சுமார் 1530இல் மலையாளத்தில் எழுதப்பட்ட ஜ்யேஷ்டதேவரின் யுக்திபாஷா, கேரள பள்ளியின் பை, சைன், கொசைன் தொடர்களுக்கு படிப்படியான நிரூபணங்களைத் தருகிறது

யுக்திபாஷா என்பது கேரளத்தின் மொழியான மலையாளத்தில் சுமார் 1530இல் எழுதப்பட்ட ஒரு நிரூபண நூல். அதன் ஆசிரியர் ஜ்யேஷ்டதேவர், கேரள கணித மற்றும் வானியல் பள்ளியின் முடிவுகளை எடுத்து, ஒவ்வொன்றும் ஏன் உண்மை என்று காட்டினார். கே. வி. சர்மா தொகுத்து மொழிபெயர்த்து, கே. ராமசுப்பிரமணியன், எம். டி. சீனிவாஸ், எம். எஸ். ஸ்ரீராம் ஆகியோரின் விளக்கக் குறிப்புகளுடன் 2008இல் வெளியான திறனாய்வுப் பதிப்பு, இந்த நூலைக் கணிதம், வானியல் என இரண்டு பகுதிகளில் பதினைந்து அத்தியாயங்கள் கொண்டது என்று விவரிக்கிறது. அது வருவிக்கும் முடிவுகளில் பை, சைன், கொசைன் ஆகியவற்றுக்கான முடிவிலாத் தொடர்கள் அடங்கும்; 14ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த சங்கமகிராமத்து மாதவருக்குப் பிற்கால ஆசிரியர்கள் அவற்றைக் கூறுகின்றனர்.

காலம் உறுதியாக நிர்ணயிக்கப்படவில்லை. Springer பதிப்பும் கே. ராமசுப்பிரமணியனும் சுமார் 1530 என்று தருகின்றனர். எம். டி. சீனிவாஸ் மேற்கோள் காட்டும் 2010 மதிப்பாய்வில் கணிதவியலாளர் டேவிட் மம்ஃபோர்டு “ஒருவேளை சுமார் 1540” என்று எழுதினார். செயின்ட் ஆண்ட்ரூஸ் கணித வரலாற்றுக் காப்பகமான MacTutor சுமார் 1550 என்று தருகிறது. இந்தக் கட்டுரை சுமார் 1530ஐப் பயன்படுத்தி, வரம்பையும் பார்வையில் வைத்திருக்கிறது. மாதவரையும் கேரள பள்ளியையும் பற்றிய முந்தைய கட்டுரை தொடர்களையும், அவை ஐரோப்பாவை அடைந்தனவா என்ற கேள்வியையும் விவரிக்கிறது. இந்தக் கட்டுரை அவற்றை நிரூபிக்கும் நூலைப் பற்றியது.

மக்கள் பேசிய மொழியில் ஓர் உரை

1444இல் பிறந்த நீலகண்ட சோமயாஜியின் முக்கிய வானியல் நூலான தந்த்ரசங்கிரஹத்தை விளக்க ஜ்யேஷ்டதேவர் யுக்திபாஷாவை எழுதினார். தந்த்ரசங்கிரஹம் எட்டு அத்தியாயங்களில் 432 சமஸ்கிருதச் செய்யுள்கள் என்று MacTutor விவரிக்கிறது; ஆர்யபட்டீயத்துக்கு நீலகண்டர் ஒரு உரையும் எழுதினார் என்றும் கூறுகிறது. ஜ்யேஷ்டதேவரின் நூல் அந்த நூலில் “கூறப்பட்டுள்ளபடி” கோள் இயக்கங்களைக் கணக்கிடும் நுட்பங்களை விளக்குகிறது என்று பதிப்பின் Springer விளக்கம் கூறுகிறது; அந்த நூலை அது சுமார் 1500க்குக் காலக்கணிக்கிறது.

