كتاب Ganita Sara Sangraha لماهافيراتشاريا، المكتوب نحو 850 م في عهد الملك الراشتراكوتي أموغافارشا، يضم تسعة فصول وأكثر من 1130 بيتًا من القواعد والمسائل المحلولة، من الكسور إلى القطع الناقص

كتاب Ganita Sara Sangraha لماهافيراتشاريا، المكتوب نحو 850 م، كتاب مدرسي لرياضي جاينيّ في تسعة فصول. وتحصي Britannica، في مدخل كتبه مؤرخ الرياضيات Takao Hayashi، أكثر من 1130 بيتًا من القواعد والأمثلة المحلولة. وهي تمتد من أسماء الأعداد والكسور مرورًا بالمعادلات والمتواليات والمساحات والأحجام وصولًا إلى الظلال.

وقد ألّفه ماهافيراتشاريا في جنوب الدكن في عهد الملك الراشتراكوتي أموغافارشا (Amoghavarsha). ويسمّي فصله الأول أربعًا وعشرين منزلة عشرية، ويعطي قواعد للحساب بالصفر والأعداد السالبة، وتطرح الفصول اللاحقة مسائل عن أكوام الموز ومحفظة سقطت وسهام في جعبة. وجاءت قواعد براهماغوبتا للصفر قبل أكثر من قرنين، وتصف MacTutor كتاب ماهافيراتشاريا بأنه تحديث لكتاب براهماغوبتا.

كتاب يُسمّى ملكٌ في أبياته الأولى

لا يعطي Ganita Sara Sangraha تاريخه الخاص. فبعد بيتين من التحية لمعلّم الجاينية ماهافيرا (Mahavira)، يقضي الفصل الأول ستة أبيات في مديح ملك والتمنّي لحكمه بالازدهار. وتسمّيه الأبيات أموغافارشا وتشاكريكابهانجانا (Cakrikabhanjana)، وتسمّي البركة الأخيرة نريبَتونغا (Nripatunga). وقد حدّده محرر النص ومترجمه عام 1912، Rangacarya، بأنه الملك الراشتراكوتي أموغافارشا نريبَتونغا. وكتب أن البحث النقوشي يضع حكمه من 814 أو 815 إلى 877 أو 878، وأن الكتاب ينتمي إذن إلى منتصف القرن التاسع.

والنقوش توافق ذلك المدى. فيورد Fleet، وهو يفهرس سجلات أموغافارشا الأول في المقاطعات الناطقة بالكانادا في 1882، نقشين في كهوف كانهيري (Kanheri)، أحدهما مؤرخ بالسنة الساكية 773 (851 إلى 852 م، وهو رقم يعطيه تصحيحًا لـ775) والآخر بالسنة الساكية 799 (877 إلى 878 م). وتعطي Britannica في مدخلها عن السلالة العهد نفسه، نحو 814 إلى 878، وتقول إن الراشتراكوتا كانوا يتكلمون الكانادا. وتضيف أن أموغافارشا كان مؤلف جزء من Kavirajamarga، أقدم قصيدة معروفة بالكانادا. وتنسب Britannica كذلك إلى الملك الأسبق في السلالة كريشنا الأول (Krishna I) معبد كايلاسا في إيلورا.

وعن الرياضي نفسه تقول Britannica فحسب إنه كان جاينيًا وكتب في عهد أموغافارشا. ويصفه Sanatan Koley، في ورقة عام 2025 في Indian Journal of History of Science، بأنه جاينيّ ديغامبارا لم يكن فلكيًا، خلافًا لأسلافه، وأن عمله محصور في الرياضيات. وتقول MacTutor إنه ربما وُلد في ميسور أو قربها. ورأى David Eugene Smith، الذي كتب مقدمة طبعة Rangacarya، أن ماهافيراتشاريا «يبدو أنه عاش» في بلاط الملك. وهذا استنتاج من الأبيات الأولى، وعبارة Rangacarya نفسه أن المؤلف كان «مرتبطًا بنحو ما» بالبلاط. ولا تسمّي MacTutor راعيًا.

أربع وعشرون منزلة وقواعد الصفر

يعدّد الفصل I منازل العدد العشري من منزلة الآحاد صعودًا. فالسادسة هي اللاك (lakh) والثامنة الكرور (crore)، وتستمر القائمة إلى المنزلة الرابعة والعشرين، المسمّاة ماهاكشوبها (mahakshobha). وكل منزلة، كما يلاحظ تمهيد Rangacarya، تساوي عشرة أمثال التي قبلها. ويضع الفصل نفسه، في الأبيات 49 إلى 52، قواعد الصفر والكميات الموجبة والسالبة.

