கி.மு. 800 வாக்கில் எழுதப்பட்ட போதாயன சுல்பசூத்திரம் செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டத்துக்கான கயிற்று விதியைக் கூறுகிறது; இரண்டின் வர்க்கமூலத்தை ஐந்து தசம இடங்கள் வரை சரியாகத் தருகிறது

வேள்வி மேடைகளைக் கட்டுவதற்கான கையேடான போதாயன சுல்பசூத்திரம், வரலாற்றாசிரியர்களால் கி.மு. 800 வாக்கில் வைக்கப்படுகிறது. செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டத்தில் நீட்டப்படும் கயிறு, அதன் இரு பக்கங்களில் அமையும் இரு சதுரங்களையும் கூட்டினால் வருவதை உண்டாக்குகிறது என்று அது சொற்களால் கூறுகிறது. முழு எண்களால் இதைச் சரிபார்க்கக்கூடிய ஆறு பக்க நீள இணைகளை, 3, 4 முதல் 15, 36 வரை, அது பட்டியலிடுகிறது. அதே நூல் சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தை 1, அத்துடன் ஒரு மூன்றில் ஒரு பங்கு, அத்துடன் அந்த மூன்றில் ஒரு பங்கின் கால் பங்கு, அதிலிருந்து அந்தக் கால் பங்கின் முப்பத்து நான்கில் ஒரு பங்கைக் கழித்தது என்று தருகிறது. அது 577/408, அதாவது 1.4142157 என வருகிறது; இது இரண்டின் வர்க்கமூலத்துடன் ஐந்தாம் தசம இடம் வரை ஒத்துப்போகிறது.

கயிறுகளும் கம்புகளும் கொண்ட ஒரு கையேடு

சுல்பசூத்திரம் என்றால் “கயிற்றின் சூத்திரங்கள்” என்று பொருள்; அப்போது பனாரஸ் கல்லூரியில் பேராசிரியராக இருந்த சமஸ்கிருதவியலாளர் ஜார்ஜ் திபோ 1875இல் அச்சிட்ட மொழிபெயர்ப்பில் இவ்வாறு வருகிறது. சூத்திரம் என்பது ஒரு சுருக்கமான விதி (பாணினியின் சமஸ்கிருத இலக்கணமும், மற்றொரு கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, சுருக்கமான விதிகளின் நூலே); சுல்பசூத்திரங்கள் என்பவை வேள்விக் களங்களையும் மேடைகளையும் எவ்வாறு அளந்து கட்டுவது என்பதை விளக்கும் வேத சடங்குக் கையேடுகளின் பகுதிகள். இந்த நூல்கள், இந்தியர்களிடையே தொடக்ககாலக் கேத்திரகணிதம் வேள்வியின் தேவைகளிலிருந்து எழுந்தது என்பதை நிரூபிக்கின்றன என்று திபோ எழுதினார்; மற்றவற்றை விடத் தெளிவான, முழுமையான விளக்கத்தால் அவற்றில் முதலிடத்தைப் போதாயனருக்குத் தந்தார்.

செயின்ட் ஆண்ட்ரூஸ் பல்கலைக்கழகத்தின் மேக்டியூட்டர் கணித வரலாறு, போதாயன உரையை கி.மு. 800 வாக்கிலும், மானவத்தை கி.மு. 750 வாக்கிலும், ஆபஸ்தம்பத்தை கி.மு. 600 வாக்கிலும், காத்யாயனத்தை கி.மு. 200 வாக்கிலும் வைக்கிறது. நம்மிடம் உள்ள மிகப் பழைய சுல்பசூத்திரம் போதாயனருடையது என்கிறது; ஆனால் ஆசிரியர்களைப் பெயராலும் தோராயமான காலத்தாலுமே அறிகிறோம். “அவரது வாழ்நாளை ஊகிக்கவும் போதுமான துல்லியத்தில் அவர் காலம் நமக்குத் தெரியாது” என்று அதன் போதாயன வாழ்க்கை வரலாறு கூறுகிறது; அதே தளத்தில் இயன் பியர்ஸ் எழுதிய ஓர் அத்தியாயம் முழுத் தொகுப்பையும் கி.மு. 800க்கும் 200க்கும் இடையே வைக்கிறது.

