রাষ্ট্রকূট রাজা অমোঘবর্ষের আমলে আনুমানিক ৮৫০ সালে লেখা মহাবীরাচার্যের গণিত সার সংগ্রহ নটি অধ্যায় আর ১,১৩০টিরও বেশি শ্লোকে ভগ্নাংশ থেকে উপবৃত্ত পর্যন্ত নিয়ম আর সমাধান করা সমস্যা ধরে রেখেছে

মহাবীরাচার্যের গণিত সার সংগ্রহ, আনুমানিক ৮৫০ সালে লেখা, নটি অধ্যায়ে একজন জৈন গণিতবিদের পাঠ্যবই। গণিতের ইতিহাসবিদ তাকাও হায়াশির লেখা ব্রিটানিকার এন্ট্রিতে গোনা হয়েছে নিয়ম আর সমাধান করা উদাহরণের ১,১৩০টিরও বেশি শ্লোক। সেগুলো সংখ্যার নাম আর ভগ্নাংশ থেকে সমীকরণ, শ্রেণি, ক্ষেত্রফল আর আয়তন পেরিয়ে ছায়া পর্যন্ত গেছে।

এটি রচিত হয়েছিল দক্ষিণ দাক্ষিণাত্যে রাষ্ট্রকূট রাজা অমোঘবর্ষের রাজত্বকালে। এর প্রথম অধ্যায়ে দশমিকের চব্বিশটি স্থানের নাম আছে, শূন্য আর ঋণাত্মক সংখ্যা নিয়ে পাটিগণিতের নিয়ম আছে, আর পরের অধ্যায়গুলোতে আছে কলার স্তূপ, পড়ে যাওয়া থলে আর তূণের তির নিয়ে সমস্যা। ব্রহ্মগুপ্তের শূন্যের নিয়ম এসেছিল দুই শতকেরও বেশি আগে, আর ম্যাকটিউটর বর্ণনায় মহাবীরাচার্যের বইটি ব্রহ্মগুপ্তের বইয়ের হালনাগাদ।

প্রথম শ্লোকগুলোতেই এক রাজার নাম থাকা একটি পাঠ্যবই

গণিত সার সংগ্রহ নিজের কোনো তারিখ দেয় না। জৈন গুরু মহাবীরের উদ্দেশে দুটি প্রণাম-শ্লোকের পর প্রথম অধ্যায় ছয় শ্লোক খরচ করেছে এক রাজার প্রশংসায় আর তাঁর রাজত্বের সমৃদ্ধি কামনায়। শ্লোকগুলো তাঁকে ডাকে অমোঘবর্ষ আর চক্রিকাভঞ্জন নামে, আর শেষ আশীর্বাদে আছে নৃপতুঙ্গের নাম। ১৯১২ সালের সংস্করণের সম্পাদক ও অনুবাদক রঙ্গাচার্য তাঁকে শনাক্ত করেছিলেন রাষ্ট্রকূট রাজা অমোঘবর্ষ নৃপতুঙ্গ হিসেবে। তিনি লিখেছেন, লিপিগত গবেষণা রাজত্বকাল ধরে ৮১৪ বা ৮১৫ থেকে ৮৭৭ বা ৮৭৮, আর তাই বইটি নবম শতকের মাঝামাঝি সময়ের।

লিপিগুলো এই সময়সীমার সঙ্গে মেলে। ফ্লিট ১৮৮২ সালে কন্নড়ভাষী জেলাগুলোতে প্রথম অমোঘবর্ষের নথির তালিকা করতে গিয়ে কানহেরি গুহায় দুটির কথা বলেছেন: একটির তারিখ শক ৭৭৩ (৮৫১ থেকে ৮৫২ সাল, সংখ্যাটি তিনি ৭৭৫-এর সংশোধন হিসেবে দিয়েছেন), আরেকটির শক ৭৯৯ (৮৭৭ থেকে ৮৭৮ সাল)। বংশটির ওপর ব্রিটানিকার এন্ট্রিতে একই রাজত্বকাল, প্রায় ৮১৪ থেকে ৮৭৮, আর বলা হয়েছে রাষ্ট্রকূটেরা কন্নড় বলতেন। তাতে আরও আছে যে অমোঘবর্ষ ছিলেন কবিরাজমার্গ-এর একটি অংশের রচয়িতা, যা জানা সবচেয়ে প্রাচীন কন্নড় কাব্য। ব্রিটানিকা বংশটির আগের রাজা প্রথম কৃষ্ণকে ইলোরার কৈলাস মন্দিরের কৃতিত্বও দেয়।