அதன் முறை தலைப்பிலேயே உள்ளது. யுக்தி என்பது காரணம் அல்லது நிரூபணம்; வானியல் கணிதத்தின் முடிவுகளுக்கு இந்த நூல் “விரிவான யுக்திகளை முன்வைக்கிறது” என்று பதிப்பின் சொந்த விளக்கம் கூறுகிறது. அதில் தேற்றங்களின் நிரூபணங்களும் விதிகளின் வருவிப்புகளும் உள்ளன, “ஓர் இந்தியக் கணித நூலுக்கு மிகவும் அசாதாரணமாக” என்று MacTutor கூறுகிறது. இது கேரளக் கணிதத்தின் ஒரு தொகுப்பு ஆய்வு என்றும் அது கூறுகிறது; எனவே வாசகர் மாதவரின் முடிவுகளை ஒரு பிற்கால ஆசிரியரின் விளக்கம் வழியாகப் பெறுகிறார். தொடர்களைக் கொண்ட மாதவரின் சொந்த நூல்கள் கிடைக்கவில்லை என்றும், மரபின் பிற்காலக் கணிதவியலாளர்கள் மறுப்பின்றி அவற்றை அவருக்குக் கூறுகின்றனர் என்றும் ராமசுப்பிரமணியன் எழுதுகிறார்.

ஆசிரியர் யார் என்பது 1958இல்தான் தீர்க்கப்பட்டது. 1834இல் சார்லஸ் விஷ் ஆசிரியரைச் செல்லலூர நம்பூதிரி என்று பெயரிட்டிருந்தார்; பெயர் குறித்த குழப்பம் அந்த ஆண்டு வரை நீடித்தது என்று சீனிவாஸ் கூறுகிறார்; அப்போது கே. வி. சர்மா கேரளப் பல்கலைக்கழக நூலகத்தில் இருந்த ஒரு கையெழுத்துப் பிரதியில், “பாஷா” என்ற வட்டார மொழி நூலின் ஆசிரியராக ஜ்யேஷ்டதேவரைக் காட்டும் ஒரு கூற்றைக் கண்டார். நீலகண்டரைப் போலவே ஜ்யேஷ்டதேவரும், பரமேஸ்வரரின் மகனான தாமோதரனின் மாணவர் என்று பரோடாவில் இருந்த ஒரு கையெழுத்துப் பிரதி சேர்த்தது.

திருத்தங்கள், அடுக்குகள், வட்டத்துக்கான ஒரு தொடர்

பை தொடரின் நிரூபணம் சிறிய முடிவுகளிலிருந்து கட்டப்படுகிறது; ராமசுப்பிரமணியன் அந்தச் சங்கிலியை விளக்குகிறார்.

ஒரு இணைப்பு, ஒன்றை (1 + x) ஆல் வகுக்கும் பின்னத்தின் விரிவு. அது ஒரு எளிய சமனிலிருந்து தொடங்கி, ஓர் எண்ணால் வகுப்பதை மற்றோர் எண்ணால் வகுப்பதாக மாற்றுகிறது; ஒவ்வொரு மாற்றமும் ஒரு திருத்தத்தைக் கோருகிறது. திருத்தங்கள் சேர்ந்து ஒரு மாறி மாறி வரும் தொடரை உருவாக்குகின்றன. இந்தத் திருத்தங்களுக்குத் தர்க்க ரீதியான முடிவு இல்லை என்றும், விரும்பிய துல்லியம் எட்டியதும் செயல்முறையை நிறுத்தலாம் என்றும் யுக்திபாஷாவும், இரண்டாம் பாஸ்கரரின் லீலாவதிக்கு சங்கர வாரியரும் அவரது மாணவர் நாராயணனும் எழுதிய சமஸ்கிருத உரையான க்ரியாக்ரமகரியும் கூறுகின்றன.

மற்றொரு இணைப்பு, முழு எண் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகைகளை மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு பொது முறை. பெரிய உறுப்பு எண்ணிக்கை n-க்கு, 1, 2 முதல் n வரையிலான k ஆம் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை சுமார் n-இன் k+1 ஆம் அடுக்கை k+1 ஆல் வகுத்ததற்குச் சமம். நூல் தரும் செயல்முறை தொகுத்தறிவு நிரூபணத்துக்குச் சமமானது என்று ராமசுப்பிரமணியன் கூறுகிறார்.

