贾耶什塔德瓦约1530年用马拉雅拉姆语写成的《尤克提巴沙》，一步一步证明了喀拉拉学派的圆周率、正弦和余弦级数

《尤克提巴沙》（Yuktibhasa）是一部用喀拉拉邦的语言马拉雅拉姆语写成的证明之书，成书于约1530年。作者贾耶什塔德瓦吸收了喀拉拉数学与天文学派的成果，并说明了每一项为何成立。2008年出版的校勘本由K. V. 萨尔马（K. V. Sarma）编辑并翻译，由K. 拉马苏布拉马尼安（K. Ramasubramanian）、M. D. 斯里尼瓦斯（M. D. Srinivas）和M. S. 斯里拉姆（M. S. Sriram）撰写解释性注释，书中把这部文本描述为十五章，分数学和天文两部分。它推导出的结果包括圆周率、正弦和余弦的无穷级数，后世的作者把这些级数归于14世纪的桑加马格拉马的马达瓦。

成书年代并不确定。施普林格的版本和K. 拉马苏布拉马尼安给出的是约1530年。在M. D. 斯里尼瓦斯引用的一篇2010年书评中，数学家大卫·芒福德写的是“也许约1540年”。圣安德鲁斯大学的数学史档案MacTutor给出的是约1550年。本文采用约1530年，同时把这个范围放在眼前。此前一篇关于马达瓦和喀拉拉学派的文章讲了这些级数本身，以及它们是否传到过欧洲的问题。这一篇讲的是证明它们的那本书。

一部用人们日常语言写成的注释

贾耶什塔德瓦写《尤克提巴沙》，是为了解释《坦特拉桑格拉哈》（Tantrasamgraha），这是生于1444年的尼拉坎塔·索马亚吉的主要天文论著。MacTutor把《坦特拉桑格拉哈》描述为八章共432节梵文诗，并说尼拉坎塔还为《阿耶波多历书》写过注释。施普林格对这个版本的介绍说，贾耶什塔德瓦的书阐述了这部论著中“所陈述的”行星运动计算背后的技术，并把这部论著的年代定为约1500年。

它的方法就在书名里。yukti是理据或论证，这个版本自己的介绍说，文本为数学天文学的结果“给出了详细的yukti”。MacTutor说，书中有定理的证明和规则的推导，“对于一部印度数学文本来说非常少见”。它还说这本书是对喀拉拉数学的总览，所以读者得到的是后来一位作者所作解释中的马达瓦的结果。拉马苏布拉马尼安写道，马达瓦自己含有这些级数的著作已经找不到了，该传统中后来的数学家毫无异议地把它们归于他。

作者是谁，直到1958年才得以确定。查尔斯·惠什（Charles Whish）在1834年把作者说成是切拉卢拉·南布提里（Cellalura Nambutiri），斯里尼瓦斯说，对名字的混淆一直持续到那一年，当时K. V. 萨尔马在喀拉拉大学图书馆的一份手稿中找到一段话，表明贾耶什塔德瓦是这部“巴沙”（bhasha，即方言书）的作者。巴罗达的一份手稿补充说，贾耶什塔德瓦和尼拉坎塔一样，是帕拉梅斯瓦拉之子达莫达拉的学生。

修正项、幂与圆的级数

圆周率级数的证明是由较小的结果搭建起来的，拉马苏布拉马尼安逐一走过了这条链条。

其中一环是1/(1+x)这个分式的展开。它从一个简单的恒等式出发，把除以一个数换成除以另一个数，每一次替换都需要一个修正。这些修正合在一起构成一个交错级数。《尤克提巴沙》和《克里亚克拉玛卡里》（Kriyakramakari，桑卡拉·瓦里亚尔及其学生纳拉亚纳为婆什迦罗二世的《丽拉瓦蒂》所作的梵文注释）都说，这些修正在逻辑上没有尽头，只要达到所需的精度，过程就可以停止。

