জ্যেষ্ঠদেবের যুক্তিভাষা, প্রায় ১৫৩০ সালে মালয়ালমে লেখা, কেরালা বিদ্যালয়ের পাই, সাইন ও কোসাইনের শ্রেণির ধাপে ধাপে প্রমাণ দেয়

যুক্তিভাষা প্রমাণের একটি বই, লেখা কেরালার ভাষা মালয়ালমে, প্রায় ১৫৩০ সালে। এর লেখক জ্যেষ্ঠদেব গণিত ও জ্যোতির্বিজ্ঞানের কেরালা বিদ্যালয়ের ফলগুলি নিয়ে দেখিয়েছেন কেন প্রতিটি সত্য। কে. ভি. শর্মার সম্পাদনা ও অনুবাদে এবং কে. রামাসুব্রহ্মণ্যম, এম. ডি. শ্রীনিবাস ও এম. এস. শ্রীরামের ব্যাখ্যামূলক টীকা সহ ২০০৮ সালে প্রকাশিত সমালোচনামূলক সংস্করণ পাঠটিকে বর্ণনা করেছে দুই ভাগে পনেরোটি অধ্যায় হিসেবে, গণিত আর জ্যোতির্বিজ্ঞান। এতে যে ফলগুলি প্রতিপাদিত হয়েছে তার মধ্যে আছে পাই, সাইন ও কোসাইনের অসীম শ্রেণি, যা পরের লেখকেরা ১৪শ শতকে বাস করা সঙ্গমগ্রামের মাধবের নামে চালিয়েছেন।

তারিখ স্থির নয়। স্প্রিংগারের সংস্করণ আর কে. রামাসুব্রহ্মণ্যম দিয়েছেন প্রায় ১৫৩০। এম. ডি. শ্রীনিবাসের উদ্ধৃত ২০১০ সালের এক সমালোচনায় গণিতজ্ঞ ডেভিড মামফোর্ড লিখেছেন “সম্ভবত প্রায় ১৫৪০”। সেন্ট অ্যান্ড্রুজ বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতের ইতিহাসের সংগ্রহশালা ম্যাকটিউটর দিয়েছে প্রায় ১৫৫০। এই লেখা প্রায় ১৫৩০ ধরেছে আর পরিসরটি চোখের সামনে রেখেছে। মাধব ও কেরালা বিদ্যালয় নিয়ে আগের একটি লেখায় আছে শ্রেণিগুলি নিজে আর সেগুলি ইউরোপে পৌঁছেছিল কি না সেই প্রশ্ন। এটি সেই বইটি নিয়ে, যা সেগুলি প্রমাণ করে।

মানুষের কথ্য ভাষায় এক টীকা

জ্যেষ্ঠদেব যুক্তিভাষা লিখেছিলেন ১৪৪৪ সালে জন্মানো নীলকণ্ঠ সোমায়াজির প্রধান জ্যোতির্বিজ্ঞান গ্রন্থ তন্ত্রসংগ্রহ ব্যাখ্যা করতে। ম্যাকটিউটর তন্ত্রসংগ্রহকে বর্ণনা করেছে আটটি অধ্যায়ে ৪৩২টি সংস্কৃত শ্লোক হিসেবে, এবং বলেছে নীলকণ্ঠ আর্যভটীয়-র একটি টীকাও লিখেছিলেন। সংস্করণটির বিবরণে স্প্রিংগার বলছে, জ্যেষ্ঠদেবের বই গ্রহগতির গণনার পেছনের কৌশল সাজিয়েছে সেই গ্রন্থে “যেমন বলা আছে” সেভাবে, যার তারিখ সে দিয়েছে প্রায় ১৫০০।

এর পদ্ধতি নামেই আছে। যুক্তি হলো যুক্তিসূত্র বা প্রদর্শন, আর সংস্করণের নিজের বিবরণ বলছে পাঠটি গাণিতিক জ্যোতির্বিজ্ঞানের ফলগুলির জন্য “বিস্তারিত যুক্তি উপস্থাপন করে”। ম্যাকটিউটর বলছে, এতে আছে উপপাদ্যের প্রমাণ আর নিয়মের প্রতিপাদন, “ভারতীয় গণিতগ্রন্থের পক্ষে অত্যন্ত অস্বাভাবিকভাবে”। সে আরও বলছে বইটি কেরালার গণিতের এক জরিপ, তাই পাঠক মাধবের ফল পান পরের এক লেখকের ব্যাখ্যার মধ্য দিয়ে। রামাসুব্রহ্মণ্যম লিখেছেন, যে শ্রেণিগুলি আছে মাধবের সেই নিজস্ব রচনা পাওয়া যায় না, আর ধারার পরের গণিতবিদেরা বিনা মতভেদে সেগুলি তাঁর নামে চালান।

