సుమారు 1530లో మలయాళంలో రాసిన జ్యేష్ఠదేవుని యుక్తిభాష, కేరళ పాఠశాల పై, సైన్, కొసైన్ శ్రేణులకు దశలవారీ నిరూపణలు ఇస్తుంది

యుక్తిభాష సుమారు 1530లో కేరళ భాష మలయాళంలో రాసిన నిరూపణల గ్రంథం. దాని రచయిత జ్యేష్ఠదేవుడు కేరళ గణిత, ఖగోళ పాఠశాల ఫలితాలను తీసుకుని, ప్రతిదీ ఎందుకు సరైనదో చూపించాడు. కె. వి. శర్మ సంపాదకత్వం, అనువాదంతో, కె. రామసుబ్రమణియన్, ఎం. డి. శ్రీనివాస్, ఎం. ఎస్. శ్రీరామ్ వివరణ గమనికలతో 2008లో ప్రచురించిన విమర్శనాత్మక సంచిక, ఆ పాఠ్యాన్ని గణితం, ఖగోళ శాస్త్రం అనే రెండు భాగాల్లో పదిహేను అధ్యాయాలుగా వర్ణిస్తుంది. 14వ శతాబ్దంలో జీవించిన సంగమగ్రామ మధవకు తరువాతి రచయితలు ఆపాదించే పై, సైన్, కొసైన్ అనంత శ్రేణులు అది ఉత్పాదించే ఫలితాల్లో ఉన్నాయి.

కాలం స్థిరంగా లేదు. స్ప్రింగర్ సంచిక, కె. రామసుబ్రమణియన్ సుమారు 1530 అంటారు. ఎం. డి. శ్రీనివాస్ ఉటంకించిన 2010 సమీక్షలో గణిత శాస్త్రవేత్త డేవిడ్ మమ్‌ఫోర్డ్ “బహుశా సుమారు 1540” అని రాశారు. సెయింట్ ఆండ్రూస్ గణిత చరిత్ర ఆర్కైవ్ అయిన మాక్‌ట్యూటర్ సుమారు 1550 ఇస్తుంది. ఈ వ్యాసం సుమారు 1530ని వాడుతూ పరిధిని కనిపించేలా ఉంచుతుంది. శ్రేణుల గురించి, అవి యూరప్‌కు చేరాయా అనే ప్రశ్న గురించి మధవ, కేరళ పాఠశాల గురించిన ముందటి వ్యాసం చెబుతుంది. ఇది వాటిని నిరూపించే పుస్తకం గురించి.

ప్రజలు మాట్లాడే భాషలో ఒక వ్యాఖ్యానం

1444లో పుట్టిన నీలకంఠ సోమయాజి రాసిన ప్రధాన ఖగోళ గ్రంథం తంత్రసంగ్రహాన్ని వివరించడానికి జ్యేష్ఠదేవుడు యుక్తిభాష రాశాడు. తంత్రసంగ్రహం ఎనిమిది అధ్యాయాల్లో 432 సంస్కృత శ్లోకాలని మాక్‌ట్యూటర్ వర్ణిస్తుంది, ఆర్యభటీయంపై కూడా నీలకంఠుడు వ్యాఖ్యానం రాశాడని చెబుతుంది. సుమారు 1500 నాటిదని కాలనిర్ణయం చేసిన ఆ గ్రంథంలో “చెప్పినట్లుగా” గ్రహ గతుల గణన వెనుక ఉన్న పద్ధతులను జ్యేష్ఠదేవుని పుస్తకం వివరిస్తుందని సంచిక వివరణలో స్ప్రింగర్ చెబుతుంది.

