हो जाती है। थीबो ईंटों की पाँच परतें गिनते हैं, हर परत में 200 ईंटें, यानी कुल 1,000, इस तरह बिछी कि कोई ईंट उसी आकार और रूप की ईंट के ऊपर न आए। बुनियादी वेदी मोटे तौर पर बाज़ की रूपरेखा की नकल करती है और वर्गाकार ईंटों से बनी है। सूत्र उसका क्षेत्रफल साढ़े सात वर्ग पुरुष देते हैं, जहाँ पुरुष हाथ ऊपर उठाए खड़े आदमी की ऊँचाई है।

इनमें से चार वर्ग पक्षी का शरीर बनाते हैं। तीन और वर्ग दोनों पंख और पूँछ बनाते हैं, और पंखों व पूँछ को फिर थोड़ा, एक पुरुष के पाँचवें और दसवें हिस्से जितना, बढ़ाया जाता है ताकि वे पक्षी जैसे लगें। कर्मकांड-ग्रंथ अन्य आकार गिनाते हैं: मुड़े पंखों और फैली पूँछ वाला बाज़, बगुला, त्रिभुज, सोलह तीलियों वाला रथचक्र, कुंड, कछुआ। हर एक का क्षेत्रफल सादे बाज़ जितना ही होना था, इसलिए निर्माताओं को आयत को वर्ग में, वर्ग को त्रिभुज में और वर्ग को वृत्त में बदलना पड़ता था।

सबसे कठिन नियम पुनर्निर्माण के साथ आया। थीबो के अनुसार यजमान की बनाई दूसरी वेदी क्षेत्रफल में एक वर्ग पुरुष जोड़ती थी और तीसरी दो और, और दत्त लिखते हैं कि कुल आकार बदलने की अनुमति नहीं थी। दत्त विकर्ण-प्रमेय को वेदी-ज्यामिति के लिए अनिवार्य कहते हैं, उन रचनाओं के साथ जैसे दो वर्गों के जोड़ के बराबर वर्ग। किसी दिए आयत के बराबर वर्ग की बौधायन की रचना मैकट्यूटर पर भी है, जो आयतों को काटकर और खिसकाकर बनाई गई और एक बिंदु के चारों ओर घुमाई रस्सी से पूरी की गई।

577/408, वर्ग का विकर्ण

2 के वर्गमूल का नियम इतना छोटा है कि थीबो के अनुवाद के अनुसार ही दिया जा सकता है: माप को उसके तीसरे भाग से बढ़ाओ, और इस तिहाई को उसके अपने चौथे भाग से, घटा उस चौथाई का चौंतीसवाँ भाग। थीबो कहते हैं कि आपस्तंब वही नियम उन्हीं शब्दों में देते हैं और कात्यायन भी देते हैं। नियम में कहीं नहीं लिखा कि यह वर्ग के विकर्ण का है। टीकाएँ, थीबो समझाते हैं, इसमें संदेह नहीं छोड़तीं कि माप भुजा है और बढ़ा हुआ माप विकर्ण, और वे सही मान से इसके मेल को बहुत निकट कहते हैं। मैकट्यूटर की जीवनी के अनुसार बौधायन के पहले अध्याय का श्लोक 61 यह नियम रखता है।

लिखकर देखें तो 1 जमा 1/3 जमा 1/12 बराबर 17/12 है, यानी 1.41667, जो थोड़ा बड़ा है। 1/408 घटाने पर 577/408 बचता है। 2 के वर्गमूल का सही मान 1.4142136 है, इसलिए त्रुटि लगभग दस लाख में दो भाग है।

लेखक इस सुधार तक कैसे पहुँचे, यह एक आधुनिक पुनर्रचना है, पाठ का कथन नहीं। थीबो ने 1875 में प्रस्तावित किया, और दत्त ने 1932 में इसे आगे बढ़ाया, कि उन्होंने भुजा 12 के वर्ग से शुरू किया होगा, जिसके विकर्ण का वर्ग 288 छोटे वर्ग है। भुजा 17 से 289 मिलते हैं, एक ज़्यादा। 17 इकाई वाले वर्ग के दो किनारों से एक इकाई के चौंतीसवें भाग की चौड़ाई की पट्टी छीलने पर वह एक वर्ग हट जाता है, और कोने पर एक छोटा अतिव्यापन आख़िरी सुधार छोड़ता है। बौधायन को इतनी सटीकता क्यों चाहिए थी, जब वेदियों को इसकी ज़रूरत नहीं थी, यह सवाल मैकट्यूटर की जीवनी पूछती है और खुला छोड़ देती है।

