Las 70 hojas de corteza de abedul del manuscrito Bakhshali contienen cientos de ceros en forma de punto, y la última datación de Oxford sitúa la corteza de cinco hojas entre 773 y 1032 d. C.

El manuscrito Bakhshali son 70 hojas de corteza de abedul cubiertas de reglas en sánscrito y problemas de aritmética resueltos, con un punto por cero escrito cientos de veces a lo largo de ellas. El laboratorio de radiocarbono de Oxford y las Bibliotecas Bodleianas, que lo custodian, lo llaman en su informe de 2024 “casi con certeza el testimonio más antiguo que se conserva de una obra matemática del sur de Asia”. Ese informe fecha la corteza de cinco de sus hojas entre 773 y 1032 d. C.

La fecha ya había cambiado una vez. En septiembre de 2017, las mismas instituciones anunciaron que una hoja era tan antigua como el siglo III o IV, y The Guardian y otros medios lo publicaron. El informe de 2024 explica por qué esa cifra ya no se sostiene. El texto y sus ceros no han cambiado; solo se movió la edad medida de la corteza.

Un jornalero, unas ruinas y una aldea cerca de Peshawar

Las hojas se encontraron en mayo de 1881 en Bakhshali, una aldea a unos 80 kilómetros al nordeste de Peshawar, en lo que hoy es Pakistán. El informe de Oxford dice que un jornalero agrícola las recuperó de un campo o de unas ruinas, y que los relatos del hallazgo no son precisos.

Un informe de 1882 del erudito alemán A. F. R. Hoernle, entonces paleógrafo del Gobierno de la India, dice que el manuscrito se encontró en un recinto en ruinas, en manos de un hombre que cavaba en busca de piedras. Hoernle añade que la mayor parte se destruyó cuando el descubridor lo levantó. Estudió las piezas que quedaban y en 1902 las donó a la Biblioteca Bodleiana de Oxford, donde se conservan con la signatura MS. Sansk. d. 14.

Casi todo lo que los estudiosos saben del texto sigue procediendo de fotografías. G. R. Kaye las publicó con su edición en 1927. Después, según el matemático Bill Casselman, de la Universidad de la Columbia Británica, los fragmentos se encerraron entre láminas de mica. La corteza se pegó a la mica y se rompió en cientos de trocitos, y se oscureció. Casselman señala que al parecer sigue siendo posible fotografiar bien las páginas a través de la mica.

Lo que enseñan las hojas

El texto es un compendio de reglas y problemas modelo, escrito en verso con un comentario en prosa. El informe de Oxford lo describe como “algoritmos y problemas modelo en verso” en un sánscrito influido por las lenguas regionales del noroeste. La escritura es una variante de la sharada, y la base de datos Indoskript de Wurzburgo etiqueta el folio que registra como protosharada tardía. En el esquema que describe Casselman, cada regla va seguida de ejemplos y luego de una comprobación de la respuesta.

Los problemas son cotidianos. Un problema de mezclas en los folios 16 y 17 trata de aleaciones de oro de distinta pureza. Otros, informa MacTutor, abarcan la regla de tres (su ejemplo calcula 50 por 12 dividido entre 8 y obtiene 75 dinaras), dos muchachos cuyos jornales y deudas los dejan a la par al cabo de 30 días, y un problema indeterminado sobre el precio de unos caballos. Marcus du Sautoy, el matemático de Oxford, resumió en 2017 el carácter de estos problemas como preguntas del tipo “Si alguien compra esto y vende esto, ¿cuánto le queda?”.

Las raíces cuadradas son la pieza de exhibición. MacTutor expone el método del manuscrito para los números que no son cuadrados perfectos y da su valor de la raíz cuadrada de 41 como 6,403138528, frente a un valor verdadero de 6,403124237, correcto hasta el cuarto decimal. Para 339.009 acierta once cifras decimales. Casselman dice que no conoce nada parecido a sus números muy grandes en otras culturas hasta mucho más tarde, y señala que las fracciones decimales las inventaron los matemáticos árabes solo después de este tipo de trabajo.

