La Yuktibhasa de Jyesthadeva, escrita en malayalam hacia 1530, da demostraciones paso a paso de las series de la escuela de Kerala para pi, el seno y el coseno

La Yuktibhasa es un libro de demostraciones escrito en malayalam, la lengua de Kerala, hacia 1530. Su autor, Jyesthadeva, tomó los resultados de la escuela de matemáticas y astronomía de Kerala y mostró por qué se cumple cada uno. La edición crítica publicada en 2008, editada y traducida por K. V. Sarma con notas explicativas de K. Ramasubramanian, M. D. Srinivas y M. S. Sriram, describe el texto como quince capítulos en dos partes, matemáticas y astronomía. Entre los resultados que deriva están las series infinitas para pi, el seno y el coseno que autores posteriores atribuyen a Madhava de Sangamagrama, que vivió en el siglo XIV.

La fecha no está fijada. La edición de Springer y K. Ramasubramanian dan hacia 1530. En una reseña de 2010 citada por M. D. Srinivas, el matemático David Mumford escribió «quizá hacia 1540». MacTutor, el archivo de historia de las matemáticas de St Andrews, da hacia 1550. Este artículo usa hacia 1530 y mantiene el abanico a la vista. Un artículo anterior sobre Madhava y la escuela de Kerala trata las propias series y la cuestión de si llegaron a Europa. Este trata el libro que las demuestra.

Un comentario en la lengua que la gente hablaba

Jyesthadeva escribió la Yuktibhasa para explicar el Tantrasamgraha, el principal tratado de astronomía de Nilakantha Somayaji, que nació en 1444. MacTutor describe el Tantrasamgraha como 432 versos en sánscrito en ocho capítulos, y dice que Nilakantha escribió también un comentario al Aryabhatiya. La descripción de la edición por Springer dice que el libro de Jyesthadeva expone las técnicas detrás del cálculo de los movimientos planetarios «tal como se exponen» en ese tratado, que data de hacia 1500.

Su método está en el título. Una yukti es una razón o demostración, y la propia descripción de la edición dice que el texto «presenta yuktis detalladas» para los resultados de la astronomía matemática. MacTutor dice que contiene demostraciones de los teoremas y derivaciones de las reglas, «muy inusualmente para un texto matemático indio». Dice también que el libro es un compendio de la matemática de Kerala, de modo que el lector recibe los resultados de Madhava a través de la explicación de un autor posterior. Ramasubramanian escribe que las obras de Madhava que contienen las series no están disponibles, y que los matemáticos posteriores de la tradición se las atribuyen sin discrepancia.

Quién la escribió se resolvió solo en 1958. Charles Whish había nombrado al autor Cellalura Nambutiri en 1834, y Srinivas dice que la confusión sobre el nombre duró hasta ese año, cuando K. V. Sarma encontró una declaración en un manuscrito de la biblioteca de la Universidad de Kerala que muestra a Jyesthadeva como autor del «bhasha», el libro en lengua vernácula. Un manuscrito de Baroda añadió que Jyesthadeva, como Nilakantha, fue discípulo de Damodara, hijo de Paramesvara.

Correcciones, potencias y una serie para el círculo

La demostración de la serie de pi se construye con resultados menores, y Ramasubramanian recorre la cadena.

Un eslabón es un desarrollo de la fracción uno entre uno más x. Parte de una identidad sencilla y cambia una división por un número por una división por otro, y cada cambio exige una corrección. Juntas, las correcciones forman una serie alternada. Tanto la Yuktibhasa como la Kriyakramakari, un comentario en sánscrito al Lilavati de Bhaskara II por Sankara Variyar y su discípulo Narayana, dicen que las correcciones no tienen un final lógico y que el proceso puede detenerse cuando se alcanza la precisión deseada.

Otro eslabón es un método general para estimar las sumas de potencias de números enteros. Para un número grande de términos n, la suma de las potencias k de 1, 2, hasta n da aproximadamente n elevado a k+1, dividido entre k+1. Ramasubramanian dice que el procedimiento que da el texto equivale a una demostración por inducción.

