राष्ट्रकूट राजा अमोघवर्षाच्या काळात इसवी सन ८५० च्या सुमारास लिहिलेल्या महावीराचार्यांच्या गणितसारसंग्रहात अपूर्णांकांपासून लंबवर्तुळापर्यंतचे नियम आणि सोडवलेली उदाहरणे असलेले नऊ अध्याय आणि १,१३० हून अधिक श्लोक आहेत

महावीराचार्यांचा गणितसारसंग्रह, इसवी सन ८५० च्या सुमारास लिहिलेला, हे एका जैन गणितज्ञाचे नऊ अध्यायांचे पाठ्यपुस्तक आहे. गणिताच्या इतिहासकार ताकाओ हायाशी यांनी लिहिलेल्या नोंदीत ब्रिटानिका नियम आणि सोडवलेल्या उदाहरणांचे १,१३० हून अधिक श्लोक मोजते. ते संख्यानामे आणि अपूर्णांकांपासून समीकरणे, श्रेढी, क्षेत्रफळे आणि घनफळांमार्गे सावल्यांपर्यंत जातात.

हा ग्रंथ दक्षिण दख्खनमध्ये राष्ट्रकूट राजा अमोघवर्षाच्या कारकिर्दीत रचला गेला. त्याचा पहिला अध्याय दशमान पद्धतीतील चोवीस स्थानांची नावे देतो, शून्य आणि ऋण संख्यांसह गणिताचे नियम सांगतो, आणि पुढचे अध्याय केळ्यांचे ढीग, हरवलेली पिशवी आणि भात्यातले बाण यांबद्दलचे प्रश्न मांडतात. ब्रह्मगुप्ताचे शून्याचे नियम दोन शतकांहून अधिक आधी आले होते, आणि मॅकट्यूटर महावीराचार्यांच्या ग्रंथाला ब्रह्मगुप्ताच्या ग्रंथाची सुधारित आवृत्ती म्हणतो.

सुरुवातीच्या श्लोकांत राजाचे नाव असलेले पाठ्यपुस्तक

गणितसारसंग्रह स्वतःची तारीख देत नाही. जैन गुरू महावीर यांना केलेल्या दोन नमनश्लोकांनंतर पहिला अध्याय सहा श्लोक एका राजाची स्तुती करण्यात आणि त्याच्या राज्याची भरभराट व्हावी अशी इच्छा व्यक्त करण्यात खर्च करतो. श्लोक त्याला अमोघवर्ष आणि चक्रिकाभंजन म्हणतात, आणि शेवटचा आशीर्वाद नृपतुंगाचे नाव घेतो. ग्रंथाचे १९१२ मधील संपादक आणि भाषांतरकार रंगाचार्य यांनी त्याला राष्ट्रकूट राजा अमोघवर्ष नृपतुंग म्हणून ओळखले. त्यांनी लिहिले की शिलालेखांवरील संशोधन कारकीर्द ८१४ किंवा ८१५ ते ८७७ किंवा ८७८ अशी ठरवते, आणि म्हणून हा ग्रंथ नवव्या शतकाच्या मध्यातील आहे.

शिलालेख त्या कालावधीला जुळतात. फ्लीट यांनी १८८२ मध्ये कन्नडभाषिक जिल्ह्यांतील अमोघवर्ष पहिल्याच्या नोंदींची यादी करताना कान्हेरी गुहांमधील दोन नोंदवले आहेत, एक शक ७७३ चा (इसवी सन ८५१ ते ८५२; हा आकडा त्यांनी ७७५ ची दुरुस्ती म्हणून दिला आहे) आणि एक शक ७९९ चा (इसवी सन ८७७ ते ८७८). घराण्याबद्दलची ब्रिटानिकाची नोंद तीच कारकीर्द, सुमारे ८१४ ते ८७८, देते आणि राष्ट्रकूट कन्नड बोलत असे म्हणते. ती भर घालते की अमोघवर्ष हा कविराजमार्ग या ज्ञात सर्वांत जुन्या कन्नड काव्याच्या एका भागाचा लेखक होता. ब्रिटानिका घराण्यातील आधीच्या राजाला, कृष्ण पहिल्याला, एलोरा येथील कैलास मंदिराचे श्रेयही देते.

