تحوي أوراق مخطوطة بخشالي السبعون من لحاء البتولا مئات من أصفار النقطة، ويضع أحدث تأريخ من أكسفورد لحاء خمس ورقات بين 773 و1032 م

مخطوطة بخشالي 70 ورقة من لحاء البتولا مغطاة بقواعد سنسكريتية ومسائل حسابية محلولة، وفيها نقطة تدل على الصفر كُتبت مئات المرات. ويصفها مختبر أكسفورد للكربون المشع ومكتبات بودليان، وهي التي تحتفظ بها، في تقريرهما لعام 2024 بأنها «شبه مؤكد أنها أقدم شاهد باق على عمل رياضي من جنوب آسيا». ويؤرخ ذلك التقرير لحاء خمس من أوراقها بين 773 و1032 م.

وقد تغير التاريخ مرة من قبل. ففي سبتمبر 2017 أعلنت المؤسستان نفسهما أن ورقة واحدة يعود عمرها إلى القرن الثالث أو الرابع، ونقلت «الغارديان» وصحف أخرى ذلك. ويشرح تقرير 2024 لماذا لم يعد هذا الرقم قائما. فالنص وأصفاره لم يتغيرا، وإنما تغير العمر المقاس للحاء وحده.

عامل وخرابة وقرية قرب بيشاور

عُثر على الأوراق في مايو 1881 في بخشالي، وهي قرية تبعد نحو 80 كيلومترا شمال شرق بيشاور فيما يُعرف اليوم بباكستان. ويقول تقرير أكسفورد إن عاملا زراعيا استخرجها إما من حقل وإما من خرابة، وإن الروايات عن العثور عليها غير دقيقة.

ويقول تقرير للباحث الألماني أ. ف. ر. هورنله، وكان حينها كبير علماء الخطوط في حكومة الهند، يعود إلى 1882 إن المخطوطة وُجدت في سياج متهدم على يد رجل كان يحفر طلبا للحجارة. ويضيف هورنله أن معظمها تلف حين رفعها من وجدها. ودرس القطع الباقية وأهداها عام 1902 إلى مكتبة بودليان في أكسفورد، حيث تحفظ تحت الرقم MS. Sansk. d. 14.

ومعظم ما يعرفه الباحثون عن النص لا يزال يأتي من الصور الفوتوغرافية. فقد نشرها ج. ر. كاي مع طبعته عام 1927. وبعد ذلك، بحسب عالم الرياضيات بيل كاسلمان من جامعة كولومبيا البريطانية، غُلّفت القطع بصفائح من الميكا. فالتصق اللحاء بالميكا وتكسر إلى مئات القطع الصغيرة، وازداد قتامة. ويشير كاسلمان إلى أنه لا يزال من الممكن على ما يبدو تصوير الصفحات جيدا من خلال الميكا.

ما تعلّمه الأوراق

النص مجموعة قواعد ومسائل نموذجية، مكتوبة شعرا مع شرح نثري. ويصفه تقرير أكسفورد بأنه «خوارزميات ومسائل نموذجية شعرا» بسنسكريتية متأثرة بلغات إقليمية في الشمال الغربي. والخط هو شكل من أشكال الشارادا، وتصنف قاعدة بيانات إندوسكريبت في فورتسبورغ الورقة المدرجة فيها بأنها من الشارادا الأولى المتأخرة. وعلى النمط الذي يصفه كاسلمان، تتبع كل قاعدة أمثلة ثم تحقق من الجواب.

والمسائل يومية. فمسألة خلط في الورقتين 16 و17 تتناول سبائك الذهب المختلفة في النقاء. وتشمل أخرى، بحسب MacTutor، قاعدة الثلاثة (ويبلغ ناتج مثالها 50 في 12 مقسوما على 8 ما يساوي 75 دينارا)، وصبيين تتركهما أجورهما اليومية وديونهما متعادلين بعد 30 يوما، ومسألة غير محددة عن ثمن الخيل. وقد لخّص ماركوس دو سوتوي، عالم الرياضيات في أكسفورد، طابعها عام 2017 بأنها أسئلة من قبيل «إذا اشترى شخص هذا وباع هذا فكم يبقى معه؟»

والجذور التربيعية هي الواجهة. ويعرض MacTutor طريقة المخطوطة للأعداد التي ليست مربعات كاملة، ويذكر قيمتها للجذر التربيعي للعدد 41 بأنها 6.403138528، مقابل قيمة حقيقية هي 6.403124237، أي صحيحة إلى أربع منازل عشرية. وللعدد 339,009 تصيب إحدى عشرة منزلة عشرية. ويقول كاسلمان إنه لا يعرف شيئا يشبه أعدادها الكبيرة جدا في ثقافات أخرى إلا بعد ذلك بزمن طويل، ويلاحظ أن الكسور العشرية لم يخترعها الرياضيون العرب إلا بعد هذا النوع من الأعمال.