গণিতবিদ নিজের সম্পর্কে ব্রিটানিকা শুধু বলেছে যে তিনি ছিলেন জৈন আর লিখেছিলেন অমোঘবর্ষের রাজত্বকালে। সনাতন কোলে ইন্ডিয়ান জার্নাল অব হিস্ট্রি অব সায়েন্স-এ ২০২৫ সালের একটি প্রবন্ধে তাঁকে বলেছেন দিগম্বর জৈন, যিনি তাঁর পূর্বসূরিদের মতো জ্যোতির্বিদ ছিলেন না, আর যাঁর কাজ শুধু গণিতে সীমাবদ্ধ। ম্যাকটিউটর বলে, তাঁর জন্ম সম্ভবত মহীশূরে বা তার কাছে। রঙ্গাচার্যের সংস্করণের ভূমিকা যিনি লিখেছিলেন, সেই ডেভিড ইউজিন স্মিথ মনে করতেন মহাবীরাচার্য রাজার সভায় “বাস করেছেন বলে মনে হয়”। এটি প্রথম শ্লোকগুলো থেকে করা অনুমান, আর রঙ্গাচার্যের নিজের কথা হল রচয়িতা সভার সঙ্গে “কোনো না কোনোভাবে যুক্ত” ছিলেন। ম্যাকটিউটর কোনো পৃষ্ঠপোষকের নাম বলেনি।

চব্বিশটি স্থান আর শূন্যের নিয়ম

প্রথম অধ্যায়ে দশমিক সংখ্যার স্থানগুলোর তালিকা আছে এককের স্থান থেকে ওপরের দিকে। ষষ্ঠটি লক্ষ আর অষ্টমটি কোটি, আর তালিকা চলেছে চব্বিশতম স্থান পর্যন্ত, যার নাম মহাক্ষোভ। রঙ্গাচার্যের মুখবন্ধ বলেছে, প্রতিটি স্থানের মান তার আগেরটির দশ গুণ। একই অধ্যায়ে ৪৯ থেকে ৫২ নম্বর শ্লোকে শূন্য আর ধনাত্মক ও ঋণাত্মক রাশির নিয়ম বাঁধা হয়েছে।

শ্লোক বলে, কোনো সংখ্যাকে শূন্য দিয়ে গুণ করলে শূন্য হয়, আর শূন্য যোগ করলে সংখ্যা যেমন ছিল তেমনই থাকে। দুটি ঋণাত্মক বা দুটি ধনাত্মক গুণ বা ভাগ করলে ধনাত্মক হয়, আর একটি করে হলে ঋণাত্মক। ধনাত্মক রাশি বিয়োগ করলে তা ঋণাত্মক হয়, আর ঋণাত্মক রাশি বিয়োগ করলে ধনাত্মক। ধনাত্মক বা ঋণাত্মক রাশির বর্গ ধনাত্মক। শ্লোকের যুক্তি, ঋণাত্মক রাশি কোনো বর্গ নয়, তাই তার বর্গমূল নেই, যে কথা ব্রিটানিকাও নথিবদ্ধ করেছে।

ভাগ প্রসঙ্গে ৪৯ নম্বর শ্লোক বলে, শূন্য দিয়ে ভাগ করলে সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকে। রঙ্গাচার্যের একটি পাদটীকা স্পষ্টই বলে এটি ভুল, আর ভাস্কর পরে ভাগফলকে অসীম বলেছিলেন। ম্যাকটিউটরের শূন্যের ইতিহাসও একই কথা বলে, আর জানায় যে শূন্য দিয়ে ভাগ নিয়ে ব্রহ্মগুপ্তের বক্তব্য উন্নত করার মহাবীরের চেষ্টা তাঁকে ভুলে নিয়ে গিয়েছিল। দশমিক পদ্ধতি আর শূন্য চিহ্নের বৃহত্তর কাহিনি ভারত আর শূন্য নিয়ে লেখাটিতে, আর ভাস্করের কাজ লীলাবতী নিয়ে লেখাটিতে।