另一环是估算整数幂之和的一般方法。对于项数n很大的情形，1、2直到n的k次幂之和约等于n的k+1次方除以k+1。拉马苏布拉马尼安说，文本给出的这套程序等同于一种归纳法证明。

第三环是级数本身。马达瓦的诗节，如桑卡拉·瓦里亚尔所引，告诉读者把直径乘以四，然后把这个乘积依次除以每一个奇数，交替地减去和加上。用现代的话说，周长等于直径的四倍，减去直径的四倍除以3，加上直径的四倍除以5，依此类推。贾耶什塔德瓦的推导取圆外接正方形的四分之一，把一条边分成n等份，再把每个分点与圆心相连。接着他论证，当n很大时，小弧的半弦“本质上就是弧段本身”，这是拉马苏布拉马尼安的译法。把这些小块加起来，再用幂和估算，就得到这个级数，用拉马苏布拉马尼安的话说，格雷戈里和莱布尼茨在差不多三个世纪之后又重新发现了它。

最后一环涉及速度。圆周率级数收敛得非常慢，拉马苏布拉马尼安描述了一种称为antya-samskara的技术，即在某一项停止后施加的一项修正。文本讨论了三种逐次改进的修正是怎样得出来的。V. N. 克里希纳昌德兰（V. N. Krishnachandran）在2024年的一篇预印本中，对第一个论证的解读是：文本试了一个整齐的修正选择，看出这会使每个奇数处的修正都相同，而这不可能成立，于是在两个相邻的偶数之间作选择，取n的四倍作为第一个近似。拉马苏布拉马尼安指出，用上第三种修正，级数的约25项就能给出精确到小数点后10位的圆周率。

马达瓦给出的一个圆周率值，尼拉坎塔和桑卡拉·瓦里亚尔都引用过，是2,827,433,388,233除以900,000,000,000，即3.141592653592，精确到小数点后11位。MacTutor从另一条路径得到同样的11位，用的是一个前面带12的平方根的级数，求和到21项。

正弦与余弦

《尤克提巴沙》也推导了正弦和余弦的级数。拉马苏布拉马尼安请读者去查文献了解证明，并引用了数学家P. P. 迪瓦卡兰（P. P. Divakaran）的一句评语。迪瓦卡兰指出，牛顿是通过根据形式“猜测”相继各项来得到他的级数的，而《尤克提巴沙》对正弦和余弦的差分或微分方程进行积分的方法，用迪瓦卡兰的话说，是“完全不同而且非常现代的”。

斯里尼瓦斯引用的那篇书评中，芒福德写道，对这些结果的“带有完整推导的非正式阐述”以马拉雅拉姆语保存了下来，为印度的方法提供了独特的洞见，他把这些方法概括为递归、归纳和谨慎的取极限。

天文那一半

这个版本的第二卷列出了八个天文章节：行星的计算，大地与天球，十五个问题，日晷影，日月食，vyatipata，行星的可见性修正，以及月牙尖的仰角。

天文部分的大部分内容沿用了尼拉坎塔对旧有印度行星模型的修订。拉马苏布拉马尼安、斯里尼瓦斯和斯里拉姆写道，在约1500年写成的《坦特拉桑格拉哈》中，尼拉坎塔把水星和金星的中心差应用在平均日心行星而不是平均太阳上。他们补充说，古希腊、伊斯兰和欧洲的行星理论一直是把它应用在平均太阳上，直到开普勒，而正确的规则在欧洲传统中首次被表述出来是在17世纪初。他们指出，贾耶什塔德瓦的书对与尼拉坎塔模型配套的几何图景作了详细阐述。

同样这几位作者说，尼拉坎塔在一篇短文中阐述了他的宇宙模型：水星、金星、火星、木星和土星沿偏心轨道绕平均太阳运行，而平均太阳绕地球运行。他们指出这就是第谷·布拉赫在16世纪末提出的模型，“尽管出于完全不同的考虑”。它让平均太阳绕地球运行，所以不是哥白尼式的安排。

