ज्येष्ठदेव की युक्तिभाषा, लगभग 1530 में मलयालम में लिखी गई, केरल स्कूल की पाई, ज्या और कोज्या की श्रेणियों के क़दम-दर-क़दम प्रमाण देती है

युक्तिभाषा प्रमाणों की एक पुस्तक है, जो केरल की भाषा मलयालम में लगभग 1530 में लिखी गई। इसके लेखक ज्येष्ठदेव ने गणित और खगोल के केरल स्कूल के परिणाम लिए और दिखाया कि हर एक क्यों सही है। के. वी. शर्मा द्वारा संपादित और अनूदित, तथा के. रामसुब्रमण्यन, एम. डी. श्रीनिवास और एम. एस. श्रीराम की व्याख्यात्मक टिप्पणियों वाला 2008 में छपा समीक्षात्मक संस्करण पाठ का वर्णन दो भागों, गणित और खगोल, में पंद्रह अध्यायों के रूप में करता है। जो परिणाम वह व्युत्पन्न करती है, उनमें पाई, ज्या और कोज्या की अनंत श्रेणियाँ हैं, जिन्हें बाद के लेखक 14वीं सदी में रहे संगमग्रामीय माधव से जोड़ते हैं।

काल तय नहीं है। स्प्रिंगर का संस्करण और के. रामसुब्रमण्यन लगभग 1530 देते हैं। एम. डी. श्रीनिवास द्वारा उद्धृत 2010 की एक समीक्षा में गणितज्ञ डेविड मम्फ़र्ड ने लिखा “शायद लगभग 1540”। मैकट्यूटर, सेंट एंड्रयूज़ का गणित-इतिहास अभिलेखागार, लगभग 1550 देता है। यह लेख लगभग 1530 लेता है और पूरा दायरा नज़र में रखता है। माधव और केरल स्कूल पर पहले का एक लेख श्रेणियों की और इस सवाल की चर्चा करता है कि वे यूरोप पहुँचीं या नहीं। यह लेख उस पुस्तक के बारे में है जो उन्हें सिद्ध करती है।

बोलचाल की भाषा में एक टीका

ज्येष्ठदेव ने युक्तिभाषा नीलकंठ सोमयाजी के मुख्य खगोल-ग्रंथ तंत्रसंग्रह को समझाने के लिए लिखी, जिनका जन्म 1444 में हुआ था। मैकट्यूटर तंत्रसंग्रह को आठ अध्यायों में 432 संस्कृत श्लोकों का बताता है, और कहता है कि नीलकंठ ने आर्यभटीय पर भी एक टीका लिखी। संस्करण का स्प्रिंगर-विवरण कहता है कि ज्येष्ठदेव की पुस्तक ग्रहों की गति की गणना की उन तकनीकों को रखती है “जैसा प्रतिपादित है” उस ग्रंथ में, जिसे वह लगभग 1500 का बताता है।

उसकी पद्धति शीर्षक में है। युक्ति का अर्थ है तर्क या प्रदर्शन, और संस्करण का अपना विवरण कहता है कि पाठ गणितीय खगोल के परिणामों के लिए “विस्तृत युक्तियाँ प्रस्तुत करता है”। मैकट्यूटर कहता है कि उसमें प्रमेयों के प्रमाण और नियमों की व्युत्पत्तियाँ हैं, “भारतीय गणितीय ग्रंथ के लिए बहुत असामान्य रूप से”। वह यह भी कहता है कि पुस्तक केरल-गणित का सर्वेक्षण है, इसलिए पाठक को माधव के परिणाम बाद के एक लेखक की व्याख्या से मिलते हैं। रामसुब्रमण्यन लिखते हैं कि माधव की अपनी वे रचनाएँ, जिनमें श्रेणियाँ हैं, उपलब्ध नहीं हैं, और परंपरा के बाद के गणितज्ञ बिना असहमति के उन्हें माधव से जोड़ते हैं।

किसने लिखी, यह 1958 में ही तय हुआ। चार्ल्स व्हिश ने 1834 में लेखक का नाम चेल्लालुर नंबूतिरी बताया था, और श्रीनिवास कहते हैं कि नाम को लेकर भ्रम उसी साल तक रहा, जब के. वी. शर्मा को केरल विश्वविद्यालय के पुस्तकालय की एक पांडुलिपि में एक कथन मिला जो ज्येष्ठदेव को “भाषा”, यानी देशी भाषा की पुस्तक, का लेखक दिखाता है। बड़ौदा की एक पांडुलिपि ने जोड़ा कि ज्येष्ठदेव, नीलकंठ की तरह, परमेश्वर के पुत्र दामोदर के शिष्य थे।