దాని పద్ధతి పేరులోనే ఉంది. యుక్తి అంటే తర్కం లేదా నిరూపణ, గణిత ఖగోళ ఫలితాలకు ఆ పాఠ్యం “వివరణాత్మక యుక్తులను అందిస్తుంది” అని సంచిక సొంత వివరణ చెబుతుంది. అందులో సిద్ధాంతాల నిరూపణలు, నియమాల ఉత్పాదనలు ఉన్నాయని, “భారతీయ గణిత గ్రంథంలో చాలా అసాధారణంగా” అని మాక్‌ట్యూటర్ అంటుంది. ఆ పుస్తకం కేరళ గణితం గురించిన సర్వే అని కూడా అది చెబుతుంది, కాబట్టి పాఠకుడికి మధవ ఫలితాలు తరువాతి రచయిత వివరణ ద్వారా అందుతాయి. శ్రేణులు ఉన్న మధవ సొంత రచనలు అందుబాటులో లేవని, సంప్రదాయంలోని తరువాతి గణిత శాస్త్రవేత్తలు అభిప్రాయభేదం లేకుండా వాటిని ఆయనకు ఆపాదిస్తారని రామసుబ్రమణియన్ రాస్తారు.

దీన్ని ఎవరు రాశారన్నది 1958లోనే తేలింది. 1834లో చార్లెస్ విష్ రచయితను సెల్లలూర నంబూతిరి అని పేర్కొన్నారు, పేరు గురించిన గందరగోళం ఆ సంవత్సరం వరకు కొనసాగిందని, ఆ సంవత్సరం కె. వి. శర్మకు కేరళ విశ్వవిద్యాలయ గ్రంథాలయంలోని ఒక చేతిరాత ప్రతిలో “భాష”, అంటే స్థానిక భాష పుస్తకానికి జ్యేష్ఠదేవుడే రచయిత అని చూపే ఒక ప్రకటన దొరికిందని శ్రీనివాస్ చెబుతారు. బరోడాలోని ఒక చేతిరాత ప్రతి, నీలకంఠునిలాగే జ్యేష్ఠదేవుడు కూడా పరమేశ్వరుని కుమారుడైన దామోదరుని శిష్యుడని చేర్చింది.

దిద్దుబాట్లు, ఘాతాలు, వృత్తానికి ఒక శ్రేణి

పై శ్రేణి నిరూపణ చిన్న ఫలితాలతో నిర్మితమైంది, రామసుబ్రమణియన్ ఆ గొలుసును వివరిస్తారు.

ఒక లంకె ఒకటి ను ఒకటి కూడిక x తో భాగించిన భిన్నం విస్తరణ. ఇది ఒక సరళ సర్వసమానత్వంతో మొదలై, ఒక సంఖ్యతో భాగహారాన్ని మరో సంఖ్యతో భాగహారంగా మారుస్తుంది, ప్రతి మార్పుకు ఒక దిద్దుబాటు అవసరమవుతుంది. ఆ దిద్దుబాట్లు కలిసి ఒక ఏకాంతర శ్రేణిని ఏర్పరుస్తాయి. దిద్దుబాట్లకు తార్కిక ముగింపు లేదని, కావలసిన ఖచ్చితత్వం వచ్చాక ప్రక్రియను ఆపవచ్చని యుక్తిభాష, భాస్కర II లీలావతికి శంకర వారియర్, ఆయన శిష్యుడు నారాయణ రాసిన సంస్కృత వ్యాఖ్యానం క్రియాక్రమకరి రెండూ చెబుతాయి.

మరో లంకె పూర్ణాంక ఘాతాల మొత్తాలను అంచనా వేసే సాధారణ పద్ధతి. n పెద్ద సంఖ్యలో పదాలకు, 1, 2 నుండి n వరకు ఉన్న k వ ఘాతాల మొత్తం సుమారు n యొక్క k+1 వ ఘాతాన్ని k+1 తో భాగించినంత ఉంటుంది. ఆ పాఠ్యం ఇచ్చే విధానం ఆగమన నిరూపణతో సమానమని రామసుబ్రమణియన్ అంటారు.

