يقدم كتاب يوكتيبهاسا لجييشثاديفا، المكتوب بالماليالامية نحو عام 1530، براهين خطوة بخطوة لمتسلسلات مدرسة كيرالا الخاصة بالنسبة التقريبية باي والجيب وجيب التمام

يوكتيبهاسا كتاب براهين مكتوب بالماليالامية، لغة كيرالا، نحو عام 1530. أخذ مؤلفه جييشثاديفا نتائج مدرسة كيرالا في الرياضيات والفلك وبيّن لماذا تصح كل واحدة منها. وتصف الطبعة النقدية الصادرة عام 2008، التي حررها وترجمها ك. ف. سارما مع شروح لـ ك. راماسوبرامانيان وم. د. سرينيفاس وم. س. سريرام، النص بأنه خمسة عشر فصلا في جزأين، الرياضيات والفلك. ومن النتائج التي يشتقها المتسلسلات اللانهائية لـ باي والجيب وجيب التمام التي ينسبها مؤلفون لاحقون إلى مادهافا السانغاماغرامي، الذي عاش في القرن الرابع عشر.

والتاريخ غير محسوم. فطبعة Springer وك. راماسوبرامانيان تعطيان نحو 1530. وفي مراجعة عام 2010 ينقلها م. د. سرينيفاس كتب عالم الرياضيات ديفيد مامفورد “ربما نحو 1540”. ويعطي MacTutor، أرشيف سانت أندروز لتاريخ الرياضيات، نحو 1550. ويعتمد هذا المقال نحو 1530 مع إبقاء المدى في الحسبان. وتتناول مقالة سابقة عن مادهافا ومدرسة كيرالا المتسلسلات نفسها وسؤال وصولها إلى أوروبا. أما هذه فعن الكتاب الذي يبرهن عليها.

شرح باللغة التي يتكلمها الناس

كتب جييشثاديفا يوكتيبهاسا ليشرح تانتراسانغراها، الرسالة الفلكية الرئيسية لنيلاكانتا سومايايي، المولود عام 1444. ويصف MacTutor تانتراسانغراها بأنها 432 بيتا سنسكريتيا في ثمانية فصول، ويقول إن نيلاكانتا كتب أيضا شرحا على آريابهاتيا. ويقول وصف Springer للطبعة إن كتاب جييشثاديفا يعرض تقنيات حساب حركات الكواكب “كما وردت” في تلك الرسالة، التي يؤرخها بنحو 1500.

ومنهجه في عنوانه. فاليوكتي سبب أو برهان، ويقول وصف الطبعة نفسه إن النص “يعرض يوكتيات مفصلة” لنتائج الفلك الرياضي. ويقول MacTutor إنه يحوي براهين للنظريات واشتقاقات للقواعد، “على نحو غير معتاد إطلاقا في نص رياضي هندي”. ويقول أيضا إن الكتاب مسح لرياضيات كيرالا، فيصل القارئ إلى نتائج مادهافا عبر شرح مؤلف لاحق. ويكتب راماسوبرامانيان أن أعمال مادهافا نفسه التي تحوي المتسلسلات غير متاحة، وأن رياضيي التقليد اللاحقين ينسبونها إليه دون خلاف.

ولم يُحسم من ألفه إلا عام 1958. فقد سمى تشارلز ويش المؤلف سيلالورا نامبوتيري عام 1834، ويقول سرينيفاس إن الالتباس حول الاسم دام حتى ذلك العام، حين وجد ك. ف. سارما عبارة في مخطوطة بمكتبة جامعة كيرالا تُظهر جييشثاديفا مؤلفا لـ”البهاشا”، أي الكتاب بالعامية. وأضافت مخطوطة في بارودا أن جييشثاديفا، مثل نيلاكانتا، كان تلميذا لدامودارا، ابن باراميسفارا.

تصحيحات وقوى ومتسلسلة للدائرة

يُبنى برهان متسلسلة باي من نتائج أصغر، ويسير راماسوبرامانيان في السلسلة خطوة خطوة.

إحدى الحلقات توسيع للكسر واحد على واحد زائد س. وتبدأ من متطابقة بسيطة وتبدل القسمة على عدد بالقسمة على آخر، ويستدعي كل إبدال تصحيحا. وتشكل التصحيحات معا متسلسلة متناوبة. ويقول كل من يوكتيبهاسا وكريياكراماكاري، وهي شرح سنسكريتي لـليلافاتي لبهاسكارا الثاني كتبه شانكارا فارير وتلميذه نارايانا، إن التصحيحات لا نهاية منطقية لها وإن العملية يمكن إيقافها متى بلغت الدقة المطلوبة.

وحلقة أخرى طريقة عامة لتقدير مجاميع قوى الأعداد الصحيحة. فمن أجل عدد كبير من الحدود ن، يساوي مجموع القوى ذات الرتبة ك للأعداد 1 و2 حتى ن نحو ن أس ك+1 مقسوما على ك+1. ويقول راماسوبرامانيان إن الإجراء الذي يعطيه النص يعادل برهانا بالاستقراء.