सुधार, घातें और वृत्त की एक श्रेणी

पाई-श्रेणी का प्रमाण छोटे परिणामों से बना है, और रामसुब्रमण्यन शृंखला को क़दम-दर-क़दम समझाते हैं।

एक कड़ी एक को एक जमा x से भाग देने के प्रसार की है। वह एक सरल सर्वसमिका से शुरू होती है और एक संख्या से भाग की जगह दूसरी से भाग रख देती है, और हर अदला-बदली एक सुधार माँगती है। सुधार मिलकर एक एकांतर श्रेणी बनाते हैं। युक्तिभाषा और क्रियाक्रमकरी, जो शंकर वारियर और उनके शिष्य नारायण की भास्कर द्वितीय की लीलावती पर संस्कृत टीका है, दोनों कहती हैं कि सुधारों का कोई तार्किक अंत नहीं है और वांछित सटीकता मिल जाने पर प्रक्रिया रोकी जा सकती है।

दूसरी कड़ी पूर्ण संख्याओं की घातों के योग का अनुमान लगाने की एक सामान्य विधि है। पदों की बड़ी संख्या n के लिए 1, 2 से n तक की k-वीं घातों का योग लगभग n की घात k+1 को k+1 से भाग देने के बराबर आता है। रामसुब्रमण्यन कहते हैं कि पाठ जो प्रक्रिया देता है वह आगमन द्वारा प्रमाण के समान है।

तीसरी कड़ी स्वयं श्रेणी है। माधव का श्लोक, जैसा शंकर वारियर उद्धृत करते हैं, पाठक से व्यास को चार से गुणा करने, फिर उस गुणनफल को बारी-बारी से हर विषम संख्या से भाग देने, और बारी-बारी से घटाने तथा जोड़ने को कहता है। आधुनिक शब्दों में परिधि व्यास के चार गुने के बराबर है, घटा व्यास के चार गुने का तीसरा भाग, जमा व्यास के चार गुने का पाँचवाँ भाग, और इसी तरह आगे। ज्येष्ठदेव की व्युत्पत्ति वृत्त के चारों ओर के वर्ग का एक चतुर्थांश लेती है, एक भुजा को n बराबर भागों में बाँटती है और हर विभाजन-बिंदु को केंद्र से जोड़ती है। फिर वे तर्क देते हैं कि बड़े n के लिए छोटे चापों की अर्ध-ज्याएँ “मूलतः स्वयं चाप-खंड ही हैं”, जैसा रामसुब्रमण्यन अनुवाद करते हैं। टुकड़ों को जोड़ने और घात-योग के अनुमानों के प्रयोग से श्रेणी मिलती है, जिसे ग्रेगरी और लाइबनिज़ ने, रामसुब्रमण्यन के शब्दों में, लगभग तीन सदी बाद फिर खोजा।

आख़िरी बात गति की है। पाई की श्रेणी बहुत धीमे अभिसरित होती है, और रामसुब्रमण्यन अंत्य-संस्कार नाम की एक तकनीक का वर्णन करते हैं, जो किसी पद पर रुकने के बाद लगाया गया सुधार है। पाठ चर्चा करता है कि तीन उत्तरोत्तर बेहतर प्रकार के सुधार कैसे पाए जाते हैं। वी. एन. कृष्णचंद्रन, 2024 के एक प्रीप्रिंट में, उनमें से पहले तर्क को इस तरह पढ़ते हैं: पाठ सुधार का एक सुघड़ चुनाव आज़माता है, देखता है कि वह हर विषम संख्या पर सुधार को एक जैसा कर देगा, जो टिक नहीं सकता, और दो पास की सम संख्याओं में से चुनता है, पहले सन्निकटन के रूप में n का चार गुना लेकर। रामसुब्रमण्यन नोट करते हैं कि तीसरे सुधार के साथ श्रेणी के लगभग 25 पद पाई को दशमलव के 10 स्थानों तक सही देते हैं।

माधव द्वारा दिया गया पाई का एक मान, जिसे नीलकंठ और शंकर वारियर दोनों उद्धृत करते हैं, 2,827,433,388,233 को 900,000,000,000 से भाग देने पर 3.141592653592 है। यह दशमलव के 11 स्थानों तक सही है। मैकट्यूटर एक अलग रास्ते से, 12 के वर्गमूल को आगे रखने वाली और 21 पदों तक जोड़ी गई श्रेणी से, वही 11 स्थान पाता है।