மூன்றாவது இணைப்பு தொடரே. சங்கர வாரியர் மேற்கோள் காட்டும் மாதவரின் செய்யுள், விட்டத்தை நான்கால் பெருக்கி, பின்னர் அந்தப் பெருக்கற்பலனை ஒவ்வோர் ஒற்றைப்படை எண்ணாலும் வரிசையாக வகுத்து, மாறி மாறிக் கழித்தும் கூட்டியும் வருமாறு வாசகரைப் பணிக்கிறது. நவீன மொழியில், சுற்றளவு என்பது விட்டத்தின் நான்கு மடங்கு, கழித்தல் விட்டத்தின் நான்கு மடங்கை மூன்றால் வகுத்தது, கூட்டல் விட்டத்தின் நான்கு மடங்கை ஐந்தால் வகுத்தது, இப்படியே தொடர்கிறது. ஜ்யேஷ்டதேவரின் வருவிப்பு வட்டத்தைச் சுற்றியுள்ள சதுரத்தின் ஒரு கால்பகுதியை எடுத்து, ஒரு பக்கத்தை n சம பாகங்களாகப் பிரித்து, ஒவ்வொரு பிரிப்புப் புள்ளியையும் மையத்துடன் இணைக்கிறது. அடுத்து, பெரிய n-க்குச் சிறு வில்களின் அரை நாண்கள் “அடிப்படையில் அந்த வில் துண்டுகளே” என்று ராமசுப்பிரமணியன் மொழிபெயர்ப்பதுபோல அவர் வாதிடுகிறார். துண்டுகளைக் கூட்டி, அடுக்குக் கூட்டுத்தொகை மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்தினால் தொடர் கிடைக்கிறது; ராமசுப்பிரமணியனின் சொற்களில், கிரகரியும் லைப்னிட்ஸும் கிட்டத்தட்ட மூன்று நூற்றாண்டுகளுக்குப் பிறகு அதை மீண்டும் கண்டறிந்தனர்.

கடைசியானது வேகம் பற்றியது. பைக்கான தொடர் மிக மெதுவாக ஒருங்குகிறது; ஏதேனும் ஓர் உறுப்பில் நிறுத்திய பிறகு பயன்படுத்தும் திருத்தமான அந்த்ய சம்ஸ்காரம் என்ற நுட்பத்தை ராமசுப்பிரமணியன் விவரிக்கிறார். படிப்படியாகச் சிறந்து வரும் மூன்று வகைத் திருத்தங்கள் எப்படிப் பெறப்படுகின்றன என்பதை நூல் விவாதிக்கிறது. அந்த வாதங்களில் முதலாவதை வி. என். கிருஷ்ணசந்திரன் 2024 முன்பதிப்பில் இவ்வாறு படிக்கிறார்: நூல் ஒரு நேர்த்தியான திருத்தத் தேர்வை முயல்கிறது, அது ஒவ்வோர் ஒற்றைப்படை எண்ணிலும் திருத்தத்தை ஒரே மாதிரி ஆக்கும் என்றும், அது நிலைக்க முடியாது என்றும் காண்கிறது; பின்னர் அருகிலுள்ள இரண்டு இரட்டைப்படை எண்களுக்கு இடையே தேர்ந்தெடுத்து, n-இன் நான்கு மடங்கை முதல் தோராயமாக எடுக்கிறது. மூன்றாம் திருத்தத்துடன் தொடரின் சுமார் 25 உறுப்புகள் பையை 10 தசம இடங்கள் வரை சரியாகத் தருகின்றன என்று ராமசுப்பிரமணியன் குறிப்பிடுகிறார்.

மாதவர் தரும் பை மதிப்பு, நீலகண்டரும் சங்கர வாரியரும் இருவரும் மேற்கோள் காட்டுவது, 2,827,433,388,233 ஐ 900,000,000,000 ஆல் வகுத்தது, அதாவது 3.141592653592. அது 11 தசம இடங்கள் வரை சரியானது. 12-இன் வர்க்கமூலம் முன்னால் உள்ள, 21 உறுப்புகள் வரை கூட்டிய ஒரு தொடரான வேறு வழியிலிருந்து MacTutor அதே 11 இடங்களை அடைகிறது.