وتذكر الخاتمة، وهي ملاحظة الناسخ في آخر العمل، براهميا يوصف بأنه ابن تشاجاكا، كتب العمل لرجل اسمه هاسيكا، ابن فاسيها، ولذريته، في موضع من إقليم غاندهارا في شمال غرب جنوب آسيا. وقد حقق تاكاو هاياشي النص وترجمه عام 1995، ويصف رد عام 2017 الذي سيأتي ذكره، وهو أحد مؤلفيه، تلك الطبعة بأنها الدراسة الحاسمة. وأرّخ الشرح بصورة مبدئية إلى القرن السابع، والمخطوطة الباقية إلى وقت ما بين القرنين الثامن والثاني عشر.

النقطة التي تؤدي وظيفتين

الصفر في المخطوطة نقطة. وهي تدل على موضع خال في العدد، كما يفعل الصفر 0 في 101، وقال إعلان أكسفورد عام 2017 إنها نما لها لاحقا مركز مجوف وصارت الرمز الحديث. ويضيف مؤلفو رد 2017 أن المخطوطة تستعمل النقطة أيضا لكمية مجهولة، على نحو يشبه المتغير في الجبر.

وتظهر القواعد أيضا الصفر وهو يدخل في الحساب. ففي مسألة على الورقة 22 تُستبدل النقطة الدالة على المجهول بالعدد 1، ويقول النص إن الخطوة تتم «بعد إضافة الواحد إلى الصفر». وفي الورقة 47 تضرب المسألة النموذجية الكسرين 108625/65600 و59425/49200 وتعطي 6455040625/3227520000، وهو حساب يرى المؤلفون الخمسة أنه يصعب تصوره دون حساب على الأصفار داخل الأعداد. وقد وصف بيان أكسفورد لعام 2017 نقطة بخشالي بأنها رمز لموضع خال، وسمّى «براهماسفوتاسيدهانتا» لبراهماغوبتا عام 628 م أول وثيقة تناقش الصفر بوصفه عددا. والقواعد التي وضعها براهماغوبتا مشروحة في مقالها الخاص.

وتاريخ الرمز الأوسع في مقال الهند أهدت العالم الصفر. وأوراق بخشالي قطعة واحدة من الأدلة فيه، ويورد رد 2017 أدلة أخرى: فكلمة شونيا السنسكريتية (الفارغ) أدت غرضا ما في التدوين عند حساب أوزان الشعر، ونص من نحو 550 م يعرّف ثابتا بأنه «ستون ناقص صفر»، وتصف عدة نصوص مبكرة العد بالمنازل على قضبان.

سبتمبر 2017: ثلاث ورقات وثلاثة قرون

أخذت مكتبة بودليان ثلاث عينات صغيرة من اللحاء بعيدا عن الحبر، من الورقات 16 و17 و33. وقاسها مختبر أكسفورد لمسرّع الكربون المشع بإشراف الدكتور ديفيد شيفال. ونشر كاميلو فورميغاتي، أمين المكتبة السنسكريتية جون كلاي في بودليان، المديات في قائمة بريدية للباحثين يوم 14 سبتمبر 2017، كلا منها بثقة 95.4 بالمئة: من 224 إلى 383 م للورقة 16، ومن 680 إلى 779 م للورقة 17 (مع مدى ثان أصغر من 790 إلى 868 م)، ومن 885 إلى 993 م للورقة 33. وكتب أن الفريق لم يتوقع فرقا بهذا الحجم بين الثلاث.

ونشرت جامعة أكسفورد الخبر في اليوم نفسه، ونشرته «الغارديان» بوصفه سبقا حصريا. وقال البيان إن المخطوطة يعود عمرها إلى القرن الثالث أو الرابع، أي أقدم بنحو خمسة قرون مما كان الباحثون يظنون، وأقدم من الصفر المنقوش في القرن التاسع على جدار معبد في غواليور بولاية ماديا براديش، وكان حتى ذلك الحين أقدم صفر هندي مسجل لموضع خال. وقال إن الأوراق جاءت من ثلاث فترات مختلفة على الأقل. وذكر البيان مدى هاياشي من القرن الثامن إلى الثاني عشر بوصفه أبرز تقدير أكاديمي سابق.

رد الباحثين

في 2017 نشر خمسة من مؤرخي الرياضيات الهندية (كيم بلوفكر وأغات كيلر وتاكاو هاياشي وكليمنسي مونتيل ودومينيك فوجاستيك) ردا في المجلة المحكّمة تاريخ العلوم في جنوب آسيا. وقالوا إنهم لا يستطيعون الطعن في أرقام الكربون المشع من الناحية التقنية، وناقشوا من المخطوطة نفسها. فالخط والتخطيط يبدوان موحدين في الأوراق، وهو في رأيهم لا يتفق مع صفحات كُتبت بينها قرون. وظهر الورقة 16 ووجه الورقة 17 يحملان مسألة واحدة متصلة عن خلط سبائك الذهب، ولم يلحظ هاياشي أي أثر لناسخ مختلف. وإذا كان العمل قد كُتب قطعة واحدة، كما كتبوا، فإن تاريخ الأصفار هو تاريخ أحدث ورقة.