وحلقة ثالثة هي المتسلسلة نفسها. فبيت مادهافا، كما يقتبسه شانكارا فارير، يأمر القارئ بأن يضرب القطر في أربعة، ثم يقسم الناتج على كل عدد فردي بالتتابع، طارحا وجامعا بالتناوب. وبلغة حديثة، المحيط يساوي أربعة أمثال القطر، ناقص أربعة أمثال القطر على ثلاثة، زائد أربعة أمثال القطر على خمسة، وهكذا. ويأخذ اشتقاق جييشثاديفا ربعا من المربع المحيط بالدائرة، ويقسم أحد أضلاعه إلى ن جزءا متساويا ويصل كل نقطة قسمة بالمركز. ثم يحتج بأن أنصاف أوتار الأقواس الصغيرة، عند ن كبير، “هي في جوهرها قطع الأقواس نفسها”، كما يترجم راماسوبرامانيان. وجمع القطع واستعمال تقديرات مجاميع القوى يعطيان المتسلسلة، التي أعاد غريغوري ولايبنتز اكتشافها، بتعبير راماسوبرامانيان، بعد ما يقرب من ثلاثة قرون.

والأخيرة تتعلق بالسرعة. فمتسلسلة باي بطيئة جدا في التقارب، ويصف راماسوبرامانيان تقنية تسمى أنتيا ساسكارا، وهي تصحيح يُطبق بعد التوقف عند حد ما. ويناقش النص كيف يُتوصل إلى تصحيحات من ثلاثة أنواع متتابعة التحسن. ويقرأ ف. ن. كريشناتشاندران، في نسخة أولية عام 2024، أولى تلك الحجج هكذا: يجرب النص اختيارا مرتبا للتصحيح، ويرى أنه سيجعل التصحيح واحدا عند كل عدد فردي، وهذا لا يصح، فيختار بين عددين زوجيين متجاورين، آخذا أربعة أمثال ن تقريبا أول. ويلاحظ راماسوبرامانيان أنه مع التصحيح الثالث يعطي نحو 25 حدا من متسلسلة باي قيمة صحيحة إلى 10 منازل عشرية.

وقيمة لـ باي أعطاها مادهافا، ويستشهد بها نيلاكانتا وشانكارا فارير كلاهما، هي 2,827,433,388,233 مقسوما على 900,000,000,000، أي 3.141592653592. وهي صحيحة إلى 11 منزلة عشرية. ويصل MacTutor إلى المنازل الـ11 نفسها من طريق مختلف، متسلسلة أمامها الجذر التربيعي لـ12، مجموعة إلى 21 حدا.

الجيب وجيب التمام

ويشتق يوكتيبهاسا أيضا متسلسلة الجيب وجيب التمام. ويحيل راماسوبرامانيان القراء إلى المراجع من أجل البرهان، وينقل حكما لعالم الرياضيات ب. ب. ديفاكاران. فنيوتن، كما يلاحظ ديفاكاران، وجد متسلسلته بـ”تخمين” الحدود المتتابعة من شكلها، وطريقة يوكتيبهاسا في تكامل المعادلة الفرقية أو التفاضلية للجيب وجيب التمام هي، بعبارة ديفاكاران، “مختلفة تماما وحديثة جدا”.

ويكتب مامفورد، في المراجعة التي ينقلها سرينيفاس، أن “عرضا غير رسمي لهذه النتائج مع اشتقاقات كاملة” باق بالماليالامية ويعطي بصيرة فريدة في الأساليب الهندية، يلخصها في التكرار والاستقراء والانتقال الدقيق إلى النهاية.

نصف الفلك

يسرد المجلد الثاني من الطبعة ثمانية فصول فلكية: حساب الكواكب، والأرض والأفلاك السماوية، والمسائل الخمس عشرة، وظل المزولة، والكسوف، وفياتيباتا، وتصحيحات الرؤية للكواكب، وارتفاع قرني الهلال.

وجانب كبير من الفلك يتبع مراجعة نيلاكانتا للنموذج الهندي القديم للكواكب. ويكتب راماسوبرامانيان وسرينيفاس وسريرام أن نيلاكانتا طبّق في تانتراسانغراها، المؤلفة نحو 1500، معادلة المركز لعطارد والزهرة على الكوكب المتوسط ذي المركزية الشمسية بدل الشمس المتوسطة. ويضيفون أن نظريات الكواكب اليونانية القديمة والإسلامية والأوروبية طبقتها على الشمس المتوسطة حتى كبلر، وأن القاعدة الصحيحة صيغت أول مرة في التقليد الأوروبي في أوائل القرن السابع عشر. ويلاحظون أن كتاب جييشثاديفا يعرض عرضا مفصلا للصورة الهندسية المصاحبة لنموذج نيلاكانتا.

وفي رسالة قصيرة، بحسب المؤلفين أنفسهم، يذكر نيلاكانتا نموذجه الكوني: عطارد والزهرة والمريخ والمشتري وزحل تدور حول الشمس المتوسطة في مدارات لا مركزية، بينما تدور الشمس المتوسطة حول الأرض. ويلاحظون أن هذا هو النموذج الذي اقترحه تيخو براهي قرب نهاية القرن السادس عشر، “وإن كان لاعتبارات مختلفة تماما”. وفيه تدور الشمس المتوسطة حول الأرض، فليس هو الترتيب الكوبرنيكي.