ज्या और कोज्या

युक्तिभाषा ज्या और कोज्या की श्रेणी भी व्युत्पन्न करती है। रामसुब्रमण्यन प्रमाण के लिए पाठकों को साहित्य की ओर भेजते हैं, और गणितज्ञ पी. पी. दिवाकरन का एक निष्कर्ष उद्धृत करते हैं। दिवाकरन नोट करते हैं कि न्यूटन ने अपनी श्रेणी क्रमिक पदों का उनके रूप से “अनुमान लगाकर” खोजी, और ज्या तथा कोज्या के अंतर या अवकल समीकरण को समाकलित करने का युक्तिभाषा का तरीक़ा, दिवाकरन के शब्दों में, “बिल्कुल अलग और बहुत आधुनिक” है।

मम्फ़र्ड, श्रीनिवास द्वारा उद्धृत समीक्षा में, लिखते हैं कि इन परिणामों का “पूर्ण व्युत्पत्तियों सहित अनौपचारिक विवरण” मलयालम में बचा है और भारतीय तरीक़ों की एक अनोखी झलक देता है, जिसे वे पुनरावृत्ति, आगमन और सावधानी से सीमा तक पहुँचने के रूप में समेटते हैं।

खगोल वाला भाग

संस्करण का खंड II आठ खगोल अध्याय गिनाता है: ग्रहों की गणना, पृथ्वी और खगोलीय गोले, पंद्रह समस्याएँ, शंकु-छाया, ग्रहण, व्यतिपात, ग्रहों के दृश्यता-सुधार, और चंद्रमा के शृंगों की उन्नति।

खगोल का बड़ा हिस्सा नीलकंठ द्वारा पुराने भारतीय ग्रह-मॉडल के संशोधन का अनुसरण करता है। रामसुब्रमण्यन, श्रीनिवास और श्रीराम लिखते हैं कि लगभग 1500 में रचे तंत्रसंग्रह में नीलकंठ ने बुध और शुक्र के लिए केंद्र समीकरण माध्य सूर्य की जगह माध्य सूर्य-केंद्रित ग्रह पर लगाया। वे जोड़ते हैं कि प्राचीन यूनानी, इस्लामी और यूरोपीय ग्रह-सिद्धांत केपलर तक इसे माध्य सूर्य पर लगाते रहे, और सही नियम यूरोपीय परंपरा में पहली बार 17वीं सदी के आरंभ में सूत्रबद्ध हुआ। वे नोट करते हैं कि ज्येष्ठदेव की पुस्तक नीलकंठ के मॉडल के साथ चलने वाले ज्यामितीय चित्र का विस्तृत विवरण देती है।

उन्हीं लेखकों के अनुसार, एक छोटी पुस्तिका में नीलकंठ अपना ब्रह्मांड-मॉडल बताते हैं: बुध, शुक्र, मंगल, बृहस्पति और शनि माध्य सूर्य की परिक्रमा उत्केंद्र कक्षाओं में करते हैं, जबकि माध्य सूर्य पृथ्वी की परिक्रमा करता है। वे देखते हैं कि यह वही मॉडल है जो टाइको ब्राहे ने 16वीं सदी के अंत की ओर प्रस्तावित किया, “हालाँकि बिल्कुल अलग विचारों पर”। इसमें माध्य सूर्य पृथ्वी की परिक्रमा करता है, इसलिए यह कोपरनिकन व्यवस्था नहीं है।

पुस्तक व्यापक पाठक-वर्ग तक कैसे पहुँची

मद्रास वेधशाला चलाने वाले जॉन वॉरेन ने 19वीं सदी के आरंभ में अपनी 1825 की पुस्तक में लिखा कि एक भारतीय खगोलविद ने उन्हें पाई की श्रेणी दी थी। चार्ल्स व्हिश, ईस्ट इंडिया कंपनी के एक सिविल सेवक जिन्होंने मलाबार में पंद्रह साल से अधिक बिताए और मलयालम तथा संस्कृत पढ़ लेते थे, इस बात को आगे ले गए। वृत्त के हिंदू क्वाड्रेचर (क्षेत्रफल निकालने की विधि) पर उनका शोध-पत्र रॉयल एशियाटिक सोसाइटी में 15 दिसंबर 1832 को पढ़ा गया और 1834 में उसके ट्रांज़ैक्शंस के खंड 3 में छपा। वह चार ग्रंथों का नाम लेता है, तंत्रसंग्रह, युक्तिभाषा, करण पद्धति और सद्रत्नमाला, और एक वादे के साथ समाप्त होता है: “युक्ति-भाषा का एक और विवरण, अनंत श्रेणियों द्वारा वृत्त के क्वाड्रेचर के नियमों के प्रदर्शन” एक अलग शोध-पत्र में आएगा।