Un tercer eslabón es la propia serie. El verso de Madhava, tal como lo cita Sankara Variyar, dice al lector que multiplique el diámetro por cuatro, que divida ese producto entre cada número impar por turno y que reste y sume alternativamente. En términos modernos, la circunferencia es igual a cuatro veces el diámetro, menos cuatro veces el diámetro entre tres, más cuatro veces el diámetro entre cinco, y así sucesivamente. La derivación de Jyesthadeva toma un cuadrante del cuadrado que rodea el círculo, divide un lado en n partes iguales y une cada punto de división con el centro. Después argumenta que, para n grande, las semicuerdas de los arcos pequeños «son en esencia los propios trozos de arco», según traduce Ramasubramanian. Sumar las piezas y usar las estimaciones de sumas de potencias da la serie, que Gregory y Leibniz redescubrieron, en palabras de Ramasubramanian, casi tres siglos después.

El último trata de la velocidad. La serie de pi converge muy despacio, y Ramasubramanian describe una técnica llamada antya-samskara, una corrección que se aplica tras detenerse en algún término. El texto discute cómo se llega a correcciones de tres clases sucesivamente mejores. V. N. Krishnachandran, en un preprint de 2024, lee el primero de esos argumentos así: el texto prueba una elección limpia de corrección, ve que haría la corrección igual en cada número impar, lo cual no puede ser, y elige entre dos números pares cercanos, tomando cuatro veces n como primera aproximación. Ramasubramanian observa que con la tercera corrección unos 25 términos de la serie dan pi correcto hasta 10 decimales.

Un valor de pi dado por Madhava, que Nilakantha y Sankara Variyar citan ambos, es 2.827.433.388.233 dividido entre 900.000.000.000, o 3,141592653592. Es correcto hasta 11 decimales. MacTutor llega a los mismos 11 decimales por otra vía, una serie con la raíz cuadrada de 12 delante, sumada hasta 21 términos.

Seno y coseno

La Yuktibhasa deriva también las series del seno y el coseno. Ramasubramanian remite a los lectores a la bibliografía para la demostración, y cita un juicio del matemático P. P. Divakaran. Newton, observa Divakaran, halló su serie «adivinando» los términos sucesivos a partir de su forma, y la manera de la Yuktibhasa de integrar la ecuación de diferencias o diferencial del seno y el coseno es, en palabras de Divakaran, «enteramente distinta y muy moderna».

Mumford, en la reseña que cita Srinivas, escribe que sobrevive en malayalam una «exposición informal de estos resultados con derivaciones completas» que da una visión única de los métodos indios, que resume como recursión, inducción y un cuidadoso paso al límite.

La mitad de astronomía

El volumen II de la edición enumera ocho capítulos de astronomía: el cálculo de los planetas, la Tierra y las esferas celestes, los quince problemas, la sombra del gnomon, el eclipse, el vyatipata, las correcciones de visibilidad de los planetas y la elevación de las puntas de la Luna.

Buena parte de la astronomía sigue la revisión de Nilakantha del antiguo modelo planetario indio. Ramasubramanian, Srinivas y Sriram escriben que en el Tantrasamgraha, compuesto hacia 1500, Nilakantha aplicó la ecuación del centro de Mercurio y Venus al planeta heliocéntrico medio en lugar de al Sol medio. Añaden que las antiguas teorías planetarias griega, islámica y europea la aplicaron al Sol medio hasta Kepler, y que la regla correcta se formuló por primera vez en la tradición europea a principios del siglo XVII. Observan que el libro de Jyesthadeva da una exposición detallada de la imagen geométrica que acompaña al modelo de Nilakantha.

En un tratado breve, según los mismos autores, Nilakantha expone su modelo cosmológico: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno giran alrededor del Sol medio en órbitas excéntricas, mientras que el Sol medio gira alrededor de la Tierra. Observan que este es el modelo que Tycho Brahe propuso hacia finales del siglo XVI, «aunque por consideraciones enteramente distintas». Hace que el Sol medio gire alrededor de la Tierra, de modo que no es la disposición copernicana.