మూడో లంకె శ్రేణే. శంకర వారియర్ ఉటంకించిన మధవ శ్లోకం, వ్యాసాన్ని నాలుగుతో గుణించి, ఆ లబ్ధాన్ని ప్రతి బేసి సంఖ్యతో వరుసగా భాగించి, ఏకాంతరంగా తీసివేసి, కూడమని పాఠకుడికి చెబుతుంది. ఆధునిక భాషలో, చుట్టుకొలత నాలుగు రెట్ల వ్యాసం, మైనస్ మూడుతో భాగించిన నాలుగు రెట్ల వ్యాసం, ప్లస్ ఐదుతో భాగించిన నాలుగు రెట్ల వ్యాసం, ఇలా సాగుతుంది. జ్యేష్ఠదేవుని ఉత్పాదన వృత్తం చుట్టూ ఉన్న చతురస్రంలో ఒక పాదాన్ని తీసుకుని, ఒక భుజాన్ని n సమాన భాగాలుగా విభజించి, ప్రతి విభజన బిందువును కేంద్రంతో కలుపుతుంది. తరువాత, n పెద్దదైనప్పుడు చిన్న చాపాల అర్ధ జ్యాలు “ముఖ్యంగా చాప ముక్కలే” అని ఆయన వాదిస్తాడు, రామసుబ్రమణియన్ అనువదించినట్టు. ముక్కలను కూడి, ఘాత మొత్తాల అంచనాలను వాడితే శ్రేణి వస్తుంది, దాన్ని గ్రెగరీ, లీబ్నిజ్ దాదాపు మూడు శతాబ్దాల తరువాత తిరిగి కనుగొన్నారని రామసుబ్రమణియన్ మాటల్లో.

చివరిది వేగం గురించి. పై శ్రేణి చాలా నెమ్మదిగా అభిసరిస్తుంది, ఏదో ఒక పదం దగ్గర ఆపిన తరువాత వేసే దిద్దుబాటైన అంత్య సంస్కారం అనే పద్ధతిని రామసుబ్రమణియన్ వర్ణిస్తారు. వరుసగా మెరుగైన మూడు రకాల దిద్దుబాట్లు ఎలా వస్తాయో ఆ పాఠ్యం చర్చిస్తుంది. వి. ఎన్. కృష్ణచంద్రన్ 2024 ప్రీప్రింట్‌లో ఆ వాదనల్లో మొదటిదాన్ని ఇలా చదువుతారు: పాఠ్యం ఒక చక్కని దిద్దుబాటు ఎంపికను ప్రయత్నిస్తుంది, అది ప్రతి బేసి సంఖ్య దగ్గర దిద్దుబాటును ఒకేలా చేస్తుందని, అది సాధ్యం కాదని చూసి, దగ్గరగా ఉన్న రెండు సరి సంఖ్యల మధ్య ఎంచుకుంటుంది, తొలి అంచనాగా n కి నాలుగు రెట్లను తీసుకుంటుంది. మూడో దిద్దుబాటుతో శ్రేణిలోని సుమారు 25 పదాలు పైని 10 దశాంశ స్థానాల వరకు సరిగ్గా ఇస్తాయని రామసుబ్రమణియన్ గమనిస్తారు.

మధవ ఇచ్చిన పై విలువ, దాన్ని నీలకంఠుడు, శంకర వారియర్ ఇద్దరూ ఉటంకిస్తారు, 2,827,433,388,233 ను 900,000,000,000 తో భాగించినది, అంటే 3.141592653592. అది 11 దశాంశ స్థానాల వరకు సరైనది. మాక్‌ట్యూటర్ వేరే మార్గంలో, 12 వర్గమూలం ముందున్న, 21 పదాల వరకు కూడిన ఒక శ్రేణితో, అదే 11 స్థానాలకు చేరుతుంది.