রচয়িতা কে, তা ঠিক হয়েছে শুধু ১৯৫৮ সালে। চার্লস হুইশ ১৮৩৪ সালে লেখকের নাম বলেছিলেন চেল্লালুর নাম্বুতিরি, আর শ্রীনিবাস বলছেন নামটি নিয়ে বিভ্রান্তি চলেছিল ওই বছর পর্যন্ত, যখন কে. ভি. শর্মা কেরালা বিশ্ববিদ্যালয়ের গ্রন্থাগারের এক পাণ্ডুলিপিতে এমন এক উক্তি পান, যা জ্যেষ্ঠদেবকে “ভাষা”, মাতৃভাষার বইটির লেখক দেখায়। বরোদার একটি পাণ্ডুলিপি যোগ করেছে যে জ্যেষ্ঠদেব, নীলকণ্ঠের মতোই, ছিলেন পরমেশ্বরের পুত্র দামোদরের ছাত্র।

সংশোধন, ঘাত আর বৃত্তের একটি শ্রেণি

পাই শ্রেণির প্রমাণ গড়া ছোট ছোট ফল থেকে, আর রামাসুব্রহ্মণ্যম সেই শৃঙ্খল ধরে ধরে দেখিয়েছেন।

একটি ধাপ হলো ১/(১+x) ভগ্নাংশের বিস্তার। এটি শুরু হয় এক সরল অভেদ থেকে আর একটি সংখ্যা দিয়ে ভাগকে অন্য সংখ্যা দিয়ে ভাগে বদলায়, এবং প্রতিটি বদলে লাগে একটি সংশোধন। সংশোধনগুলি মিলে একটি পর্যায়ক্রমিক শ্রেণি গড়ে। যুক্তিভাষা এবং ভাস্কর II-এর লীলাবতী-র ওপর শংকর বারিয়ার ও তাঁর ছাত্র নারায়ণের সংস্কৃত টীকা ক্রিয়াক্রমকরী, দুটিই বলে সংশোধনগুলির কোনো যুক্তিসম্মত শেষ নেই, আর কাঙ্ক্ষিত নির্ভুলতায় পৌঁছালে প্রক্রিয়াটি থামানো যায়।

আরেকটি ধাপ হলো পূর্ণসংখ্যার ঘাতের যোগফল আন্দাজ করার এক সাধারণ পদ্ধতি। বড় পদসংখ্যা n-এর জন্য ১, ২, থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার k-তম ঘাতের যোগফল দাঁড়ায় প্রায় n-এর k+1 ঘাতকে k+1 দিয়ে ভাগ করলে যা হয়। রামাসুব্রহ্মণ্যম বলছেন, পাঠটি যে পদ্ধতি দিয়েছে তা আরোহ পদ্ধতিতে প্রমাণের সমতুল্য।

তৃতীয় ধাপটি শ্রেণিটি নিজেই। মাধবের শ্লোক, যেভাবে শংকর বারিয়ার তা উদ্ধৃত করেছেন, পাঠককে বলে ব্যাসকে চার দিয়ে গুণ করতে, তারপর সেই গুণফলকে প্রতিটি বিজোড় সংখ্যা দিয়ে একে একে ভাগ করতে, পর্যায়ক্রমে বিয়োগ আর যোগ করে। আধুনিক ভাষায় পরিধি সমান চার গুণ ব্যাস, বিয়োগ ব্যাসের চার গুণকে তিন দিয়ে ভাগ, যোগ ব্যাসের চার গুণকে পাঁচ দিয়ে ভাগ, এভাবে চলে। জ্যেষ্ঠদেবের প্রতিপাদনে নেওয়া হয় বৃত্তকে ঘিরে থাকা বর্গের এক চতুর্থাংশ, এক বাহুকে n সমান ভাগে ভাগ করা হয় এবং প্রতিটি বিভাজন বিন্দু কেন্দ্রের সঙ্গে জোড়া হয়। এরপর তিনি যুক্তি দেন যে বড় n-এর জন্য ছোট চাপগুলির অর্ধজ্যা “মূলত চাপ-খণ্ডগুলিই”, রামাসুব্রহ্মণ্যমের অনুবাদে যেমন আছে। টুকরোগুলি যোগ করে আর ঘাতের যোগফলের আন্দাজ ব্যবহার করে মেলে শ্রেণিটি, যা গ্রেগরি ও লাইবনিজ আবার আবিষ্কার করেন, রামাসুব্রহ্মণ্যমের কথায়, প্রায় তিন শতাব্দী পরে।