El colofón, la nota del escriba al final, nombra a un brahmán descrito como hijo de Chajaka, que escribió la obra para un tal Hasika, hijo de Vasiha, y sus descendientes, en un lugar de la región de Gandhara, en el noroeste del sur de Asia. Takao Hayashi editó y tradujo el texto en 1995, y la réplica de 2017 que se comenta más abajo, de la que es coautor, llama a esa edición el estudio definitivo. Fechó de forma tentativa el comentario en el siglo VII, y el manuscrito que se conserva en algún momento entre los siglos VIII y XII.

El punto que hace dos trabajos

El cero del manuscrito es un punto. Marca un lugar vacío en un número, como hace el 0 en 101, y el anuncio de Oxford de 2017 dijo que más tarde le creció un centro hueco y se convirtió en el símbolo moderno. Los autores de la réplica de 2017 añaden que el manuscrito usa también el punto para una cantidad desconocida, de un modo que recuerda a una variable del álgebra.

Las reglas muestran además que con el cero se calcula. En un problema del folio 22, el punto que representa una incógnita se sustituye por 1, y el texto dice que el paso se da “habiendo sumado la unidad al cero”. En el folio 47, el problema modelo multiplica las fracciones 108625/65600 y 59425/49200 y da 6455040625/3227520000, un cálculo que, según los cinco autores, es difícil de imaginar sin aritmética con los ceros dentro de los números. El comunicado de Oxford de 2017 describió el punto de Bakhshali como un marcador de posición y nombró el Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta, de 628 d. C., como el primer documento que trata el cero como número. Las reglas que estableció Brahmagupta se tratan en su propio artículo.

La historia más amplia del símbolo está en La India dio al mundo el cero. Las hojas de Bakhshali son una pieza de evidencia en ella, y la réplica de 2017 enumera otras: la palabra sánscrita shunya (vacío) cumplió alguna función de notación en cálculos sobre métrica de versos, un texto de hacia 550 d. C. define una constante como “sesenta menos cero”, y varios textos antiguos describen el conteo posicional con varillas.

Septiembre de 2017: tres hojas, tres siglos

La Bodleiana hizo tomar tres pequeñas muestras de corteza, lejos de la tinta, de los folios 16, 17 y 33. La Unidad Aceleradora de Radiocarbono de Oxford, con el doctor David Chivall, las midió. Camillo Formigatti, bibliotecario de sánscrito John Clay de la Bodleiana, publicó los intervalos en una lista de correo de eruditos el 14 de septiembre de 2017, cada uno con un 95,4 por ciento de confianza: de 224 a 383 d. C. para el folio 16, de 680 a 779 d. C. para el folio 17 (con un segundo intervalo menor, de 790 a 868 d. C.), y de 885 a 993 d. C. para el folio 33. Escribió que el equipo no esperaba una diferencia tan grande entre los tres.

La Universidad de Oxford difundió la noticia ese día y The Guardian la publicó en exclusiva. El comunicado decía que el manuscrito era tan antiguo como el siglo III o IV, unos cinco siglos más antiguo de lo que creían los estudiosos, y más antiguo que el cero del siglo IX en una pared de templo en Gwalior, Madhya Pradesh, hasta entonces el cero marcador de posición indio más antiguo registrado. Decía que las hojas procedían de al menos tres épocas distintas. El comunicado nombraba el intervalo de Hayashi, de los siglos VIII a XII, como la principal estimación académica anterior.

La réplica de los estudiosos

En 2017, cinco historiadores de la matemática india (Kim Plofker, Agathe Keller, Takao Hayashi, Clemency Montelle y Dominik Wujastyk) publicaron una respuesta en la revista con revisión por pares History of Science in South Asia. Dijeron que no podían impugnar las cifras de radiocarbono por motivos técnicos, y argumentaron a partir del propio manuscrito. La letra y la disposición parecen uniformes en todas las hojas, lo que a su juicio no encaja con páginas escritas con siglos de diferencia. El reverso del folio 16 y el anverso del folio 17 llevan un único problema continuo sobre mezclas de aleaciones de oro, y Hayashi no vio señal de otro escriba. Si la obra se copió como una sola pieza, escribieron, la fecha de los ceros es la fecha de la hoja más joven.