गणितज्ञाबद्दल स्वतः ब्रिटानिका एवढेच म्हणते की तो जैन होता आणि त्याने अमोघवर्षाच्या कारकिर्दीत लिहिले. सनातन कोले, इंडियन जर्नल ऑफ हिस्ट्री ऑफ सायन्स मधील २०२५ च्या एका शोधनिबंधात, त्याला दिगंबर जैन म्हणतात, जो आपल्या पूर्वसूरींप्रमाणे खगोलशास्त्रज्ञ नव्हता आणि ज्याचे कार्य केवळ गणितापुरते मर्यादित आहे. मॅकट्यूटर म्हणतो की तो कदाचित म्हैसूर येथे किंवा जवळ जन्मला होता. रंगाचार्यांच्या आवृत्तीची प्रस्तावना लिहिणारे डेव्हिड युजीन स्मिथ यांचे मत होते की महावीराचार्य राजाच्या दरबारात “राहिले असावेत असे दिसते”. हे सुरुवातीच्या श्लोकांवरून काढलेले अनुमान आहे, आणि रंगाचार्यांचा स्वतःचा शब्दप्रयोग असा आहे की लेखक दरबाराशी “काही प्रकारे जोडलेला” होता. मॅकट्यूटर कोणत्याही आश्रयदात्याचे नाव देत नाही.

चोवीस स्थाने आणि शून्याचे नियम

अध्याय पहिला दशमान संख्येची स्थाने एकक स्थानापासून वरच्या दिशेने मांडतो. सहावे लक्ष आणि आठवे कोटी आहे, आणि यादी चोविसाव्या स्थानापर्यंत, ज्याला महाक्षोभ म्हणतात, जाते. रंगाचार्यांच्या प्रस्तावनेत नोंदवल्याप्रमाणे प्रत्येक स्थान आधीच्या स्थानाच्या दसपट मोलाचे आहे. याच अध्यायात श्लोक ४९ ते ५२ मध्ये शून्य आणि धन व ऋण राशींचे नियम दिले आहेत.

कोणतीही संख्या शून्याने गुणली तर शून्य येते, असे श्लोक सांगतो, आणि शून्य मिळवल्याने संख्या आधी होती तशीच राहते. दोन ऋण किंवा दोन धन राशींचा गुणाकार किंवा भागाकार धन येतो, आणि एक धन व एक ऋण असल्यास ऋण येतो. वजा केलेली धन राशी ऋण होते, आणि वजा केलेली ऋण राशी धन होते. धन किंवा ऋण राशीचा वर्ग धन असतो. श्लोक असे तर्कतः सांगतो की ऋण राशी वर्ग नसते आणि म्हणून तिला वर्गमूळ नसते, हा मुद्दा ब्रिटानिकाही नोंदवते.

भागाकाराबाबत श्लोक ४९ म्हणतो की शून्याने भागलेली संख्या न बदलता तशीच राहते. रंगाचार्यांची तळटीप स्पष्टपणे म्हणते की हे चूक आहे, आणि भास्कराने पुढे भागफल अनंत असल्याचे दिले. मॅकट्यूटरचा शून्याचा इतिहास तेच म्हणतो आणि नमूद करतो की शून्याने भागण्याबाबतची ब्रह्मगुप्ताची विधाने सुधारण्याच्या महावीराच्या प्रयत्नामुळे तो चुकीकडे गेला. दशमान पद्धतीची आणि शून्य चिन्हाची व्यापक कथा भारत आणि शून्य या लेखात आहे, आणि भास्कराचे कार्य लीलावतीवरील लेखात आहे.