செவ்வகத்துக்கான விதியும் ஆறு பக்க இணைகளும்

திபோவின் பதிப்பு, போதாயனரின் இரண்டு விதிகளைச் சில செய்யுள்கள் இடைவெளியில் அச்சிடுகிறது. ஒன்று, சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தில் இழுக்கப்படும் கயிறு அந்தச் சதுரத்தின் இரு மடங்கு பரப்பளவை உண்டாக்குகிறது என்கிறது. மற்றொன்று, நீள்சதுரத்தின், அதாவது செவ்வகத்தின், மூலைவிட்டத்தில் இழுக்கப்படும் கயிறு, அதன் நீளப் பக்கமும் குறுகிய பக்கமும் தனித்தனியாக உண்டாக்கும் இரு பரப்பளவுகளையும் உண்டாக்குகிறது என்கிறது.

திபோவின் மொழிபெயர்ப்பில் பிந்தைய ஒரு விதி, இது மூன்றும் நான்கும், பன்னிரண்டும் ஐந்தும், பதினைந்தும் எட்டும், ஏழும் இருபத்தி நான்கும், பன்னிரண்டும் முப்பத்தைந்தும், பதினைந்தும் முப்பத்தாறும் பக்கங்களாக உள்ள நீள்சதுரங்களில் காணப்படுகிறது என்கிறது. மூலைவிட்டங்களான 5, 13, 17, 25, 37, 39 ஆகியவற்றை உரை கூறவில்லை என்று திபோ சுட்டிக்காட்டுகிறார். கடைசி இணை இரண்டாவதன் மூன்று மடங்கு என்றும், ஆகவே பட்டியலில் ஐந்து வெவ்வேறு வடிவங்களே உள்ளன என்றும் அவர் சேர்க்கிறார். கல்கத்தா பல்கலைக்கழகத்துக்கான தம் 1932 ஆய்வில் தத்தா இவற்றை முதல் அத்தியாயத்தின் 45, 48, 49ஆம் செய்யுள்களாக எண்ணுகிறார்.

பதிவின் ஒரு விவரத்தைக் குறிப்பிட வேண்டும். சுல்பசூத்திரங்கள் பற்றிய மேக்டியூட்டர் பக்கம் போதாயனருக்குச் சதுர வடிவத்தை மட்டுமே மேற்கோள் காட்டுகிறது; பொதுச் செவ்வகக் கூற்றை நூற்றாண்டுகள் பிந்தைய காத்யாயனருக்கு அளிக்கிறது. திபோவும் தத்தாவும் இருவருமே செவ்வக விதியைப் போதாயனர் பெயரிலேயே அச்சிடுகின்றனர்; ஆறு பக்க இணைகளும் அதைச் சார்ந்தவை.

கயிறு தரையில் செய்தது

அந்த மும்மைகள் வேலைக் கருவிகள். திபோ அச்சிடும் ஆபஸ்தம்பரின் விதிகளில், பெரிய சோம வேள்விகளுக்கான நிலத்தைக் கயிறு வரையறுக்கிறது. அந்த வளாகத்தின் மேற்குப் பக்கம் பதம் எனப்படும் 30 அலகுகள், கிழக்கு-மேற்கு மைய வரி 36, கிழக்குப் பக்கம் 24. கட்டுபவர் 36 அலகு வரியின் இரு முனைகளிலும் உள்ள கம்புகளில் 54 அலகு கயிற்றைக் கட்டுவார்; கயிற்றில் மேற்கு முனையிலிருந்து 12, 15 அலகுகளில் குறிகள் இருக்கும்.

கயிற்றை 15இல் உள்ள குறியில் பிடித்துத் தெற்கு நோக்கி இறுக்கமாக இழுத்தால் ஒரு மூலை அமைகிறது; ஏனெனில் கயிறு 15, 36, 39 பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணத்தை உண்டாக்குகிறது. அந்த முக்கோணத்தில் 15உம் 36உம் சேரும் இடத்தில் செங்கோணம் உள்ளது; 15இன் வர்க்கமும் 36இன் வர்க்கமும் சேர்ந்தால் 1,521, அது 39இன் வர்க்கம். திபோவின்படி, இந்தப் பக்கங்கள் உள்ள முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணம் என்ற அறிவின் மீதே முழுச் செயல்முறையும் அமைந்துள்ளது. குறியிட்ட கயிறும் சில கம்புகளும் ஒரு புரோகிதருக்குச் சதுர மூலையைத் தந்தன.