শেষটি গতির প্রশ্ন। পাইয়ের শ্রেণি অত্যন্ত ধীরে অভিসারী, আর রামাসুব্রহ্মণ্যম বর্ণনা করেছেন অন্ত্য-সংস্কার নামের এক কৌশল, কোনো এক পদে থেমে প্রয়োগ করা সংশোধন। পাঠে আলোচনা আছে তিন ক্রমান্বয়ে উন্নত ধরনের সংশোধন কীভাবে মেলে। ভি. এন. কৃষ্ণচন্দ্রন ২০২৪ সালের এক প্রিপ্রিন্টে এর প্রথম যুক্তিটিকে এভাবে পড়েছেন: পাঠ একটি গোছানো সংশোধন বেছে দেখে যে তাতে প্রতিটি বিজোড় সংখ্যায় সংশোধন একই হবে, যা সম্ভব নয়, তাই কাছাকাছি দুটি জোড় সংখ্যার মধ্যে বেছে নেয়, প্রথম আন্দাজ হিসেবে n-এর চার গুণ নিয়ে। রামাসুব্রহ্মণ্যম জানিয়েছেন, তৃতীয় সংশোধন সহ শ্রেণির প্রায় ২৫টি পদ পাইকে ১০ দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ভুল দেয়।

মাধবের দেওয়া পাইয়ের একটি মান, যা নীলকণ্ঠ আর শংকর বারিয়ার দুজনেই উদ্ধৃত করেছেন, ২,৮২৭,৪৩৩,৩৮৮,২৩৩ কে ৯০০,০০০,০০০,০০০ দিয়ে ভাগ, অর্থাৎ ৩.১৪১৫৯২৬৫৩৫৯২। এটি ১১ দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ভুল। ম্যাকটিউটর একই ১১ স্থানে পৌঁছায় আলাদা পথে, সামনে ১২-এর বর্গমূল থাকা একটি শ্রেণি, ২১ পদ পর্যন্ত যোগ করে।

সাইন আর কোসাইন

যুক্তিভাষা সাইন ও কোসাইনের শ্রেণিও প্রতিপাদন করে। রামাসুব্রহ্মণ্যম প্রমাণের জন্য পাঠকদের সাহিত্যের দিকে পাঠিয়েছেন, এবং গণিতজ্ঞ পি. পি. দিবাকরনের একটি মত উদ্ধৃত করেছেন। দিবাকরন বলছেন, নিউটন তাঁর শ্রেণি পেয়েছিলেন পরপর পদগুলির আকার দেখে “আন্দাজ” করে, আর সাইন ও কোসাইনের অন্তর বা অবকল সমীকরণকে যুক্তিভাষা যেভাবে সমাকলন করে, দিবাকরনের ভাষায়, তা “সম্পূর্ণ আলাদা আর খুবই আধুনিক”।

শ্রীনিবাসের উদ্ধৃত সমালোচনায় মামফোর্ড লিখেছেন, এই ফলগুলির “পূর্ণ প্রতিপাদন সহ এক অনানুষ্ঠানিক ব্যাখ্যা” মালয়ালমে টিকে আছে এবং ভারতীয় পদ্ধতির এক অনন্য অন্তর্দৃষ্টি দেয়, যাকে তিনি সংক্ষেপে বলেছেন পুনরাবৃত্তি, আরোহ আর সীমায় সতর্ক উত্তরণ।

জ্যোতির্বিজ্ঞানের অর্ধেক

সংস্করণের দ্বিতীয় খণ্ডে আটটি জ্যোতির্বিজ্ঞান অধ্যায়ের তালিকা আছে: গ্রহের গণনা, পৃথিবী ও আকাশগোলক, পনেরোটি সমস্যা, শঙ্কু-ছায়া, গ্রহণ, ব্যতিপাত, গ্রহের দৃশ্যমানতার সংশোধন আর চাঁদের শৃঙ্গের উচ্চতা।