சைன், கொசைன்

யுக்திபாஷா சைன், கொசைன் தொடர்களையும் வருவிக்கிறது. நிரூபணத்துக்கு வாசகர்களை இலக்கியத்தைப் பார்க்கச் சொல்லும் ராமசுப்பிரமணியன், கணிதவியலாளர் பி. பி. திவாகரனின் ஒரு தீர்ப்பையும் மேற்கோள் காட்டுகிறார். நியூட்டன் தனது தொடரை, அடுத்தடுத்த உறுப்புகளை அவற்றின் வடிவத்திலிருந்து “ஊகித்து” கண்டறிந்தார் என்றும், சைன் மற்றும் கொசைனுக்கான வேறுபாட்டுச் சமன்பாட்டை யுக்திபாஷா தொகையிடும் விதம், திவாகரனின் சொற்றொடரில், “முற்றிலும் வேறுபட்டது, மிகவும் நவீனமானது” என்றும் திவாகரன் குறிப்பிடுகிறார்.

சீனிவாஸ் மேற்கோள் காட்டும் மதிப்பாய்வில் மம்ஃபோர்டு, இந்த முடிவுகளின் “முழு வருவிப்புகளுடன் கூடிய முறைசாரா விளக்கம்” மலையாளத்தில் எஞ்சியுள்ளது என்றும், அது இந்திய முறைகள் பற்றிய தனித்துவமான உள்ளார்ந்த பார்வையைத் தருகிறது என்றும் எழுதுகிறார்; அவர் அவற்றை மீள்வருகை, தொகுத்தறிவு, எல்லைக்குக் கவனமாகச் செல்லுதல் என்று சுருக்குகிறார்.

வானியல் பாதி

பதிப்பின் தொகுதி II எட்டு வானியல் அத்தியாயங்களைப் பட்டியலிடுகிறது: கோள்களின் கணக்கீடு, பூமியும் வான கோளங்களும், பதினைந்து கணக்குகள், நிழற்கோல் நிழல், கிரகணம், வியதிபாதம், கோள்களுக்கான தெரிவுத் திருத்தங்கள், சந்திரனின் கொம்புகளின் உயர்வு.

வானியலின் பெரும்பகுதி, பழைய இந்தியக் கோள் மாதிரிக்கு நீலகண்டர் செய்த திருத்தத்தைப் பின்பற்றுகிறது. சுமார் 1500இல் இயற்றப்பட்ட தந்த்ரசங்கிரஹத்தில், புதன், வெள்ளிக்கான மையச் சமன்பாட்டை சராசரிச் சூரியனுக்குப் பதிலாக சராசரிச் சூரிய மையக் கோளுக்கு நீலகண்டர் பயன்படுத்தினார் என்று ராமசுப்பிரமணியன், சீனிவாஸ், ஸ்ரீராம் எழுதுகின்றனர். பண்டைய கிரேக்க, இஸ்லாமிய, ஐரோப்பியக் கோள் கோட்பாடுகள் கெப்ளர் வரை அதை சராசரிச் சூரியனுக்குப் பயன்படுத்தின என்றும், சரியான விதி ஐரோப்பிய மரபில் 17ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில்தான் முதலில் வகுக்கப்பட்டது என்றும் அவர்கள் சேர்க்கின்றனர். நீலகண்டரின் மாதிரியுடன் வரும் வடிவியல் படத்தை ஜ்யேஷ்டதேவரின் நூல் விரிவாக விளக்குகிறது என்றும் அவர்கள் குறிப்பிடுகின்றனர்.

அதே ஆசிரியர்களின் கூற்றுப்படி, ஒரு சிறு கட்டுரையில் நீலகண்டர் தனது அண்டவியல் மாதிரியைக் கூறுகிறார்: புதன், வெள்ளி, செவ்வாய், வியாழன், சனி ஆகியவை மையம் விலகிய சுற்றுப்பாதைகளில் சராசரிச் சூரியனைச் சுற்றுகின்றன, சராசரிச் சூரியன் பூமியைச் சுற்றுகிறது. 16ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியை நோக்கி டைக்கோ பிராஹே முன்மொழிந்த மாதிரி இதுவே என்றும், “முற்றிலும் வேறுபட்ட கருத்துகளின் அடிப்படையில்” என்றும் அவர்கள் கவனிக்கின்றனர். இதில் சராசரிச் சூரியன் பூமியைச் சுற்றுவதால், இது கோப்பர்நிக்கஸ் அமைப்பு அல்ல.