ஏழரை சதுர புருஷங்கள்

வேள்வி மேடையான அக்னியில்தான் கேத்திரகணிதம் கடினமாகிறது. ஒவ்வோர் அடுக்கிலும் 200 செங்கற்கள் உள்ள ஐந்து அடுக்குகளை, மொத்தம் 1,000, திபோ எண்ணுகிறார்; ஒரே அளவும் வடிவமும் உள்ள செங்கல் மேல் இன்னொன்று அமையாதபடி அவை அடுக்கப்படுகின்றன. அடிப்படை மேடை வெளிக்கோட்டில் ஏறத்தாழ ஒரு பருந்தைப் போன்றது, சதுரச் செங்கற்களால் கட்டப்படுகிறது. அதன் பரப்பளவை ஏழரை சதுர புருஷம் என்று சூத்திரங்கள் தருகின்றன; புருஷம் என்பது கைகளை உயர்த்தி நிற்கும் மனிதனின் உயரம்.

அந்தச் சதுரங்களில் நான்கு பறவையின் உடலை அமைக்கின்றன. மேலும் மூன்று இரு இறக்கைகளையும் வாலையும் அமைக்கின்றன; இறக்கைகளும் வாலும் பறவையைப் போலத் தோன்றுவதற்காக ஒரு புருஷத்தின் ஐந்தில் ஒன்றும் பத்தில் ஒன்றும் சற்று நீட்டப்படுகின்றன. சடங்கு நூல்கள் வேறு வடிவங்களையும் பட்டியலிடுகின்றன: வளைந்த இறக்கைகளும் விரிந்த வாலும் கொண்ட பருந்து, நாரை, முக்கோணம், பதினாறு ஆரங்கள் கொண்ட தேர்ச் சக்கரம், தொட்டி, ஆமை. ஒவ்வொன்றும் எளிய பருந்தின் அதே பரப்பளவைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்; எனவே கட்டுபவர்கள் ஒரு செவ்வகத்தைச் சதுரமாகவும், ஒரு சதுரத்தை முக்கோணமாகவும், ஒரு சதுரத்தை வட்டமாகவும் மாற்ற வேண்டியிருந்தது.

மறுகட்டுமானத்தோடு வந்த விதி மிகவும் கடினமானது. திபோவின்படி, வேள்வி செய்பவர் கட்டும் இரண்டாவது மேடை பரப்பளவில் ஒரு சதுர புருஷத்தைச் சேர்த்தது, மூன்றாவது மேலும் இரண்டைச் சேர்த்தது; ஒட்டுமொத்த வடிவம் மாற அனுமதிக்கப்படவில்லை என்று தத்தா எழுதுகிறார். மூலைவிட்டத் தேற்றம் மேடைக் கேத்திரகணிதத்துக்கு இன்றியமையாதது என்றும், இரு சதுரங்களின் கூட்டலுக்குச் சமமான சதுரம் போன்ற அமைப்புகளும் அவ்வாறே என்றும் தத்தா கூறுகிறார். கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகத்துக்குச் சமமான சதுரத்தைப் போதாயனர் அமைக்கும் முறையும் மேக்டியூட்டரில் உள்ளது; செவ்வகங்களை வெட்டி நகர்த்தி, ஒரு புள்ளியைச் சுற்றித் திருப்பிய கயிற்றால் முடிக்கப்படுகிறது.

