乌贾因的伐罗诃密希罗在《五悉檀多》中把五种更古老的天文体系摆在一起，这部六世纪的手册如今是了解公元500年以前印度天文学的主要来源

《五悉檀多》（Pancha-siddhantika）是天文学家伐罗诃密希罗（Varahamihira）在六世纪写的一部梵语手册，讲述五种更古老的天文体系：苏利耶悉檀多、罗马迦悉檀多、保利沙悉檀多、瓦西斯塔悉檀多和派塔马哈悉檀多。悉檀多（siddhanta）是数理天文学的完整论著。《五悉檀多》是一部卡拉那（karana），即一本简明手册，用简便规则求出太阳、月亮和行星在某一日期的位置，以及日月食何时发生。它的第一位现代编者G. 蒂博（G. Thibaut）说，这类手册给出的是便于快速计算的简明规则，而不是铺陈完整的理论。

一部手册里的五种体系

圣安德鲁斯大学的数学史档案MacTutor引用学者舒克拉（Shukla）的话，称这部书是“阿耶波多一世以前印度天文学史最重要的来源之一”。阿耶波多按他自己的说法，在499年写完了《阿耶波多历书》（Aryabhatiya），本站有一篇专门的文章讲它。

在《科学传记辞典》中撰写伐罗诃密希罗词条的平格里（Pingree），给出了其中的原因。极少有别的来源显示公元500年以前印度是怎样做天文学的，而伐罗诃密希罗的书记录了好几种在别处无法研究的传统。蒂博1889年在贝拿勒斯与苏达卡拉·德维维迪（Sudhakara Dvivedi）一起编订并翻译了这部书，他写道，就当时所能判断的而言，伐罗诃密希罗似乎是唯一一位认为值得把当时通行的各主要学派都写出来的印度天文学作者。

蒂博写作的时候，五种体系中只有一种以单独文本的形式传了下来，即《苏利耶悉檀多》，他把这个现存版本与伐罗诃密希罗所概括的更古的苏利耶体系区分开来。比鲁尼的印度记述写于约1030年，他报告说，他列的那些书里，除了普利沙（Pulisa）的和婆罗摩笈多的，其他一概没能弄到。

乌贾因，以及一个其实是历元的年份

平格里写道，伐罗诃密希罗自称是阿梵提（Avanti）人，即乌贾因周围的马尔瓦西部地区，住在一个名叫卡皮塔卡（Kapitthaka）的村子，平格里推测它大概就是离该城约十二英里的卡亚塔（Kayatha）遗址。MacTutor认为卡皮塔卡是他出生地的最可能的猜测，并称乌贾因从约公元400年起是数学的一个重要中心。平格里补充说，他的父亲阿迪提亚达萨（Adityadasa）属于玛加婆罗门（Maga Brahmana），这个群体是定居北印度、后来融入印度教的伊朗琐罗亚斯德教徒的后裔。

书中自己的计算从沙迦纪元427年起算，即公元505年。蒂博解释了这个做法：这类手册的作者会选一个接近写作年代的起算年，这样算术简短，误差也小。平格里说，伐罗诃密希罗的年代依据的是这个历元，以及婆罗摩笈多在628年援引他为权威。

505这个数字究竟代表什么，是有争论的。MacTutor给出他的生年为505至587年，把《五悉檀多》定在575年。据蒂博，一位名叫阿马罗阇（Amaraja）的注释家，经鲍·达吉（Bhau Daji）转引，说伐罗诃密希罗死于沙迦纪元509年，即587年。克恩（Kern）曾把505年当作出生年。蒂博搁置了这一说法，但认为死亡年份是反对该书完成于505年的一个论据。V. 苏布拉曼雅·夏斯特里（V. Subrahmanya Sastri）在1946年翻译《大集》（Brihat Samhita）时，认为505年是出生年。所有人都把他放在六世纪，只是对具体年份说法不一。

还有一种说法，平格里只是转述而不表示赞同，把伐罗诃密希罗与达萨普拉（Dasapura，今曼达索尔）的奥利卡拉（Aulikara）诸王的宫廷联系起来，也与在位于532年的耶输达尔曼（Yasodharman）联系起来。民间传说还把伐罗诃密希罗列入某位超日王（Vikramaditya）宫廷的“九宝”之中，而本站的另一篇文章表明，这份名单要到几个世纪之后才第一次出现。

五种体系教的是什么

按蒂博的转述，伐罗诃密希罗自己的排序是：苏利耶第一，罗马迦和保利沙其次，两者大致同样准确，派塔马哈和瓦西斯塔则远在其后。篇幅随排序而定。苏利耶和保利沙讲得长，罗马迦短一些，派塔马哈则被压缩在第十二章里，只有五节诗。伐罗诃密希罗在第一章中解释，他希望这部书集中讲日食的计算。

平格里按来源把五者分类。在他的叙述里，派塔马哈是一世纪的吠陀支式天文学，是最古老的一层。蒂博发现它依据的是吠陀支天文学（Vedanga Jyotisha）里的五年周期，每年366天，一个周期含六十个太阳月和六十二个太阴月，没有希腊影响的迹象。平格里把瓦西斯塔和保利沙算作推算太阳、月亮和行星的希腊与巴比伦方法的印度版本，并称罗马迦和拉塔（Lata）的苏利耶实质上是希腊化的。