நூல் பரந்த வாசகர்களை எட்டிய விதம்

19ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் மதராஸ் வானியல் ஆய்வகத்தை நடத்திய ஜான் வாரன், ஓர் இந்திய வானியலாளர் தனக்கு பை தொடரைத் தந்தார் என்று தனது 1825 நூலில் எழுதினார். கிழக்கிந்தியக் கம்பெனியின் அரசு ஊழியரான சார்லஸ் விஷ், மலபாரில் பதினைந்து ஆண்டுகளுக்கு மேல் தங்கி மலையாளமும் சமஸ்கிருதமும் வாசித்தவர், விஷயத்தை மேலும் எடுத்துச் சென்றார். வட்டத்தின் இந்து சதுரமாக்கல் பற்றிய அவரது கட்டுரை 1832 டிசம்பர் 15 அன்று ராயல் ஆசியடிக் சொசைட்டியில் வாசிக்கப்பட்டு, அதன் Transactions தொகுதி 3இல் 1834இல் அச்சிடப்பட்டது. அது தந்த்ரசங்கிரஹம், யுக்திபாஷா, கரண பத்ததி, சத்ரத்னமாலா ஆகிய நான்கு நூல்களைப் பெயரிட்டு, ஒரு வாக்குறுதியுடன் முடிகிறது: “யுக்திபாஷா பற்றிய மேலும் ஒரு விவரம், முடிவிலாத் தொடர்களால் வட்டத்தைச் சதுரமாக்கும் விதிகளின் நிரூபணங்கள்” தனிக் கட்டுரையில் தொடரும்.

விஷ் 1833 ஏப்ரல் 14 அன்று இறந்தார்; இரண்டாம் கட்டுரை வெளிவரவே இல்லை. லண்டனில் உள்ள ராயல் ஆசியடிக் சொசைட்டியில் இப்போது இருக்கும் தனது இரண்டு யுக்திபாஷா கையெழுத்துப் பிரதிகளில் ஒன்றின் முதல் வெற்றுப் பனையோலையில், அது “ஆசிரியர்களின் முடிவிலாத் தொடரின் நிரூபணத்தை” கொண்டுள்ளது என்று விஷ் எழுதினார் என்று சீனிவாஸ் குறிப்பிடுகிறார்.

பிரிட்டனில் வரவேற்பு கலவையாக இருந்தது. மதராஸ் இலக்கியச் சங்கத்தின் மூத்த உறுப்பினரான ஜார்ஜ் ஹைன், 1820களில் தொடர் ஐரோப்பியர்களிடமிருந்து கடன் வாங்கப்பட்டது என்று முடிவு செய்தார் என்றும், வாரன் அவரது கருத்தின் பக்கம் செல்ல முடிவு செய்தார் என்றும் ராமசுப்பிரமணியன் தெரிவிக்கிறார். 1843இல் அகஸ்டஸ் டி மோர்கன், விஷின் கட்டுரை சங்கத்தின் சொந்த Transactions இதழில் வந்திராவிட்டால் அதை “புத்திசாலித்தனமான புரளி” என்று தள்ளியிருப்பேன் என்று எழுதினார் என்றும், பிரெஞ்சு வானியலாளர் லெ ஜெந்தில் அல்லது கத்தோலிக்க மிஷனரிகள் இந்தியர்களுக்குத் தொடரை வழங்கியிருக்கலாம் என்று கருத்துத் தெரிவித்தார் என்றும் சீனிவாஸ் சேர்க்கிறார். அதன் பிறகு ஐரோப்பிய வரலாற்றாசிரியர்களிடையே நீண்ட மௌனம் நிலவியது என்று சீனிவாஸும் ராமசுப்பிரமணியனும் விவரிக்கின்றனர். 1992இல் வெளியான ஓர் உரையில் அறிவியல் வரலாற்றாசிரியர் டேவிட் பிங்க்ரி அதற்கு இரண்டு காரணங்களைத் தந்தார்: முதலில் மேற்கத்திய வரலாற்றாசிரியர்களால் ஓர் இந்தியர் கால்குலஸைக் கண்டுபிடித்தார் என்பதை ஒப்புக்கொள்ள முடியவில்லை, பின்னர் சங்கத்தின் Transactions இதழை யாரும் படிக்கவில்லை. இதில் ஒரு பகுதியைச் சீனிவாஸ் மறுக்கிறார்; அது வாசிக்கப்பட்ட பத்தாண்டில் விஷின் கட்டுரை பரவலாகக் கவனிக்கப்பட்டது என்கிறார். மாதவரின் சாதனை கால்குலஸின் கண்டுபிடிப்புடன் குழப்பப்படக்கூடாது என்றும், அது வடிவியல் மற்றும் இயற்கணித வாதங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது என்றும் பிங்க்ரி வாதிட்டார்.