ভগ্নাংশ, কুট্টক আর সমস্যার শ্লোক

ম্যাকটিউটর বলে, মহাবীরাচার্য একটি ভগ্নাংশকে একক ভগ্নাংশে ভাঙার পদ্ধতি দিয়েছিলেন, উদাহরণ ২/১৭ = ১/১২ + ১/৫১ + ১/৬৮। তিনটি ভগ্নাংশ সত্যিই যোগ হয়ে ২/১৭ হয়, কারণ সাধারণ হর ২০৪ ধরলে তারা হয় ১৭, ৪ আর ৩, যার যোগফল ২৪। তৃতীয় অধ্যায়ে তিনি একটি সম্পর্কিত ধাঁধা দিয়েছেন: ওপরে ১ থাকা পাঁচ, ছয় বা সাতটি ভিন্ন ভগ্নাংশের যোগফল ১ হলে হরগুলো কী, পাঠককে তা বের করতে বলেছেন।

মিশ্র সমস্যার ষষ্ঠ অধ্যায়ে আছে কুট্টিকার বা কুট্টক, পূর্ণসংখ্যার সমাধান বের করার একটি পদ্ধতি, যাকে ম্যাকটিউটর বর্ণনা করে ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমের ওপর দাঁড়ানো বলে। একটি সাধারণ উদাহরণ, সাড়ে ১১৭ নম্বর শ্লোক, ৬৩টি সমান কলার স্তূপের একটির আকার জানতে চায়। আরও সাতটি ফল যোগ করে মোট ২৩ জন পথিকের মধ্যে ভাগ করা হয়, কিছুই বাকি থাকে না। উত্তরের পরিশিষ্টে দেওয়া আছে ৫, আর অঙ্ক মেলে: ৬৩ গুণ ৫ যোগ ৭ হল ৩২২, যা ২৩ গুণ ১৪।

নিয়মের সম্মিলিত রূপ কেন কাজ করে, তা রঙ্গাচার্যের টীকায় কষে দেখানো আছে। একটি সংখ্যাকে একসঙ্গে দুটি এমন শর্ত মেটাতে হলে, তিনি দেখান, পরের সমাধান আসে প্রথমটির সঙ্গে দুই ভাজকের ল.সা.গু. যোগ করে। সেই প্রতিপাদন তাঁর পাদটীকায়, মহাবীরাচার্যের শ্লোকে নয়, যা শুধু পদ্ধতিটি দেয়।

২৩৬ আর ২৩৭ নম্বর শ্লোকে তিনজন বণিক একটি থলে পায়। প্রথমজন বলে থলে নিলে তার কাছে বাকি দুজনের মোটের দ্বিগুণ হবে, দ্বিতীয়জন বলে তিন গুণ, তৃতীয়জন পাঁচ গুণ। ম্যাকটিউটর পূর্ণসংখ্যায় ক্ষুদ্রতম উত্তর দিয়েছে: থলেতে ১৫, আর বণিকদের কাছে ১, ৩ আর ৫। মিলিয়ে দেখা যাক: ১৫ যোগ ১ হল ১৬, ৩ আর ৫-এর দ্বিগুণ। ১৫ যোগ ৩ হল ১৮, ১ আর ৫-এর তিন গুণ। ১৫ যোগ ৫ হল ২০, ১ আর ৩-এর পাঁচ গুণ।

২৮৮ নম্বর শ্লোক তূণে বাঁধা তির গোনার একটি নিয়ম দেয়। বাইরের বলয়ের তিরের সংখ্যায় ৩ যোগ করো, যোগফলের বর্গ করো, ৩ যোগ করো আর ১২ দিয়ে ভাগ করো। পরের শ্লোক জানতে চায় বাইরে ১৮টি তির হলে কত, যার উত্তর ৩৭। সেটি মাঝখানে ১ আর ৬, ১২ ও ১৮ তিরের বলয়গুলো। নিয়মটির ভিত্তি এই যে ছটি সমান বৃত্ত একটি সপ্তম বৃত্তকে ঘিরে বসে, রঙ্গাচার্যের টীকা যেমন ব্যাখ্যা করে, আর কোলে, যিনি একে একটি সঠিক সূত্র হিসেবে পড়েন, সেই টীকার উল্লেখ করেছেন।