كيف وصل الكتاب إلى قراء أوسع

كتب جون وارن، الذي أدار مرصد مدراس في أوائل القرن التاسع عشر، في كتابه الصادر عام 1825 أن فلكيا هنديا أعطاه متسلسلة باي. وذهب تشارلز ويش، موظف شركة الهند الشرقية الذي قضى أكثر من خمس عشرة سنة في مالابار وكان يقرأ الماليالامية والسنسكريتية، بالأمر أبعد. فقُرئت ورقته عن التربيع الهندي للدائرة أمام الجمعية الآسيوية الملكية في 15 ديسمبر 1832 وطُبعت في المجلد 3 من Transactions عام 1834. وهي تسمي أربعة نصوص، تانتراسانغراها ويوكتيبهاسا وكارانا بادهاتي وسادراتنامالا، وتنتهي بوعد: “عرض آخر لـ Yucti-Bhasha، براهين قواعد تربيع الدائرة بمتسلسلات لانهائية” سيأتي في ورقة منفصلة.

ومات ويش في 14 أبريل 1833 ولم تظهر الورقة الثانية. ويذكر سرينيفاس أن ويش كتب على أول سعفة نخيل فارغة من إحدى مخطوطتيه ليوكتيبهاسا، وهي الآن في الجمعية الآسيوية الملكية في لندن، أنها تحوي “برهان متسلسلة المؤلفين اللانهائية”.

وكان الاستقبال في بريطانيا متباينا. فيذكر راماسوبرامانيان أن جورج هاين، العضو البارز في جمعية مدراس الأدبية، خلص في عشرينيات القرن التاسع عشر إلى أن المتسلسلة مستعارة من الأوروبيين، وأن وارن قرر الأخذ برأيه. ويضيف سرينيفاس أن أوغسطس دي مورغان كتب عام 1843 أنه كان سيرفض ورقة ويش بوصفها “خدعة ذكية” لولا أنها ظهرت في Transactions الجمعية نفسها، واقترح أن الفلكي الفرنسي لو جنتيل أو مبشرين كاثوليك ربما زودوا الهنود بالمتسلسلة. ويصف سرينيفاس وراماسوبرامانيان كلاهما صمتا طويلا بعد ذلك بين المؤرخين الأوروبيين. وأعطى مؤرخ العلم ديفيد بينغري، في محاضرة نُشرت عام 1992، سببين له: أن المؤرخين الغربيين لم يستطيعوا في البداية الإقرار بأن هنديا اكتشف التفاضل والتكامل، ثم أن أحدا لم يقرأ Transactions الجمعية. ويعترض سرينيفاس على جزء من ذلك، قائلا إن ورقة ويش لقيت اهتماما واسعا في العقد التالي لقراءتها. وجادل بينغري أيضا بأن إنجاز مادهافا ينبغي ألا يُخلط باكتشاف التفاضل والتكامل، لأنه قام على حجج هندسية وجبرية.

وبدأ الاسترداد في الهند. فكتب بيبوتيبوشان دتا عن القيم الهندية لـ باي عام 1926، وأ. ن. سينغ عن استعمال المتسلسلات عام 1936، ونشر ج. ت. راجاغوبال وزملاؤه شروحا في أربعينيات القرن العشرين. وفي 1948 أصدر راما فارما تامبوران وأ. ر. أخيليشوارايير جزء الرياضيات من يوكتيبهاسا مع شروح بالماليالامية. وتقول Springer إن طبعة 2008 أول طبعة نقدية للنص الماليالامي كاملا، وتضيف ترجمة إنجليزية وشروحا لراماسوبرامانيان وسرينيفاس وسريرام.

ما تشمله الدعاوى

في النطاق، يصرح راماسوبرامانيان: اقتصر رياضيو كيرالا في بحثهم على تربيع الدائرة ودوال مثلثية معينة، بينما تناول الرياضيون الأوروبيون منحنيات اعتباطية بتعريفات صورية ومعالجة عامة. واختلف السياق والغاية كذلك، في روايته. واعتراض بينغري، المذكور أعلاه، هو الرأي المقابل الأشهر. وتسمية طرائق يوكتيبهاسا تفاضلا وتكاملا أو لا تتوقف على مدى اتساع الكلمة عند القارئ، وتستعمل المصادر ألفاظا مختلفة لها.

وتبقى نقاط أخرى مفتوحة. فكتابات مادهافا الرياضية نفسها مفقودة. وتأريخ يوكتيبهاسا يتباين بنحو عقدين عبر المصادر أعلاه. ولا يدّعي هذا المقال أن أيا من النتائج وصلت إلى أوروبا قبل القرن السابع عشر.

يعطي فهرس Springer للطبعة ذات المجلدين طولها: LXVIII صفحة تمهيدية و1,084 صفحة.