梵语手册里的希腊方法

罗马迦最清楚地显示了这种联系。它的周期是2,850年，是19年周期的150倍，而雅典天文学家默冬（Meton）约在公元前430年证明，19年含235个太阴月。蒂博算下来发现，罗马迦隐含的年长是公元前2世纪希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus）的回归年。MacTutor补充说，这个体系在太阳和月亮上借用了希腊的本轮理论，在这种理论中，每个天体沿一个小圆运动，而小圆本身又在一个较大的圆上运行。

地名也带着这种联系。据蒂博，罗马迦从历元起算日数的规则，是按耶槃那城（Yavanapura，“耶槃那人之城”）的子午线设定的，耶槃那是印度人对希腊人的称呼。太阳、月亮和行星位置的规则，则按乌贾因的子午线设定，伐罗诃密希罗在保利沙之后给出了两地的经度差。更早的罗马时代对印度的海上贸易，见穆吉里斯一文。

学者们的读法不一。在蒂博看来，书中提到的一些事实和教义要点，表明印度天文学依赖于亚历山大的科学。MacTutor记录说，一些学者把其中的基础理论追溯到巴比伦，另一些则认为印度天文学家通过自己的观测改进了巴比伦的模型，并称还需要更多的研究。《大集》中的一节名句被卷入了这场争论。它说，耶槃那人是外族（mlechchas），可是这门科学在他们那里非常成熟，所以即便是他们也应像仙人一样受到尊敬。世界历史百科全书的文章把它译成这门科学起源于他们的一种说法。夏斯特里1946年的导言引了辨喜（Swami Vivekananda）的读法，他把这节诗读作一种赞语，意在鼓励外国人研究印度的学问，并拿它来对抗印度科学只是希腊科学回声的观点。

伐罗诃密希罗自己写的章节

在蒂博看来，有几章是伐罗诃密希罗自己的处理。第十三章通俗地讲了大地是圆的，以及不同纬度上的天空看起来有何不同。第十四章表明，结果不仅可以靠计算，也可以靠观测和简单的仪器得出。第十五章提到了其他天文学家，蒂博指出，书中别处还引了阿耶波多的观点。比鲁尼记载说，伐罗诃密希罗认为，感官所感知的一切，都证明大地是球形的。

正弦表的计算规则放在第四章，而其他著作通常把这个话题放在别处。MacTutor认为伐罗诃密希罗的正弦值比阿耶波多的更精确，它在别处把阿耶波多的工作描述为给出了“现在确确实实是正弦表的半弦表”。它还列出了他发现的三个恒等式，用现代记号写出来就是：sin x = cos(90度减x)，sin平方x加cos平方x等于1，以及(1减cos 2x)的一半等于sin平方x。MacTutor解释说，更好的表很重要，因为天文学和占星术都依赖它们，这推动了插值法的发展，插值法就是估算表中两项之间数值的方法。

一份同时是幻方的香料配方

伐罗诃密希罗的另一部主要作品《大集》（意为“伟大的汇编”）是另一种书，据平格里说，写作时间与《五悉檀多》大致相同。夏斯特里的版本指出，该书自称有100章、约3,900节标准长度的诗，而他印出的是107章，其中一些他认为是后加的。内容从降雨、地震和流星，到盖房子、寻找地下水、照料树木、神庙设计和宝石分级。在平格里看来，它是现存梵语占卜论著中最完整的之一，也是印度地理和社会的一份很有价值的记录。

夏斯特里版本的第77章讲香料。按它的计算，从十六种物质中任取四种，有1,820种选法，每种又可以调出96种变化。通过反复相加造出的一张表，导出了1,820这个数，MacTutor引用古普塔（Gupta）1992年的一篇论文，把这张表读作帕斯卡三角形。一幅十六格的图表给出每种配料的份数。夏斯特里把那条规则译成：无论四格是沿一行、一列还是一条对角线取，每种香料都有18种配比。这与MacTutor所说的林隆夫（Hayashi）考察过的四阶泛对角幻方相符，在这种方格里，连绕回去的对角线，总和也相同。

后世学者怎样评价这部书

婆罗摩笈多在628年援引伐罗诃密希罗为权威，注释家乌特帕拉（Utpala）在966年为《大集》作了注。比鲁尼把伐罗诃密希罗的一部较短的出生星盘之书译成了阿拉伯文。他对《五悉檀多》就没那么佩服，写道，它的书名只是说悉檀多的数目是五，它既不是对它们的提炼，也不明显比它们更好。

平格里直言，伐罗诃密希罗的著作不是原创的，在占星术、占卜和天文学上依赖前人的权威。对《五悉檀多》来说，这恰恰是这部书的意义所在，因为它报告的是更古老的体系所说的内容。现代版本附有翻译和注释，由O. 诺伊格鲍尔（O. Neugebauer）和D. 平格里（D. Pingree）于1970年和1971年分两部在哥本哈根出版。