Sus conclusiones reconocen también el valor de las pruebas. Calificaron el análisis de radiocarbono de potencialmente muy valioso y pidieron más de una muestra por hoja y, si era posible, pruebas sobre las propias letras entintadas. Lamentaron que los resultados hubieran llegado a la prensa y a un vídeo antes de la revisión por pares.

En la lista de correo, al día siguiente, Walter Slaje escribió que el uso temprano del cero en la India era un conocimiento consolidado entre los indólogos y preguntó por qué no se había consultado a ninguno. Andrea Acri señaló que, si el manuscrito fuera un solo texto, su fecha de copia caería en el siglo IX o X, y dijo que trabajaba a partir de la nota de prensa, sin acceso a una biblioteca.

El informe de Oxford de 2024

El 14 de octubre de 2024, la Unidad Aceleradora de Radiocarbono de Oxford y la Bodleiana depositaron un informe más completo de David Chivall, Virginia Lladó-Buisán, David Howell y Gillian Evison. Dice que las mediciones de 2017 en los folios 16 y 17 dieron edades inesperadas, por lo que el equipo hizo nuevas pruebas en 2018 en los folios 23 y 55, en el folio 15 y en una segunda muestra del folio 16. El segundo resultado del folio 16, afirma el informe, mostró que el primero había sido inexacto. La medición del folio 17 era atípica respecto al resto y se dejó fuera. El resultado del folio 33 era coherente con los nuevos y se mantuvo.

Los cinco intervalos calibrados, con un 95,4 por ciento, son de 773 a 986 d. C. para el folio 15, de 901 a 1032 para el folio 16, de 890 a 1014 para el folio 23, de 885 a 995 para el folio 33 y de 774 a 991 para el folio 55. La base de datos Indoskript de Wurzburgo registra el folio 16 en 901 a 1032 d. C. sobre la base de la datación por radiocarbono, en línea con el nuevo resultado. Las pruebas estadísticas del informe hallaron que no se puede suponer que las cinco hojas tengan la misma edad, aunque sí las cuatro distintas del folio 16, que dan de 889 a 979 d. C. Un modelo que no supone nada sobre cómo se relacionan las hojas sitúa el inicio de la producción del manuscrito entre 799 y 892 d. C. y su final entre 900 y 1102 d. C.

El informe es cuidadoso sobre qué datan estas cifras. El radiocarbono mide cuándo se formó la corteza, y el manuscrito no puede haberse escrito antes, de modo que las fechas fijan el momento más temprano posible de su elaboración.

Lo que se mantiene

El mismo informe dice que las fechas propuestas para el manuscrito han ido de hacia 200 d. C. a 1100 d. C., y que es casi con certeza el testimonio más antiguo que se conserva de una obra matemática del sur de Asia. Casselman lo llama, con diferencia, el manuscrito matemático más antiguo que se conserva, y dice que la corteza de abedul dura poco en un clima húmedo.

La inscripción de Gwalior que el comunicado de Oxford de 2017 llamó el cero marcador de posición indio más antiguo se data en el siglo IX, y los nuevos intervalos de la corteza se solapan con ese siglo. La fecha de Hayashi para el comentario, el siglo VII, procede de la escritura, la lengua y la historia de los textos aritméticos sánscritos, y la lectura de los ceros como números en la réplica de 2017 descansa en los procedimientos del propio texto. Ninguna de las dos es una medición de la corteza.

Seis de las 70 hojas han sido muestreadas (folios 15, 16, 17, 23, 33 y 55). El informe de Oxford no prevé más dataciones, porque cada prueba consume una pequeña muestra de la corteza.