577/408, சதுரத்தின் மூலைவிட்டம்

இரண்டின் வர்க்கமூலத்துக்கான விதி, திபோ தருவதுபோலவே தர ஏற்றது: அளவை அதன் மூன்றாம் பங்கால் கூட்டுக; இந்த மூன்றாம் பங்கை அதன் சொந்த நான்காம் பங்கால் கூட்டுக, அந்த நான்காம் பங்கின் முப்பத்து நான்காம் பங்கைக் கழித்து. ஆபஸ்தம்பர் அதே சொற்களில் இந்த விதியைத் தருவதாகவும், காத்யாயனரும் தருவதாகவும் திபோ கூறுகிறார். இது சதுரத்தின் மூலைவிட்டம் பற்றியது என்று விதியில் எதுவும் சொல்லப்படவில்லை. அளவு என்பது பக்கம், கூட்டிய அளவு மூலைவிட்டம் என்பதில் உரைகள் ஐயம் எதையும் விட்டுவைக்கவில்லை என்று திபோ விளக்குகிறார்; உண்மை மதிப்புடன் அதன் பொருத்தம் மிக நெருக்கமானது என்றும் அவர் கூறுகிறார். மேக்டியூட்டர் வாழ்க்கை வரலாற்றின்படி, இந்த விதி போதாயனரின் முதல் அத்தியாயத்தின் 61ஆம் செய்யுளில் உள்ளது.

எழுதிப் பார்த்தால், 1 கூட்டல் 1/3 கூட்டல் 1/12 என்பது 17/12; அது 1.41667, சற்றுப் பெரியது. அதிலிருந்து 1/408ஐ நீக்கினால் 577/408 கிடைக்கிறது. இரண்டின் வர்க்கமூலத்தின் உண்மை மதிப்பு 1.4142136; எனவே பிழை பத்து லட்சத்தில் ஏறத்தாழ இரண்டு பங்கு.

ஆசிரியர்கள் அந்தத் திருத்தத்தை எவ்வாறு அடைந்தார்கள் என்பது ஒரு நவீன மறுகட்டமைப்பே, உரை சொல்வது அல்ல. அவர்கள் பக்கம் 12 உள்ள சதுரத்தில் தொடங்கினர் என்று திபோ 1875இல் முன்மொழிந்தார், தத்தா 1932இல் ஏற்றுக்கொண்டார்; அதன் மூலைவிட்டத்தின் வர்க்கம் 288 சிறு சதுரங்கள். பக்கம் 17 என்றால் 289, ஒன்று கூடுதல். 17 அலகுச் சதுரத்தின் இரு விளிம்புகளிலிருந்து ஓர் அலகின் முப்பத்து நான்கில் ஒரு பங்கு அகலமுள்ள ஒரு பட்டையைச் சீவினால் அந்த ஒரு சதுரம் நீங்குகிறது, மூலையில் ஒரு சிறிய மேற்பொருந்துதல் இறுதித் திருத்தத்தை விட்டுச் செல்கிறது. மேடைகளுக்குத் தேவையில்லாத போது போதாயனர் ஏன் இவ்வளவு துல்லியத்தை விரும்பினார் என்பது மேக்டியூட்டர் வாழ்க்கை வரலாறு எழுப்பி விடைகாணாமல் விடும் கேள்வி.

வட்டங்களும் பையின் பலவீனமான மதிப்புகளும்

அதே உரை வட்டங்களில் குறைவான துல்லியத்தைக் காட்டுகிறது. வட்டத்தைச் சதுரமாக்கும் வழக்கமான சுல்பசூத்திர முறையை, விட்டத்தின் 13/15 பக்கமுள்ள சதுரம் என்று மேக்டியூட்டர் தருகிறது; அது 676/225, அதாவது 3.004 என்ற பை மதிப்பைக் குறிக்கிறது. போதாயனரில் உள்ள பிற அமைப்புகள் 900/289 (3.114), 1156/361 (3.202) ஆகியவற்றைக் குறிக்கின்றன. இவற்றில் எதுவும் குறிப்பாகத் துல்லியமானது அல்ல என்று மேக்டியூட்டர் கூறுகிறது; ஆனால் மேடையில் கவனிக்கத்தக்க பிழைகளை அவை உண்டாக்கியிருக்காது. ஏறத்தாழ பதின்மூன்று நூற்றாண்டுகள் கழித்து, பொ.ஊ. 499இல், ஆரியபட்டர் ஆரியபட்டீயத்தில் பையை 3.1416 என்று வைத்தார்; சங்கமகிராமத்து மாதவரின் (சுமார் 1340 முதல் 1425) கேரளப் பள்ளி பிற்காலத்தில் பைக்கான முடிவிலாத் தொடர்களைக் கண்டுபிடித்தது என்பதை கேரளக் கணிதம் பற்றிய கட்டுரை விளக்குகிறது.