సైన్, కొసైన్

యుక్తిభాష సైన్, కొసైన్ శ్రేణులను కూడా ఉత్పాదిస్తుంది. నిరూపణ కోసం రామసుబ్రమణియన్ పాఠకులను సాహిత్యం వైపు పంపుతారు, గణిత శాస్త్రవేత్త పి. పి. దివాకరన్ తీర్పును ఉటంకిస్తారు. న్యూటన్ తన శ్రేణిని వరుస పదాలను వాటి రూపం నుండి “ఊహించి” కనుగొన్నాడని, సైన్, కొసైన్ భేదాన్ని లేదా అవకలన సమీకరణాన్ని సమాకలనం చేసే యుక్తిభాష విధానం దివాకరన్ మాటల్లో “పూర్తిగా భిన్నమైనది, చాలా ఆధునికమైనది” అని ఆయన గమనిస్తారు.

శ్రీనివాస్ ఉటంకించిన సమీక్షలో మమ్‌ఫోర్డ్, “ఈ ఫలితాల అనధికారిక వివరణ పూర్తి ఉత్పాదనలతో” మలయాళంలో మిగిలి ఉందని, అది భారతీయ పద్ధతులపై ఒక విశిష్ట అంతర్దృష్టిని ఇస్తుందని రాశారు, ఆ పద్ధతులను ఆయన పునరావృతి, ఆగమనం, జాగ్రత్తగా పరిమితికి చేరడం అని సంక్షిప్తం చేస్తారు.

ఖగోళ శాస్త్ర భాగం

సంచిక రెండో సంపుటి ఎనిమిది ఖగోళ అధ్యాయాలను జాబితా చేస్తుంది: గ్రహాల గణన, భూమి, ఖగోళ గోళాలు, పదిహేను సమస్యలు, శంకు ఛాయ, గ్రహణం, వ్యతీపాతం, గ్రహాలకు దృగ్గోచర దిద్దుబాట్లు, చంద్రుని శృంగాల ఉన్నతి.

ఖగోళ శాస్త్రంలో చాలా భాగం పాత భారతీయ గ్రహ నమూనాను నీలకంఠుడు సవరించిన తీరును అనుసరిస్తుంది. సుమారు 1500లో రాసిన తంత్రసంగ్రహంలో బుధ, శుక్ర గ్రహాల కేంద్ర సమీకరణాన్ని సగటు సూర్యునికి బదులు సగటు సూర్య కేంద్రక గ్రహానికి నీలకంఠుడు వర్తింపజేశాడని రామసుబ్రమణియన్, శ్రీనివాస్, శ్రీరామ్ రాస్తున్నారు. ప్రాచీన గ్రీకు, ఇస్లామిక్, యూరోపియన్ గ్రహ సిద్ధాంతాలు కెప్లర్ వరకు దాన్ని సగటు సూర్యునికి వర్తింపజేశాయని, సరైన నియమాన్ని యూరోపియన్ సంప్రదాయంలో 17వ శతాబ్దం మొదట్లో మాత్రమే రూపొందించారని వారు చేరుస్తున్నారు. నీలకంఠుని నమూనాతో పాటు వచ్చే రేఖాగణిత చిత్రం గురించి జ్యేష్ఠదేవుని పుస్తకం వివరణాత్మక వివరణ ఇస్తుందని వారు గమనిస్తున్నారు.

అదే రచయితల ప్రకారం, ఒక చిన్న గ్రంథంలో నీలకంఠుడు తన విశ్వ నమూనాను చెబుతాడు: బుధ, శుక్ర, కుజ, గురు, శని గ్రహాలు సగటు సూర్యుని చుట్టూ విపరీత కేంద్ర కక్ష్యల్లో తిరుగుతాయి, సగటు సూర్యుడు భూమి చుట్టూ తిరుగుతాడు. ఇది 16వ శతాబ్దం చివరి వైపు టైకో బ్రాహె ప్రతిపాదించిన నమూనా అని, “పూర్తిగా భిన్నమైన పరిగణనలతో అయినప్పటికీ” అని వారు గమనిస్తున్నారు. అందులో సగటు సూర్యుడు భూమి చుట్టూ తిరుగుతాడు, కాబట్టి అది కోపర్నికస్ అమరిక కాదు.