وتنسب خلاصاتهم الفضل كذلك إلى الفحص. فقد وصفوا التحليل بالكربون المشع بأنه ذو قيمة كبيرة محتملة، وطلبوا أكثر من عينة للورقة الواحدة، وإن أمكن اختبارات على الحروف المكتوبة بالحبر ذاتها. وأعربوا عن أسفهم لأن النتائج ذهبت إلى الصحافة وإلى مقطع مصور قبل المراجعة المحكّمة.

وعلى القائمة البريدية في اليوم التالي كتب فالتر سلاجه أن الاستعمال الهندي المبكر للصفر معرفة راسخة منذ زمن بين علماء الهنديات، وسأل لماذا لم يُستشر أحد منهم. ولاحظ أندريا أكري أن المخطوطة لو كانت نصا واحدا لوقع تاريخ نسخها في القرن التاسع أو العاشر، وقال إنه يعتمد على تقرير صحفي دون وصول إلى مكتبة.

تقرير أكسفورد لعام 2024

في 14 أكتوبر 2024 أودع مختبر أكسفورد لمسرّع الكربون المشع ومكتبة بودليان تقريرا أوسع كتبه ديفيد شيفال وفيرجينيا يادو-بويسان وديفيد هاويل وجيليان إيفيسون. ويقول إن قياسات 2017 على الورقتين 16 و17 أعطت أعمارا غير متوقعة، فأجرى الفريق اختبارات جديدة عام 2018 على الورقتين 23 و55، وعلى الورقة 15، وعلى عينة ثانية من الورقة 16. وتبيّن من نتيجة الورقة 16 الثانية، بحسب التقرير، أن الأولى كانت غير دقيقة. وكان قياس الورقة 17 شاذا قياسا إلى الباقي فاستُبعد. أما نتيجة الورقة 33 فاتسقت مع الجديدة وبقيت.

والمديات الخمسة المعايرة، بثقة 95.4 بالمئة، هي: من 773 إلى 986 م للورقة 15، ومن 901 إلى 1032 للورقة 16، ومن 890 إلى 1014 للورقة 23، ومن 885 إلى 995 للورقة 33، ومن 774 إلى 991 للورقة 55. وتدرج قاعدة بيانات إندوسكريبت في فورتسبورغ الورقة 16 عند 901 إلى 1032 م استنادا إلى التأريخ بالكربون المشع، وهذا متسق مع النتيجة الجديدة. ووجدت الاختبارات الإحصائية في التقرير أنه لا يمكن افتراض أن الأوراق الخمس كلها بالعمر نفسه، وإن أمكن ذلك للأربع الأخرى غير الورقة 16، وتعطي هذه الأربع من 889 إلى 979 م. ويضع نموذج لا يفترض شيئا عن علاقة الأوراق بعضها ببعض بداية إنتاج المخطوطة بين 799 و892 م ونهايته بين 900 و1102 م.

والتقرير حذر في ما تؤرخه هذه الأرقام. فالكربون المشع يقيس وقت تكوّن اللحاء، ولا يمكن أن تكون المخطوطة كُتبت قبله، فالتواريخ تحدد أبكر وقت ممكن لصنعها.

ما بقي ثابتا

ويقول التقرير نفسه إن التواريخ المقترحة للمخطوطة تراوحت من نحو 200 م إلى 1100 م، وإن الأرجح أنها أقدم شاهد باق على عمل رياضي من جنوب آسيا. ويصفها كاسلمان بأنها أقدم مخطوطة رياضيات باقية بفارق كبير، ويقول إن لحاء البتولا لا يدوم طويلا في المناخ الرطب.

ونقش غواليور الذي سماه بيان أكسفورد لعام 2017 أقدم صفر هندي لموضع خال يؤرخ بالقرن التاسع، وتتداخل مدايات اللحاء الجديدة مع ذلك القرن. أما تاريخ هاياشي للشرح بالقرن السابع فيأتي من الخط واللغة وتاريخ نصوص الحساب السنسكريتية، وقراءة رد 2017 للأصفار بوصفها أعدادا تستند إلى إجراءات النص نفسه. وليس أي منهما قياسا للحاء.

وقد أُخذت عينات من ست ورقات من الأوراق السبعين (الورقات 15 و16 و17 و23 و33 و55). ولا يتوقع تقرير أكسفورد مزيدا من التأريخ، لأن كل اختبار يستهلك عينة صغيرة من اللحاء.