والعدد المضروب في صفر صفر، يقول البيت، وإضافة الصفر تترك العدد كما كان. وسالبان أو موجبان يُضربان أو يُقسمان يعطيان موجبًا، وواحد من كل نوع يعطي سالبًا. والكمية الموجبة المطروحة تصير سالبة، والسالبة المطروحة تصير موجبة. ومربع الكمية الموجبة أو السالبة موجب. ويعلّل البيت بأن السالب ليس مربعًا ولذلك لا جذر تربيعيًّا له، وهي نقطة تسجّلها Britannica أيضًا.

وفي القسمة، يقول البيت 49 إن العدد المقسوم على صفر يبقى دون تغيير. وحاشية لـRangacarya تقول بوضوح إن هذا خطأ، وإن Bhaskara أعطى لاحقًا الناتج لانهاية. وتقول MacTutor في تاريخ الصفر الشيء نفسه، وتلاحظ أن محاولة ماهافيرا تحسين أقوال براهماغوبتا في القسمة على صفر أوقعته في الخطأ. والقصة الأوسع للنظام العشري وعلامة الصفر في مقال الهند والصفر، وعمل Bhaskara في مقال Lilavati.

الكسور والسحّاقات ومسائل الأبيات

تقول MacTutor إن ماهافيراتشاريا أعطى طرقًا لتجزئة الكسر إلى كسور وحدة، بالمثال 2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68. والكسور الثلاثة تجمع فعلًا 2/17، إذ تعطي بمقام مشترك 204 الأعداد 17 و4 و3، ومجموعها 24. وفي الفصل III يطرح لغزًا مرتبطًا، يطلب فيه من القارئ أن يجد المقامات حين يجمع خمسة أو ستة أو سبعة كسور مختلفة بسطها 1 ناتج 1.

ويحتوي الفصل VI، عن المسائل المختلطة، على الـkuttikara أو السحّاق، وهو طريقة لإيجاد حلول صحيحة لمعادلات تصفها MacTutor بأنها مبنية على خوارزمية إقليدس. ومثال نموذجي، البيت 117 ونصف، يسأل عن حجم واحد من 63 كومة متساوية من الموز. تُضاف سبع ثمرات ويُقسم المجموع بين 23 مسافرًا دون باقٍ. ويعطي ملحق الأجوبة 5، والحساب صحيح: 63 في 5 زائد 7 يساوي 322، وهو 23 في 14.

ولماذا ينجح الشكل المركّب من القاعدة، فذلك مشروح في ملاحظات Rangacarya. فحين يجب أن يحقق عدد واحد شرطين من هذا النوع معًا، يبيّن أن الحل التالي يأتي بإضافة المضاعف المشترك الأصغر للقاسمين إلى الأول. وهذا الاشتقاق في حاشيته، لا في بيت ماهافيراتشاريا، الذي يعطي الإجراء فقط.

ويطرح البيتان 236 و237 ثلاثة تجار يجدون محفظة. يقول الأول إنه بالمحفظة يصير معه ضعف ما مع الاثنين الآخرين معًا، والثاني ثلاثة أمثال، والثالث خمسة أمثال. وتعطي MacTutor أصغر جواب بالأعداد الصحيحة: المحفظة فيها 15، والتجار معهم 1 و3 و5. وللتحقق: 15 زائد 1 يساوي 16، وهو ضعف 3 زائد 5. و15 زائد 3 يساوي 18، وهو ثلاثة أمثال 1 زائد 5. و15 زائد 5 يساوي 20، وهو خمسة أمثال 1 زائد 3.

ويعطي البيت 288 قاعدة لعدّ السهام المضمومة في جعبة. أضف 3 إلى عدد السهام في الحلقة الخارجية، ثم ربّع المجموع، وأضف 3 واقسم على 12. ويسأل البيت التالي عن حالة 18 سهمًا خارجيًا، فيعطي 37. وذلك 1 في الوسط زائد حلقات من 6 و12 و18. وتقوم القاعدة على أن ست دوائر متساوية تتسع حول سابعة، كما تشرح ملاحظة Rangacarya، ويستشهد بها Koley، الذي يقرؤها صيغة صحيحة.

الدوائر والرباعيات وقطع ناقص

تملأ المساحات الفصل VII. فللدائرة، يأخذ البيت 19 المحيط ثلاثة أمثال القطر والمساحة ثلاثة أمثال مربع نصف القطر. وكلاهما تقريبي، كما تقول حاشية Rangacarya، لأنهما يأخذان π يساوي 3. وللعمل الأدق، تضيف Britannica، استخدم ماهافيراتشاريا الجذر التربيعي لـ10، القيمة الجاينية التقليدية. ولاحظ Smith أن براهماغوبتا وماهافيراتشاريا استخدما معًا 3 والجذر التربيعي لـ10، وأن أيًّا منهما لا يبدو أنه عرف عمل أرخميدس أو هيرون.