పుస్తకం విస్తృత పాఠకులకు ఎలా చేరింది

19వ శతాబ్దం మొదట్లో మద్రాస్ వేధశాలను నడిపిన జాన్ వారెన్, ఒక భారతీయ ఖగోళ శాస్త్రవేత్త తనకు పై శ్రేణిని ఇచ్చాడని తన 1825 పుస్తకంలో రాశారు. పదిహేనేళ్లకు పైగా మలబార్‌లో గడిపి, మలయాళం, సంస్కృతం చదవగలిగిన ఈస్ట్ ఇండియా కంపెనీ సివిల్ సర్వెంట్ చార్లెస్ విష్ ఆ విషయాన్ని ముందుకు తీసుకెళ్లారు. వృత్తం చతురస్రీకరణపై ఆయన పత్రం 1832 డిసెంబర్ 15న రాయల్ ఏషియాటిక్ సొసైటీకి చదివి వినిపించి, దాని ట్రాన్సాక్షన్స్ మూడో సంపుటిలో 1834లో ముద్రించారు. అది తంత్రసంగ్రహం, యుక్తిభాష, కరణ పద్ధతి, సద్రత్నమాల అనే నాలుగు పాఠాలను పేర్కొంటుంది, “అనంత శ్రేణుల ద్వారా వృత్త చతురస్రీకరణ నియమాల నిరూపణలైన యుక్తిభాష గురించి మరింత వివరణ” ప్రత్యేక పత్రంలో వస్తుందన్న వాగ్దానంతో ముగుస్తుంది.

విష్ 1833 ఏప్రిల్ 14న మరణించారు, రెండో పత్రం ఎప్పటికీ రాలేదు. లండన్‌లోని రాయల్ ఏషియాటిక్ సొసైటీలో ఇప్పుడున్న తన రెండు యుక్తిభాష చేతిరాత ప్రతుల్లో ఒకదానిలోని మొదటి ఖాళీ తాటాకుపై అది “రచయితల అనంత శ్రేణి నిరూపణ” కలిగి ఉందని విష్ రాశారని శ్రీనివాస్ గమనిస్తారు.

బ్రిటన్‌లో స్వీకరణ మిశ్రమంగా ఉంది. మద్రాస్ లిటరరీ సొసైటీ సీనియర్ సభ్యుడు జార్జ్ హైన్ 1820లలో ఆ శ్రేణులను యూరోపియన్ల నుండి అరువు తెచ్చుకున్నారని నిర్ధారించారని, వారెన్ ఆయన అభిప్రాయంతో వెళ్లాలని నిర్ణయించుకున్నారని రామసుబ్రమణియన్ నివేదిస్తారు. 1843లో అగస్టస్ డి మోర్గన్, విష్ పత్రం సొసైటీ సొంత ట్రాన్సాక్షన్స్‌లో రాకపోయి ఉంటే దాన్ని “తెలివైన బూటకం”గా కొట్టిపారేసి ఉండేవాడినని రాశారని, ఫ్రెంచ్ ఖగోళ శాస్త్రవేత్త లె జాంతీ లేదా కేథలిక్ మిషనరీలు ఆ శ్రేణిని భారతీయులకు అందించి ఉండవచ్చని సూచించారని శ్రీనివాస్ చేరుస్తారు. ఆ తరువాత యూరోపియన్ చరిత్రకారుల్లో సుదీర్ఘ నిశ్శబ్దం ఉందని శ్రీనివాస్, రామసుబ్రమణియన్ ఇద్దరూ వర్ణిస్తారు. 1992లో ప్రచురించిన ఒక ఉపన్యాసంలో విజ్ఞాన శాస్త్ర చరిత్రకారుడు డేవిడ్ పింగ్రీ దానికి రెండు కారణాలు చెప్పారు: పాశ్చాత్య చరిత్రకారులు మొదట ఒక భారతీయుడు కాలిక్యులస్‌ను కనుగొన్నాడని అంగీకరించలేకపోయారు, తరువాత ఎవరూ సొసైటీ ట్రాన్సాక్షన్స్ చదవలేదు. దీనిలో ఒక భాగాన్ని శ్రీనివాస్ వివాదం చేస్తారు, విష్ పత్రం చదివిన తరువాతి దశాబ్దంలో అది విస్తృతంగా గమనించబడిందని ఆయన అంటారు. మధవ సాధన కాలిక్యులస్ కనుగొనడంతో కలగలిసి పోకూడదని, అది రేఖాగణిత, బీజగణిత వాదనలపై ఆధారపడిందని కూడా పింగ్రీ వాదించారు.