জ্যোতির্বিজ্ঞানের অনেকটাই অনুসরণ করে নীলকণ্ঠের সংশোধিত পুরনো ভারতীয় গ্রহ-মডেল। রামাসুব্রহ্মণ্যম, শ্রীনিবাস ও শ্রীরাম লিখেছেন, প্রায় ১৫০০ সালে রচিত তন্ত্রসংগ্রহে নীলকণ্ঠ বুধ ও শুক্রের জন্য কেন্দ্রের সমীকরণ প্রয়োগ করেছিলেন মধ্যম সূর্যের বদলে মধ্যম সূর্যকেন্দ্রিক গ্রহের ওপর। তাঁরা যোগ করেছেন, প্রাচীন গ্রিক, ইসলামি ও ইউরোপীয় গ্রহতত্ত্ব তা মধ্যম সূর্যের ওপর প্রয়োগ করত কেপলার পর্যন্ত, আর সঠিক নিয়মটি ইউরোপীয় ঐতিহ্যে প্রথম সূত্রবদ্ধ হয় ১৭শ শতকের গোড়ায়। তাঁরা উল্লেখ করেছেন যে জ্যেষ্ঠদেবের বই নীলকণ্ঠের মডেলের সঙ্গে যাওয়া জ্যামিতিক চিত্রের বিস্তারিত ব্যাখ্যা দেয়।

একই লেখকদের মতে একটি ছোট নিবন্ধে নীলকণ্ঠ তাঁর মহাজাগতিক মডেল বলেছেন: বুধ, শুক্র, মঙ্গল, বৃহস্পতি ও শনি বিকেন্দ্রিক কক্ষপথে মধ্যম সূর্যকে প্রদক্ষিণ করে, আর মধ্যম সূর্য প্রদক্ষিণ করে পৃথিবীকে। তাঁরা লক্ষ করেছেন, এটি সেই মডেল যা টাইকো ব্রাহে প্রস্তাব করেন ১৬শ শতকের শেষ দিকে, “যদিও সম্পূর্ণ আলাদা বিবেচনায়”। এতে মধ্যম সূর্য ঘোরে পৃথিবীর চারপাশে, তাই এটি কোপারনিকাসীয় বিন্যাস নয়।

বইটি কীভাবে বৃহত্তর পাঠকের কাছে পৌঁছাল

১৯শ শতকের গোড়ায় মাদ্রাজ মানমন্দির চালানো জন ওয়ারেন তাঁর ১৮২৫ সালের বইয়ে লিখেছিলেন যে এক ভারতীয় জ্যোতির্বিদ তাঁকে পাই শ্রেণিটি দিয়েছিলেন। ইস্ট ইন্ডিয়া কোম্পানির সরকারি কর্মচারী চার্লস হুইশ, যিনি মালাবারে পনেরো বছরের বেশি কাটিয়েছেন আর মালয়ালম ও সংস্কৃত পড়তে পারতেন, বিষয়টি আরও এগিয়ে নিয়ে যান। বৃত্তের হিন্দু বর্গীকরণ নিয়ে তাঁর প্রবন্ধ রয়্যাল এশিয়াটিক সোসাইটিতে পড়া হয় ১৮৩২ সালের ১৫ ডিসেম্বর আর ছাপা হয় এর ট্রানজ্যাকশনস-এর ৩য় খণ্ডে, ১৮৩৪ সালে। এতে চারটি পাঠের নাম আছে, তন্ত্রসংগ্রহ, যুক্তিভাষা, করণ পদ্ধতি আর সদ্রত্নমালা, আর শেষ হয়েছে একটি প্রতিশ্রুতি দিয়ে: “যুক্তিভাষার আরও একটি বিবরণ, অসীম শ্রেণি দিয়ে বৃত্তের বর্গীকরণের নিয়মগুলির প্রদর্শন” আলাদা এক প্রবন্ধে আসবে।

হুইশ মারা যান ১৮৩৩ সালের ১৪ এপ্রিল আর দ্বিতীয় প্রবন্ধটি কখনও বেরোয়নি। শ্রীনিবাস জানাচ্ছেন, হুইশ তাঁর দুটি যুক্তিভাষা পাণ্ডুলিপির একটির, যেটি এখন লন্ডনের রয়্যাল এশিয়াটিক সোসাইটিতে, প্রথম ফাঁকা তালপাতায় লিখে রেখেছিলেন যে তাতে আছে “লেখকদের অসীম শ্রেণির প্রদর্শন”।