ويعطي البيت 50 الصيغة التي تأخذ الجذر التربيعي لحاصل ضرب أربع كميات، كل منها نصف مجموع الأضلاع ناقص ضلع. ويشير Koley إلى أنها صيغة براهماغوبتا لمساحة الشكل الرباعي، وأن جعل أحد الأضلاع صفرًا يعطي مساحة المثلث. وفي هل ينص النص على أنها تصح فقط حين تقع الزوايا الأربع على دائرة، يختلف الباحثون. فبحسب Smith، لا يلاحظ براهماغوبتا ولا ماهافيراتشاريا ذلك. وفي قراءة Koley هو مضمر، والأمثلة في الأبيات 57 إلى 59 كلها من ذلك النوع.

ويفرد Koley القطع الناقص. يكتب أنه سوى هذا المصنف لا يحوي أي عمل رياضي هندي صيغة لقياس القطع الناقص. ويقول البيت 21 أن تضيف نصف القطر الأقصر إلى الأطول، وتضاعف المجموع لتحصل على المحيط، وتضربه في ربع القطر الأقصر للمساحة. والمثال المحلول، بقطرين 12 و36، يعطي في ملحق الأجوبة 84 و252. ويقدّم البيت 63 زوجًا ثانيًا «دقيقًا» من القواعد. وكلتا القاعدتين خاطئتان بحكم Koley، لأن المساحة الصحيحة هي π في حاصل ضرب نصفي المحورين. ومع ذلك يصف المحاولة بأنها جديرة بالتقدير، لأنها أدخلت دراسة القطوع المخروطية في الهند، وهي دراسة بدأت في اليونان قبل زمن طويل.

وتقول MacTutor إن النص يعطي أيضًا قواعد لشكل مستوٍ شبيه بالمحارة، يتكوّن من نصفي دائرة غير متساويين ملتصقين على قطريهما. وتنقل عن Hayashi أن صيغًا كهذه لم توجد حتى الآن إلا في أعمال ماهافيرا وناراياناه (Narayana). والتباديل والتوافيق في الكتاب أيضًا، تقول Britannica، وتسمّيها موضوعات جاينية تقليدية. وقاعدة حجم الكرة في الفصل الثامن شبه صحيحة، يكتب Koley.

كتاب ظل مستخدمًا في الجنوب

يصف تمهيد Rangacarya المخطوطات التي استخدمها. كانت خمسًا في المجموع، واحدة بخط غرانثا مع شرح سنسكريتي للفصول الخمسة الأولى، ونسختان على سعف النخيل بخط الكانادا، وواحدة من المكتبة الشرقية الحكومية في ميسور، وواحدة من دير جاينيّ في مودبيدري (Mudbidri) بجنوب كانارا. وكانت نسخة ميسور تحمل شرحًا كانّاديًا قصيرًا لشخص يُدعى فالابها (Vallabha). ويكتب Rangacarya أن العمل يبدو أنه كان معروفًا ومقدّرًا على نطاق واسع في جنوب الهند، وأن ترجمة شعرية تيلوغوية لباولوري مالانا (Pavuluri Mallana) أُنجزت في القرن الحادي عشر. ويعطي Koley تاريخ الترجمة نفسه.

وتنقل MacTutor عن Filliozat قوله إن الكتاب، مع أنه مكثّف كسائر النصوص المنظومة، «له ميزة كبيرة على النصوص الأقدم» من ناحية التعليم. وكتب Smith في 1912 أن الطبعة كشفت كاتبًا يكاد يكون مجهولًا لدى الباحثين الأوروبيين. ويقول Rangacarya إنه ليس من السهل معرفة هل عرف Bhaskara الكتاب، إذ لا يبدو أن Bhaskara ولا أي شارح معروف له يقتبس منه أو يسمّي مؤلفه، ولا يدّعي هذا المقال تأثيرًا.

حيث تختلف المصادر

يؤرّخ Smith وKoley وBritannica وسيرة MacTutor الكتاب كلهم إلى نحو 850. أما تاريخ الصفر في MacTutor، وهو صفحة منفصلة، فيقول 830. وتتباين تواريخ الحياة أيضًا: تعطي MacTutor نحو 800 إلى 870، ويعطي Koley نحو 800 إلى 875، وتقول Britannica فقط إنه نشط نحو 850.

وتستند دعوى أن هذا أقدم نص هندي مكرّس بكامله للرياضيات إلى MacTutor، التي تقول ذلك عن الكتاب، وإلى Koley، الذي يكررها. لكن مقدمة Koley نفسه تقول إن Trisatika لسريدهارا (Sridhara)، من نحو 750 م، تعالج الرياضيات وحدها. ولا توفّق المصادر المفتوحة هنا بين القولين، فلا يستخدم هذا المقال صيغة التفضيل. ووقّع Rangacarya تمهيده في مدراس في فبراير 1912.