Cómo llegó el libro a un público más amplio

John Warren, que dirigió el observatorio de Madrás a principios del siglo XIX, escribió en su libro de 1825 que un astrónomo indio le había dado la serie de pi. Charles Whish, un funcionario civil de la Compañía de las Indias Orientales que pasó más de quince años en Malabar y leía malayalam y sánscrito, llevó el asunto más lejos. Su artículo sobre la cuadratura hindú del círculo se leyó ante la Royal Asiatic Society el 15 de diciembre de 1832 y se imprimió en el volumen 3 de sus Transactions en 1834. Nombra cuatro textos, el Tantrasamgraha, la Yuktibhasa, el Karana Padhati y el Sadratnamala, y termina con una promesa: «Un relato más detallado de la Yucti-Bhasha, las demostraciones de las reglas para la cuadratura del círculo mediante series infinitas» seguiría en un artículo aparte.

Whish murió el 14 de abril de 1833 y el segundo artículo nunca apareció. Srinivas observa que Whish escribió en la primera hoja de palma en blanco de uno de sus dos manuscritos de la Yuktibhasa, hoy en la Royal Asiatic Society de Londres, que contenía «la demostración de las series infinitas de los autores».

La recepción en Gran Bretaña fue desigual. Ramasubramanian informa de que George Hyne, miembro veterano de la Madras Literary Society, concluyó en la década de 1820 que las series se habían tomado prestadas de los europeos, y de que Warren decidió seguir su opinión. Srinivas añade que en 1843 Augustus De Morgan escribió que habría descartado el artículo de Whish como una «astuta patraña» de no haber aparecido en las propias Transactions de la Sociedad, y sugirió que el astrónomo francés Le Gentil o misioneros católicos pudieron haber proporcionado las series a los indios. Srinivas y Ramasubramanian describen ambos un largo silencio posterior entre los historiadores europeos. El historiador de la ciencia David Pingree, en una conferencia publicada en 1992, dio dos razones: que los historiadores occidentales al principio no podían admitir que un indio hubiera descubierto el cálculo, y que después nadie leyó las Transactions de la Sociedad. Srinivas discute parte de esto, y dice que el artículo de Whish fue muy comentado en la década posterior a su lectura. Pingree sostuvo también que el logro de Madhava no debe confundirse con el descubrimiento del cálculo, puesto que se apoyaba en argumentos geométricos y algebraicos.

La recuperación empezó en la India. Bibhutibhusan Datta escribió sobre los valores hindúes de pi en 1926, A. N. Singh sobre el uso de series en 1936, y C. T. Rajagopal y colegas publicaron explicaciones en la década de 1940. En 1948 Rama Varma Tampuran y A. R. Akhileswaraiyer publicaron la parte matemática de la Yuktibhasa con notas en malayalam. Springer dice que la edición de 2008 es la primera edición crítica de todo el texto malayalam, y añade una traducción al inglés y notas explicativas de Ramasubramanian, Srinivas y Sriram.

Qué cubren las afirmaciones

En cuanto al alcance, Ramasubramanian es explícito: los matemáticos de Kerala limitaron su discusión a la cuadratura de un círculo y ciertas funciones trigonométricas, mientras que los matemáticos europeos abordaron curvas arbitrarias con definiciones formales y un tratamiento general. El contexto y el propósito también diferían, según su relato. La objeción de Pingree, citada arriba, es la contrapostura más conocida. Que un lector dado llame cálculo a los métodos de la Yuktibhasa depende de lo amplio que se trace la palabra, y las fuentes usan palabras distintas para ello.

Otros puntos siguen abiertos. Los propios escritos matemáticos de Madhava se han perdido. La datación de la Yuktibhasa varía unas dos décadas entre las fuentes citadas arriba. Este artículo no afirma que ninguno de los resultados llegara a Europa antes del siglo XVII.

La ficha de catálogo de Springer para la edición en dos volúmenes da su extensión como LXVIII páginas preliminares y 1.084 páginas.