বৃত্ত, চতুর্ভুজ আর একটি উপবৃত্ত

সপ্তম অধ্যায় জুড়ে ক্ষেত্রফল। বৃত্তের জন্য ১৯ নম্বর শ্লোক পরিধিকে ধরে ব্যাসের তিন গুণ আর ক্ষেত্রফলকে অর্ধব্যাসের বর্গের তিন গুণ। রঙ্গাচার্যের একটি পাদটীকা বলে, দুটিই আসন্ন মান, কারণ তারা পাই-কে ৩ ধরে। আরও সূক্ষ্ম কাজের জন্য, ব্রিটানিকা যোগ করে, মহাবীরাচার্য ১০-এর বর্গমূল ব্যবহার করেছিলেন, ঐতিহ্যবাহী জৈন মান। স্মিথ লক্ষ করেছিলেন, ব্রহ্মগুপ্ত আর মহাবীরাচার্য দুজনেই ৩ আর ১০-এর বর্গমূল ব্যবহার করেছেন, আর কেউই আর্কিমিডিস বা হেরনের কাজ জানতেন বলে মনে হয় না।

৫০ নম্বর শ্লোক এমন সূত্র দেয় যা চারটি রাশির গুণফলের বর্গমূল নেয়, প্রতিটি রাশি বাহুগুলোর অর্ধযোগ থেকে একটি বাহু বাদ দিলে যা হয়। কোলে দেখিয়েছেন, এটি চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের ব্রহ্মগুপ্তীয় সূত্র, আর একটি বাহু শূন্য ধরলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়। এটি শুধু তখনই খাটে যখন চার কোণ একটি বৃত্তের ওপর থাকে, পাঠ সে কথা বলে কি না, সে বিষয়ে পণ্ডিতদের মত আলাদা। স্মিথের মতে ব্রহ্মগুপ্ত বা মহাবীরাচার্য কেউই তা লক্ষ করেননি। কোলের পাঠে তা নিহিত, আর ৫৭ থেকে ৫৯ নম্বর শ্লোকের উদাহরণগুলো সবই সেই ধরনের।

কোলে আলাদা করে বেছে নিয়েছেন উপবৃত্তকে। তিনি লিখেছেন, এই গ্রন্থ ছাড়া অন্য কোনো ভারতীয় গণিতকর্মে উপবৃত্তের পরিমাপের সূত্র নেই। ২১ নম্বর শ্লোক বলে, দীর্ঘতর ব্যাসের সঙ্গে ক্ষুদ্রতর ব্যাসের অর্ধেক যোগ করো, যোগফলের দ্বিগুণ করে পাও পরিধি, আর তাকে ক্ষুদ্রতর ব্যাসের এক-চতুর্থাংশ দিয়ে গুণ করে ক্ষেত্রফল। ১২ আর ৩৬ ব্যাসের সমাধান করা উদাহরণটি উত্তরের পরিশিষ্টে দেয় ৮৪ আর ২৫২। ৬৩ নম্বর শ্লোক দেয় দ্বিতীয় একটি “সূক্ষ্ম” নিয়মজোড়া। কোলের বিচারে দুটি নিয়মই ভুল, কারণ প্রকৃত ক্ষেত্রফল পাই গুণ দুই অর্ধাক্ষের গুণফল। তবু তিনি চেষ্টাটিকে প্রশংসনীয় বলেন, কারণ তা ভারতে শঙ্কুচ্ছেদ অধ্যয়নের সূচনা করেছিল, যে অধ্যয়ন গ্রিসে শুরু হয়েছিল অনেক আগে।