अपूर्णांक, कुट्टक आणि उदाहरणांचे श्लोक

मॅकट्यूटर म्हणतो की महावीराचार्यांनी अपूर्णांकाचे एकांश अपूर्णांकांमध्ये विभाजन करण्याच्या पद्धती दिल्या, उदाहरण २/१७ = १/१२ + १/५१ + १/६८. हे तिन्ही अपूर्णांक खरोखर २/१७ ची बेरीज देतात, कारण २०४ या समान छेदावर ते १७, ४ आणि ३ होतात, ज्यांची बेरीज २४ आहे. अध्याय तिसऱ्यात त्यांनी एक संबंधित कोडे मांडले आहे, ज्यात पाच, सहा किंवा सात वेगवेगळे, वर १ असलेले अपूर्णांक मिळून १ होतात तेव्हा छेद शोधायला सांगितले आहे.

अध्याय सहावा, मिश्र प्रश्नांवरील, यात कुट्टिकार किंवा कुट्टक आहे, पूर्ण संख्येत उत्तरे देणाऱ्या समीकरणांसाठीची पद्धत, जिचे वर्णन मॅकट्यूटर युक्लिडच्या अल्गोरिदमवर आधारित असे करतो. श्लोक ११७ अर्धा मधील एक ठराविक उदाहरण केळ्यांच्या ६३ समान ढिगांपैकी एका ढिगाचा आकार विचारते. आणखी सात फळे मिळवली जातात आणि एकूण २३ प्रवाशांत काहीही उरू न देता वाटले जाते. उत्तरांच्या परिशिष्टात ५ येते, आणि गणित जुळते: ६३ गुणिले ५ अधिक ७ म्हणजे ३२२, जे २३ गुणिले १४ आहे.

नियमाची एकत्रित आवृत्ती का यशस्वी होते, हे रंगाचार्यांच्या टिपांत उलगडले आहे. एकाच संख्येने दोन अशा अटी एकाच वेळी पूर्ण केल्या पाहिजेत, तेव्हा पुढचे उत्तर पहिल्यात दोन भाजकांचा लसावि मिळवून येते, असे ते दाखवतात. ही सिद्धता त्यांच्या तळटीपेत आहे, महावीराचार्यांच्या श्लोकात नाही, जो फक्त कृती देतो.

श्लोक २३६ आणि २३७ तीन व्यापाऱ्यांना पिशवी सापडल्याचे प्रश्न मांडतात. पहिला म्हणतो की पिशवी मिळाल्यास त्याच्याकडे इतर दोघांच्या मिळून दुप्पट होईल, दुसरा म्हणतो तिप्पट, तिसरा पाचपट. मॅकट्यूटर पूर्ण संख्यांतील सर्वांत लहान उत्तर देतो: पिशवीत १५ आहेत, आणि व्यापाऱ्यांकडे १, ३ आणि ५. पडताळणी: १५ अधिक १ म्हणजे १६, जे ३ आणि ५ च्या बेरजेच्या दुप्पट. १५ अधिक ३ म्हणजे १८, जे १ आणि ५ च्या बेरजेच्या तिप्पट. १५ अधिक ५ म्हणजे २०, जे १ आणि ३ च्या बेरजेच्या पाचपट.

श्लोक २८८ भात्यात बांधलेले बाण मोजण्याचा नियम देतो. बाहेरच्या वलयातील बाणांच्या संख्येत ३ मिळवा, बेरजेचा वर्ग करा, ३ मिळवा आणि १२ ने भागा. पुढचा श्लोक १८ बाहेरच्या बाणांचे प्रकरण विचारतो, ज्याचे उत्तर ३७ येते. ते म्हणजे मध्यभागी १ आणि ६, १२ व १८ ची वलये. रंगाचार्यांच्या टिपेत स्पष्ट केल्याप्रमाणे हा नियम सहा सारखी वर्तुळे सातव्याभोवती बसतात या वस्तुस्थितीवर आधारलेला आहे, आणि कोले, जो त्याला अचूक सूत्र मानतो, त्या टिपेचा हवाला देतात.