वृत्त, और पाई के कमज़ोर मान

वही पाठ वृत्तों के साथ कम सटीकता दिखाता है। मैकट्यूटर वृत्त को वर्ग बनाने की शुल्बसूत्र की मानक विधि ऐसे वर्ग के रूप में देता है जिसकी भुजा व्यास की 13/15 है, जिससे पाई 676/225, यानी 3.004 निकलता है। बौधायन की अन्य रचनाओं से 900/289 (3.114) और 1156/361 (3.202) निकलते हैं। इनमें से कोई विशेष सटीक नहीं है, मैकट्यूटर कहता है, पर वे वेदी पर ध्यान देने लायक त्रुटि नहीं पैदा करेंगे। लगभग तेरह सदी बाद, 499 ईस्वी में, आर्यभट ने आर्यभटीय में पाई 3.1416 रखा, और संगमग्राम के माधव (लगभग 1340 से 1425) के केरल संप्रदाय ने बाद में पाई के अनंत श्रेणी-सूत्र खोजे, जैसा केरल के गणित का विवरण समझाता है।

पुरानी पट्टिकाएँ, और शुल्बसूत्र क्या नहीं कहते

बेबिलोनी मिट्टी की पट्टिकाएँ इनसे पुरानी हैं। कोलंबिया विश्वविद्यालय में रखी प्लिम्प्टन 322 को मैकट्यूटर 1800 से 1650 ईसा पूर्व के बीच की और ब्रिटिश कोलंबिया विश्वविद्यालय का गणित विभाग लगभग 1800 ईसा पूर्व की बताता है। उसके स्तंभ पाइथागोरस त्रिक गिनाते प्रतीत होते हैं। येल बेबिलोनी संग्रह की एक पट्टिका, YBC 7289, एक वर्ग को उसके विकर्णों के निशान के साथ दिखाती है और 2 के वर्गमूल का आधार-60 मान 1;24,51,10 देती है, यानी लगभग 1.41421296। यह भारतीय आँकड़े से सच के अधिक निकट है: उसकी त्रुटि लगभग एक करोड़ में छह भाग है, जबकि भारतीय की दस लाख में दो। न्यूयॉर्क विश्वविद्यालय की प्राचीन विश्व अध्ययन संस्था पट्टिका की तिथि ईसा पूर्व 19वीं से 17वीं सदी बताती है और कहती है कि यह दिखाती है कि बेबिलोनी लिपिक प्रमेय जानते थे।

विद्वान इस साक्ष्य को अलग-अलग ढंग से पढ़ते हैं। मैकट्यूटर का शुल्बसूत्र पन्ना कहता है कि कुछ इतिहासकार तर्क देते हैं कि भारतीय लेखकों ने वह सन्निकटन उतार लिया जो बेबिलोनियों के पास पहले से था। कैलिफ़ोर्निया विश्वविद्यालय के गणितज्ञ अब्राहम सीडेनबर्ग इस निष्कर्ष पर पहुँचे कि बेबिलोनी, यूनानी और भारतीय ज्यामिति एक साझा उद्गम से निकली है जिसमें वेदी-निर्माण और प्रमेय की केंद्रीय भूमिका थी, जैसा मैकट्यूटर पर छपी श्रद्धांजलि में है। दत्त को प्रारंभिक भारतीय साहित्य में प्रमेय के किसी प्रमाण का, प्रत्यक्ष या परोक्ष, ज़िक्र नहीं मिला, और मैकट्यूटर कहता है कि शुल्बसूत्रों में कोई प्रमाण नहीं हैं।

थीबो का 1875 का शोधपत्र संस्कृत पांडुलिपियों की सूची में इन ग्रंथों की ओर पहले ध्यान खींचने का श्रेय ए. सी. बर्नेल को देता है, और उनकी यह टिप्पणी उद्धृत करता है कि ब्राह्मणों में ज्यामिति की आरंभिक शुरुआतें कर्मकांड-ग्रंथों के शुल्व भागों में खोजनी होंगी। थीबो जोड़ते हैं कि उन्होंने बौधायन के शुल्बसूत्र को टीका और अनुवाद के साथ बनारस कॉलेज की पत्रिका द पंडित में छापना शुरू कर दिया था।