व्हिश की मृत्यु 14 अप्रैल 1833 को हुई और दूसरा शोध-पत्र कभी नहीं आया। श्रीनिवास नोट करते हैं कि व्हिश ने अपनी दो युक्तिभाषा पांडुलिपियों में से एक के पहले ख़ाली ताड़-पत्र पर, जो अब लंदन की रॉयल एशियाटिक सोसाइटी में है, लिखा कि उसमें “लेखकों की अनंत श्रेणी का प्रदर्शन” है।

ब्रिटेन में प्रतिक्रिया मिली-जुली थी। रामसुब्रमण्यन बताते हैं कि मद्रास लिटरेरी सोसाइटी के वरिष्ठ सदस्य जॉर्ज हाइन इस निष्कर्ष पर पहुँचे कि श्रेणी यूरोपीय लोगों से उधार ली गई थी, और वॉरेन ने उनकी राय के साथ जाने का फ़ैसला किया। श्रीनिवास जोड़ते हैं कि 1843 में ऑगस्टस डी मॉर्गन ने लिखा कि वे व्हिश के शोध-पत्र को “चतुर धोखा” कहकर ख़ारिज कर देते, यदि वह सोसाइटी के अपने ट्रांज़ैक्शंस में न छपा होता, और सुझाया कि फ़्रांसीसी खगोलविद ले जेंटिल या कैथोलिक मिशनरियों ने भारतीयों को श्रेणी दी हो सकती है। श्रीनिवास और रामसुब्रमण्यन दोनों बाद में यूरोपीय इतिहासकारों के बीच एक लंबी चुप्पी का वर्णन करते हैं। विज्ञान-इतिहासकार डेविड पिंग्री ने 1992 में छपे एक व्याख्यान में इसके दो कारण दिए: कि पश्चिमी इतिहासकार पहले यह स्वीकार नहीं कर पाए कि किसी भारतीय ने कलन खोजा, और बाद में किसी ने सोसाइटी के ट्रांज़ैक्शंस पढ़े ही नहीं। श्रीनिवास इसके एक हिस्से से असहमत हैं, यह कहते हुए कि व्हिश के शोध-पत्र को पढ़े जाने के बाद के दशक में व्यापक रूप से नोट किया गया था। पिंग्री ने यह भी तर्क दिया कि माधव की उपलब्धि को कलन की खोज से गड्डमड्ड नहीं करना चाहिए, क्योंकि वह ज्यामितीय और बीजगणितीय तर्कों पर टिकी थी।

पुनर्प्राप्ति भारत में शुरू हुई। बिभूतिभूषण दत्त ने 1926 में पाई के हिंदू मानों पर लिखा, ए. एन. सिंह ने 1936 में श्रेणियों के प्रयोग पर, और सी. टी. राजगोपाल और सहयोगियों ने 1940 के दशक में व्याख्याएँ प्रकाशित कीं। 1948 में राम वर्मा तंपुरान और ए. आर. अखिलेश्वर अय्यर ने युक्तिभाषा का गणित वाला भाग मलयालम टिप्पणियों के साथ निकाला। स्प्रिंगर कहता है कि 2008 का संस्करण पूरे मलयालम पाठ का पहला समीक्षात्मक संस्करण है, और उसमें रामसुब्रमण्यन, श्रीनिवास और श्रीराम का अंग्रेज़ी अनुवाद तथा व्याख्यात्मक टिप्पणियाँ जुड़ी हैं।

दावे किस दायरे के हैं

दायरे पर रामसुब्रमण्यन स्पष्ट हैं: केरल के गणितज्ञों ने अपनी चर्चा वृत्त के क्वाड्रेचर और कुछ त्रिकोणमितीय फलनों तक सीमित रखी, जबकि यूरोपीय गणितज्ञों ने औपचारिक परिभाषाओं के साथ मनमाने वक्र लिए और सामान्य उपचार किया। उनके विवरण में संदर्भ और उद्देश्य भी अलग थे। पिंग्री की ऊपर वाली आपत्ति सबसे जाना-माना विपरीत मत है। कोई पाठक युक्तिभाषा की विधियों को कलन कहे या नहीं, यह इस पर निर्भर है कि वह शब्द को कितना व्यापक खींचता है, और स्रोत इसके लिए अलग-अलग शब्द इस्तेमाल करते हैं।

अन्य बिंदु खुले हैं। माधव की अपनी गणितीय रचनाएँ खो गई हैं। ऊपर के स्रोतों में युक्तिभाषा का काल लगभग दो दशक तक बदलता है। यह लेख यह दावा नहीं करता कि कोई भी परिणाम 17वीं सदी से पहले यूरोप पहुँचा।

स्प्रिंगर की सूची-प्रविष्टि दो खंडों के संस्करण की लंबाई LXVIII प्रारंभिक पृष्ठ और 1,084 पृष्ठ बताती है।