वर्तुळे, चतुर्भुज आणि एक लंबवर्तुळ

अध्याय सातवा क्षेत्रफळांनी भरलेला आहे. वर्तुळासाठी श्लोक १९ परिघ व्यासाच्या तिप्पट आणि क्षेत्रफळ अर्ध्या व्यासाच्या वर्गाच्या तिप्पट मानतो. दोन्ही अंदाजे आहेत, असे रंगाचार्यांची तळटीप म्हणते, कारण ते पाय ३ मानतात. अधिक अचूक कामासाठी, ब्रिटानिका भर घालते, महावीराचार्यांनी १० चे वर्गमूळ वापरले, जे पारंपरिक जैन मूल्य आहे. स्मिथ यांनी नमूद केले की ब्रह्मगुप्त आणि महावीराचार्य या दोघांनी ३ आणि १० चे वर्गमूळ वापरले, आणि दोघांना आर्किमिडीज किंवा हेरॉन यांचे कार्य ठाऊक असल्याचे दिसत नाही.

श्लोक ५० असे सूत्र देते जे चार राशींच्या गुणाकाराचे वर्गमूळ घेते, प्रत्येक राशी म्हणजे बाजूंच्या अर्ध्या बेरजेतून एक बाजू वजा केलेली. कोले दाखवतात की हे चौकोनाच्या क्षेत्रफळासाठीचे ब्रह्मगुप्ताचे सूत्र आहे, आणि एक बाजू शून्य केल्यास त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मिळते. चारही कोपरे वर्तुळावर असतानाच हे लागू होते असे मजकूर म्हणतो का, याबाबत अभ्यासकांत मतभेद आहेत. स्मिथ यांच्यानुसार, ब्रह्मगुप्त किंवा महावीराचार्य कोणीही हे नमूद करत नाही. कोले यांच्या वाचनात ते गृहीत आहे, आणि श्लोक ५७ ते ५९ मधील उदाहरणे सर्व त्याच प्रकारची आहेत.

कोले लंबवर्तुळाकडे विशेष लक्ष वेधतात. ते लिहितात की या ग्रंथाखेरीज, कोणत्याही भारतीय गणितग्रंथात लंबवर्तुळाच्या मापाचे सूत्र नाही. श्लोक २१ म्हणतो की लहान व्यासाचा अर्धा भाग मोठ्या व्यासात मिळवा, बेरजेची दुप्पट करून परिघ मिळवा, आणि तो लहान व्यासाच्या एक चतुर्थांशाने गुणून क्षेत्रफळ मिळवा. १२ आणि ३६ व्यास असलेल्या सोडवलेल्या उदाहरणाचे उत्तरांच्या परिशिष्टात ८४ आणि २५२ येते. श्लोक ६३ नियमांची दुसरी, “अचूक” जोडी देतो. कोले यांच्या मते दोन्ही नियम चुकीचे आहेत, कारण खरे क्षेत्रफळ पाय गुणिले दोन अर्धअक्षांचा गुणाकार आहे. तरीही ते या प्रयत्नाला कौतुकास्पद म्हणतात, कारण त्याने भारतात शंकुच्छेदांच्या अभ्यासाची ओळख करून दिली, जो अभ्यास ग्रीसमध्ये फार पूर्वी सुरू झाला होता.

मॅकट्यूटर म्हणतो की ग्रंथ शंखासारख्या सपाट आकृतीचे नियमही देतो, जो दोन असमान अर्धवर्तुळे त्यांच्या व्यासांवर जोडून बनतो. तो हायाशी यांना उद्धृत करतो की अशी सूत्रे आतापर्यंत फक्त महावीर आणि नारायण यांच्या कार्यातच आढळली आहेत. क्रमचय आणि संचयही पुस्तकात आहेत, असे ब्रिटानिका म्हणते, आणि त्यांना पारंपरिक जैन विषय म्हणते. आठव्या अध्यायातील गोलाच्या घनफळाचा नियम जवळजवळ अचूक आहे, असे कोले लिहितात.