తిరిగి వెలుగులోకి తేవడం భారత్‌లో మొదలైంది. భారతీయ పై విలువలపై బిభూతిభూషణ్ దత్తా 1926లో, శ్రేణుల వాడకంపై ఎ. ఎన్. సింగ్ 1936లో రాశారు, 1940లలో సి. టి. రాజగోపాల్, సహచరులు వివరణలు ప్రచురించారు. 1948లో రామ వర్మ తంపురాన్, ఎ. ఆర్. అఖిలేశ్వరయ్యర్ యుక్తిభాష గణిత భాగాన్ని మలయాళంలో గమనికలతో ప్రచురించారు. మొత్తం మలయాళ పాఠ్యానికి 2008 సంచిక మొదటి విమర్శనాత్మక సంచిక అని, రామసుబ్రమణియన్, శ్రీనివాస్, శ్రీరామ్ చేసిన ఆంగ్ల అనువాదాన్ని, వివరణ గమనికలను అది చేర్చిందని స్ప్రింగర్ చెబుతుంది.

వాదనలు ఏం కవర్ చేస్తాయి

పరిధి విషయంలో రామసుబ్రమణియన్ స్పష్టంగా ఉన్నారు: కేరళ గణిత శాస్త్రవేత్తలు తమ చర్చను వృత్త చతురస్రీకరణకు, కొన్ని త్రికోణమితి ప్రమేయాలకు పరిమితం చేశారు, యూరోపియన్ గణిత శాస్త్రవేత్తలు అనియత వక్రాలను అధికారిక నిర్వచనాలతో, సాధారణ చికిత్సతో చేపట్టారు. ఆయన వివరణలో సందర్భం, ఉద్దేశం కూడా భిన్నంగా ఉన్నాయి. పింగ్రీ అభ్యంతరం, పైన చెప్పినది, అత్యంత ప్రసిద్ధ ప్రతి దృక్పథం. యుక్తిభాష పద్ధతులను ఒక పాఠకుడు కాలిక్యులస్ అంటాడా అన్నది ఆ పదాన్ని ఎంత విస్తృతంగా గీస్తారన్న దానిపై ఆధారపడుతుంది, వనరులు దానికి వేర్వేరు పదాలు వాడతాయి.

ఇతర అంశాలు తెరిచే ఉన్నాయి. మధవ సొంత గణిత రచనలు పోయాయి. పైన ఉన్న వనరుల్లో యుక్తిభాష కాలనిర్ణయం సుమారు రెండు దశాబ్దాల మేర మారుతుంది. 17వ శతాబ్దానికి ముందే ఏ ఫలితమైనా యూరప్‌కు చేరిందని ఈ వ్యాసం చెప్పడం లేదు.

రెండు సంపుటాల సంచిక పొడవును LXVIII ప్రారంభ పేజీలు, 1,084 పేజీలుగా స్ప్రింగర్ కేటలాగ్ నమోదు ఇస్తుంది.