ম্যাকটিউটর বলে, গ্রন্থটি শঙ্খের মতো একটি সমতল আকারের নিয়মও দেয়, যা দুটি অসমান অর্ধবৃত্তকে ব্যাস বরাবর জুড়ে তৈরি। সে হায়াশির উদ্ধৃতি দিয়ে জানায়, এমন সূত্র এ পর্যন্ত মহাবীর আর নারায়ণের রচনায় ছাড়া পাওয়া যায়নি। বইটিতে বিন্যাস আর সমাবেশও আছে, ব্রিটানিকা বলে, আর সেগুলোকে বলে ঐতিহ্যবাহী জৈন বিষয়। অষ্টম অধ্যায়ে গোলকের আয়তনের নিয়ম প্রায় সঠিক, কোলে লিখেছেন।

দক্ষিণে ব্যবহারে টিকে থাকা একটি বই

রঙ্গাচার্যের মুখবন্ধে তাঁর ব্যবহার করা পাণ্ডুলিপিগুলোর বর্ণনা আছে। সব মিলিয়ে পাঁচটি: একটি গ্রন্থ লিপিতে, প্রথম পাঁচ অধ্যায়ের সংস্কৃত টীকাসহ, কন্নড় লিপিতে তালপাতার দুটি অনুলিপি, একটি মহীশূরের সরকারি প্রাচ্য গ্রন্থাগার থেকে, আর একটি দক্ষিণ কানাড়ার মুডবিদ্রির জৈন মঠ থেকে। মহীশূরের অনুলিপিটিতে ছিল বল্লভ নামের একজনের ছোট কন্নড় টীকা। রঙ্গাচার্য লিখেছেন, কাজটি দক্ষিণ ভারতে বহুল পরিচিত ও সমাদৃত ছিল বলে মনে হয়, আর একাদশ শতকে পাবুলুরি মল্লন এর একটি তেলুগু পদ্যানুবাদ করেছিলেন। কোলেও অনুবাদের একই তারিখ দিয়েছেন।

ম্যাকটিউটর ফিলিওজার কথা উদ্ধৃত করে, বইটি অন্য পদ্যে লেখা গ্রন্থগুলোর মতোই সংক্ষিপ্ত হলেও শিক্ষাদানের দিক থেকে “আগের গ্রন্থগুলোর চেয়ে তাৎপর্যপূর্ণ সুবিধা রাখে”। ১৯১২ সালে স্মিথ লিখেছিলেন, সংস্করণটি এমন একজন লেখককে প্রকাশ করল যিনি ইউরোপীয় পণ্ডিতদের কাছে প্রায় অজানা ছিলেন। রঙ্গাচার্য বলেন, ভাস্কর বইটি জানতেন কি না তা বলা সহজ নয়, কারণ ভাস্কর বা তাঁর কোনো জানা টীকাকার একে উদ্ধৃত করেছেন বা এর রচয়িতার নাম করেছেন বলে মনে হয় না, আর এই লেখা প্রভাবের কোনো দাবি করে না।

যেখানে সূত্রগুলো আলাদা

স্মিথ, কোলে, ব্রিটানিকা আর ম্যাকটিউটরের জীবনী সবাই বইটির কাল ধরে প্রায় ৮৫০। ম্যাকটিউটরের শূন্যের ইতিহাস, একটি আলাদা পাতা, বলে ৮৩০। জীবনকালও আলাদা: ম্যাকটিউটর দেয় প্রায় ৮০০ থেকে ৮৭০, কোলে প্রায় ৮০০ থেকে ৮৭৫, আর ব্রিটানিকা শুধু বলে তিনি প্রায় ৮৫০ সালে সক্রিয় ছিলেন।

এটি পুরোপুরি গণিতে নিবেদিত সবচেয়ে প্রাচীন ভারতীয় গ্রন্থ, এই দাবি দাঁড়িয়ে আছে ম্যাকটিউটরের ওপর, যা বইটি সম্পর্কে তা বলে, আর কোলের ওপর, যিনি তার পুনরাবৃত্তি করেন। কোলের নিজের ভূমিকা বলে, আনুমানিক ৭৫০ সালের শ্রীধরের ত্রিশতিকা শুধু গণিত নিয়েই। এখানে দেখা সূত্রগুলো দুটি বক্তব্যকে মেলায় না, তাই এই লেখা সর্বোচ্চ বিশেষণটি ব্যবহার করে না। রঙ্গাচার্য তাঁর মুখবন্ধে সই করেছিলেন মাদ্রাজে, ১৯১২ সালের ফেব্রুয়ারিতে।