दक्षिणेत वापरात राहिलेला ग्रंथ

रंगाचार्यांची प्रस्तावना त्यांनी वापरलेल्या हस्तलिखितांचे वर्णन करते. ती एकूण पाच होती: एक ग्रंथ लिपीतील, पहिल्या पाच अध्यायांवरील संस्कृत भाष्यासह, दोन कन्नड लिपीतील ताडपत्री प्रती, एक म्हैसूर येथील सरकारी प्राच्यविद्या ग्रंथालयातून आणि एक दक्षिण कॅनरातील मुडबिद्री येथील जैन मठातून. म्हैसूरच्या प्रतीसोबत वल्लभ नावाच्या एकाचे लहान कन्नड भाष्य होते. हा ग्रंथ दक्षिण भारतात व्यापकपणे ज्ञात आणि वाखाणला गेलेला दिसतो, असे रंगाचार्य लिहितात, आणि पावुलूरी मल्लना यांनी अकराव्या शतकात त्याचे तेलुगू पद्यभाषांतर केले. कोले भाषांतराचा तोच काळ देतात.

मॅकट्यूटर फिलिओझा यांना उद्धृत करतो की हा ग्रंथ, इतर पद्यग्रंथांइतकाच संक्षिप्त असला तरी, शिकवण्याच्या दृष्टीने “आधीच्या ग्रंथांपेक्षा लक्षणीय फायदा देतो”. १९१२ मध्ये स्मिथ यांनी लिहिले की या आवृत्तीने युरोपीय अभ्यासकांना जवळजवळ अपरिचित असलेला लेखक उलगडला. भास्कराला हा ग्रंथ ठाऊक होता की नाही हे सांगणे सोपे नाही, असे रंगाचार्य म्हणतात, कारण भास्कर किंवा त्याचा कोणताही ज्ञात टीकाकार तो उद्धृत करत नाही किंवा त्याच्या लेखकाचे नाव घेत नाही असे दिसते, आणि हा लेख प्रभावाचा कोणताही दावा करत नाही.

स्रोतांत मतभेद कुठे आहेत

स्मिथ, कोले, ब्रिटानिका आणि मॅकट्यूटरचे चरित्र सर्व ग्रंथाचा काळ सुमारे ८५० धरतात. मॅकट्यूटरचा शून्याचा इतिहास, जे वेगळे पान आहे, ८३० म्हणते. जीवनकाळही वेगवेगळा आहे: मॅकट्यूटर सुमारे ८०० ते ८७० देतो, कोले सुमारे ८०० ते ८७५, आणि ब्रिटानिका फक्त एवढेच म्हणते की तो सुमारे ८५० मध्ये कार्यरत होता.

हा संपूर्णपणे गणितालाच वाहिलेला सर्वांत जुना भारतीय ग्रंथ आहे हा दावा मॅकट्यूटरवर आधारलेला आहे, जो ग्रंथाबद्दल तसे म्हणतो, आणि कोलेवर, जे तो पुन्हा सांगतात. कोले यांच्या स्वतःच्या प्रस्तावनेत म्हटले आहे की श्रीधराचा त्रिशतिका, सुमारे इसवी सन ७५० मधील, केवळ गणिताचाच विचार करतो. येथे पाहिलेले स्रोत या दोन विधानांचा मेळ घालत नाहीत, म्हणून हा लेख उच्चतमवाचक रूप वापरत नाही. रंगाचार्यांनी आपल्या प्रस्तावनेवर फेब्रुवारी १९१२ मध्ये मद्रासमध्ये सही केली.