பழைய பலகைகளும் சுல்பசூத்திரங்கள் சொல்லாதவையும்

பாபிலோனியக் களிமண் பலகைகள் பழையவை. கொலம்பியா பல்கலைக்கழகத்தில் உள்ள பிளிம்ப்டன் 322ஐ கி.மு. 1800 முதல் 1650 வரை என்று மேக்டியூட்டரும், பிரிட்டிஷ் கொலம்பியா பல்கலைக்கழகக் கணிதத் துறை கி.மு. 1800 வாக்கு என்றும் காலக்கணிப்புச் செய்கின்றன. அதன் நெடுவரிசைகள் பித்தகோரஸ் மும்மைகளைப் பட்டியலிடுவதாகத் தெரிகிறது. யேல் பாபிலோனியத் தொகுப்பில் உள்ள YBC 7289 என்ற பலகை, மூலைவிட்டங்கள் குறிக்கப்பட்ட ஒரு சதுரத்தையும், இரண்டின் வர்க்கமூலத்துக்கு அறுபதின்மத் தளத்தில் 1;24,51,10 என்ற மதிப்பையும் காட்டுகிறது; அது ஏறத்தாழ 1.41421296. அது இந்திய எண்ணை விட உண்மைக்கு நெருக்கமானது: அதன் பிழை ஒரு கோடியில் ஏறத்தாழ ஆறு பங்கு; இந்திய மதிப்பின் பிழை பத்து லட்சத்தில் இரண்டு பங்கு. நியூயார்க் பல்கலைக்கழகத்தின் பண்டைய உலக ஆய்வு நிறுவனம் அந்தப் பலகையைக் கி.மு. 19 முதல் 17ஆம் நூற்றாண்டுக்கு வைக்கிறது; பாபிலோனிய எழுத்தர்கள் தேற்றத்தை அறிந்திருந்தனர் என்பதை அது காட்டுகிறது என்கிறது.

இந்தச் சான்றை அறிஞர்கள் வெவ்வேறு விதமாக வாசிக்கின்றனர். பாபிலோனியர்களிடம் ஏற்கெனவே இருந்த ஒரு தோராய மதிப்பை இந்திய ஆசிரியர்கள் நகலெடுத்தனர் என்று சில வரலாற்றாசிரியர்கள் வாதிடுகின்றனர் என்று மேக்டியூட்டரின் சுல்பசூத்திரப் பக்கம் கூறுகிறது. கலிஃபோர்னியா பல்கலைக்கழகக் கணிதவியலாளர் ஆப்ரஹாம் சைடன்பெர்க், மேக்டியூட்டரில் மறுபதிப்பான இரங்கல் குறிப்பின்படி, பாபிலோனிய, கிரேக்க, இந்தியக் கேத்திரகணிதம் மேடைக் கட்டுமானமும் தேற்றமும் மையப் பங்கு வகித்த ஒரு பொது மூலத்திலிருந்து தோன்றின என்று முடிவுக்கு வந்தார். தொடக்க இந்திய இலக்கியத்தில் தேற்றத்தின் நிரூபணம் பற்றி நேரடியான அல்லது மறைமுகமான குறிப்பு எதையும் தத்தா காணவில்லை; சுல்பசூத்திரங்களில் நிரூபணங்கள் இல்லை என்று மேக்டியூட்டர் கூறுகிறது.

இந்த நூல்களின் மீது முதலில் கவனத்தை ஈர்த்த பெருமையை, சமஸ்கிருதக் கையெழுத்துப் பிரதிகளின் பட்டியலை எழுதிய ஏ. சி. பர்னெலுக்குத் திபோவின் 1875 கட்டுரை அளிக்கிறது; பிராமணர்களிடையே கேத்திரகணிதத்தின் ஆரம்பங்களைச் சடங்குக் கையேடுகளின் சுல்வப் பகுதிகளில் தேட வேண்டும் என்ற அவரது கூற்றையும் மேற்கோள் காட்டுகிறது. போதாயனரின் சுல்பசூத்திரத்தை ஓர் உரையுடனும் மொழிபெயர்ப்புடனும் பனாரஸ் கல்லூரியின் இதழான தி பண்டிட்டில் வெளியிடத் தொடங்கியிருந்ததாகவும் திபோ சேர்க்கிறார்.