这本书是怎样走向更广泛的读者的

19世纪初主管马德拉斯天文台的约翰·沃伦（John Warren）在他1825年的书中写道，一位印度天文学家给了他圆周率级数。东印度公司的文官查尔斯·惠什在马拉巴尔待了十五年以上，能读马拉雅拉姆语和梵语，他把这件事推进了一步。他关于印度人化圆为方的论文于1832年12月15日在皇家亚洲学会宣读，并于1834年刊于学会《学报》第3卷。论文点名了四部文本：《坦特拉桑格拉哈》、《尤克提巴沙》、《卡拉纳·帕达蒂》（Karana Padhati）和《萨德拉特纳玛拉》（Sadratnamala），并以一个承诺结尾：关于《尤克提巴沙》的“进一步说明，即用无穷级数求圆的方积的各条规则的证明”将另文发表。

惠什于1833年4月14日去世，第二篇论文始终没有问世。斯里尼瓦斯指出，惠什在他的两份《尤克提巴沙》手稿之一（现藏伦敦皇家亚洲学会）的第一片空白棕榈叶上写道，它包含“作者无穷级数的证明”。

在英国，反应不一。拉马苏布拉马尼安报告说，马德拉斯文学会的资深会员乔治·海因（George Hyne）在19世纪20年代得出结论，认为这些级数是从欧洲人那里借来的，沃伦决定采纳他的意见。斯里尼瓦斯补充说，1843年奥古斯都·德·摩根写道，如果惠什的论文不是刊登在学会自己的《学报》上，他会把它当作“聪明的骗局”而不予理会，并提出法国天文学家勒让蒂或天主教传教士可能把这些级数提供给了印度人。斯里尼瓦斯和拉马苏布拉马尼安都描述了此后欧洲历史学家中长期的沉默。科学史家大卫·平格里在1992年发表的一次演讲中给出了两个原因：西方历史学家起初无法承认是一个印度人发现了微积分，后来则是没有人读学会的《学报》。斯里尼瓦斯对其中一部分提出异议，说惠什的论文在宣读后的十年里受到了广泛关注。平格里还认为，不应把马达瓦的成就与微积分的发现混为一谈，因为它依靠的是几何和代数的论证。

重新找回的工作始于印度。比布蒂布山·达塔（Bibhutibhusan Datta）在1926年写了关于印度人圆周率数值的文章，A. N. 辛格（A. N. Singh）在1936年写了关于级数的使用，C. T. 拉贾戈帕尔（C. T. Rajagopal）及其同事在20世纪40年代发表了解释。1948年，拉马·瓦尔马·坦普兰（Rama Varma Tampuran）和A. R. 阿基莱斯瓦赖耶尔（A. R. Akhileswaraiyer）出版了带马拉雅拉姆语注释的《尤克提巴沙》数学部分。施普林格说，2008年的版本是整部马拉雅拉姆语文本的第一个校勘本，并增加了拉马苏布拉马尼安、斯里尼瓦斯和斯里拉姆所作的英译本和解释性注释。

这些主张涵盖到哪里

关于范围，拉马苏布拉马尼安说得很明确：喀拉拉的数学家把讨论限制在圆的求积和某些三角函数上，而欧洲数学家处理的是带有形式定义的任意曲线，并作了一般性的处理。在他的叙述中，背景和目的也不同。上面提到的平格里的异议，是最为人知的相反观点。一位读者是否把《尤克提巴沙》的方法称为微积分，取决于这个词划得多宽，而各来源用的是不同的词。

其他几点仍未解决。马达瓦本人的数学著作已经失传。《尤克提巴沙》的年代，在上述各来源之间相差约二十年。本文不主张其中任何一项结果在17世纪之前传到过欧洲。

施普林格对这个两卷本版本的目录条目给出的篇幅是LXVIII页前置部分和1,084页。