மீட்பு இந்தியாவில் தொடங்கியது. பிபூதிபூஷண் தத்தா 1926இல் இந்துக்களின் பை மதிப்புகள் பற்றியும், ஏ. என். சிங் 1936இல் தொடர்களின் பயன்பாடு பற்றியும் எழுதினர்; 1940களில் சி. டி. ராஜகோபாலும் சக ஆய்வாளர்களும் விளக்கங்களை வெளியிட்டனர். 1948இல் ராம வர்மா தம்புரானும் ஏ. ஆர். அகிலேஸ்வரய்யரும் யுக்திபாஷாவின் கணிதப் பகுதியை மலையாளக் குறிப்புகளுடன் வெளியிட்டனர். 2008 பதிப்பு முழு மலையாள மூல நூலுக்கான முதல் திறனாய்வுப் பதிப்பு என்று Springer கூறுகிறது; அதில் ராமசுப்பிரமணியன், சீனிவாஸ், ஸ்ரீராம் ஆகியோரின் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பும் விளக்கக் குறிப்புகளும் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.

கூற்றுகள் எவ்வளவு தூரம்

நோக்கெல்லை குறித்து ராமசுப்பிரமணியன் தெளிவாக இருக்கிறார்: கேரளக் கணிதவியலாளர்கள் தங்கள் விவாதத்தை வட்டத்தின் சதுரமாக்கலுக்கும் சில முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் வரம்பிட்டுக் கொண்டனர்; ஐரோப்பியக் கணிதவியலாளர்கள் முறையான வரையறைகளுடனும் பொதுவான அணுகுமுறையுடனும் தன்னிச்சையான வளைவுகளை எடுத்துக்கொண்டனர். அவரது கணக்கில், சூழலும் நோக்கமும் கூட வேறுபட்டன. பிங்க்ரியின் மேலே உள்ள ஆட்சேபனை, மிகவும் அறியப்பட்ட எதிர்க் கருத்து. யுக்திபாஷாவின் முறைகளை ஒரு வாசகர் கால்குலஸ் என்று அழைப்பது, அந்தச் சொல் எவ்வளவு விரிவாக வரையப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தது; ஆதாரங்கள் அதற்கு வெவ்வேறு சொற்களைப் பயன்படுத்துகின்றன.

மற்ற விஷயங்கள் திறந்தே உள்ளன. மாதவரின் சொந்தக் கணித எழுத்துகள் இழக்கப்பட்டுள்ளன. யுக்திபாஷாவின் காலம் மேலே உள்ள ஆதாரங்களில் சுமார் இரண்டு தசாப்தங்கள் மாறுபடுகிறது. இந்த முடிவுகளில் எதுவும் 17ஆம் நூற்றாண்டுக்கு முன் ஐரோப்பாவை எட்டியது என்று இந்தக் கட்டுரை கூறவில்லை.

இரண்டு தொகுதிப் பதிப்பின் நீளத்தை LXVIII முன்னுரைப் பக்கங்கள், 1,084 பக்கங்கள் என்று Springer-இன் பட்டியல் பதிவு தருகிறது.