ব্রিটেনে অভ্যর্থনা মিশ্র ছিল। রামাসুব্রহ্মণ্যম জানিয়েছেন, মাদ্রাজ লিটারারি সোসাইটির এক জ্যেষ্ঠ সদস্য জর্জ হাইন ১৮২০-র দশকে সিদ্ধান্তে এসেছিলেন যে শ্রেণিগুলি ইউরোপীয়দের কাছ থেকে ধার করা, আর ওয়ারেন তাঁর মতের পাশেই যাওয়া ঠিক করেন। শ্রীনিবাস যোগ করেছেন, ১৮৪৩ সালে অগাস্টাস ডি মরগান লেখেন যে হুইশের প্রবন্ধটি সোসাইটির নিজের ট্রানজ্যাকশনস-এ না থাকলে তিনি তাকে “চতুর প্রতারণা” বলে উড়িয়ে দিতেন, আর ইঙ্গিত দেন যে ফরাসি জ্যোতির্বিদ লে জঁতিল বা ক্যাথলিক ধর্মপ্রচারকেরা ভারতীয়দের শ্রেণিটি জুগিয়ে থাকতে পারেন। শ্রীনিবাস ও রামাসুব্রহ্মণ্যম দুজনেই পরে ইউরোপীয় ইতিহাসবিদদের মধ্যে এক দীর্ঘ নীরবতার কথা বলেছেন। বিজ্ঞানের ইতিহাসবিদ ডেভিড পিংগ্রি, ১৯৯২ সালে প্রকাশিত এক বক্তৃতায়, এর দুটি কারণ দিয়েছিলেন: পশ্চিমা ইতিহাসবিদেরা প্রথমে মানতে পারেননি যে কোনো ভারতীয় ক্যালকুলাস আবিষ্কার করেছে, আর পরে কেউ সোসাইটির ট্রানজ্যাকশনস পড়েননি। শ্রীনিবাস এর একটি অংশ নিয়ে দ্বিমত করে বলেছেন, পড়ার পরের দশকে হুইশের প্রবন্ধ ব্যাপকভাবে লক্ষ করা হয়েছিল। পিংগ্রি এ-ও যুক্তি দিয়েছেন যে মাধবের কীর্তিকে ক্যালকুলাস আবিষ্কারের সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা ঠিক নয়, কারণ তা দাঁড়িয়ে ছিল জ্যামিতিক ও বীজগাণিতিক যুক্তির ওপর।

পুনরুদ্ধার শুরু হয় ভারতে। বিভূতিভূষণ দত্ত ১৯২৬ সালে পাইয়ের হিন্দু মান নিয়ে লেখেন, এ. এন. সিং ১৯৩৬ সালে শ্রেণির ব্যবহার নিয়ে, আর সি. টি. রাজাগোপাল ও সহকর্মীরা ১৯৪০-এর দশকে ব্যাখ্যা প্রকাশ করেন। ১৯৪৮ সালে রামা বর্মা তম্পুরান ও এ. আর. অখিলেশ্বরাইয়ার যুক্তিভাষার গণিত অংশ মালয়ালমে টীকা সহ প্রকাশ করেন। স্প্রিংগার বলছে ২০০৮ সালের সংস্করণ পুরো মালয়ালম পাঠের প্রথম সমালোচনামূলক সংস্করণ, আর এতে রামাসুব্রহ্মণ্যম, শ্রীনিবাস ও শ্রীরামের ইংরেজি অনুবাদ ও ব্যাখ্যামূলক টীকা যোগ হয়েছে।

দাবিগুলি কতদূর পর্যন্ত

পরিধি নিয়ে রামাসুব্রহ্মণ্যম স্পষ্ট: কেরালার গণিতবিদেরা তাঁদের আলোচনা সীমিত রেখেছিলেন বৃত্তের বর্গীকরণ আর কিছু ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকে, আর ইউরোপীয় গণিতবিদেরা নিয়েছিলেন যেকোনো বক্ররেখা, আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা আর এক সাধারণ প্রক্রিয়া। তাঁর বিবরণে প্রেক্ষাপট ও উদ্দেশ্যও ছিল আলাদা। পিংগ্রির আপত্তি, ওপরে যা আছে, সবচেয়ে পরিচিত বিপরীত মত। কোনো পাঠক যুক্তিভাষার পদ্ধতিকে ক্যালকুলাস বলবেন কি না তা নির্ভর করে শব্দটিকে কতটা বিস্তৃত করে টানা হয় তার ওপর, আর সূত্রগুলি এর জন্য ব্যবহার করে ভিন্ন ভিন্ন শব্দ।

আরও কিছু বিষয় খোলা থেকে যায়। মাধবের নিজের গাণিতিক রচনা হারিয়ে গেছে। যুক্তিভাষার তারিখ ওপরের সূত্রগুলিতে প্রায় দুই দশকের ব্যবধানে বদলায়। এই লেখা দাবি করে না যে ফলগুলির কোনোটি ১৭শ শতকের আগে ইউরোপে পৌঁছেছিল।

স্প্রিংগারের ক্যাটালগ এন্ট্রি দুই খণ্ডের সংস্করণের দৈর্ঘ্য দিয়েছে LXVIII প্রারম্ভিক পৃষ্ঠা আর ১,০৮৪ পৃষ্ঠা।